32立體幾何中向量方法4

1、123A1B1C1D1ABCDn 4課本例課本例2的學習的學習 課本第課本第116116頁練習頁練習2 2的思考的思考:(:(求兩點間的距離向量法思路求兩點間的距離向量法思路) ) 如圖如圖,60,60的二面角的棱上有的二面角的棱上有A、B兩點兩點, ,直線直線AC、BD分別分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)在這個二面角的兩個半平面內(nèi), ,且都垂直且都垂直AB, ,已知已知AB4,4,AC6,6,BD8,8,求求CD的長的長. . BACD 5第第115頁的思考解答頁的思考解答(由學生課外學習由學生課外學習) 課本課本例例2.2.如圖甲站在水庫底面上的點如圖甲站在水庫底面上的點A A處，乙站在水壩

2、斜面上的點處，乙站在水壩斜面上的點B B處。從處。從A A，B B到直線到直線 （庫底與水壩的交線）的距離（庫底與水壩的交線）的距離ACAC和和BDBD分別為分別為 和和 ,CD,CD的長為的長為 , AB, AB的長為的長為 . .求庫底與水壩所成二面角的余弦值求庫底與水壩所成二面角的余弦值. . labcd分析：分析：如圖，如圖，. dABcCDbBDaAC ，化為向量問題化為向量問題由圖可知有向量關(guān)系由圖可知有向量關(guān)系A(chǔ)BACCDDB 進行向量運算嘗試進行向量運算嘗試22()ABAC CD DB 2222()ABCDBDAC CD AC DB CD DB ABCD 22222dacbCA

3、 DB 6課本第課本第115頁例頁例2的思考的思考(2) 如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？余弦值嗎？ 分析：分析：如圖，設(shè)以頂點如圖，設(shè)以頂點 為端點的對角線為端點的對角線長為長為 ，三條棱長分別為，三條棱長分別為 各棱間夾角為各棱間夾角為 。A1B1C1D1ABCDAd， cba 22211()dACABBCCC 2222()cosacbabbcac )(2cos 2222acbcabcbad

4、 則則7 課本第課本第115頁的思考頁的思考(3) 如果已知一個四棱柱的各棱長都等于如果已知一個四棱柱的各棱長都等于 ，并且以某一頂點為端，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于點的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個面，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個面夾角的余弦值嗎？夾角的余弦值嗎？a A1B1C1D1ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夾角向量的夾角回歸圖形回歸圖形 解：解：如圖，在平面如圖，在平面 AB1 內(nèi)過內(nèi)過 A1 作作 A1EAB 于點于點 E，EF在平面在平面 AC 內(nèi)作內(nèi)作 CFAB 于于 F。 cos sin 1aBFAEaCFEA ，則則1

5、1 coscos cos EAFCA ECF ，11|A E CFA ECF 122() ()sinA AAECBBFa 2222222coscoscos()coscos()cossinaaaaa cos1cos 可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。8向量法向量法(坐標化坐標化)不建坐標系怎么解不建坐標系怎么解zxyF1 1F2 2F3 3ACBO500kg910F1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO500kgF1 1F3 3F2 2111答案答案2答案答案CA1AB1B1C1D1FABCDS12A1AB1BC1C1D1Fxyz所以

6、：A1AB1B1C1D1F解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，設(shè) 則 11CC (1,0,0),(0,1,0),ABCxyzC) 1 ,21,21(),1 , 0 ,21(11DF) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11DBFA10302345| 141|1111DBFADBFA11cos,AF BD |所以所以 與與 所成角的余弦值為所成角的余弦值為1BD1AF103013ABCDS解： 建立空直角坐系A(chǔ)-xyz如所示,),0 ,21, 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)S) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (DSDC),0 ,21, 0(1DAnSBA的法向量易知，面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：設(shè)平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn。是即所求二面角的余弦值36xyz14zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnBAEC100n