函數(shù)的極值及其求法

1、關(guān)于函數(shù)的極值及其求法關(guān)于函數(shù)的極值及其求法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁(yè)，共32頁(yè)定義定義,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),0Dx ，的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域若存在若存在DxUx )(00使得使得),(0 xUx 有有)()(0 xfxf 則稱(chēng)則稱(chēng) 為為 的一個(gè)的一個(gè)極大值點(diǎn)極大值點(diǎn) (或或極小值點(diǎn)極小值點(diǎn) )0 x)(xf),)()(0 xfxf 或或極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極值 .1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì).2) 對(duì)常見(jiàn)函數(shù)對(duì)常見(jiàn)函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為

2、 0 或或 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)(稱(chēng)為稱(chēng)為可疑可疑極值點(diǎn)極值點(diǎn)) ). 稱(chēng)稱(chēng) 為為 的一個(gè)的一個(gè)極大值極大值 (或或極小值極小值 )(0 xf)(xf注意注意現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁(yè)，共32頁(yè)函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法定理定理1(1(函數(shù)取得極值的函數(shù)取得極值的必要條件必要條件)()(費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理) )定義定義.)()0)(的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)做做函函數(shù)數(shù)叫叫的的實(shí)實(shí)根根即即方方程程使使導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)xfxf 注意注意:( ),.f x可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)必必定定是是它它的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一定定是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)例如例如,3xy , 00 xy.0不不是

3、是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x)(xf0 x0 x. 0)(0 xf設(shè)設(shè)在點(diǎn)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), 且在且在處取得極值處取得極值,則則現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁(yè)，共32頁(yè)定理定理2 (2 (第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x 處連續(xù)處連續(xù) ,),(00 xxx ,0)( xf),(00 xxx, 0)( xf)(xf0 x(1) 若若 時(shí)時(shí), 而而時(shí)時(shí),則則在點(diǎn)在點(diǎn)處取得處取得極大值極大值;(2) 若若),(00 xxx 時(shí)時(shí), , 0)( xf而而),(00 xxx時(shí)時(shí),0)( xf則則)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處取得處取得極小值極

4、小值;),(0 xUx )(xf )(xf0 x(3) 若若時(shí)時(shí), 的符號(hào)相同的符號(hào)相同, 則則在點(diǎn)在點(diǎn)處處無(wú)極值無(wú)極值.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁(yè)，共32頁(yè)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :(1)( ),( );fxf x 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)并并求求出出的的全全部部駐駐點(diǎn)點(diǎn)與與不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)(2)( ),;fx 根根據(jù)據(jù)在在每每個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)或或不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)的的左左右右鄰鄰近近的的正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào) 判判斷斷是是否否為為極極值值點(diǎn)點(diǎn)(3).求求極極值值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁(yè)，共32頁(yè)例例1 1解解.593)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf963

5、)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁(yè)，共32頁(yè)593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁(yè)，共32頁(yè)例例2 2解解.)2(1)(32的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為x

6、ff .)(在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xfM現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁(yè)，共32頁(yè)32)1()(xxxf 的極值的極值 .解解 32)(xxf3132)1( xx35235xx 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn);521 x不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)02 xx)(xf )(xf05200233255( ) )0,(),0(52),(520 x是極大值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，其極大值為其極大值為0)0( f是極小值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，其極小值為其極小值為52 x23322555( )( )f 例例3 求函數(shù)求函數(shù)不存在不存在現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁(yè)，共32頁(yè)定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(0000)(lim)()(lim)(

7、00 xxxfxxxfxfxfxxxx , 0 0)(,0,000 xxxfxx時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)故故存存在在 ;0)(),(00 xfxxx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 所所以以，函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值 同理可證同理可證(2).;0)(),(00 xfxxx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 且且,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處 具有具有現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁(yè)，共32頁(yè)例例4 4解解.20243)(

8、23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁(yè)，共32頁(yè)Mm注意注意: :.2,)(,0)(00仍仍用用定定理理處處不不一一定定取取極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁(yè)，共32頁(yè)1)1()(32 xxf的極值的極值 . 解解: : ,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf令

9、令,0)( xf得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)1,0,1321 xxx因因,06)0( f故故 為極小值為極小值 ;0)0( f又又,0)1()1( ff故需用極值的第一充分條件來(lái)判別故需用極值的第一充分條件來(lái)判別.( )1,fxx 由由于于在在左左右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不變變號(hào)號(hào)( )1.f xx 在在沒(méi)沒(méi)有有極極值值1xy1例例5. 求函數(shù)求函數(shù)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁(yè)，共32頁(yè),0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)( xfn則則1) 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),n2) 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí),n0 x為極值點(diǎn)為極值點(diǎn) , 且且0 x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn) , )()()(000 xxxfxfxfnnx

10、xnxf)(!)(00)( )(0nxxo )()(!)()(000)(0nnnxxoxxnxfxf 證證定理定理4,0)(0)( xfn若若設(shè)設(shè) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處 具有具有n 階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)(0)( xfn若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x 點(diǎn)點(diǎn) 為拐點(diǎn)為拐點(diǎn) 。)(,(00 xfx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁(yè)，共32頁(yè)0)()()(lim000 nxxxxxfxf則則, 0)(0 nxx0)()()(00 nxxxfxf)()(0 xfxf !)()()()(lim0)(000nxfxxxfxfnnx

