函數(shù)的極值及其求法

1、關于函數(shù)的極值及其求法關于函數(shù)的極值及其求法現(xiàn)在學習的是第一頁，共32頁定義定義,)(Dxf的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),0Dx ，的一個鄰域的一個鄰域若存在若存在DxUx )(00使得使得),(0 xUx 有有)()(0 xfxf 則稱則稱 為為 的一個的一個極大值點極大值點 (或或極小值點極小值點 )0 x)(xf),)()(0 xfxf 或或極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點 .極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值 .1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì).2) 對常見函數(shù)對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為導數(shù)為

2、 0 或或 不存在的點不存在的點(稱為稱為可疑可疑極值點極值點) ). 稱稱 為為 的一個的一個極大值極大值 (或或極小值極小值 )(0 xf)(xf注意注意現(xiàn)在學習的是第二頁，共32頁函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法定理定理1(1(函數(shù)取得極值的函數(shù)取得極值的必要條件必要條件)()(費馬定理費馬定理) )定義定義.)()0)(的的駐駐點點做做函函數(shù)數(shù)叫叫的的實實根根即即方方程程使使導導數(shù)數(shù)為為零零的的點點xfxf 注意注意:( ),.f x可可導導函函數(shù)數(shù)的的極極值值點點必必定定是是它它的的駐駐點點但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點點卻卻不不一一定定是是極極值值點點例如例如,3xy , 00 xy.0不不是

3、是極極值值點點但但 x)(xf0 x0 x. 0)(0 xf設設在點在點處具有導數(shù)處具有導數(shù), 且在且在處取得極值處取得極值,則則現(xiàn)在學習的是第三頁，共32頁定理定理2 (2 (第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)設設)(xf在點在點0 x 處連續(xù)處連續(xù) ,),(00 xxx ,0)( xf),(00 xxx, 0)( xf)(xf0 x(1) 若若 時時, 而而時時,則則在點在點處取得處取得極大值極大值;(2) 若若),(00 xxx 時時, , 0)( xf而而),(00 xxx時時,0)( xf則則)(xf在點在點0 x處取得處取得極小值極

4、小值;),(0 xUx )(xf )(xf0 x(3) 若若時時, 的符號相同的符號相同, 則則在點在點處處無極值無極值.現(xiàn)在學習的是第四頁，共32頁xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :(1)( ),( );fxf x 求求導導數(shù)數(shù)并并求求出出的的全全部部駐駐點點與與不不可可導導點點(2)( ),;fx 根根據(jù)據(jù)在在每每個個駐駐點點或或不不可可導導點點的的左左右右鄰鄰近近的的正正負負號號 判判斷斷是是否否為為極極值值點點(3).求求極極值值(不是極值點情形不是極值點情形)現(xiàn)在學習的是第五頁，共32頁例例1 1解解.593)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf963

5、)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx現(xiàn)在學習的是第六頁，共32頁593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下現(xiàn)在學習的是第七頁，共32頁例例2 2解解.)2(1)(32的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為x

6、ff .)(在在該該點點連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xfM現(xiàn)在學習的是第八頁，共32頁32)1()(xxxf 的極值的極值 .解解 32)(xxf3132)1( xx35235xx 得駐點得駐點;521 x不可導點不可導點02 xx)(xf )(xf05200233255( ) )0,(),0(52),(520 x是極大值點，是極大值點，其極大值為其極大值為0)0( f是極小值點，是極小值點，其極小值為其極小值為52 x23322555( )( )f 例例3 求函數(shù)求函數(shù)不存在不存在現(xiàn)在學習的是第九頁，共32頁定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(0000)(lim)()(lim)(

