材料力學(xué)第7章-彎曲剛度_712601424

1、返回返回返回總目錄返回總目錄xCx在平面彎曲的情形下，梁上的在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲軸線彎曲成平面曲線，這一曲線 稱 為 梁 的 撓 度 曲 線線 稱 為 梁 的 撓 度 曲 線（deflection curve）。）。 MeMe xw xC彎曲后軸線的曲率中心MeMeCMeMe xw xC彎曲后軸線的曲率中心C xx xxw(x)wMeMe彎曲后軸線的曲率中心根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與

2、這一點(diǎn)處橫一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：之間存在下列關(guān)系： EIM1 xx xxw(x)wMeMe彎曲后軸線的曲率中心MeMe xwCC橫截面形心處的鉛垂位移，橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（稱為撓度（deflectiondeflection），用），用w w表示；表示；變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（轉(zhuǎn)角（slopeslope），用），用 表示；表示；橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（ho

3、rizontal displacementhorizontal displacement），用），用u u表示。表示。在在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：在下列關(guān)系： 在小變形條件下，撓度曲線較在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即為平坦，即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有。于是有tanddxwxwddw w（x），），稱為撓度方程稱為撓度方程（deflection equation）。）。 xxxw(x)wMeMe x返回返回返回總目錄返回總目錄 x xx彎曲后軸線的曲率中心 x xx彎曲后軸線的曲率中心EIMxw22ddEIMxw22dd00dd

4、22Mxw,00dd22Mxw, 采用向下的采用向下的w坐標(biāo)系，有坐標(biāo)系，有EIMxw22dd在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：零：w=0; ; 小撓度微分方程的積分與 積分常數(shù)的確定 BAFPC4lEI34lxww=0w=0ABql 小撓度微分方程的積分與 積分常數(shù)的確定 在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，0。w=0=0 小撓度微分方程的積分與 積分常數(shù)的確定 BAFPC4lEI34lxw連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其

5、軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：w1= w2，12等等。等等。 w1=w21= 2梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。大轉(zhuǎn)角。 左端固定、右端左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為載荷。均布載荷集度為q ，梁的彎曲剛度為，梁的彎曲剛度為EI 、長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l。q、EI 、l均已均已知。知。ABql建立建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分坐標(biāo)系（如

6、圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即無需分段。即無需分段。 ABqlOxw從坐標(biāo)為從坐標(biāo)為x x的任意截面處截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面的任意截面處截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：得到彎矩方程： 21( )02M xq lxxl ABqlOxwM（x）FQlxx21( )02M xq lxxl 將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得將上述彎矩方程代入小撓

7、度微分方程，得 212EIwMq lx ABqlOxw積分后，得到積分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxDABqlOxw固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD ABqlOxw316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI336qlxlEI 434424qwlxl xlEI將將 x = l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：分別代入撓度方

8、程與轉(zhuǎn)角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEIxOqwABlwmaxmax加力點(diǎn)加力點(diǎn)B的撓度和支承的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。處的轉(zhuǎn)角。簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。均為已知。BAFPC4lEI34l因?yàn)橐驗(yàn)锽 B處作用有集中力處作用有集中力F FP P，所以需要分為，所以需要分為ABAB和和BCBC兩段建立彎兩段建立彎矩方程。矩方程。首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承在支承A A、C C二處的約束力分別二處的約束力分別如圖中所示。如圖中所示。 在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0 0l l/4/

9、4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端只需要考慮左端A A處的約束力處的約束力3 3F FP P/4/4；而確定梁在；而確定梁在l l/4/4l l范圍范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A A處的約束力處的約束力3 3F FP P/4/4和荷和荷載載F FP P。BAFPC4lEI34lP34FP14F 于是，于是，ABAB和和BCBC兩段的彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxlBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw 211P2d30d44wlEIMxF xxx

10、 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlxBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw積分后，得積分后，得 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw332PP2211864lEIwF xFxxCDBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw21P2d30d44wlEIF xxx 22PP2d3d444wllEIF xFxxlxx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ， 1 1= = 2積分后，得積分后，得 12P183CxFEI2

11、2P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw332PP22118644lEIwF xFxCDlxBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw21P2d30d44wlEIF xxx 22PP2d3d444wllEIF xFxxlxx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ， 1 1= = 2 在支座在支座A A、C C兩處撓度應(yīng)為零，即兩處撓度應(yīng)為零，即x0， w10; xl， w20 因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以ABAB段與段與BCBC段段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)

12、角必須分別相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2BAFPOwCP34FP14F3 /4l/4lwBCAEI12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC 將所得的積分常數(shù)代入將所得的積分常數(shù)代入后后, ,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：程為： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128Flx

13、xxlEI xllxxEIFxw233P128746181據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B B處的撓度和支承處處的撓度和支承處A A和和C C的轉(zhuǎn)角分別為的轉(zhuǎn)角分別為 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEIBAFPOwCP34FP14F3 /4l/4lwBCAEIM0ACBll 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度撓度與轉(zhuǎn)角方程

14、以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程返回返回返回總目錄返回總目錄 x xx彎曲后軸線的曲率中心簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的撓度截面的撓度wC ；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B。BAFP=qlOwCEIl/2l/2qM=ql2321CCCCwwww1.1.將梁上的載荷變將梁上的載荷變?yōu)槿N簡(jiǎn)單的情形。為三種簡(jiǎn)單的情形。123BBBBBAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2wOBEIlqAwC1CB1wxOFPBACEIl/2l/2B2wC2wxOBACEIl/2l/2M=ql2B3wC32.2.由撓度表查得三

