材料力學 第八章組合變形

1、81 概述概述82 斜彎曲斜彎曲83 彎曲與扭轉彎曲與扭轉8-4 8-4 拉拉( (壓壓) )彎組合彎組合 偏心拉（壓）偏心拉（壓） 截面核心截面核心81 81 概述概述MPRzxyPP組合變形組合變形桿件在外力作用下，同時產生兩種或兩種以上基桿件在外力作用下，同時產生兩種或兩種以上基 本變形的情況。本變形的情況。水壩水壩qPhg g例如：（例如：（a)a)廠房邊柱廠房邊柱壓（拉）彎組合壓（拉）彎組合 FNM矩矩 形形 截截 面面 梁梁 斜斜 彎彎 曲曲例如：（例如：（b b）坡屋頂上的橫梁）坡屋頂上的橫梁斜彎曲斜彎曲彎彎 扭扭 組組 合合 變變 形形例如：（例如：（c c）傳動軸）傳動軸彎扭

2、組合彎扭組合F1 F2M分析方法：在線彈性范圍，采用疊加原分析方法：在線彈性范圍，采用疊加原 理，先分解成基本變形，然后將同一點理，先分解成基本變形，然后將同一點 的應力疊加的應力疊加 。 二、組合變形的研究方法二、組合變形的研究方法 疊加原理疊加原理( (位移、應位移、應力、應變、和內力等與外力成線性關系力、應變、和內力等與外力成線性關系) )外力分析：外力分析：外力向形心簡化外力向形心簡化內力分析：內力分析：求每個外力分量對應的內力方程和內力圖，確求每個外力分量對應的內力方程和內力圖，確 定危險面。定危險面。畫危險面應力分布圖，疊加，建立危險點的強畫危險面應力分布圖，疊加，建立危險點的強

3、度條件。度條件。yzxP1P2a梁任意橫截面上的內力分析梁任意橫截面上的內力分析P1 使梁在使梁在 平面內彎曲（平面內彎曲（y 軸為中性軸）軸為中性軸）P2 使梁在使梁在 平面內彎曲（平面內彎曲（z 軸為中性軸）軸為中性軸）yzxmmxP1P2ammzyMyMy = P1 x （使梁在（使梁在 XZ 平面內彎曲，平面內彎曲，y 為中性軸）為中性軸）P1 和和 P2在在 mm 面內產生的彎矩為面內產生的彎矩為yzxMZ = P2 (x-a) （使梁在（使梁在 XY 平面內彎曲，平面內彎曲，z 為中性軸）為中性軸）mmxP1P2ammzyMZMy梁橫截面上的應力分析梁橫截面上的應力分析 （任意點（

4、任意點 C(y, z) 的正應力）的正應力）o z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )MymmzymmzyMZMyo z yMZ C ( y,z )My與與 My 相應的正應力為相應的正應力為zIMyy與與 Mz 相應的正應力為相應的正應力為yIMzzo z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )MyyIMzIMzzyy C 點處的正應力為點處的正應力為xyzP82 斜彎曲斜彎曲一、斜彎曲一、斜彎曲：桿件產生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫 向力）不共面。二、斜彎曲的研究方法二、斜彎曲的研究方法 ：1.分解：將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲。PyPz

5、PzPyyzPj j2.疊加：對兩個平面彎曲進行研究；然后將計算結果疊加起來。xyzPyPzPPzPyyzPj jjsinPPyjcosPPz解：1.將外載沿橫截面的形心主軸分解2.研究兩個平面彎曲jjsin sin)( )(MxLPxLPMyzjcosMMyxyzPyPzPPzPyyzPj jLmmxLjcos yyyIMIzMz jsin zzzIMIyMy )sincos(jjzyIyIzM My引起的應力：M z引起的應力：合應力：PzPyyzPj jxyzPyPzPLmmxLaABCP8 4扭轉與彎曲扭轉與彎曲研究對象：研究對象：圓截面桿圓截面桿受力特點：桿件同時承受轉矩和橫向力作用