7、00 xxxfxxxfxfxfxxxx , 0 0)(,0,000 xxxfxx時時使使當當故故存存在在 ;0)(),(00 xfxxx時時，當當 所所以以，函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值 同理可證同理可證(2).;0)(),(00 xfxxx時時，當當 二階導數(shù)二階導數(shù) , 且且,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若若則則 在點在點 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若若則則 在點在點 取極小值取極小值 .)(xf0 x 設函數(shù)設函數(shù) f (x) 在點在點 x0 處處 具有具有現(xiàn)在學習的是第十頁，共32頁例例4 4解解.20243)(

8、23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐駐點點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下現(xiàn)在學習的是第十一頁，共32頁Mm注意注意: :.2,)(,0)(00仍仍用用定定理理處處不不一一定定取取極極值值在在點點時時xxfxf 現(xiàn)在學習的是第十二頁，共32頁1)1()(32 xxf的極值的極值 . 解解: : ,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf令

9、令,0)( xf得駐點得駐點1,0,1321 xxx因因,06)0( f故故 為極小值為極小值 ;0)0( f又又,0)1()1( ff故需用極值的第一充分條件來判別故需用極值的第一充分條件來判別.( )1,fxx 由由于于在在左左右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不變變號號( )1.f xx 在在沒沒有有極極值值1xy1例例5. 求函數(shù)求函數(shù)現(xiàn)在學習的是第十三頁，共32頁,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)( xfn則則1) 當當 為偶數(shù)時為偶數(shù)時,n2) 當當 為奇數(shù)時為奇數(shù)時,n0 x為極值點為極值點 , 且且0 x不是極值點不是極值點 , )()()(000 xxxfxfxfnnx

10、xnxf)(!)(00)( )(0nxxo )()(!)()(000)(0nnnxxoxxnxfxf 證證定理定理4,0)(0)( xfn若若設設 f (x) 在點在點 x0 處處 具有具有n 階導數(shù)，且階導數(shù)，且則則 在點在點 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)(0)( xfn若若則則 在點在點 取極小值取極小值 .)(xf0 x 點點 為拐點為拐點 。)(,(00 xfx現(xiàn)在學習的是第十四頁，共32頁0)()()(lim000 nxxxxxfxf則則, 0)(0 nxx0)()()(00 nxxxfxf)()(0 xfxf !)()()()(lim0)(000nxfxxxfxfnnx

11、x ,0)(0)( xfn若若時，有時，有使當使當),(, 00 xUx 故故1) 當當 為偶數(shù)時為偶數(shù)時,n由極限的保號性由極限的保號性, ,知知又又得得故故 在點在點 取極大值取極大值 。)(xf0 x,0)(0)( xfn若若則則 在點在點 取極小值取極小值 .)(xf0 x同理可證，同理可證，2) 當當 為奇數(shù)時為奇數(shù)時,n可證可證 在在 點鄰近兩點鄰近兩 )()(0 xfxf 0 x 側異號側異號, 故故 在點在點 不取極值不取極值 。)(xf0 x現(xiàn)在學習的是第十五頁，共32頁 )()()(000 xxxfxfxf200)()(!)2()( nnxxnxf)(20 nxxo)()(

12、!)2()(20200)( nnnxxoxxnxf故故!)2()()()(lim0)(200 nxfxxxfnnxx 當當 為奇數(shù)時為奇數(shù)時,n可證可證 在在 點鄰近兩側異號點鄰近兩側異號, )(xf 0 x故點故點 為拐點為拐點 。)(,(00 xfx現(xiàn)在學習的是第十六頁，共32頁設設 ,cossin)(xaxxxf 其中其中a 為常數(shù)為常數(shù) .證明證明: : 2 a時時, , f (0) 為為 f (x)的極小值的極小值 ;2 a時時, , f (0) 為為 f (x)的極大值的極大值 .證證 xaxxxxfsincossin)( ,0)0( f,cossin)1(xxxa xxxxaxf

