現(xiàn)代控制理論第4章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

1、v4.1 概述概述v4.2 李亞普諾夫第二法的概述李亞普諾夫第二法的概述v4.3 李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)v4.4 線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析v小結小結第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 是指系統(tǒng)在零輸入條件下通過其內(nèi)部狀態(tài)變化所定義是指系統(tǒng)在零輸入條件下通過其內(nèi)部狀態(tài)變化所定義的內(nèi)部穩(wěn)定性，即的內(nèi)部穩(wěn)定性，即。內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性。內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。 對于同一個線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定對于同一個線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定義

2、才具有等價性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性，只和系統(tǒng)義才具有等價性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性，只和系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)有關，與輸入本身的結構和參數(shù)有關，與輸入-輸出無關。輸出無關。4.1 引言引言 是控制系統(tǒng)能否正常工作的前提條件。控制系是控制系統(tǒng)能否正常工作的前提條件。控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常有兩種定義方式：統(tǒng)的穩(wěn)定性通常有兩種定義方式：現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩(wěn)定性，即的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩(wěn)定性，即。外部穩(wěn)

3、定性只適用于線性系統(tǒng)。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)。 研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法：研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法：現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 經(jīng)典控制理論：經(jīng)典控制理論：勞斯勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) 現(xiàn)代控制理論：李亞普諾夫穩(wěn)定性現(xiàn)代控制理論：李亞普諾夫穩(wěn)定性第一法第一法第二法第二法 李亞普諾夫第一法又稱間接法。它的基本思路是通過李亞普諾夫第一法又稱間接法。它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定

4、性判斷；對于非統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷；對于非線性不很嚴重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近線性不很嚴重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定性。 以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。性。但從工程意義上看，更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 漸進穩(wěn)定的充要條

5、件是系統(tǒng)矩陣漸進穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特的所有特征值均具有負實部。征值均具有負實部。CXyBuAXX0eX),(CBA1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)遞函數(shù) 的極點全部位于的極點全部位于s的左半平面。的左半平面。BAsICsW1)()(),(CBA 如果系統(tǒng)對于有界輸入如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出所引起的輸出y是有界的，則是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。例題例題4.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為系統(tǒng)的狀

6、態(tài)空間描述為試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。XyuXX01111001現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析解解：(1)由由A陣的特征方程陣的特征方程可得特征值可得特征值 ， 。故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。(2)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 可見傳遞函數(shù)的極點可見傳遞函數(shù)的極點 位于位于s的左半平面，故系統(tǒng)的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。這是因為具有正實部的特征值輸出穩(wěn)定。這是因為具有正實部的特征值 被系統(tǒng)的零被系統(tǒng)的零點點 對消了，所以在系統(tǒng)的輸入輸出特性中沒被表現(xiàn)出對消了，所以在系統(tǒng)的

7、輸入輸出特性中沒被表現(xiàn)出來。由此可見，只有當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)來。由此可見，只有當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W(s)不出現(xiàn)零、極不出現(xiàn)零、極點對消現(xiàn)象，并且矩陣點對消現(xiàn)象，并且矩陣A的特征值與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征值與系統(tǒng)傳遞函數(shù)W(s)的的極點相同，此時系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性一致。極點相同，此時系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性一致。0) 1)(1(AI111211) 1)(1(111100101)()(11ssssssBAsICsW1s121s 現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 李亞普諾夫第二方法又稱直接法。它的基本思想不是李亞普諾夫第二方法又稱直接法。它的

8、基本思想不是通過求解系統(tǒng)的運動方程，而是借助了一個李亞普諾夫函通過求解系統(tǒng)的運動方程，而是借助了一個李亞普諾夫函數(shù)來直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷，它是從能量數(shù)來直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷，它是從能量觀點進行穩(wěn)定性分析的。如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存觀點進行穩(wěn)定性分析的。如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨著時間的推移逐漸衰減，到達平衡狀態(tài)時，能量的能量隨著時間的推移逐漸衰減，到達平衡狀態(tài)時，能量將達最小值，那么，這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。反之，將達最小值，那么，這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，那么這如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來