15、種情形由撓度表查得三種情形下下C C截面的撓度和截面的撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。415,384CqlwEI311,24BqlEI wOBEIlqAwC1CB1wxOFPBACEIl/2l/2B2wC2wxOBACEIl/2l/2M=ql2B3wC3421,48CqlwEI321,16BqlEI 43116CqlwEI 331,3BqlEI3. 3. 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加作用時(shí)的結(jié)果分別疊加 將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁別得到梁C C截面的撓度和支座截面的撓度和支座B B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角: : ,EIqlwwiC

16、iC43138411EIqliBiB3314811BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2懸臂梁受力如圖所示，懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的撓度截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角C。wCCCxOwABEIl/2l/2q1. 1. 首先，將梁上的首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形載荷變成有表可查的情形 為了利用撓度表中關(guān)為了利用撓度表中關(guān)于梁全長(zhǎng)承受均布載荷的于梁全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端C C處處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉磔d荷作用的了不改變?cè)瓉磔d荷作用的效

17、果，在效果，在ABAB段還需再加上段還需再加上集度相同、方向相反的均集度相同、方向相反的均布載荷。布載荷。 CxOwABEIl/2l/2qqq分別畫出這兩種情形下分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的承受均布載荷懸臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情計(jì)算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為角分別為 再將處理后的再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角 CxOwABEIl/2l/2qqqxwAClEIqOw

18、C11CxOwABCEIl/2l/2wB22BwC22C兩種情形下自由端的撓度和兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為轉(zhuǎn)角分別為再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,xwAClEIqOwC11CxOwABCEIl/2l/2wB22BwC22C將簡(jiǎn)單載荷作用將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加的結(jié)果疊加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487xwAClEIqO

19、wC11CxOwABCEIl/2l/2wB22BwC22CCxOwABEIl/2l/2qql/2ql/2l/2ACBl/2l/2ACB111+2CBBlwwwC1C111CBq2l/4ql/2l/2ACBql/2q2l/8l/2l/2ACBwC2C2wC1C1121212+CCCCCCBCwww逐段剛化法逐段剛化法應(yīng)用于彈性支承與簡(jiǎn)單剛架應(yīng)用于彈性支承與簡(jiǎn)單剛架用用疊加法求疊加法求AB梁上梁上E E處的處的撓度撓度 w wE EwE 1wE 2BwB=?wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 2xyzOyzOFPFPFPyFPzFPyFPzwwwywywzwzxyzOyzOFPF

20、PFPyFPzFPyFPzwwwywywzwz22ddwMxEI 彎矩方程的奇異函數(shù)表示彎矩方程的奇異函數(shù)表示1q2qP1FP2FP3FM1M2集中力偶作用的情形集中力偶作用的情形1q2qP1FP2FP3FM1M2彎矩方程的奇異函數(shù)表示彎矩方程的奇異函數(shù)表示集中力作用的情形集中力作用的情形j1PP()jjjM FFxb1q2qP1FP2FP3FM1M2彎矩方程的奇異函數(shù)表示彎矩方程的奇異函數(shù)表示均布力作用的情形均布力作用的情形21()2kkkM qxcq1q2qP1FP2FP3FM1M2彎矩方程的奇異函數(shù)表示彎矩方程的奇異函數(shù)表示一般情形一般情形例題例題用奇異函數(shù)確定加力點(diǎn)的撓度和支承處的轉(zhuǎn)角

21、用奇異函數(shù)確定加力點(diǎn)的撓度和支承處的轉(zhuǎn)角已知已知：FP、EI、l11PP3( )044lM xFxFx(0)xl問題問題: :為什么沒有涉及集中為什么沒有涉及集中載荷作用點(diǎn)的連續(xù)性條件載荷作用點(diǎn)的連續(xù)性條件? ?返回返回返回總目錄返回總目錄對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響構(gòu)件或?qū)τ谥饕惺軓澢牧汉洼S，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒輪的嚙合，零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會(huì)影響或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過

22、大會(huì)增加加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。軸承的磨損等等。 AClBdaFP max鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為F FP P，F(xiàn) FP P20 kN20 kN，a al ml m，l l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B B處的許用轉(zhuǎn)角處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d d。 AClBdaFP根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承以保證軸承B B處的轉(zhuǎn)角

23、不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。驟計(jì)算。EIlaFB3P由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 AClBdaFP由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 EIlaFB3P B根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有 AClBdaFP根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有 B其中，其中， 的單位為的單位為radrad（弧度），而（弧度），而 的單位為（的單位為（）（度），）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑考慮到單位的一致性，將有

24、關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑 111mmm10111m100.52063101802120643-493dAClBdaFP返回返回返回總目錄返回總目錄lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFB3-3=04-3=1532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFByFBxBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFByMBBl AMAFAyFAxFBxFByMBBl AMAMBBl AMAB AlFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFAxFBwB=wB(q)+w

25、B(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFBFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFAxFB返回返回返回總目錄返回總目錄二梁的受力二梁的受力( (包括載荷與約束力包括載荷與約束力) )是否相同？是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。相互關(guān)系。FPABC 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀的撓度曲線的大致形狀Bl AMBFByMAFAyBl AMAFAyMBFByBl Al AB