6、。受力特點：桿件同時承受轉矩和橫向力作用。變形特點：發(fā)生扭轉和彎曲兩種基本變形。變形特點：發(fā)生扭轉和彎曲兩種基本變形。ABLaP一、一、 內力分析內力分析 設一直徑為設一直徑為 d 的等直圓桿的等直圓桿 AB , B 端具有與端具有與 AB 成直角的剛臂。成直角的剛臂。研究研究AB桿的內力。桿的內力。BAABLaPB橫向力：橫向力： P （引起平面彎曲）（引起平面彎曲）力偶矩：力偶矩： m = Pa （引起扭轉）（引起扭轉）將力將力 P 向向 AB 桿右端截面的桿右端截面的形心形心B簡化簡化得得AB 桿為彎扭組合變形桿為彎扭組合變形APmx畫內力圖確定危險截面畫內力圖確定危險截面固定端為危險截

7、面固定端為危險截面AAPmPlmA截面截面 C3C4T C3C4 C2C1二、二、 應力分析應力分析 最大扭轉剪應力最大扭轉剪應力 發(fā)生在截面發(fā)生在截面周邊上的各點處。周邊上的各點處。 C2C1危險截面上的最大彎曲危險截面上的最大彎曲正應力正應力 發(fā)生在發(fā)生在 處處C1C2C3C4TA截面截面 C3C4 C2C1C1C2C3C4T對于許用拉、壓應力相等的對于許用拉、壓應力相等的塑性材料制成的桿這兩點的塑性材料制成的桿這兩點的危險程度是相同的。危險程度是相同的。 可取任可取任一點一點C1 來研究。來研究。C1 點處于平面應力狀態(tài)點處于平面應力狀態(tài)C1 三、三、強度分析強度分析1、主應力計算、主應

8、力計算4)2(222213212 202C1 第三強度理論第三強度理論,計算相當力計算相當力2、 相當應力計算相當應力計算422313 r 第四強度理論第四強度理論,計算相當應力計算相當應力2243r4212 )2(2222213023、 強強 度計算度計算 rC1 422313 r2243r該公式適用于圖示的平面應力狀態(tài)。該公式適用于圖示的平面應力狀態(tài)。 是危險點的正應力，是危險點的正應力， 是危險點的剪應力。是危險點的剪應力。且橫截面不限于圓形截面。且橫截面不限于圓形截面。C1 422313 r2243r可以是可以是變形中由彎曲產生的正應力；變形中由彎曲產生的正應力； 是由扭轉變形引起的剪

9、應力。是由扭轉變形引起的剪應力。C1 還可以是還可以是，（）與）與組合變形中由彎曲與拉（壓）組合變形中由彎曲與拉（壓）產生的正應力。產生的正應力。也可以是也可以是 （）與）與組合變形中由拉（壓）產生的正應力；組合變形中由拉（壓）產生的正應力；422313 r2243rC1 該公式適用于該公式適用于 ，組合變形；組合變形；（）與）與的組合變形；的組合變形；以及以及 （），），與與 的組合變形。的組合變形。彎、扭組合變形時，相應的相當應力表達式可改寫為彎、扭組合變形時，相應的相當應力表達式可改寫為對于圓形截面桿有對于圓形截面桿有21623dWWtWTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMW

10、TWMtr75. 0)(3)(32222224上兩式只適用于上兩式只適用于組合變形下的組合變形下的 式中式中為桿的抗彎截面系數。為桿的抗彎截面系數。， 分別為危險截面的彎矩分別為危險截面的彎矩和扭矩。和扭矩。WTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMWTWMtr75. 0)(3)(3222222480 P2zyxP1150200100ABCD例解：外力向形心 簡化并分解建立圖示桿件的強度條件彎扭組合變形80 P2zyxP1150200100ABCD150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx每個外力分量對應的內力方程和內力圖疊加彎矩，并畫圖)()()(22xMxMxMzy確

11、定危險面)( ; )( ; )(xMxMxMnzyM Z (N m)X(Nm)MyxMy (N m)XMz(Nm)x （Nm）xMnMnMn(Nm)xM (N m)XMmaxM(Nm)Mmaxx畫危險面應力分布圖，找危險點WMxBmax1PnBWM12231)2(2建立強度條件2231341xB1Bx1xB2xBM1B1xB1BxB1B2MyMzMnM由第三強度理論由第三強度理論2234213232221421對圓截面:Wt=2W22*31TMW對圓截面:Wt=2WWTM22*475. 0由第四強度理論由第四強度理論22*43例題例題 試根據最大剪應力理論（第三強度理論）確定試根據最大剪應力理

