241平面向量數量積物理背景及含義

1、1已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，則，則AOB= （0 180）叫做叫做向量向量a與與b的夾角的夾角。OBA問題問題1：回憶一下物理中：回憶一下物理中“功功”的計算，功的計算，功的的大小與哪些量有關？大小與哪些量有關？結合向量的學習你有什么想法？結合向量的學習你有什么想法？|b|cos abB1 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數量，我們把數量|a| |b|cos叫做叫做a與與b的的數量積數量積（或（或內積內積），記作），記作a b ab=|a| |b| cos注意：向量的注意：向量的數量積是一個數量積是一個數量

2、。數量。 |b| cos叫做向量叫做向量b在在a方向上的方向上的投影投影。問題問題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關系？運算結果還是向量嗎？關系？運算結果還是向量嗎？ OAB|b|cos abB1ba等于等于a的長度的長度|a方向上的投影在ab與與cos|b的乘積。的乘積。ABBCCBCAACABABACABC, 6, 3,求中直角例例1ABC36336030150 非零向量的數量積是一個數量，那非零向量的數量積是一個數量，那么它何時為正，何時為么它何時為正，何時為0 ,何時為負？何時為負？探究1：| | | | | c co os sa ab ba ab b

3、 | | | | | c co os sa ab ba ab b 探究2：請同學們合作探究，向量共線或垂請同學們合作探究，向量共線或垂直時，數量積有什么特殊性呢？直時，數量積有什么特殊性呢？練習：練習：1 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，則，則b= =04 4若若a b= =0，則，則a b中至少有一個為中至少有一個為05 5若若a0，a b= = b c，則，則a=c6 6若若a b = = a c , ,則則bc, ,當且僅當當且僅當a= =0

4、 時成立時成立7對任意向量對任意向量 a 有有22|aa 回憶過去研究過的運算律，向量的數回憶過去研究過的運算律，向量的數量積應有怎樣的運算律？量積應有怎樣的運算律？ Rzyx,實數中乘法的運算律實數中乘法的運算律yzxzzyxxzyyzxzxyyxxy)()3)()()()2) 1分配律結合律交換律探究3：數量積的運算律：數量積的運算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三個向量，是任意三個向量，R注：注：)()(cbacba 則 (a + b) c = OB1 |c| = (OA1 + A1B1) |c| = OA1|c| + A1B1|c| = ac + bc . OB1A1a+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數量分別是OA1、A1B1、 O