9、越大，那么這個平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也個平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，那么這個平衡狀態(tài)就是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。不消耗，那么這個平衡狀態(tài)就是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。4.2 李亞普諾夫第二法的概述李亞普諾夫第二法的概述 1892年俄國學者李亞普諾夫發(fā)表了年俄國學者李亞普諾夫發(fā)表了運動穩(wěn)定性一般運動穩(wěn)定性一般問題問題，最早建立了運動穩(wěn)定性的一般理論，并把分析常，最早建立了運動穩(wěn)定性的一般理論，并把分析常微分方程組穩(wěn)定性的全部方法歸納為兩類。第一類方法先微分方程組穩(wěn)定性的全部方法歸納為兩類。第一類方法先求出常微分方程組的解，而后分析其解運動的穩(wěn)定性

10、，稱求出常微分方程組的解，而后分析其解運動的穩(wěn)定性，稱為間接方法；第二類方法為間接方法；第二類方法不必求解常微分方程組，不必求解常微分方程組，而是提而是提供出解運動穩(wěn)定性的信息，稱為直接方法，供出解運動穩(wěn)定性的信息，稱為直接方法，它是從能量觀它是從能量觀點提供了判別所有系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。點提供了判別所有系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受外界干擾后，平衡狀態(tài)被破壞，但穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受外界干擾后，平衡狀態(tài)被破壞，但當干擾去掉后，系統(tǒng)仍能自動地回到

11、平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作。當干擾去掉后，系統(tǒng)仍能自動地回到平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，不具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，不具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。為不穩(wěn)定系統(tǒng)。1、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性一、物理基礎一、物理基礎現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析2、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)、系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 設系統(tǒng)為設系統(tǒng)為 ，其中，其中 ，則，則 ，對于該系統(tǒng)，如果存在對所有時間對于該系統(tǒng)，如果存在對所有時間t都滿足都滿足 的狀態(tài)的狀態(tài) ，即即 ，則把，則把 叫做系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。叫做系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。nxxxX210X),(tXfX eX0),(tX

12、fXee),(),(),(),(2211txftxftxftXfnneX 對于線性定常系統(tǒng)對于線性定常系統(tǒng) 而言，其平衡狀態(tài)滿足而言，其平衡狀態(tài)滿足 ，若，若A是非奇異矩陣，則只有是非奇異矩陣，則只有 ，即對線性，即對線性系統(tǒng)而言平衡狀態(tài)只有一個，在坐標原點；反之，則有無系統(tǒng)而言平衡狀態(tài)只有一個，在坐標原點；反之，則有無限多個平衡狀態(tài)。限多個平衡狀態(tài)。 對于非線性系統(tǒng)而言，平衡狀態(tài)不只一個。對于非線性系統(tǒng)而言，平衡狀態(tài)不只一個。AXX 0eX0eeAXX 李亞普諾夫第二法建立在這樣一個直觀的物理事實上：李亞普諾夫第二法建立在這樣一個直觀的物理事實上：如果一個系統(tǒng)的某個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即如

13、果一個系統(tǒng)的某個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即 ，那么隨著系統(tǒng)的運動，其儲存的能量將時間，那么隨著系統(tǒng)的運動，其儲存的能量將時間的增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值。的增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值。etXXim現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析3、李亞普諾夫第二法、李亞普諾夫第二法 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng) 建立一個能量函數(shù)建立一個能量函數(shù) ，即，即 對于任意對于任意 時，時， ，而，而 ，且僅當，且僅當 時，時，才有才有 ，則系統(tǒng)，則系統(tǒng) 是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。0)(XVeXX ),()(21nxxxVXV),(tXfX 0)()(XVXV

14、),(tXfX eXX 0)(XV)(XV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 由此，李亞普諾夫第二法可歸結為：在不直接求解的由此，李亞普諾夫第二法可歸結為：在不直接求解的前提下，通過李亞普諾夫函數(shù)前提下，通過李亞普諾夫函數(shù) 及其對時間的一次導及其對時間的一次導數(shù)數(shù) 的定號性，就可以給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信的定號性，就可以給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息。息。),(tXV),(tXV 因此，應用李亞普諾夫第二法的關鍵在于能否找到一因此，應用李亞普諾夫第二法的關鍵在于能否找到一個合適的李亞普諾夫函數(shù)個合適的李亞普諾夫函數(shù)(即即)。4、能量函數(shù)、能量函數(shù) 廣義