12、論（第三強度理論）確定圖中所示手搖卷揚機（轆轤）能起吊的最大許可荷載圖中所示手搖卷揚機（轆轤）能起吊的最大許可荷載P P的數值。已知：機軸的橫截面為直徑的數值。已知：機軸的橫截面為直徑d d =30mm=30mm的圓形，的圓形，機軸材料的許用應力機軸材料的許用應力 =160MPa=160MPa。 0.18mPP0.4m0.4m30mm解解: : （1 1）跨中截面的內力）跨中截面的內力0.180.18nMPPNm 0.80.24PMPNm （2）截面的幾何特性33302 6503232dW mm3 25 300pWW mm3 223070744dA mm2 （3）應力計算90.180.0345

13、300 10nnpMPPWMPa 90.20.0762 650 10MMPPWMPa MPa 1322220.0760.0760.0342222MMnPPP0.0890.0380.0510.013PPPPMPa（4）根據最大剪應力理論求許可荷載130.0890.0130.102PPP 1601601.570.102P kN 外力分析：外力向形心簡化并分解。內力分析：每個外力分量對應的內力方程和內力圖，確定危 險面。建立強度條件。彎扭組合問題的求解步驟：彎扭組合問題的求解步驟：例題例題 ： 圖圖 示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪 C 上作用有上作用有鉛垂切向力鉛垂切向力

14、5 KN,徑向力徑向力 1.82 KN;齒輪齒輪 D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10 KN,徑向力徑向力 3.64 KN 。齒輪。齒輪 C 的節(jié)圓直徑的節(jié)圓直徑 dc = 400 mm ,齒輪齒輪 D 的的節(jié)圓直徑節(jié)圓直徑 dD =200 mm。設許用應力。設許用應力 =100 MPa ,試按試按第四強度理論求軸的直徑。第四強度理論求軸的直徑。BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN解：解：1 、外力的簡化、外力的簡化xyzACBD5KN1KN.m1.82KN3.64kN10kN1KN.m將每個齒輪上的外力將每個齒輪上的外力向該軸的截面形心向該

15、軸的截面形心簡化，簡化，BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN 使軸產生扭轉使軸產生扭轉 ， 使軸在使軸在 縱對稱面內產生彎曲?？v對稱面內產生彎曲。 ，使軸在使軸在 縱對稱面內產生彎曲?？v對稱面內產生彎曲。 2、 軸的變形分析軸的變形分析xyzACBD5KN3.64kN1.82KN10kN1KN.m1KN.mxyzACBD5KN3.64kN3、繪制軸的內力圖、繪制軸的內力圖MyC=0.57KN.mMyB=0.36KN.m0.570.36CBMy圖圖xyzACBD1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖MZC=0.227KN.mMZB=1KN.mx

16、yzACBDT=1KN.m1KN.m1KN.m1CT圖圖-圓桿發(fā)生的是斜圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉的組彎曲與扭轉的組合變形合變形xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖由于通過圓軸軸線的由于通過圓軸軸線的任一平面都是縱向對稱任一平面都是縱向對稱平面，故軸在平面，故軸在 xz 和和 xy 兩平面內彎曲的合成兩平面內彎曲的合成結果仍為平面彎曲結果仍為平面彎曲，從而可用總彎矩來，從而可用總彎矩來計算該截面正應力。計算該截面正應力。xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖B 截

17、面是危險截面截面是危險截面MyC=0.57KN.mMZC=0.227KN.mMyB=0.36KN.mMZB=1KN.m4、危險截面上的、危險截面上的內力計算內力計算xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖xzyMyBMzBMyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖B截面的總彎矩為截面的總彎矩為22MMMzByBB mKN.0641 MyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz

18、圖圖B 截面的扭矩值為截面的扭矩值為mKNTB.1 xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖1CT圖圖5，由強度條件求軸的直徑，由強度條件求軸的直徑 WWTMBBr1372750224.323dW 軸需要的直徑為軸需要的直徑為mmd9511010013723236. 一、組合變形的受力特點一、組合變形的受力特點8 2 拉伸（壓縮）與彎曲拉伸（壓縮）與彎曲 桿件將發(fā)生拉伸桿件將發(fā)生拉伸 (壓縮壓縮 ) 與彎曲組合變形。與彎曲組合變形。作用在桿件上的作用在桿件上的 外力既有外力既有軸向拉軸向拉 ( 壓壓 ) 力力，還有，還有橫向力橫向

19、力。二、變形特點二、變形特點PPSSP 產生彎曲變形產生彎曲變形S 產生拉伸變形產生拉伸變形 PyPxPy 產生彎曲變形產生彎曲變形Px 產生拉伸變形產生拉伸變形二、二、 拉拉(壓壓)與彎曲內力分析與彎曲內力分析xzy0MZNMy桿件橫截面上內力桿件橫截面上內力彎曲彎曲 拉拉(壓壓)：軸力：軸力N彎矩彎矩 MZ 或或 My (或二者皆有或二者皆有) 剪力剪力因為引起的剪應力較小，故一般不考慮。因為引起的剪應力較小，故一般不考慮。 WMWMANyyzzMMNzy橫截面上任意一點橫截面上任意一點 ( z, y) 處的處的正應力計算公式為正應力計算公式為三、三、 應力分析應力分析xzy0MZNMy(

20、 z,y )拉伸正應力拉伸正應力 N彎曲正應力彎曲正應力 Mz， MySN 軸力軸力跨中截面是桿的危險截面跨中截面是桿的危險截面PlM41max PS2l2lSASANt與軸力對應的拉伸正應力與軸力對應的拉伸正應力與彎矩對應的最大彎曲正應力與彎矩對應的最大彎曲正應力WPlWMb4maxANt PS2l2lS WMbmax -WPlASt4max桿危險截面桿危險截面下邊緣各點下邊緣各點處的上的拉應力為處的上的拉應力為ANt PS2l2lS WMbmax - max 當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，應分別建立當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，應分別建立桿件的抗拉、桿件的抗拉、 壓強度

21、條件。壓強度條件。 四四 強度條件強度條件由于危險點處的應力狀態(tài)仍為單向應力狀態(tài)，故其為由于危險點處的應力狀態(tài)仍為單向應力狀態(tài)，故其為例題：懸臂吊車如圖所示。橫梁用例題：懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。工字鋼制成。其抗彎剛度其抗彎剛度Wz=237cm3,橫截面面積橫截面面積A=35.5cm2，總荷載，總荷載P=34KN，橫梁材料的許用應力為，橫梁材料的許用應力為 =12.5MPa。校核橫。校核橫梁梁AB的強度。的強度。ABCD1.2m1.2m300ABCD1.2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力DABPRSNBC300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS30

22、002 . 14 . 2030sin0PNmBCANBC=PRA=0.5PHA=0.866PRAHAAB為平面彎曲與壓縮組合變形。為平面彎曲與壓縮組合變形。中間截面為危險截面。中間截面為危險截面。最大壓應力最大壓應力發(fā)生在該發(fā)生在該截面的上邊緣。截面的上邊緣。壓縮正應力壓縮正應力APAHA866. 0 最大彎曲正應力最大彎曲正應力WPWRzzAW6 . 02 . 1max ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS300RAHAABCD1.2m1.2m30037.946 . 0866. 0max MPaWPAPzc例題例題: 一折桿由兩根無縫鋼管焊接一折桿由兩根無縫鋼管焊接 而成而成,已知兩根鋼管的外徑都已知兩根鋼管的外徑都 是是140mm ,壁厚都是壁厚都是10 mm 。 試求折桿危險截面上的最大試求折桿危險截面上的最大 拉應力和最大壓應力。拉應力和最大壓應力。 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCA 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB解解：（：（1） 首先求支反力。首先求支反力。 由靜力平衡方程可求得由靜力平衡方程可求得 RA = RB= 5 KNHA= 0 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB 由于折桿本