從Durer魔方跨入線性代數思維之門

1、12Drer魔方魔方：4階，每一行之階，每一行之和為和為34，每一列之和為，每一列之和為34，對角線（或次對角線）之和對角線（或次對角線）之和是是34，每個小方塊中的數字，每個小方塊中的數字之和是之和是34，四個角上的數字，四個角上的數字加起來也是加起來也是34.版畫創(chuàng)造時版畫創(chuàng)造時間：間：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！Drer魔方魔方什么是什么是Drer魔方魔方 該魔方出現在德國著該魔方出現在德國著名的藝術家名的藝術家 Albrecht Drer于于1514年創(chuàng)造的年創(chuàng)造的版畫版畫Melancolia。134階階Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=對角線（或次對對角

2、線（或次對角線）之和角線）之和=每個小方塊之和每個小方塊之和= 四個角之和四個角之和.銅幣鑄造時銅幣鑄造時間：間：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！你想構造你想構造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個？魔方有多少個？如何構造所有的如何構造所有的D Drerrer魔方？魔方？什么是什么是Drer魔方魔方 110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7和為和為48.2Drer魔方魔方44階階Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=對角線（或次對對角線（或次對角線）之和角線）之和=每個小方塊之和每個小方塊之和= 四個角之和四個角

3、之和.你想構造你想構造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個？魔方有多少個？如何構造所有的如何構造所有的D Drerrer魔方？魔方？什么是什么是Drer魔方魔方 A=B=設設A,B是任意兩個是任意兩個Drer 魔方，魔方，對任意實數對任意實數k，kA 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？ A+B 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 73Drer魔方魔方5你想構造你想構造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個？魔方有多少個？如何構造所有的如何構造所有的D Drerrer魔方？魔方？設設A,

4、B是任意兩個是任意兩個Drer 魔方，魔方，對任意實數對任意實數k，kA 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？ A+B 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？松馳問題的討論松馳問題的討論允許構成魔方的數取任意實數允許構成魔方的數取任意實數任意兩個任意兩個Drer魔方的任意魔方的任意的線性組合仍是的線性組合仍是Drer魔方。魔方。記記 D=A=(aij) R44|A為為Drer魔方魔方 將將A看成看成16維列向量，則維列向量，則D構成一構成一個向量空間，稱為個向量空間，稱為Drer魔方空間魔方空間.無窮多個無窮多個求出魔方空間的一組基求出魔方空間的一組基,基的任意線性組合都構基的任意線性組合都構成一個成一個Dre

5、r魔方魔方.4Drer魔方空間魔方空間6令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對角線和，為對角線和，S為小方塊和為小方塊和類似于類似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來構造一來構造一些些R=C=D=S=1的的最簡單的方陣。最簡單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基5Drer魔方空間魔方空間71在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當第二行的兩種取法。當第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個不同的最個不同的最簡方陣，稱為基本魔方簡方陣，稱為基本

6、魔方Q1,Q8 令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對角線和，為對角線和，S為小方塊和為小方塊和類似于類似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來構造一來構造一些些R=C=D=S=1的的最簡單的方陣。最簡單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基Q1=000000000000000011116Drer魔方空間魔方空間800101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001

7、001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當第二行的兩種取法。當第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個不同的最個不同的最簡方陣，稱為基本魔方簡方陣，稱為基本魔方Q1,Q8 7Drer魔方空間魔方空間9 顯然，顯然， Drer空間中任何一個魔方空間中任何一個魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但來線性表示，但它們能否構成它們能否構成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？0010100001000001

8、1Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基8Drer魔方空間魔方空間1000101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q0001010010000

9、0108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基145823670QQQQQQQQ Q1,Q8線性相關線性相關 顯然，顯然， Drer空間中任何一個魔方空間中任何一個魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但來線性表示，但它們能否構成它們能否構成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？9Drer魔方空間魔方空間11Q1,Q2,Q8能否構成能否構成D空間的一組基？空間的一組基？00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q000

10、11000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基145823670QQQQQQQQ Q1,Q8線性相關線性相關由由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr0ir127,Q QQ線性無關。線性無關。Q1,Q7構成構成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.1012Q1,Q2,Q8能否構成能否構成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構成構成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQ

