高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第52講)空間直線

1、題目 第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間直線高考要求 1能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形 能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系 2會用幾何法或向量法計(jì)算兩異面直線的夾角和距離知識點(diǎn)歸納 1 空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；2公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式：3等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等4等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等5空間兩條異面直線的畫法6異

2、面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線推理模式：與是異面直線7異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：8異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線 垂直，記作9求異面直線所成的角的方法：幾何法：（1）通過平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求 向量法：用向量的夾角公

3、式10兩條異面直線的公垂線、距離和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線理解：因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離兩條異面直線的公垂線有且只有一條 計(jì)算方法：幾何法；向量法題型講解 例1 A是BCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)， （1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角（1）證明：用反證法假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C

4、、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線EF與BD是異面直線（2）解：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角在RtEGF中，求得FEG=45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°點(diǎn)評： 證明兩條直線是異面直線常用反證法；求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90°；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）證算”注意，異面直線所成角的范圍是（0，例2 長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a

5、>b，求：（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC1；AB與A1C1；AB與B1C（2）異面直線D1B與AC所成角的余弦值（1）解：BC為異面直線AB與CC1的公垂線段，故AB與CC1的距離為bAA1為異面直線AB與A1C1的公垂線段，故AB與A1C1的距離為c過B作BEB1C，垂足為E，則BE為異面直線AB與B1C的公垂線，BE=，即AB與B1C的距離為（2）解法一：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)F，連結(jié)OF、AF，則OFD1B，AOF就是異面直線D1B與AC所成的角AO=，OF= BD1=，AF=，在AOF中，cosAOF=解法二：如下圖，在原長方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同樣的長方體，

6、連結(jié)BG、D1G，則ACBG，D1BG（或其補(bǔ)角）為D1B與AC所成的角BD1=，BG=，D1G=，在D1BG中，cosD1BG=，故所求的余弦值為解法三：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，用向量的夾角公式計(jì)算例3 設(shè)異面直線a與b所成的角為50°，O為空間一定點(diǎn)，試討論，過點(diǎn)O與a、b所成的角都是（0°90°）的直線l有且僅有幾條?解：過點(diǎn)O作a1a，b1b，則相交直線a1、b1確定一平面a1與b1夾角為50°或130°，設(shè)直線OA與a1、b1均為角，作AB面于點(diǎn)B，BCa1于點(diǎn)C，BDb1于點(diǎn)D，記AOB=1，BOC=2（2=25°或

7、65°），則有cos=cos1·cos2因?yàn)?°190°，所以0coscos2當(dāng)2=25°時(shí)，由0coscos25°，得25°90°；當(dāng)2=65°時(shí)，由0coscos65°，得65°90°故當(dāng)<25°時(shí)，直線l不存在；當(dāng)=25°時(shí)，直線l有且僅有1條；當(dāng)25°<<65°時(shí)，直線l有且僅有2條；當(dāng)=65°時(shí)，直線l有且僅有3條；當(dāng)65°<<90°時(shí)，直線l有且僅有4條；當(dāng)=90&

8、#176;時(shí)，直線l有且僅有1條點(diǎn)評：異面直線所成的角就是選點(diǎn)、平移后的平面角上述解答首先將問題轉(zhuǎn)化為：求過點(diǎn)O與a1、b1均成角的直線的條數(shù)，進(jìn)而通過討論的范圍去確定直線l的條數(shù)例4 如下圖，設(shè)ABC和A1B1C1的三對對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且= 試求的值解：依題意，因?yàn)锳A1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1， ABCA1B1C1， 所以=（）2=點(diǎn)評：利用平移定理，可證明空間兩個(gè)角相等或兩個(gè)三角形相似、全等；利用平行公理，可證明空間兩條直線平行，從而解決相關(guān)問

9、題例5 已知水平平面內(nèi)的兩條相交直線a, b所成的角為，如果將角的平分線繞著其頂點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)作上下轉(zhuǎn)動， 轉(zhuǎn)動到離開水平位值的處，且與兩條直線a,b都成角，則與的大小關(guān)系是（ ） A 或 B >或 < C > D <已知異面直線a,b所成的角為70,則過空間一定點(diǎn)O,與兩條異面直線a,b都成60角的直線有 ( )A 1條 B 2條 C 3條 D 4條異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點(diǎn)O,過點(diǎn)O有3條直線與a,b所成角都是60°,則的取值可能是( )A 30° B 50° C 60° D 90°一個(gè)凸多面體有8個(gè)

10、頂點(diǎn)，如果它是棱錐，那么它有 條棱， 個(gè)面；如果它是棱柱，那么它有 條棱 個(gè)面分析與解答: 如圖所示, 易知直線上點(diǎn)在平面上的射影是點(diǎn)B,過點(diǎn)B作BCb,則ACb 在RtOBC和RtOAC中，,=顯然，AC>BC,tan> tan,又、（0，故選C如圖所示，過空間一點(diǎn)O分別作a,b, 則構(gòu)成角或 70所求直線即為過點(diǎn)O且與都成60角的直線當(dāng)=110，將兩對對頂角的平分線繞O點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，總能得到與 都60角的直線兩條當(dāng)=70時(shí)，同理故 過點(diǎn) O與a,b都成60角的直線有4條，從而選 D 過點(diǎn)O分別作a,b,則過點(diǎn)O有三條直線與a,b所成角都為60，等價(jià)于過點(diǎn)O有三條直線與

11、 所成角都為60，如圖所示，則=60， ，此時(shí)過點(diǎn) O有三條直線與所成角都為60其中一條正是角的平分線如果它是棱錐，則是七棱錐，有14條棱，8個(gè)面如果它是棱柱，則是四棱柱，有12條棱，6個(gè)面點(diǎn)評： 本題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位直關(guān)系，考查空間想象和轉(zhuǎn)化能力，以及周密的分析問題和解決問題小結(jié)：1本節(jié)重點(diǎn)問題是證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)以及求異面直線所成的角2證明三點(diǎn)均在兩個(gè)平面的交線上，可以推證三點(diǎn)共線；求異面直線所成的角，一般先取一個(gè)特殊點(diǎn)作它們的平行線，作出所求的角或其補(bǔ)角，再解三角形學(xué)生練習(xí) 1若a，b是異面直線，則只需具備的條件是Aa平面，b平面，a與b不平行Ba

12、平面，b平面，=l，a與b無公共點(diǎn)Ca直線c，bc=A，b與a不相交Da平面，b 是的一條斜線答案：C2如下圖，直線a、b相交于點(diǎn)O且a、b成60°角，過點(diǎn)O與a、b都成60°角的直線有A1條 B2條 C3條 D4條解析：在a、b所確定的平面內(nèi)有一條，平面外有兩條答案：C3如下圖，正四面體SABC中，D為SC的中點(diǎn)，則BD與SA所成角的余弦值是A B C D解析：取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、BE，則DESA，BDE就是BD與SA所成的角設(shè)SA=a，則BD=BE= a，DE= a，cosBDE= 答案：C4正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a， 那么（1）哪些棱所在直線與直

13、線BA1成異面直線:_（2）直線BA1與CC1所成角的大小為_（3）直線BA1與B1C所成角的大小為_（4）異面直線BC與AA1的距離為_（5）異面直線BA1與CC1的距離是_答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45° （3）60° （4）a （5）a5正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是_解析：連結(jié)FE1、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)可得FE1BC1，在EFD中，EF=ED=1，F(xiàn)ED=120°，F(xiàn)D=在EFE1和EE1D中，易得E1F=E1D=，E1FD

14、是等邊三角形，F(xiàn)E1D=60°而FE1D即為E1D與BC1所成的角答案：60°6兩條相交直線l、m都在平面內(nèi)且都不在平面內(nèi)命題甲：l和m中至少有一條與相交，命題乙：平面與相交，則甲是乙的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件D非充分非必要條件解析：若l和m中至少有一條與相交，不妨設(shè)l=A，則由于l，A而A，與相交反之，若=a，如果l和m都不與相交，由于它們都不在平面內(nèi)，l且mla且ma，進(jìn)而得到lm，與已知l、m是相交直線矛盾因此l和m中至少有一條與相交答案：C7在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)，那么

15、異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于( )A B C D解法一：取面CC1D1D的中心為H，連結(jié)FH、D1H在FHD1中，F(xiàn)D1=，F(xiàn)H=，D1H=由余弦定理，得D1FH的余弦值為解法二：取BC的中點(diǎn)G連結(jié)GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連結(jié)HE、OH，則OEH為異面直線所成的角在OEH中，OE=，HE=，OH=由余弦定理，可得cosOEH=答案：B8四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD=2AB=2，EFAB，則EF與CD所成的角等于_解析：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，易知EG=1，F(xiàn)G=由EFAB及GFAB知EFFG在RtEFG中，求得GEF=30°，即為

16、EF與CD所成的角答案：30°9在正四棱錐PABCD中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°，則異面直線PA與BC所成角的大小等于_（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）答案：arctan210設(shè)不全等的ABC與A1B1C1不在同一平面內(nèi)，且ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1求證：AA1、BB1、CC1三線共點(diǎn)證明：不妨設(shè)ABA1B1，AA1BB1=S，BCB1C1，BB1面BCC1B1，S面BBC1B1同理，S面ACC1A1SCC1，即AA1、BB1、CC1三線共點(diǎn)于S11在三棱錐ABCD中，AD=BC=2a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF=a，求AD與BC所成的角解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MF，則MEBC，MFAD，所以EMF（或其補(bǔ)角）是直線AD與BC所成的角在EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cosEMF=，EMF=120°，因此異面直線AD與BC所成的角為60°12在三棱錐PABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分別是PC和AB上的點(diǎn)且PEEC=AFFB=32（1）求證：PABC；（2）設(shè)EF與PA、BC所成的角分別為、，求證：+=90°證明：（1）取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD則BC平面ADP，AP平面ADP，APBC（2）在AC上取點(diǎn)G，使AGGC=32