15、能量函數(shù)廣義能量函數(shù) 稱為李亞普諾夫函數(shù)，如果其不稱為李亞普諾夫函數(shù)，如果其不顯含時間顯含時間t，就記成，就記成 。)(XV),(tXV 設設 為任一標量函數(shù)，其中為任一標量函數(shù)，其中X為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，如果如果 具有以下性質(zhì)：具有以下性質(zhì)：(1) 是連續(xù)的；是連續(xù)的；(2) 是正定的；是正定的；(3)當當 時，時， 。那么函數(shù)那么函數(shù) 稱為李亞普諾夫函數(shù)。稱為李亞普諾夫函數(shù)。 dtXdVXV)()()(XVX)(XV)(XV)(XV)(XV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 反映能量的變化趨勢反映能量的變化趨勢反映能量的大小反映能量

16、的大小反映能量的分布反映能量的分布 李亞普諾夫函數(shù)的選取不唯一，多數(shù)情況下可取為二李亞普諾夫函數(shù)的選取不唯一，多數(shù)情況下可取為二次型，因此二次型及其定號性是該理論的數(shù)學基礎。次型，因此二次型及其定號性是該理論的數(shù)學基礎?，F(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析1、二次型函數(shù)的定義及其表達式、二次型函數(shù)的定義及其表達式二、二次型及其定號性二、二次型及其定號性(1) 二次型函數(shù)的定義二次型函數(shù)的定義 在代數(shù)式中我們常見一種多項式函數(shù)如下在代數(shù)式中我們常見一種多項式函數(shù)如下其中每項的次數(shù)都是二次的，這樣的多項式稱為二次齊次其中每項的次數(shù)都是二次的，這樣的多項式稱為

17、二次齊次多項式或二次型。以上只是對含有多項式或二次型。以上只是對含有2個變量個變量x、y的二次函的二次函數(shù)來說的，如果將變量個數(shù)擴展到數(shù)來說的，如果將變量個數(shù)擴展到n，仍具有相同的含義。，仍具有相同的含義。222),(cybxyaxyxf現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 n個變量個變量 的二次其次多項式為的二次其次多項式為稱為二次型函數(shù)，即二次型。式中稱為二次型函數(shù)，即二次型。式中 為二次型系數(shù)。為二次型系數(shù)。),(),(1,222112222221221112112211121jiaaxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxVj

18、iijnjijiijnnnnnnnnnnnnnxxx,21ija 由二次型函數(shù)的定義可寫成由二次型函數(shù)的定義可寫成PXXxxxaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxxxVTnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn2121222211121121221122221211212111212211222212121212111121)()()(),(現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析(2) 二次型函數(shù)的矩陣表達式二次型函數(shù)的矩陣表達式現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章

19、李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 其中其中 ，P稱為二次型的矩陣。稱為二次型的矩陣。 即即P為對稱矩陣。為對稱矩陣。 顯然二次型顯然二次型 完全由矩陣完全由矩陣P確定且確定且P的秩稱的秩稱為二次型的秩。為二次型的秩。nnnnnnaaaaaaaaaP212222111211TjiijPPaa),(21nxxxV例題例題4.221211221222121222121411104102410),(xxxxxxxxxxxxxxxxV V(X)是向量是向量X的標量函數(shù)。的標量函數(shù)?，F(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析2、標量函數(shù)、標量函數(shù)V(X)的定號性的

20、定號性 如果對任意非零向量如果對任意非零向量 ，恒有，恒有 ，且僅當且僅當 時時 ，則稱，則稱 為正定的。即為正定的。即0)(XV)0(XX0)(XV0X)(XV00)(00)(XXVXXV(1) 正定性正定性例題例題4.322212)(xxXV 當當 時，時， ； 當當 時，時， 。所以，。所以，V(X)是正定的。是正定的。0)(XV0, 021xx0)(XV0, 021xx現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 如果對任意非零向量如果對任意非零向量 ，恒有，恒有 0，且僅當且僅當 時時 ，則稱，則稱 為正半定的。即為正半定的。即 00)(XV)0(XX