11、rQrD構造構造Albrecht Drer的數字魔方的數字魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16 3213510 11896712415 14 1=12345678,8,7,6,2,3,4rrrrrrr 122345678876234DQQQQQQQ 11Drer魔方空間魔方空間13Q1,Q2,Q8能否構成能否構成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構成構成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQr

12、QrQrQrQrD隨心所欲構造隨心所欲構造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =？=dij所得的線性方程組有所得的線性方程組有 個方程？個方程？ 個變量？個變量？1623如何求解該線性方程組呢？如何求解該線性方程組呢？12Drer魔方空間魔方空間14隨心所欲構造隨心所欲構造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13、0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016維變量維變量 y (A, E) = 0ry13Drer魔方空間魔方空間15 A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0

14、 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %變量變量r對應的系數矩陣對應的系數矩陣 C=A,-eye(16); %系數矩陣系數矩陣(A, E ) C1=rref(C) %求行最簡形求行最簡形C1=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

15、0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1

16、0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1

17、-10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4414Drer魔方空間魔方空間16隨心所欲構造隨心所欲構造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) Ar y = 016維變量維變量 y (A, E) = 0ry自由變量可取為自由變量可取為d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4416 3213510 11896712415 14 1110

18、 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 715Drer魔方空間魔方空間17%程序程序mymagic.m%輸入輸入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整個，得到整個Drer魔方魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1

19、0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %變量變量r對應的系數矩陣對應的系數矩陣 C=A,-eye(16); %系數矩陣系數矩陣(A, E ) x=null(C,r); %求齊次方程組的基礎解系求齊次方程組的基礎解系y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基礎解系的線性組合基礎解系的線性組合y=y(8:23,:); %y為為16維魔方向量維魔方向量D=vec2mat(y,4,4) %將將y轉化為轉化為4階魔方陣階魔方陣mymagicpl

20、ease input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:6 3 15 20 09 12 7隨心所欲構造隨心所欲構造Drer魔方魔方110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 716Drer魔方空間魔方空間18(2)任給任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一組值，就的一組值，就可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由變量的選取不唯

21、一自由變量的選取不唯一(3)任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也的一組值，也可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.1258611467101719還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？(3)任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也的一組值，也可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由變量的選取不唯一自由變量的選取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.如何選取自由變量？如何選取自由變量？由由x+2

22、6=x+24+d14.xx+2x+3x+46x 39x+54由由x+26=3x+24.可得可得 x = 1.1820還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？(3)任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也的一組值，也可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由變量的選取不唯一自由變量的選取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.如何選取自由變量？如何選取自由變量？由由x+26=x+24+d14.由由x+26=3x+24.可得可得 x = 1.1344755-381921

23、還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？能否將能否將Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再增強嗎？的限制再增強嗎？賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對角線和，為對角線和，S為小方塊和為小方塊和(1) 7維維Drer魔方空間魔方空間D D：R=C=D=S(2) 要求所有數都相等要求所有數都相等:一維向量空間一維向量空間 G G = rE,rR，其中其中eij=1, i,j.(3) 特別的，當特別的，當r =0: 0維向量空間維向量空間 O2022能否將能否將Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再增強嗎？的限制再增強嗎？Drer空間的子空間空間的子

24、空間能否將能否將Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再的限制再放寬放寬嗎？嗎？令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對角線和，為對角線和，S為小方塊和為小方塊和(1) 7維維Drer魔方空間魔方空間D D：R=C=D=S(2) 要求所有數都相等要求所有數都相等: 一維向量空間一維向量空間G G = rE,rR.(3) 特別的，當特別的，當r =0: 0維向量空間維向量空間 OO G G D D魔方空間魔方空間 維維 數數 0 1 7(4) 8維維魔方空間魔方空間Q Q：R=C=D(5) 16維維數字空間數字空間MM：數字可任意取值數字可任意取值 Q Q 8 MM 16和擴張和擴張21D

25、rer魔方空間魔方空間232. 培養(yǎng)觀察問培養(yǎng)觀察問題分析問題的題分析問題的能力能力1. 培養(yǎng)化繁為培養(yǎng)化繁為簡的思考模式簡的思考模式(1) 轉換思考轉換思考角度，訓練思角度，訓練思維的求異性維的求異性(2) 探討變換探討變換問問題的條件題的條件 3. 培養(yǎng)發(fā)散思培養(yǎng)發(fā)散思維維(4) 將結論作為將結論作為條件倒退條件倒退 (3) 培養(yǎng)多角度培養(yǎng)多角度看問題看問題 (5) 利用精煉的利用精煉的語言比擬語言比擬4. 培養(yǎng)培養(yǎng)歸納總結的歸納總結的能力能力2224根據根據1的取法，確定了的取法，確定了8個基本魔方個基本魔方Q1,Q8 求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1. 培養(yǎng)化繁為簡的思考模式培養(yǎng)

