材料力學第8章 組合變形

1、材料力學材料力學2022年3月20日星期日8-1 8-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合8-3 8-3 偏心壓縮和截面核心偏心壓縮和截面核心8-4 8-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合8-5 8-5 組合變形的普遍情況組合變形的普遍情況 第八章第八章 組合變形組合變形材料力學材料力學2022年3月20日星期日組合變形組合變形構(gòu)件在荷載的作用下如發(fā)生兩種或兩種以構(gòu)件在荷載的作用下如發(fā)生兩種或兩種以上基本形式的變形，且?guī)追N變形所對應的應力（和變形）上基本形式的變形，且?guī)追N變形所對應的應力（和變形）屬于屬于同一數(shù)量級同一數(shù)量級，則

2、構(gòu)件的變形稱為組合變形。，則構(gòu)件的變形稱為組合變形。 8-1 8-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲（1 1）軸向拉伸或軸向壓縮）軸向拉伸或軸向壓縮復習復習材料力學材料力學2022年3月20日星期日（2 2）剪切）剪切（3 3）扭轉(zhuǎn)）扭轉(zhuǎn)（4 4）彎曲）彎曲8-1 8-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理材料力學材料力學2022年3月20日星期日前提條件：前提條件：線彈性材料，加載在彈性范圍內(nèi)，即服從胡克定律；線彈性材料，加載在彈性范圍內(nèi)，即服從胡克定律；必須是小變形，保證能按構(gòu)件初始

3、形狀或尺寸進行分解必須是小變形，保證能按構(gòu)件初始形狀或尺寸進行分解與疊加計算，且能保證與加載次序無關。與疊加計算，且能保證與加載次序無關。疊加原理疊加原理8-1 8-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理 如果如果內(nèi)力、應力、變形等與外力成線性關系內(nèi)力、應力、變形等與外力成線性關系，則在小變形條，則在小變形條件下，復雜受力情況下組合變形構(gòu)件的內(nèi)力，應力，變形等力學件下，復雜受力情況下組合變形構(gòu)件的內(nèi)力，應力，變形等力學響應可以分成幾個基本變形單獨受力情況下相應力學響應的疊加，響應可以分成幾個基本變形單獨受力情況下相應力學響應的疊加，且且與各單獨受力的加載次序無關與各單獨受力的加載次序無關。材

4、料力學材料力學2022年3月20日星期日壓彎組合變形壓彎組合變形組合變形工程實例組合變形工程實例8-1 8-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理材料力學材料力學2022年3月20日星期日拉彎組合變形拉彎組合變形組合變形工程實例組合變形工程實例8-1 8-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理材料力學材料力學2022年3月20日星期日組合變形的例子 煙囪（圖煙囪（圖a a）有）有側(cè)向荷載（風荷，地側(cè)向荷載（風荷，地震力）時發(fā)生彎壓組震力）時發(fā)生彎壓組合變形。合變形。 壓縮與彎曲壓縮與彎曲的組合變形的組合變形 齒輪傳動軸齒輪傳動軸（圖（圖b b）發(fā)生彎曲與）發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形（兩扭轉(zhuǎn)組合

5、變形（兩個相互垂直平面內(nèi)個相互垂直平面內(nèi)的彎曲加扭轉(zhuǎn)）。的彎曲加扭轉(zhuǎn)）。彎曲與扭轉(zhuǎn)彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形的組合變形8-1 8-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理材料力學材料力學2022年3月20日星期日8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日（1 1）桿件同時受橫向力和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形。）桿件同時受橫向力和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形。8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合qlABFFM圖圖FN圖圖NFzzMNNFFAAMZZM yINZZFM yAI材料力學材料力學2022年3月20日星期日PxyzP

6、MyxyzPMyMz8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合一、拉一、拉( (壓壓) )彎組合變形：彎組合變形：偏心拉伸（壓縮）：偏心拉伸（壓縮）：材料力學材料力學2022年3月20日星期日二、應力分析：二、應力分析：yzFzeye1.1.內(nèi)力分析內(nèi)力分析2.2.應力計算應力計算zyE,yzFyzFeM zyFeMNFFyZMFeZyMFeyNZAyZMFMAWW yNZByZMFMAWW yNZCyZMFMAWW yNZDyZMFMAWW 8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日雙向偏心拉雙向偏心拉( (壓壓)