13、sincoscos)1()( ,sincos)2(xxxa , 02)0( af2) ai時時, , f (0) 為為 f (x)的極小值的極小值 ;2) aii時時, , , 02)0( aff (0) 為為 f (x)的極大值的極大值 ;,2)0(af 2) aiii時時, , ,sin)(xxxf , 0)0( f例例6現(xiàn)在學習的是第十七頁，共32頁,cossin)(xxxxf , 0)0( f,sincoscos)()4(xxxxxf , 02)0()4( ff (0) 為為 f (x)的極大值的極大值.現(xiàn)在學習的是第十八頁，共32頁函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函

14、數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點求出極值和拐點 ;4. 求漸近線求漸近線 ;5. 確定某些特殊點確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形 .為為 0 和不存在和不存在的點的點 ;并考察其對稱性及周并考察其對稱性及周現(xiàn)在學習的是第十九頁，共32頁例例7 7.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無對稱性且無對稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令,

15、 2 x得得駐駐點點, 0)( xf令令. 3 x得特殊點得特殊點2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得得水水平平漸漸近近線線定義域（定義域（-，+ ）0,現(xiàn)在學習的是第二十頁，共32頁2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得鉛直漸近線得鉛直漸近線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點凹凸區(qū)間及極值點和拐點:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點拐點極值點極值點間間斷斷點點3 )926, 3( 現(xiàn)在學習的是第二十一頁，共32頁:補補充充點點);0

16、 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC現(xiàn)在學習的是第二十二頁，共32頁小結小結極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小值極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點和不可導點是可疑極值點駐點和不可導點是可疑極值點. .判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)現(xiàn)在學習的是第二十三頁，共32頁思考與練習思考與練習1. 設設, 1)()()(lim2axafxfax則在點則在點 a 處處( ).)()(

17、xfA的導數(shù)存在的導數(shù)存在 ,；且0)( af)()(xfB取得極大值取得極大值 ;)()(xfC取得極小值取得極小值;)()(xfD的導數(shù)不存在的導數(shù)不存在.B提示提示: : 利用極限的保號性利用極限的保號性 .現(xiàn)在學習的是第二十四頁，共32頁)(xf在在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx則在點則在點0 x處處).()(xf(A) 不可導不可導 ;(B) 可導可導, 且且;0)0( f(C) 取得極大值取得極大值 ;(D) 取得極小值取得極小值 .D提示提示: : 利用極限的保號性利用極限的保號性 .2. 設設現(xiàn)在學習的是第二十五頁，共3

18、2頁)(xfy 是方程是方程042 yyy的一個解的一個解,若若,0)(0 xf且且,0)(0 xf則則)(xf在在)(0 x(A) 取得極大值取得極大值 ;(B) 取得極小值取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示提示: :,)(代入方程將xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 3. 設設現(xiàn)在學習的是第二十六頁，共32頁設設 f ( x )連續(xù)，且連續(xù)，且 f ( a )是是 f ( x )的極值，的極值，問問 f 2( a )是否是是否是 f 2( x )的極值的極值 .證證則則),()(afxf 時時，有有

19、使使當當),(,0 aUx ),()(22afxf 得得 f 2( a ) 是是 f 2( x ) 的極小值的極小值; 不妨設不妨設 f ( a )是是 f ( x )的極小值的極小值 ,0)()時時當當 afi有有現(xiàn)在學習的是第二十七頁，共32頁由由 f ( x )在在 x = a 處連續(xù)，得處連續(xù)，得0)()(lim afxfax時，有時，有使當使當),(, 011 aUx 0)( xf,min1 令令時時，則則當當),( aUx, 0)()( xfaf)()(22afxf f 2( a )是是 f 2( x )的極大值的極大值.同理可討論同理可討論f ( a ) 是是f ( x )的極大值的情況的極大值的情況.,0)()時時當當 afii由極限的保號性由極限的保號性 , 知知由由得得現(xiàn)在學習的是第二十八頁，共32頁試問試問 為何值時為何值時,axxaxf3sin31sin)(32x在在時取得極值時取得極值 ,還是極小還是極小.解解: )(xf由題意應有由題意應有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得極大值為取得極大值為3)(32f備用題備用