26、化繁為簡的思考模式類似于類似于n維空間的基本單位向量組，利用維空間的基本單位向量組，利用0和和1來構造一些來構造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。的最簡單的方陣。但是，但是，Q1,Q8線性相關，而任意線性相關，而任意7個都線性無關個都線性無關.可取可取Q1,Q7構成構成D空間的一組基，任空間的一組基，任意意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.憑空構造魔方空間的一組基是很難的憑空構造魔方空間的一組基是很難的2325分階段處分階段處理復雜問理復雜問題的題的“水水泵泵”思思維維化化繁為簡繁為簡1. 培養(yǎng)化繁為簡的思考模式培養(yǎng)化繁為簡的思考模式2426. 證明：證明： (1) (2)

27、 (3) = a11A11= aijAij25274階階Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=對角線（或次對角線）之和對角線（或次對角線）之和=每個小方塊每個小方塊之和之和= 四個角之和四個角之和.你想構造你想構造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個？魔方有多少個？如何構造所有的如何構造所有的D Drerrer魔方？魔方？允許構成魔方的數取任意實數允許構成魔方的數取任意實數任意兩個任意兩個Drer魔方的任意的線性組合仍是魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。魔方。D=A R44|A為為Drer魔方魔方 構成構成Drer魔方向量空間魔方向量空間.求求Drer魔方魔方空

28、間的一組基空間的一組基, 任意一個任意一個Drer魔方都可由這組基線性表示魔方都可由這組基線性表示.2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力2628十秒十秒鐘鐘加加數數3455891442333776109871597+2584?時間到時間到！答案是答案是 67106710。請請用十秒，用十秒，計算計算出出左左邊邊一一列數列數的的和和。272. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力29“斐波那契斐波那契數數列列”v若一若一個數個數列，列，前兩項前兩項等等于于1 1，而，而從從第三第三項項起，起，每一每一項項是是其其前前兩項兩項之和之和，則稱該數列為則稱該數列為

29、斐波那斐波那契契數數列列。即：。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 意大利數學家斐波那契的意大利數學家斐波那契的算盤書算盤書（1202年）年）282. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力30“十秒十秒鐘鐘加加數數”揭揭密密右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710v數學數學家家發(fā)現發(fā)現：連續(xù)連續(xù) 1010個個斐波斐波那契那契數數之和，必定之和，必定等于第等于第 7 7個個數數的的 11 11 倍！倍！292. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力31Fibonacci兔子問題

30、兔子問題 假設假設一一對對初生兔子要初生兔子要一個月一個月才到成熟才到成熟期，而一期，而一對對成熟兔子每月成熟兔子每月會會生一生一對對( (雌雄雌雄) )兔子，那兔子，那么么，由一，由一對對初生兔子初生兔子開開始，始，12 12 個個月月后會后會有多少有多少對對兔子呢？兔子呢？302. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題32解答解答1 1 月月 1 1 對對312. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題33解答解答1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對322. 培養(yǎng)觀察問題分析問

31、題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題34解答解答1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對332. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題35解答解答1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對342. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題36解答解答1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對5 5 月月 5

32、5 對對352. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題37解答解答1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對5 5 月月 5 5 對對6 6 月月 8 8 對對362. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題38解答解答1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對5 5 月月 5 5 對對6 6 月月 8 8 對對7 7 月月13 13 對對372. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力

33、培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題39 1)1) 分析問題、抓住本質、簡化。分析問題、抓住本質、簡化。 本質上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，本質上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為簡稱為大兔子大兔子；新生的兔子不能生殖，簡；新生的兔子不能生殖，簡稱為稱為小兔子小兔子；小兔子一個月就長成大兔子；小兔子一個月就長成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。求的是大兔子與小兔子的總和。 2 2）深入觀察發(fā)現規(guī)律）深入觀察發(fā)現規(guī)律 每月每月小兔小兔對數對數 =上個月上個月大兔大兔對數對數. 每月每月大兔大兔對數對數 =上個月上個月大兔大兔對數對數 +上個月上個月小兔小兔對數對