7、 )桿橫截面上中性軸桿橫截面上中性軸位置位置yNZyZyzyZM yFM ZAIIFeyFezFAII 在工程計算中，為了便于分析一些問題，常把慣性在工程計算中，為了便于分析一些問題，常把慣性矩矩I Iy y和和I Iz z寫作如下形式：寫作如下形式：2yyAiI 2zzAiI 22(1)yzyzeyezFAii zyE,yzFyzFeM zyFeM材料力學材料力學2022年3月20日星期日令令y y0 0，z z0 0代表中性軸上任一點的坐標代表中性軸上任一點的坐標000022(,)(1)0yzyzeyezFyzAii 002210yzyzeyezii雙向偏心拉雙向偏心拉( (壓壓) )桿橫

8、截面上中性軸桿橫截面上中性軸位置位置zyzyee ,yaza中性軸是一條不通中性軸是一條不通過截面形心的直線過截面形心的直線2000zyyizaye 2000yzziyaze 材料力學材料力學2022年3月20日星期日zyzyee ,yaza危險點危險點（距中性軸最遠的點）zyE,yzFyzFeMzyFeM雙向偏心拉雙向偏心拉( (壓壓) )桿橫截面上中性軸桿橫截面上中性軸位置位置材料力學材料力學2022年3月20日星期日 例例1 1 具有切槽的正方形木桿，受力如具有切槽的正方形木桿，受力如圖。求：圖。求：（1 1）m-mm-m截面上的最大拉應力截面上的最大拉應力t t 和最和最大壓應力大壓應

9、力c c； （2 2）此）此t t是截面削弱前的是截面削弱前的t t值的值的幾倍？幾倍？8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日解：(1)tcNAMWPaPaaa2224268422PaPa材料力學材料力學2022年3月20日星期日例例2 2 圖圖a a所示起重機的最大吊重所示起重機的最大吊重F=12kNF=12kN，許用應，許用應力力 ，試為橫梁，試為橫梁ABAB選擇合適的工字鋼。選擇合適的工字鋼。 MPa1008-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合21.51材料力學材料力學2022年3月20日星期日例例2

10、2 圖圖a a所示起重機的最大吊重所示起重機的最大吊重F=12kNF=12kN，許用應，許用應力力 ，試為橫梁，試為橫梁ABAB選擇合適的工字鋼。選擇合適的工字鋼。 MPa100解：根據(jù)橫梁解：根據(jù)橫梁AB的受力圖，由的受力圖，由平衡方程可得：平衡方程可得：kNFkNFMcxcyA24,18, 0 做彎矩圖和軸力圖，危險截面做彎矩圖和軸力圖，危險截面為為C點左側(cè)截面。點左側(cè)截面。注意注意：求工字鋼截面幾何尺寸：求工字鋼截面幾何尺寸時，因為時，因為A、W不可能同時獲不可能同時獲得，所以不能同時考慮彎矩與得，所以不能同時考慮彎矩與軸力條件，可先按彎曲強度條軸力條件，可先按彎曲強度條件試算，再按彎壓

11、組合進行強件試算，再按彎壓組合進行強度校核。度校核。24kN例6.2圖11.52.12kN m8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日查型鋼表，可選用查型鋼表，可選用16號鋼，號鋼， ，按彎壓組合強度條件，可知按彎壓組合強度條件，可知C點左側(cè)截面下邊緣各點壓點左側(cè)截面下邊緣各點壓應力最大：應力最大：231 .26,141cmAcmW MPaWMAFNc3 .94maxmax說明所選工字鋼合適。說明所選工字鋼合適。 363120101001012cmMW按彎曲強度條件可得：按彎曲強度條件可得：8-2 8-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸

12、或壓縮與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合 機械中的許多構(gòu)件在工作時往往發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形，而且它們多半是實心或空心圓截面桿，圖中所示傳動軸便是一種典型的情況。土建工程中發(fā)生扭彎組合變形的桿件往往是非圓截面的。材料力學材料力學2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合 圖圖a a所示由塑性材料制造的曲拐在鉛垂外力作用所示由塑性材料制造的曲拐在鉛垂外力作用下，其下，其ABAB桿的受力圖如圖桿的受力圖如圖b b所示。該桿為直徑為所示。該桿為直徑為d d 的的圓截面桿。圓截面桿。材料力學材料力學2

