大學(xué)---工程數(shù)學(xué)1.3平面點(diǎn)集

1、1一、區(qū)域的概念三、單連通域與多連通域二、曲線四、典型例題1.3 復(fù)平面上的點(diǎn)集復(fù)平面上的點(diǎn)集五、小結(jié)與思考2一、區(qū)域的概念一、區(qū)域的概念1. 鄰域: （domain)00 () .zzz由不等式任意的正數(shù)所確定的平面點(diǎn)集稱為的 鄰域2.去心鄰域去心鄰域:00 0 .zzz稱由不等式所確定的平面點(diǎn)集稱為的去心鄰域0.Nz33.內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)(inner point):000 E , E . , E, E .zzz設(shè)為一平面點(diǎn)集為中任意一點(diǎn) 如果存在的一個(gè)鄰域 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于那末稱為的內(nèi)點(diǎn)4.開集開集(open set): 如果如果 E 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末那末E

2、稱為稱為開集開集. .45.邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)(boundary point)00如何點(diǎn)z 的任一領(lǐng)域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),則稱z 為E的邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成D的的邊界邊界. .56.區(qū)域區(qū)域(開區(qū)域開區(qū)域)(region): 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, ,則稱則稱它為一個(gè)區(qū)域它為一個(gè)區(qū)域. .(1) D是一個(gè)是一個(gè)開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于完全屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.7.閉區(qū)域閉區(qū)域D區(qū)域 加上它的邊界B稱為閉區(qū)域，記作DD+B68.有

3、界集有界集,無界集無界集zMEE若一個(gè)正數(shù)M存在，對于點(diǎn)集E內(nèi)的點(diǎn)z，皆有成立，則稱 為有界集；否則稱 為無界集7說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的的點(diǎn)所組成的. (2) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .Dz 1C2C3Cz 2C3C8以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)邊界邊界用復(fù)數(shù)的不等式來表示復(fù)平面上的區(qū)域；9(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半

4、平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:arg;z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo10 曲線111. 連續(xù)曲線連續(xù)曲線: ( ) ( ) , , () , .x ty tx x tty y t 如果和是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)= ( )那末方程組= ( )代表一條平面曲線C 稱為連續(xù)曲線C平面曲線平面曲線C 的復(fù)數(shù)表示的復(fù)數(shù)表示:( )( )( ).()zz tx tiy tt 曲線C的參數(shù)方程122. 簡單曲線簡單曲線: ( ) () , ( ) ( ) .Czz ttzzC 設(shè)為一條連續(xù)曲線與分別稱為的起點(diǎn)和終點(diǎn)1212121

5、21 , , ( )( ) , ( ) .ttttttz tz tz tC對于滿足的與當(dāng)而有時(shí) 點(diǎn)稱為曲線的重點(diǎn) 沒有重點(diǎn)的曲線沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線( (或若爾或若爾當(dāng)曲線當(dāng)曲線).).13 , ( ) ( ) , .CzzC如果簡單曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合 即那末稱為簡單閉曲線換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 14課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 15定義定義: 若

6、在弧 AB 的方程為：0M1iMiMnMAByox11maxiii nTMMT 存在，則稱為AB弧的長度；3：可求長曲線( ),zz tt 0121( ),:nnnz ttttttt 其中，在上連續(xù)，任取實(shí)數(shù)列 ,0,1,2, ,jjz tjn并且考慮弧上對應(yīng)的點(diǎn)列z將它們用折線Q連接起來， 11nnjjjtQLz tz t如果對于所有的實(shí)數(shù)列，的長度有上界，164. 光滑曲線光滑曲線smooth curve:22 ( )( )( ), , ( ) ( ) , ( )( )0, ( ) ( )0,.zz tx tiy ttx ty ttz tz tx ty t 對于若當(dāng)曲線C：上和都是連續(xù)的且

7、對于的如果連續(xù)且；每一個(gè)值 有那末稱這曲線為光滑的 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段光滑曲線稱為逐段光滑曲線. .xyoxyo圖形為一條處處有切線的曲線,且切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) 17-22468101234擺線 x(t)=2(t-sint),y(t)=2(1-cost)逐段光滑曲線是可以求長的，但是若爾當(dāng)曲線或者簡單閉曲線不一定的；（參見高等數(shù)學(xué)下冊（參見高等數(shù)學(xué)下冊p90）18三三. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域simply connected domain&multiply connected domain19 復(fù)平面上

8、的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D, 如果在其中任作如果在其中任作一條簡單閉曲線一條簡單閉曲線L, 都可以在都可以在D內(nèi)連續(xù)地收縮成內(nèi)連續(xù)地收縮成D內(nèi)的一點(diǎn)；內(nèi)的一點(diǎn)； 則稱區(qū)域則稱區(qū)域D是單連通域是單連通域. 一個(gè)區(qū)一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域域如果不是單連通域, 就稱為多連通域就稱為多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域1:定義定義20 復(fù)平面上的一個(gè)單連通區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)單連通區(qū)域D, 如果在其如果在其中任作一條簡單閉曲線中任作一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于D單連通域單連通域定義定義221多連通區(qū)域直觀上說就是這個(gè)區(qū)域它有洞，也可以是這個(gè)區(qū)域去掉幾個(gè)點(diǎn)，或是一段線段

9、，這個(gè)區(qū)域就是多連通區(qū)域；0,nExx( )Ez tt 22四、典型例題23(t)(1)(2)cossinztitzatibt 描述下列方程所表示的曲線 是實(shí)參數(shù)例例1 1(1)( )( )( )( )zx tiy ttitx ttxyty tt 解:(,45)ztityx 說明所表示的曲線是一條直線過原點(diǎn) 傾斜角是度24(t)(1)(2)cossinztitzatibt 描述下列方程所表示的曲線 是實(shí)參數(shù)例例1 122(1)( )( )cossin( )cos1( )sinzx tiy tatibtx tatxyy tbtab解:cossinzatibt說明所表示的曲線是一條橢圓周25例例2

10、 2 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的.21(1) Re()1;(2) arg;(3)3;3(4)114;zzzzz解解 , )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).263arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的的圓圓的的外外部部半半徑徑為為是是以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心無界的多連通域無界的多連通域. 27411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表表示示該該橢橢圓圓內(nèi)內(nèi)部部 zz有界的單連通域有界的單連通域.28五 、小結(jié)與思考應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、邊界、鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域理解單連通域與多連通域理解單連通域與多連通域.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .29作業(yè)1.3.1:a,b,d1.3.