34、數.=上個月上個月大兔大兔對數對數 +上上個月上上個月大兔大兔對數對數.2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力382. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題40 1)1) 分析問題、抓住本質、簡化。分析問題、抓住本質、簡化。 本質上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，本質上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為簡稱為大兔子大兔子；新生的兔子不能生殖，簡；新生的兔子不能生殖，簡稱為稱為小兔子小兔子；小兔子一個月就長成大兔子；小兔子一個月就長成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。求的是大兔子與小兔子的總和。 2 2）深入觀察發(fā)現規(guī)律

35、）深入觀察發(fā)現規(guī)律 每月每月小兔小兔對數對數 =上個月上個月大兔大兔對數對數. 每月每月大兔大兔對數對數 =上個月上個月大兔大兔對數對數 +上個月上個月小兔小兔對數對數.= 前兩個月大兔對數之和前兩個月大兔對數之和. .2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力392. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力1 1）分析問題、抓住本質）分析問題、抓住本質41 月月 份份 大兔對數大兔對數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔對數小兔對數 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔子總數兔子總數 1 2 3 5 8 1

36、3 21 34 55 89 144 23312121,3,4,5nnnFFFFFn二階遞二階遞推公式推公式 2 2）深入觀察發(fā)現規(guī)律）深入觀察發(fā)現規(guī)律 每月每月小兔小兔對數對數 =上個月上個月大兔大兔對數對數. 每月每月大兔大兔對數對數 =上個月上個月大兔大兔對數對數 +上個月上個月小兔小兔對數對數.= 前兩個月大兔對數之和前兩個月大兔對數之和. .Fn2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力402. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力2 2）深入觀察發(fā)現規(guī)律）深入觀察發(fā)現規(guī)律42 3 3）深入研究問題）深入研究問題12121,3,4,5nnnFFFFFn二

37、階遞二階遞推公式推公式123214321FFFFFFFF由21320111FFFF可得23340111FFFF2120111FF 2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力412. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研究問題）深入研究問題43 3 3）深入研究問題）深入研究問題12121,3,4,5nnnFFFFFn二階遞二階遞推公式推公式因此23340111FFFF2120111FF 11120111nnnFFFF2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力422. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研

38、究問題）深入研究問題441 1）樹杈）樹杈的的數數目目13853211生活中的斐波那契數生活中的斐波那契數432. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數生活中的斐波那契數452 2）向日葵花盤內葵花子排列的螺線數）向日葵花盤內葵花子排列的螺線數 種子按順、逆時針的種子按順、逆時針的螺線排列，螺線排列，兩組螺兩組螺線的條數線的條數往往成往往成相相繼繼的兩個斐波那契的兩個斐波那契數，一般是數，一般是34和和55; 89和和144; 144和和233條螺線。條螺線。442. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數生活中的斐波那契數46

39、松果松果種種子的排列子的排列的螺線數的螺線數(8-13)452. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數生活中的斐波那契數47菜花表面排列的螺線數（菜花表面排列的螺線數（5 5- -8 8）462. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數生活中的斐波那契數48分析：分析： (1) 若若A是對角陣是對角陣 ，則易求，則易求 A = .A = P 1 Q 1 (2)一般方陣一般方陣A可與對角陣可與對角陣 相抵，即存相抵，即存在在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得 PAQ = . Ak = (P 1 Q 1) (P 1 Q 1)(P

40、1 Q 1)若若Q 1 =P ,則則 Ak =P 1 k Q 1 = Q k Q 1(3) 因此，當存在因此，當存在n階可逆陣階可逆陣Q, 使得使得 Q 1AQ = (對角陣對角陣 )時時, 易求易求方陣方陣Ak.此時稱方陣此時稱方陣A可與對角陣可與對角陣 相似。相似。2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力 3 3）深入研究問題）深入研究問題472. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研究問題）深入研究問題49問題：問題：當當A可與對角陣可與對角陣 相似相似, Q 與與 的關系如何的關系如何 ?當方陣當方陣A可與對角陣可與對角陣 相似，即相似，