13、022年3月20日星期日8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合 圖圖c，d示出了示出了AB桿的彎矩圖（桿的彎矩圖（M 圖）和扭矩圖（圖）和扭矩圖（T圖）。由于扭彎組合變形情況下不考慮剪力對強度的影圖）。由于扭彎組合變形情況下不考慮剪力對強度的影響，故未示出剪力圖（響，故未示出剪力圖（FS圖）。圖）。 該該AB桿的危險截面為固定端處的桿的危險截面為固定端處的A截面。截面。材料力學材料力學2022年3月20日星期日 危險截面上彎曲正應力在與中性軸危險截面上彎曲正應力在與中性軸C3C4垂直方向的變化垂直方向的變化如圖如圖e，扭轉(zhuǎn)切應力沿直徑，扭轉(zhuǎn)切應力沿直徑C3C4和和C1C2的變化如圖的

14、變化如圖f。 由此可知危險截面上的危險點為由此可知危險截面上的危險點為C1和和C2 2。由于桿的材料。由于桿的材料是拉壓許用應力相等的塑性材料，是拉壓許用應力相等的塑性材料，C1 1和和C2 2兩點的危險程度相兩點的危險程度相同，故只需對其中的一個點作強度計算即可。同，故只需對其中的一個點作強度計算即可。彎曲正應力彎曲正應力分布情況分布情況扭轉(zhuǎn)切應力扭轉(zhuǎn)切應力分布情況分布情況8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日 圍繞點圍繞點C1 1以桿的橫截面、徑向縱截面和切向縱截面取出以桿的橫截面、徑向縱截面和切向縱截面取出單元體，其各面上的應力如圖單元

15、體，其各面上的應力如圖g所示，而所示，而32/3dFlWM16/23pdFaWTWT平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)B8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日點點C C1 1處于處于平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)，其三個主應，其三個主應力為力為0,421222231按第三強度理論作強度計算，相當應力為按第三強度理論作強度計算，相當應力為22313r4按第四強度理論作強度計算，相當應力為按第四強度理論作強度計算，相當應力為222132322214r3)()()(213r強度條件為強度條件為4rB強度條件為強度條件為8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組

16、合材料力學材料力學2022年3月20日星期日究竟按哪個強度理論計算相當應力，在不同設計規(guī)范中并不究竟按哪個強度理論計算相當應力，在不同設計規(guī)范中并不一致。注意到發(fā)生扭彎變形的圓截面桿，其危險截面上危一致。注意到發(fā)生扭彎變形的圓截面桿，其危險截面上危險點處：險點處：WMWTWT2p為便于工程應用，將上式代入式為便于工程應用，將上式代入式（a），（），（b）可得：可得：WTMWTWM22223r24WTMWTWM22224r75. 023式中，式中，M和和T分別為危險截面上的彎矩和扭矩，分別為危險截面上的彎矩和扭矩，W為圓截面的為圓截面的彎曲截面系數(shù)。彎曲截面系數(shù)。8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合

17、扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日 需要注意的是，以上所述對于傳動軸的強度計算是靜力需要注意的是，以上所述對于傳動軸的強度計算是靜力強度計算，只能用于傳動軸的初步設計，此時強度計算，只能用于傳動軸的初步設計，此時 的值取得也的值取得也比較低。比較低。事實上，傳動軸由于轉(zhuǎn)動，事實上，傳動軸由于轉(zhuǎn)動，危險截面任何一危險截面任何一點處的彎曲正應力是隨軸的轉(zhuǎn)動交替變化的。點處的彎曲正應力是隨軸的轉(zhuǎn)動交替變化的。這種應這種應力稱為力稱為交變應力交變應力. . 工程設計中對于在交變應力下工作的構(gòu)件另有計算準則。工程設計中對于在交變應力下工作的構(gòu)件另有計算準則。8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與

18、彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合材料力學材料力學2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合例例1:1:圖示圓軸圖示圓軸. .已知已知,F=8kN,M=3kNm,F=8kN,M=3kNm,=100MPa,=100MPa,試試用第三強度理論求軸的最小直徑用第三強度理論求軸的最小直徑. .FMm5 . 0材料力學材料力學2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合例例1:1:FMm5 . 0FLMmaxkNm4kNmT3 224224pzzWTWM22zzzWTWMzzWTM22 22TMWzz35105m332zWd mm8 .79材料力學材料力學2022年3月20日星期日 例題例題 85 圖圖a所示鋼制實心圓軸其兩個齒輪上所示鋼制實心圓軸其兩個齒輪上作用有切向力和徑向力，齒輪作用有切向力和徑向力，齒輪C 的節(jié)圓（齒輪上傳遞的節(jié)圓（齒輪上傳遞切向力的點構(gòu)成的圓）直徑切向力的點構(gòu)成的圓）直徑dC=400 m