第六章_二元函數(shù)微積分

1、微積分第六章第六章二元函數(shù)微積分二元函數(shù)微積分一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學 推廣推廣多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同微積分第一節(jié)第一節(jié)二元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)的基本概念 一、平面點集一、平面點集二、二元函數(shù)的概念二、二元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性四、二元函數(shù)的連續(xù)性微積分1、鄰域、鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、平面點集一、平面點集 微積分(1) (1) 內點、外點、邊界點內點、外點、邊界點設有點集設有點集E E及一點及一點P P : : 若存在點若存在點

2、P P的某鄰域的某鄰域 U U( (P P) ) E E , , 若存在點若存在點P P的某鄰域的某鄰域 U U( (P P) )E E = = , , 若對點若對點P P的的任一任一鄰域鄰域U U( (P P) )既含既含E E中的內點也含中的內點也含E EE則稱則稱P P為為E E的的內點；內點；則稱則稱P P為為E E的的外點外點 ; ;則稱則稱P P為為E E的的邊界點邊界點 . .的外點的外點 , ,顯然顯然, ,E E 的內點必屬于的內點必屬于E E , , E E 的外點必不屬于的外點必不屬于E E , , E E 的的邊界點可能屬于邊界點可能屬于E E, , 也可能不屬于也可能

3、不屬于E E . . 2. 2. 區(qū)域區(qū)域微積分若對任意給定的若對任意給定的 , ,點點P P 的去心的去心) ,(PUE鄰域鄰域內總有內總有E E 中的點中的點 , , 則則稱點稱點P P是是E E 的的聚點聚點. .2) 2) 聚點可以屬于聚點可以屬于E E , ,也可以不屬于也可以不屬于E E ( (因為聚點可以為因為聚點可以為 E E 的邊界點的邊界點 ) )（2 2）聚點）聚點1) 1) 內點一定是聚點；內點一定是聚點；10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合yx| )y,x(122 例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是

4、聚點也都屬于集合微積分D D(3) (3) 開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集若點集E E的點都是的點都是內點內點，則稱，則稱E E為為開集開集； 若點集若點集E E E E , , 則稱則稱E E為為閉集閉集； 若點集若點集D D中任意兩點都可用一完全屬于中任意兩點都可用一完全屬于D D的折線相連，的折線相連， 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域. .則稱則稱D D是是連通的；連通的； 連通的開集稱為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域，簡稱，簡稱區(qū)域區(qū)域 ；。 。 E E 的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為E E 的的邊界邊界, ,記作記作 E E ; ;微積分的的

5、邊邊界界點點為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點點（點點也也有有不不屬屬于于的的點點，于于的的任任一一個個鄰鄰域域內內既既有有屬屬如如果果點點EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE微積分例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域（開區(qū)域（連連通的開集通的開集）閉區(qū)域（閉區(qū)域（開開區(qū)域連同它區(qū)域連同它的邊界的邊界） xyoxyoxyo21xyo1 2微積分 整個平面整個平面 點集點集 1),(xyx是開集，是開集， 是最大的開域是最大的開域 , , 也

6、是最大的閉域；也是最大的閉域；但非區(qū)域但非區(qū)域 . .11o oxy 對區(qū)域對區(qū)域D D, ,若存在正數(shù)若存在正數(shù)K K, ,使一切點使一切點P P D D與某定點與某定點 A A 的距離的距離 APAPK K ,( ,(或總可以被包圍在一個以原或總可以被包圍在一個以原點為中心、半徑有限大的圓內的區(qū)域點為中心、半徑有限大的圓內的區(qū)域） 則稱則稱D D為為有界域有界域. .否則稱為否則稱為無界域無界域. .微積分二、二元函數(shù)的概念二、二元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp 0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVhrSxy 長方形的

7、面積公式,0,0 x y xy微積分定義定義：設在某個變化過程中有三個變量三個變量,zx yD和，是 平 面 上 的 一 個 非 空 點 集 .,zx yD如果當變量在 內任取一組值時，變量 按照某一確定的法則f總有唯一確定的數(shù)值與之對應，則稱變量z, x y為變量的二元函數(shù)，通常記為 ,zfx yx yD其中點集D稱為該函數(shù)的定義域，,.x yz稱為自變量， 稱為因變量數(shù)集 ,.z zf x yx yD稱為該函數(shù)的值域微積分二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz （如下頁圖）（如下頁圖）微積分二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.微積分例例1 1 求求 的定義域的定

8、義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 微積分xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:微積分圖圖形形)(221yxzxyzo221yxzxyz微積分二、二元函數(shù)的極限（又稱二重極限）二、二元函數(shù)的極限（又稱二重極限）00( , )(,)lim( , )x yx yf x yA,0 ,0 時，時，當當00 PP有有( , )f x yA微積

9、分幾點說明：幾點說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）羅必塔法則不可用；）羅必塔法則不可用；（3）若）若 的方式不同，使得極限不相同，則的方式不同，使得極限不相同，則 此二元函數(shù)的極限一定不存在；此二元函數(shù)的極限一定不存在；（4）0PP 00000,0,)()lim,limlim.xxyyyyxxx yxy（表示的是累次極限，與二重極限不同微積分例題講解例題講解求下列極限求下列極限( , )(1,0)sin()(1)limx yxyy222( , )(0,0)(2)limx yxyxy242( , )(0,0)(3)limx yx yxy22( , )(0,

10、0)(4)limx yxyxy微積分（2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但兩兩者者不不相相等等，此此時時也也可可斷斷言言),(yxf在在點點),(000yxP處處極極限限不不存存在在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：微積分閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得

11、兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理微積分思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因為若取原因為若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyx

12、yx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分例例5 5 討論函數(shù)