41、即存在存在n階可逆陣階可逆陣Q, 使得使得 Q 1AQ = (對角陣對角陣 )時時, 易求易求方陣方陣Ak.QQ設設Q 的列向量為的列向量為q1, q2, , qn. 顯然顯然它們線性無關它們線性無關.2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力 3 3）深入研究問題）深入研究問題482. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研究問題）深入研究問題50(1)任給任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一組值，就的一組值，就可唯一確定可唯一確定Drer魔方魔方.Drer魔方空間魔方空間是是7維的維的.110 17 2011

42、26 5616 314 1520 09 12 7(1) 轉換思考角度，訓練思維的求異性轉換思考角度，訓練思維的求異性自由變量還有其他的選取方式嗎？自由變量還有其他的選取方式嗎？只要選取系數矩陣只要選取系數矩陣23列中列中16個線性無關的個線性無關的列，其余列，其余7列對應的變列對應的變量就可取為自由變量量就可取為自由變量.x32 xx+4x 117 xx 523 x 26 x3.3.培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維49511111111111111111A 求逆陣的方法：求逆陣的方法：(1) 定義法：定義法：AB=BA=E(1) 轉換思考角度，訓練思維的求異性轉換思考角度，訓練思維的求異性(2) 公式

43、法：公式法：A =A*/ |A| (3) 初等變換法：初等變換法：(A,E) (E,A )解：解：且且 A AT = A2 = 4E所以所以 A = A/ 43.3.培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維503. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(1) 轉換思考角度，訓練思維的求異性轉換思考角度，訓練思維的求異性52Drer空間的子空間和擴張空間的子空間和擴張(3) 7維維Drer魔方空間魔方空間D D：R=C=D=S(2) 要求所有數都相等要求所有數都相等: 一維向量空間一維向量空間G G = rE,rR.(1) 0維向量空間維向量空間 OO G G D D魔方空間魔方空間 維維 數數 0 1 7(4) 8維維魔

44、方空間魔方空間Q Q：R=C=D(5) 16維維數字空間數字空間MM：數字可任意取值數字可任意取值 Q Q MM 8 16(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 3.3.培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維513. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 53(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 ,0,n nARr Arn 0,B 證明：證明：(1)證：證： 設設 x 是是Ax = 0的非零解的非零解.,n nBR 0,AB 0.AB 令令B=(x,0,0),則則 .r Bn r (2)證證1： 設設 x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基礎解系的基礎解系.0

45、.AB 令令B=(x1,x2,xn-r),則則(2)證證2： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 則則523. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 54(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 ,0,n nARr Arn 0,B (3)證明：證明：,n nBR 0,AB .r Bn r (2)證證1： 設設 x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基礎解系的基礎解系.0.AB 令令B=(x1,x2,xn-r),則則(2)證證2： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣

46、階可逆陣P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 則則,BA (3)證：證： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得令令11n rOOPBQOE 0.ABBA 則則533. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 55ABBAE0Ax 只只有有零零解解Axb 有有唯唯一一解解n階方陣階方陣A可逆可逆 0A r An A與與E相抵相抵的行最簡形矩陣為的行最簡形矩陣為E. A = P1P2Ps, Pi為初等陣為初等陣. (3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 A的行的行(列列)向量組線性無關向量組線性無關 任一任一

47、n維向量維向量 都可由都可由行行(列列)向量組線性表示向量組線性表示A的的 A的行的行(列列)向量組的秩都是向量組的秩都是n.(非奇異陣、非退化陣非奇異陣、非退化陣)(滿秩滿秩) A的行的行(列列)向量組是向量組是Rn的基的基. A為為Rn的兩組基下的過渡矩陣的兩組基下的過渡矩陣. A的解空間的維數為的解空間的維數為0. A的列空間的維數為的列空間的維數為n.ATA543. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 560Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個的一個2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：證證1：| 0.A

48、(反證法反證法)則則A可逆可逆.121A AA A AE 產生矛盾產生矛盾.假設假設利用可逆性利用可逆性 (3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解553. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 570Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個的一個證證2：AE 利用利用 r(A)n. 0AE2AA 0A AE 0.A r Ar AEn 1r AE r Anr AEn 2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解563. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培

49、養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 580Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個的一個證證3：AE 利用齊次方程組有非零解利用齊次方程組有非零解. 0AE2AA 0A AE 0Ax 有有非非零零解解0.A 2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解573. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 590Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個的一個證證4：AE 利用利用A的一個的一個 0AE2AA 0A AE 0Ax 有有非非零零解解 所以所以A的一個的一個|0.iA 2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解583. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 600Ax 有有