21、)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV(2) 正半定性正半定性(準正定準正定)例題例題4.4221)()(xxXV 當當 時，時， ； 當當 但但 時，時， 。所以，所以，V(X)是正半定的。是正半定的。0)(XV0, 021xxaxax21,0, 021xx0)(XV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析(3) 負定性負定性例題例題4.5)()(2221xxXV 當當 時，時， ； 當當 時，時， 0。所以，所以，V(X)是負定的。是負定的。0)(XV0, 021xx0, 021xx)(XV 如果對任意非零向量如果對任意非零向量 ，恒有，恒有 0

22、，且僅當且僅當 時時 ，則稱，則稱 為正定的。即為正定的。即 00)(XV)0(XX)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 如果對任意非零向量如果對任意非零向量 ，恒有，恒有 0，且僅當且僅當 時時 ，則稱，則稱 為負半定的。即為負半定的。即 00)(XV)0(XX)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV(4) 負半定性負半定性(準負定準負定)例題例題4.6221)()(xxXV 當當 時，時， ； 當當 但但 時，時， 。所以，所以，V(X)是負半定的。是負半定的。0)(XV0, 021xxaxax21

23、,0, 021xx0)(XV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 如果在某個鄰域內(nèi)，如果在某個鄰域內(nèi)， 即可為正值也可為負值，即可為正值也可為負值，則稱則稱 為不定的。為不定的。)(XV)(XV(5) 不定性不定性例題例題4.72221)(xxxXV 若若 ，則，則 ； 如果如果ab，V(X)0；ba，V(X)0。所以，所以，V(X)是不定的。是不定的。2)(babXVbaX 對于對于P為實對稱矩陣的二次型函數(shù)為實對稱矩陣的二次型函數(shù)V(X)的定號性，可的定號性，可用關于矩陣定號性的賽爾維斯特定理來判定。用關于矩陣定號性的賽爾維斯特定理來判定?，F(xiàn)代控制理

24、論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析3、二次型標量函數(shù)定號性判別準則、二次型標量函數(shù)定號性判別準則(1) 實對稱矩陣實對稱矩陣P為正定的充要條件是為正定的充要條件是P的各階主子行列式的各階主子行列式均大于均大于0。即。即000212222111211222112112111nnnnnnnaaaaaaaaaPaaaaa, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 這個定理稱為這個定理稱為賽爾維斯特賽爾維斯特定理定理定理定理4.2 4.2 對稱矩陣對稱矩陣 為正定的充分必要條件

25、是：為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即的各階主子式為正，即AA對稱矩陣對稱矩陣 為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負，而偶數(shù)階主子式為正，即子式為負，而偶數(shù)階主子式為正，即A現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì);,A, . 1 1T定定矩矩陣陣均均為為正正則則為為正正定定實實對對稱稱陣陣設設 AAA., . 2 矩矩陣陣也也是是正正定定則則階階正正定定矩矩陣陣均均為為若若BAnBA 現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性

26、分析例例4.104.10 判別二次型判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩陣為的矩陣為f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.2.f根據(jù)定理4 知 為負定,402062225 A現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析4.1 李亞普諾夫關于李亞普諾夫關于穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾

27、夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

28、李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)

29、定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析v例例4.6 系統(tǒng)方程為 v v 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。v解：解： 原點為平衡狀態(tài)，選取李氏函數(shù) 1221xx

30、Kxxv v在任意x 值上均可保持為零，則系統(tǒng)在原點處是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的。 02222),()(),(212122112221 xKxxKxxKxxxtXVKxxtXV),(tXV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析的穩(wěn)定性試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)系統(tǒng)例212211:7 . 4xxxxxx0000, 01212121eexxxxxxx得）由解：（該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。）（）（則選0222222)(0)()2(222121221122112221xxxxxxxxxxxxxVxxxV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李

31、亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析4.4 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析：選擇二次型函數(shù)選擇二次型函數(shù) 為李氏函數(shù)。為李氏函數(shù)。v目的目的：將李氏第二法定理來分析線性定常系統(tǒng)將李氏第二法定理來分析線性定常系統(tǒng) 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性PxxxVT )(QxxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxPxxxVTTTTTTTT )()()()(負定負定正定正定由上一節(jié)討論的判據(jù)知道系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，故有以下判據(jù)：由上一節(jié)討論的判據(jù)知道系統(tǒng)