11、x ,0)(0)( xfn若若時(shí)，有時(shí)，有使當(dāng)使當(dāng)),(, 00 xUx 故故1) 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),n由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性, ,知知又又得得故故 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 。)(xf0 x,0)(0)( xfn若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x同理可證，同理可證，2) 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí),n可證可證 在在 點(diǎn)鄰近兩點(diǎn)鄰近兩 )()(0 xfxf 0 x 側(cè)異號(hào)側(cè)異號(hào), 故故 在點(diǎn)在點(diǎn) 不取極值不取極值 。)(xf0 x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁(yè)，共32頁(yè) )()()(000 xxxfxfxf200)()(!)2()( nnxxnxf)(20 nxxo)()(

12、!)2()(20200)( nnnxxoxxnxf故故!)2()()()(lim0)(200 nxfxxxfnnxx 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí),n可證可證 在在 點(diǎn)鄰近兩側(cè)異號(hào)點(diǎn)鄰近兩側(cè)異號(hào), )(xf 0 x故點(diǎn)故點(diǎn) 為拐點(diǎn)為拐點(diǎn) 。)(,(00 xfx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁(yè)，共32頁(yè)設(shè)設(shè) ,cossin)(xaxxxf 其中其中a 為常數(shù)為常數(shù) .證明證明: : 2 a時(shí)時(shí), , f (0) 為為 f (x)的極小值的極小值 ;2 a時(shí)時(shí), , f (0) 為為 f (x)的極大值的極大值 .證證 xaxxxxfsincossin)( ,0)0( f,cossin)1(xxxa xxxxaxf

13、sincoscos)1()( ,sincos)2(xxxa , 02)0( af2) ai時(shí)時(shí), , f (0) 為為 f (x)的極小值的極小值 ;2) aii時(shí)時(shí), , , 02)0( aff (0) 為為 f (x)的極大值的極大值 ;,2)0(af 2) aiii時(shí)時(shí), , ,sin)(xxxf , 0)0( f例例6現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁(yè)，共32頁(yè),cossin)(xxxxf , 0)0( f,sincoscos)()4(xxxxxf , 02)0()4( ff (0) 為為 f (x)的極大值的極大值.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁(yè)，共32頁(yè)函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函

14、數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn)求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn)確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形 .為為 0 和不存在和不存在的點(diǎn)的點(diǎn) ;并考察其對(duì)稱(chēng)性及周并考察其對(duì)稱(chēng)性及周現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁(yè)，共32頁(yè)例例7 7.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱(chēng)性且無(wú)對(duì)稱(chēng)性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令,

15、 2 x得得駐駐點(diǎn)點(diǎn), 0)( xf令令. 3 x得特殊點(diǎn)得特殊點(diǎn)2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得得水水平平漸漸近近線線定義域（定義域（-，+ ）0,現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁(yè)，共32頁(yè)2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得鉛直漸近線得鉛直漸近線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點(diǎn)拐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)3 )926, 3( 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁(yè)，共32頁(yè):補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn));0

16、 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁(yè)，共32頁(yè)小結(jié)小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小值極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是可疑極值點(diǎn)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是可疑極值點(diǎn). .判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁(yè)，共32頁(yè)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè), 1)()()(lim2axafxfax則在點(diǎn)則在點(diǎn) a 處處( ).)()(

17、xfA的導(dǎo)數(shù)存在的導(dǎo)數(shù)存在 ,；且0)( af)()(xfB取得極大值取得極大值 ;)()(xfC取得極小值取得極小值;)()(xfD的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示提示: : 利用極限的保號(hào)性利用極限的保號(hào)性 .現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁(yè)，共32頁(yè))(xf在在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx則在點(diǎn)則在點(diǎn)0 x處處).()(xf(A) 不可導(dǎo)不可導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且;0)0( f(C) 取得極大值取得極大值 ;(D) 取得極小值取得極小值 .D提示提示: : 利用極限的保號(hào)性利用極限的保號(hào)性 .2. 設(shè)設(shè)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁(yè)，共3

18、2頁(yè))(xfy 是方程是方程042 yyy的一個(gè)解的一個(gè)解,若若,0)(0 xf且且,0)(0 xf則則)(xf在在)(0 x(A) 取得極大值取得極大值 ;(B) 取得極小值取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示提示: :,)(代入方程將xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 3. 設(shè)設(shè)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁(yè)，共32頁(yè)設(shè)設(shè) f ( x )連續(xù)，且連續(xù)，且 f ( a )是是 f ( x )的極值，的極值，問(wèn)問(wèn) f 2( a )是否是是否是 f 2( x )的極值的極值 .證證則則),()(afxf 時(shí)時(shí)，有有

19、使使當(dāng)當(dāng)),(,0 aUx ),()(22afxf 得得 f 2( a ) 是是 f 2( x ) 的極小值的極小值; 不妨設(shè)不妨設(shè) f ( a )是是 f ( x )的極小值的極小值 ,0)()時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) afi有有現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁(yè)，共32頁(yè)由由 f ( x )在在 x = a 處連續(xù)，得處連續(xù)，得0)()(lim afxfax時(shí)，有時(shí)，有使當(dāng)使當(dāng)),(, 011 aUx 0)( xf,min1 令令時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)),( aUx, 0)()( xfaf)()(22afxf f 2( a )是是 f 2( x )的極大值的極大值.同理可討論同理可討論f ( a ) 是是f ( x )的極大值的情況的極大值的情況.,0)()時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) afii由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性 , 知知由由得得現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁(yè)，共32頁(yè)試問(wèn)試問(wèn) 為何值時(shí)為何值時(shí),axxaxf3sin31sin)(32x在在時(shí)取得極值時(shí)取得極值 ,還是極小還是極小.解解: )(xf由題意應(yīng)有由題意應(yīng)有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得極大值為取得極大值為3)(32f備用題備用