32、漸近穩(wěn)定，故有以下判據(jù)：Axx 一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析且標量函數(shù)且標量函數(shù) 就是系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)。就是系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)。：線性連續(xù)定常系統(tǒng)：線性連續(xù)定常系統(tǒng)： 在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 處漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定處漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定對稱矩陣一個正定對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣，存在一個正定實對稱矩陣P，使?jié)M足：使?jié)M足： Axx QPAPAT 0 exPxxxVT )(現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 1）因為）

33、因為正定對稱矩陣正定對稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終判斷的形式可任意給定，且最終判斷結果和結果和Q的不同形式選擇無關，所以通常取的不同形式選擇無關，所以通常取 。IQ 2）該定理闡述的條件，是充分且必要的。）該定理闡述的條件，是充分且必要的。 3）如果）如果 除了在除了在 時有時有 外，外， 不恒等于零不恒等于零, 則則由上一節(jié)判據(jù)由上一節(jié)判據(jù)可知，可知，Q可可 取做取做半正定半正定。為計算簡單，此時為計算簡單，此時Q可取作如下矩陣：可取作如下矩陣：QxxxVT )( 100000000Q0 x0)( xV)(xV現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析應

34、用定理判穩(wěn)步驟：應用定理判穩(wěn)步驟：一個李氏函數(shù)，為系統(tǒng)的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且，是否正定。若判據(jù)，判由。，求出由。，取設。，通常確定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)PxxxVPPSylvesterPIPAPAIQPxxxVxxTTTee)(0)4()3()()2(0) 1 (現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析11220322xxxxA設二階系統(tǒng)的方程為為非奇異，原點是一個唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)例的穩(wěn)定性。(),()(),TTTVxxP x VxxQxQIAPP AI 設取， 則解 ：10012322322323221001232023202221222111212212

35、211122212221121122211211pppppppppppppppppppp現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析10014622322342212221211221211121221ppppppppppp，對稱85414112785127411460223142221121122112112221222121112ppppPPpppppppppp陣為，將矩陣方程展開現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析22212122211211118521127)(016196358541411270127xxxxPx

36、xxVPpppppT的系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定是正定的，根據(jù)賽爾維斯特準則：現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 用李氏第二法，求使下列系統(tǒng)穩(wěn)定的用李氏第二法，求使下列系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。值。 2xuy1x1 sk3x21 ss11、寫出狀態(tài)空間表達式、寫出狀態(tài)空間表達式 ky 2x2 u1x1 3x現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,0010120010321321ukxxxkxxx 321001xxxy狀態(tài)空間狀態(tài)空間描述為：描述為：2、用李氏第二法判穩(wěn)（令、用李氏第二法判穩(wěn)（令u=0）狀態(tài)狀態(tài)所以原點是其唯一平衡所

37、以原點是其唯一平衡, 0| kA1）Q能不能取做半正定？能不能取做半正定？ 100000000QQ可以取半正定：可以取半正定：所以所以0)(,)(23不恒等于不恒等于故故xVxQxxxVT 2）計算使實對稱矩陣）計算使實對稱矩陣P為正定的為正定的k值范圍值范圍由判據(jù)由判據(jù)4 得：得：QPAPAT 現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 1000000001012001010120010332313232212131211333231232221131211kppppppppppppppppppkT注意注意：P為正定實對稱矩陣。為正定實對稱矩陣。 kkkkk

38、kkkkkkkkkP212621202122123212602126212122解得：解得：根據(jù)賽爾維斯特法則：如果根據(jù)賽爾維斯特法則：如果P正定，則正定，則12-2k0，且，且k0 所以系統(tǒng)穩(wěn)定的所以系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍為值范圍為0k6現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析二、線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析二、線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 則系統(tǒng)在平衡點則系統(tǒng)在平衡點Xe=0Xe=0處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于任意給定的對稱正定矩陣任意給定的對稱正定矩陣Q Q，都存在對稱正定矩陣，都存在對稱正定矩陣P P，使得：使得：)()1(kGxkx QPPGGT 且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是：且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是： )()()(kPxkxkxVT 現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第第4章章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析：代替，則有：的導數(shù)用對于線性離散時間系統(tǒng))()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT