質點和剛體力學習題課.ppt [修復的]

1、一、質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比一、質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比 (1)質點運動質點運動剛體定軸轉動剛體定軸轉動速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度質量質量 m , 力力 F轉動慣量轉動慣量 J , , 力矩力矩 MM力的功力的功力矩的功力矩的功動能動能轉動動能轉動動能勢能勢能轉動勢能轉動勢能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp cpmghE 質點和剛體力學習題課質點和剛體力學習題課質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比(2)質點運動質點運動剛體定軸轉動

2、剛體定軸轉動牛頓定律牛頓定律轉動定律轉動定律動量定理動量定理角動量定理角動量定理動量守恒動量守恒角動量守恒角動量守恒動能定理動能定理轉動動能定理轉動動能定理機械能守恒機械能守恒機械能守恒機械能守恒amF JM 00diiitivmvmtF const pkEE2022121mvmvA iiiiiivmvm02022121 JJA const pkEE tJJtM000d 00 JJ 參量參量運動運動規(guī)律規(guī)律動因動因時間時間規(guī)律規(guī)律空間空間規(guī)律規(guī)律能量能量關系關系速度：速度：dtrdV 角速度：角速度：dtd 加速度：加速度：22dtrda 角加速度：角加速度：22dtd 勻直：勻直：Vtss

3、0勻角速轉動：勻角速轉動：t 0勻變直：勻變直：atVV 02021attVs asVV2202 勻變速轉動：勻變速轉動：t 02021tt 2202 牛二律：牛二律：amF 轉動定律：轉動定律： JM 動量定理：動量定理：PdtFItt 21動量守恒：動量守恒： 00PF外外角動量定理：角動量定理：0)(21 JJMdttt 角動量守恒：角動量守恒： 00LM外外平動動能：平動動能：221mVEk 力的功：力的功： bardFA動能定理：動能定理：kEA 外外轉動動能：轉動動能：221 JEk 力矩的功：力矩的功： 21 MdA動能定理：動能定理：kEA 外外功能原理：功能原理：0EEAA

4、非保內非保內外外機械能守恒：機械能守恒：00 EAA非保內非保內外外注意：注意：1. 對于剛體，做功的還應有外力矩的功對于剛體，做功的還應有外力矩的功2. 機械能應為勢能機械能應為勢能+平動動能平動動能+轉動動能轉動動能二、有關概念二、有關概念：rVaVmP 21ttdtFI bardFA JL 21ttMdt221 JEk J質點系質點系 2iirm質量連續(xù)分布剛體質量連續(xù)分布剛體 Vdmr2記憶：記憶：均勻直桿：均勻直桿：2121mlJc 231mlJl 均勻圓盤：均勻圓盤：221mRJc 均勻球體：均勻球體：252mRJc 注意：注意：定軸轉動剛體的轉動慣量具有可加性。定軸轉動剛體的轉動

5、慣量具有可加性。復習復習1. 質點和剛體（質點和剛體（mass point, particle and rigid body） 物體不形變，不作轉動（此時物體上各點的速度及加速度物體不形變，不作轉動（此時物體上各點的速度及加速度 都相同，其任一點的運動可以代表物體所有點的運動）。都相同，其任一點的運動可以代表物體所有點的運動）。 物體本身的線度和它活動的范圍相比小得很多（此時物體物體本身的線度和它活動的范圍相比小得很多（此時物體 的形變及轉動顯得并不重要）。的形變及轉動顯得并不重要）。 2. 參考系參考系(reference system)和坐標系（和坐標系（coordinate system

6、） 對物體運動的描寫決定于參考系而不是坐標系。對物體運動的描寫決定于參考系而不是坐標系。 參考系選定后，選用不同的坐標系對運動的描寫是相同的。參考系選定后，選用不同的坐標系對運動的描寫是相同的。 直角坐標系（直角坐標系（rectangular coordinates） 自然坐標系（自然坐標系（natural coordinates） 平面極坐標平面極坐標(planar polar coordinates) 柱坐標系柱坐標系(cylindrical polar coordinates) 坐標系坐標系(spherical polar coordinates) kzjyixr 222zyxrr ,c

7、osrx ,cosry rz cos大?。捍笮。悍较颍悍较颍?r3. 運動的絕對性和運動描述的相對性運動的絕對性和運動描述的相對性(absoluteness of motion and relativity of describing motion)4. 空間和時間（空間和時間（space and time） 空間：是與物體的體積和變化聯(lián)系在一起的，是一切不同空間：是與物體的體積和變化聯(lián)系在一起的，是一切不同位置的概括和抽象。反應了物體的廣延性。位置的概括和抽象。反應了物體的廣延性。 時間：是一切不同時刻的概括和總結。反應了物理世界的時間：是一切不同時刻的概括和總結。反應了物理世界的順序性和持

8、續(xù)性順序性和持續(xù)性5. 位置矢徑和運動方程：位置矢徑和運動方程：(position vector and motion equation)質點的空間位置可以用坐標系中的坐標來表示。質點的空間位置可以用坐標系中的坐標來表示。P 點坐標：點坐標： x , y , zP 點矢徑：點矢徑： r OP6. 運動方程和軌跡方程（運動方程和軌跡方程（motion equation and locus equation） 直角坐標系中：直角坐標系中： )( )()(jtyitxtr (2) 分量式分量式 )(txx )(tyy )(trr (1) 矢量式矢量式質點的質點的運動方程運動方程 位矢隨時間的函數(shù)關系

9、。位矢隨時間的函數(shù)關系。 只討論平面運動的情況只討論平面運動的情況 lim0 vvt (2) (2) 瞬時速度瞬時速度 (簡稱速度簡稱速度) 速度速度 = 位置矢量對時間的一階導數(shù)。位置矢量對時間的一階導數(shù)。 直角坐標系中：直角坐標系中： dd ddddjtyitxtrv 大小：大?。?22yxvvvv jvivyx v方向：方向：沿軌道的切線指向運動方向。沿軌道的切線指向運動方向。 tanxyvv lim0trt ddtr (1-7) (1-9) v yv xv Av 1B 2Br A B ABv lim0vvt 瞬時速率瞬時速率 = 平均速率的極限，平均速率的極限，或或 路程對時間的一階導

10、數(shù)。路程對時間的一階導數(shù)。(2) 瞬時速率瞬時速率 速度是速度是矢量矢量，速率是，速率是標量標量。 一般情況：一般情況： , rs 單向直線運動時：單向直線運動時： , rs ddtsv 10.平均速率和瞬時速率平均速率和瞬時速率 ( (average and instantaneous speed)(1) 平均速率平均速率 dd sr 瞬時速率瞬時速率 = 瞬時速度的大小。瞬時速度的大小。 tsv (1-6) vv vv (1-8) lim0tst ddts (1-8) ddtr ddtr v (2)(2) 瞬時加速度瞬時加速度 (簡稱加速度簡稱加速度) dd22tr 速度對時間的一階導數(shù)速

11、度對時間的一階導數(shù)直角坐標系中：直角坐標系中： 22yxaaaa jaiayx 方向：方向： 大?。捍笮。?a tanxyaa (1-11) dd dd ddjtvitvtvyx dd dd dd222222jtyitxtr a(1-12) (1-13) lim0tvat ddtv 位矢對時間的二階導數(shù)位矢對時間的二階導數(shù) 1 1. 矢量性矢量性: :四個量都是矢量，有大小和方向，四個量都是矢量，有大小和方向，2 2. 瞬時性瞬時性: :3 3. 相對性：相對性：不同參照系中，同一質點運動描述不同；不同參照系中，同一質點運動描述不同； 注意：注意： 瞬時量瞬時量（不同時刻不同不同時刻不同）a,

12、 r, vr過程量過程量 arrv位矢位矢 、位移、位移 、速度、速度 、加速度、加速度 加減運算遵循平行四邊形法則。加減運算遵循平行四邊形法則。 不同坐標系中，具體表達形式不同。不同坐標系中，具體表達形式不同。 12.直角坐標系與自然坐標系直角坐標系與自然坐標系 （rectangular coordinates and natural coordinates ）13. 切向加速度和法向加速度（切向加速度和法向加速度（tangential acc. and normal acc.）14. 角量和線量角量和線量 (angular and linear)15. 勻變速直線運動和勻速圓周運動勻變速直

13、線運動和勻速圓周運動 （uniformly acceleration rectilinear motion and uniformly circular motion motion ） 二、二、 一維直線運動一維直線運動 沿直線取沿直線取 軸坐標軸坐標 x2. 2. 運動方程運動方程 1. 1. 位置坐標位置坐標 x3. 3. 位位 移移 12xxx 4. 4. 速速 度度 0 , i0 , i ddtxv 5. 5. 加速度加速度 dddd22txtva 1x2xx = x (t) ox x三、圓周運動三、圓周運動（circular motion）1. 1. 圓周運動的線量描述圓周運動的線量

14、描述 , )(tss , ddtvat (曲率半徑曲率半徑 R 是恒量是恒量)2. 2. 圓周運動的角量描述圓周運動的角量描述 角坐標角坐標 Oxv sRP 單位：單位： rad , ddtsv , 22ntaaa 2Rvan 運動方程運動方程 )(t 0t 2 1 20tt 3. 3. 勻變速圓周運動勻變速圓周運動 tdd 常量常量 ， Rat常量常量 0tavvt 2 1 20tatvst (1-28) (1-27) 四、平面曲線運動四、平面曲線運動（plane curvilinear motion）一個任意的平面曲線運動，可以視為由一系一個任意的平面曲線運動，可以視為由一系 加速度：加速

15、度： nteeta 2ddvv 曲率半徑曲率半徑列小段圓周運動所組成。列小段圓周運動所組成。O2 2 1O1P1曲率圓曲率圓1曲率圓曲率圓2P21te1ne2ne2te運動軌跡運動軌跡質點運動學問題舉例質點運動學問題舉例運動學問題的基本類型：運動學問題的基本類型：1. 1. 已知運動方程，求質點的速度和加速度。已知運動方程，求質點的速度和加速度。運用微分方法運用微分方法 2. 2. 已知質點的速度已知質點的速度( 或加速度或加速度 ) 和初始條件，和初始條件， 求質點的運動方程及其它未知量。求質點的運動方程及其它未知量。 運用積分方法運用積分方法 運動學計算舉例運動學計算舉例 2R Oxyt

16、0 t P 例例1. 已知：質點運動方程：已知：質點運動方程： ) cos21 (tRx sintRy 求：求： (1) 軌跡；軌跡； (2) 速度；速度； (3) 加速度；加速度； (4) at ，an 。 解：解： (1) 將運動方程改寫為：將運動方程改寫為： , cos2tRRx sintRy 消去參數(shù)消去參數(shù) t 得軌跡方程：得軌跡方程： )2(2 22 RyRx (圓周運動圓周運動) v xv yvt 2R Oxyt P (2) 求求 。 v由運動方程由運動方程 sinddtRtxvx cos ddtRtyvy jvivvyx cos sin jtRitR 大?。捍笮。?22Rvvv

17、yx 方向：方向： , cot tantvvxy 2t 得：得： ) cos21 (tRx sintRy v xv yvt 2R Oxyt P (3) 求求 a , cos dd 2tRtvaxx sin dd 2tRtvayy jaiaayx ) sin cos ( 2jti tR 大?。捍笮。?222Raaayx 方向：方向： , tan tantaaxy t (4) 求求 , , ntaav , 0dd tvat 22RRvan , Rvv a 例例 2.2. 已知已知: : , 0byvvvxy 求求: : 位矢方程位矢方程(運動方程運動方程)； 軌跡方程；軌跡方程； , yyat r

18、 0tv 2021tbvOxyP 解：解： (1) 0byvvvxy dddd 0bytxvty 由由 得：得： 0tvy 代入代入 得：得： , dd0tbvtx , d d0ttbvx x0 t0 2021 tbvx 位矢方程為：位矢方程為： jyixr 2 1 020jtvitbv (2) 由由 0tvy , 021tbvx 消去消去 t 得：得： 202vbyx OxyP r 0tv 2021tbv 220yvbx (3) 22yxvvv )(202vby )(2020vtbv ddtvat )( 2 2 1 202000vtbvbvtbv 202202vybyvb 22tnaaa )

19、(222tyxaaa tvaxxdd d)(dtby 0bv tvayydd 0dd0 tv )(222tyxnaaaa 202222044022204vybyvbvbyvb 202220vybbv 20222020222vybbvvybavn , 2 van )(20232022bvvyb , 0bvax , 0 ya 202202vybyvbat 例例 3. 3. 一質點沿一質點沿 x 軸運動軸運動，已知已知 a = 3 + 6 x2 ，當當 x = 0 時時 v = 0， 求：質點在任意位置時的速度。求：質點在任意位置時的速度。 解：解： ddtva d d tv dx dx ddxvv

20、 632x d)6(3 d 2xxvv v0 x0 )2(3 2132xxv 0v 0 x , 4632xxv 46 3xxv 例例4.4. 一質點由靜止開始作直線運動，初始加速度為一質點由靜止開始作直線運動，初始加速度為 a0 0 ，以后加速以后加速 度均勻增加度均勻增加，每經過每經過 秒增加秒增加 a0 0 ，求：經過求：經過 t 秒后質點的速秒后質點的速 度和運動的距離。度和運動的距離。 , 00taaa 解：據題意知，加速度和時間的關系為：解：據題意知，加速度和時間的關系為： , dd tva d d tav d ) (000ttaavt 2 200tata v0 t0 , 2 200

21、tata ddtxv d)2( d200ttatax t0 x0 62 3020tatax 例例5.5. 一質點在一質點在 Oxy 平面內作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。平面內作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。 已知已知 ax= 2, , ay= 36 t 2。設質點設質點 t0 時時 r0 0 = 0，v0 0 = 0。 d 36 d , d 2 d2ttvtvyx , d 2 d00 tvxtvx 12 3 tvy 12 2 3jtitv dd , ddtvatvayyxx 解：解：(1) d 36 d020 tvyttvy , 2 tvx 求：求：(1) 此質點的運動方程；此質點的運動

22、方程；(2) 此質點的軌道方程，此質點的軌道方程，(3) 此質此質點的切向加速度。點的切向加速度。 dd , ddtyvtxvyx 所以質點的運動方程為：所以質點的運動方程為： , d 2dttx d12d 030 tytty , 2tx (2) 上式中消去上式中消去 t 得得 y = 3 x 2 即為軌道方程?？芍羌礊檐壍婪匠獭？芍菕佄锞€拋物線。 d12d3tty , d2d00 txttx 34ty 2tx 34ty 3 42jtitr 12 , 2 3tvtvyx ddtvat 1444 6222ttvvvyx (3) 1444 8648 21 626tttt 361 2162 42

23、tt 例題例題6 6：一長一長L=4mL=4m，質量，質量M=150kgM=150kg的船，靜止在湖面上。今有一的船，靜止在湖面上。今有一質量為質量為m=50kgm=50kg的人，從船頭走向船尾。求人和船相對于湖面的的人，從船頭走向船尾。求人和船相對于湖面的移動距離。移動距離。解：解：設設t=0t=0時，人在船頭，時，人在船頭，t t時刻，時刻，人到達船尾。人到達船尾。船移動的距離：船移動的距離：dtVSt0tvdts0人移動的距離：人移動的距離：Ss例題例題7 7 質量為質量為m m的小球系在繩子的一端，繩穿過鉛直套管，的小球系在繩子的一端，繩穿過鉛直套管，使小球限制在一光滑水平面上運動。先

24、使小球一速度使小球限制在一光滑水平面上運動。先使小球一速度v v0 0繞繞管心作半徑為管心作半徑為r r0 0的圓周運動，然后向下拉繩子，使小球運的圓周運動，然后向下拉繩子，使小球運動半徑變?yōu)閯影霃阶優(yōu)閞 r1 1。求小球的速度以及外力所作的功。求小球的速度以及外力所作的功。v0F r0 r1 角動量守恒角動量守恒動能定理：動能定理：例題例題8 8 由角動量守恒定律證明開普勒第二定律：由角動量守恒定律證明開普勒第二定律：rrd有心力作用角動量守恒有心力作用角動量守恒 證畢證畢力矩的計算舉例力矩的計算舉例例例 1 1：水平桌面上勻質細桿長：水平桌面上勻質細桿長 l ，質量，質量 m，繞一端垂直軸

25、轉動，繞一端垂直軸轉動， 已知摩擦系數(shù)為已知摩擦系數(shù)為 ，求：細桿受的摩擦力矩，求：細桿受的摩擦力矩 Mf 。 rrdmdfdO解：解： ddrlmm rglmgmfd d d frfrMd 2sind df 方向：方向： fM d d d 0 f f lrrglmfrMM 21lgm 例例 2 2：水平桌面上勻質薄圓盤半徑：水平桌面上勻質薄圓盤半徑 R ，質量，質量 m ，繞中心垂直軸，繞中心垂直軸 轉動，已知摩擦系數(shù)為轉動，已知摩擦系數(shù)為 ，求：圓盤受的摩擦力矩，求：圓盤受的摩擦力矩 MMf f 。解：解： 選細圓環(huán)，半徑選細圓環(huán)，半徑 r ，寬，寬 dr rrRmm d 2 d2 , d

26、 2 drrS rgmrfM d ddf 方向：方向： d 2 d02 ffrgrrRmMMR R 3 2 Rgm d 2 022 RrrRgm rdr(1) 轉軸過中心與桿垂直轉軸過中心與桿垂直 取質元：取質元： xlmmdd d d2222 llxlmxmrJ(2) 轉軸過棒一端與棒垂直轉軸過棒一端與棒垂直 31d d2022lmxlmxmrJl 轉動慣量轉動慣量J J 的計算舉例的計算舉例 例例1: 1: 勻質細桿的勻質細桿的 J 。 OxxOxdmxdxdmxd 1212lm 取質元：取質元： d dlm d d22lRmRJ 2 Rm RmO其中：其中： RlR 202 d 2 Rm

27、 例例 2 2: 均勻細圓環(huán)的均勻細圓環(huán)的 J (質量質量 m，半徑，半徑 R，軸過圓心垂直環(huán)面軸過圓心垂直環(huán)面)。 2 2RR dm取細圓環(huán)取細圓環(huán) d 2 d0 322 RrrRmmrJ dd2mrJ 例例3: 3: 勻質薄圓盤的勻質薄圓盤的 J (質量質量 m ，半徑半徑 R ，軸過圓心垂直盤面，軸過圓心垂直盤面)。 2 Rm d 2 drrm 其中：其中： 212mR Rrdr d 2 2 2rrRmr 例例 1 1 :一勻質細桿長為一勻質細桿長為 L ，質量為，質量為M， 可繞通過可繞通過OO點的水平軸轉動，點的水平軸轉動，當桿從水平位置自由釋放后當桿從水平位置自由釋放后, , 它在

28、豎直位置上與放在光滑水平面的它在豎直位置上與放在光滑水平面的質量為質量為 m 的小滑塊相撞的小滑塊相撞 。求。求: : 相撞前后桿的角速度。相撞前后桿的角速度。解解: : 除重力外除重力外, , 其余內力與外力都不作功，其余內力與外力都不作功， 故故機械能守恒機械能守恒： 桿自由擺落的過程。桿自由擺落的過程。 21221 JLMg 功能關系功能關系計算舉例計算舉例有兩個物理過程：有兩個物理過程： 得：得： 31Lg COMLm )31 (21212 ML 碰撞時間極短碰撞時間極短, , 沖力極大沖力極大, , 系統(tǒng)對系統(tǒng)對 OO 軸的軸的角動量守恒角動量守恒，設順時針為正：，設順時針為正： )

29、31()31(2212 MLmvLML 碰撞過程碰撞過程 v得：得： 31 12LMvm 桿以角速度桿以角速度 與滑塊與滑塊 相碰，相碰，碰后桿的角速度變?yōu)榕龊髼U的角速度變?yōu)?，滑塊獲得，滑塊獲得水平向左的速度水平向左的速度 。1 m2 v 0 0，順時針順時針； 2 0 0，逆時針逆時針 2 3 3 MLvmLg COMLm 例例 3 3 質量為質量為MM ，長，長 l 的勻質細桿一端懸掛于光滑的的勻質細桿一端懸掛于光滑的O點，質點，質量為量為 m 的子彈以水平速度的子彈以水平速度 v 從從 A 點射入桿并陷入其中，使桿轉動點射入桿并陷入其中，使桿轉動的最大角度為的最大角度為 30。已知。已

30、知 OA = l，求：子彈入射速度。，求：子彈入射速度。解：解： 兩個物理過程兩個物理過程 子彈以子彈以 v 射入桿內與桿獲得共同角速度射入桿內與桿獲得共同角速度 的過程，系統(tǒng)的過程，系統(tǒng)角動量守恒角動量守恒： )31(22lmMllmv 桿擺動過程僅重力矩做功，桿擺動過程僅重力矩做功，系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒：)30cos1)(2()31(21222 lmglMglmMl 聯(lián)立聯(lián)立 解得：解得： )3)(2)(32(6122lmMllmMlglmv ov30Al Mgmg 例例4: 4: 定軸轉動圓盤質量定軸轉動圓盤質量 MM，半徑，半徑 R ，初角速，初角速 0 0 。一個質量。一個質

31、量 為為 m 的子彈以速度的子彈以速度 v 水平射入盤邊緣并嵌入盤中，求：水平射入盤邊緣并嵌入盤中，求：(1) 盤獲盤獲得的角速度；得的角速度；(2) 系統(tǒng)動能的改變；系統(tǒng)動能的改變；(3) 盤獲得的沖量矩。盤獲得的沖量矩。(1) 系統(tǒng)系統(tǒng)角動量守恒角動量守恒，設逆時針為正：，設逆時針為正： )21( )21(2202 mRMRmvRMR (2) )21(2121 )21 (212022222 MRmvmRMREk (3) 022)21()21( MRMRL 解：解： RMvm0 o三、三、應用應用-牛二律及轉動定律：牛二律及轉動定律：二者解決問題的方法相類：二者解決問題的方法相類：取研究對象

32、；取研究對象； 作受力分析；作受力分析； 列方程求解。列方程求解。常見的情況為兩者的結合，主要形式有：常見的情況為兩者的結合，主要形式有：（繩的一端（繩的一端固定于滑輪）固定于滑輪）1G1T1N0 f2G2T3G3N1T2Ta1G1T1N0 af2G2T3G1T3N2T1G1T2G2TG1TN2T1G1TGN1T 階梯輪階梯輪1R2R1Tgm1gm22T2T1TmgN 1a2a 分析受力后，應設定各分析受力后，應設定各物的加速度方向。物的加速度方向。物塊：物塊：2222amTgm 1111amgmT 滑輪：滑輪： JRTRT 1122連帶條件：連帶條件：111 Ra 222 Ra 21:且且1

33、Tgm1gm22TgM1N1T3TgM2N2T3T 1 2 1a2a連帶條件：連帶條件：111 Ra 222 Ra 21:aa 且且例例 1.1.求長鏈條從靜止開始剛剛離開粗糙桌邊時的速度。求長鏈條從靜止開始剛剛離開粗糙桌邊時的速度。 解：解：(1) 建坐標系如圖建坐標系如圖 注意：摩擦力作負功！注意：摩擦力作負功！f )( gxLLmNf drfALaf )21( 2LaxLxLmg )(2 2aLLmg d )( xxLLmgLa xOx xL 動力學計算舉例動力學計算舉例(2) 對鏈條應用動能定理：對鏈條應用動能定理： 2)( 2LaLmgAf 前面已得出：前面已得出： 2121202m

34、vmvAAAfp 212mv drPALap d xxLmgLa )(222aLLmg 21)(2 )(2 2222mvaLLmgaLLmg )()(222aLaLLgv 得：得： 例例 2. 2. 質量為質量為 2 kg 的質點在變力的質點在變力 (SI) 作用下，作用下， 12 i tF 從靜止出發(fā)，沿從靜止出發(fā)，沿 x 軸正向作直線運動。軸正向作直線運動。解：解：一維運動：一維運動： , d d 00 vvttav d00 ttavv d 00tmFt d 212 0ttt 32t d312 302tttA d 36330tt 94t J 729 求：前三秒內該力所作的功。求：前三秒內該

35、力所作的功。 d 00 ttavv , dd tva d30rFA d30tvF d 12 30 tvt例例3 ：如圖，一質量為：如圖，一質量為m 長為長為L 的勻質細桿，在水平面上繞其端的勻質細桿，在水平面上繞其端 點點 o 轉動。若初始角速度為轉動。若初始角速度為 0 ，細桿與水平面的滑動摩，細桿與水平面的滑動摩 擦系數(shù)為擦系數(shù)為 。 求：求： 細桿所受摩擦力矩；細桿所受摩擦力矩； 若細桿只受此摩擦力矩作用，它轉動多少圈停止？若細桿只受此摩擦力矩作用，它轉動多少圈停止？ O解：解： 在距軸為在距軸為l 處取一微元處取一微元dl dll則其質量為：則其質量為： dm = m/L dl分析此微

36、元受力情況。分析此微元受力情況。gdm Vdf此微元所受的摩擦力矩元為：此微元所受的摩擦力矩元為：dfldMf gdml ldlLmg 作用在細桿上的總摩擦力矩為：作用在細桿上的總摩擦力矩為： LffdMM0 LldlLmg0 mgL 21 方向：方向： 豎直向下。豎直向下。若設初始角速度方向為正，則若設初始角速度方向為正，則Mf 0dN 若細桿只受此摩擦力矩作用，它轉動多少圈停止？若細桿只受此摩擦力矩作用，它轉動多少圈停止？ LffdMM0 LldlLmg0 mgL 21 方向：方向： 0轉動定律：轉動定律： JM JM 23121mLmgL Lg23 勻變速轉動規(guī)律：勻變速轉動規(guī)律： 22

37、02當細桿停止轉動時，角位移為：當細桿停止轉動時，角位移為： 2020 gL 320 故：當細桿停止轉動時，一共轉過的圈數(shù)為：故：當細桿停止轉動時，一共轉過的圈數(shù)為： 2 ngL 620 Odllgdm VdfdN例例4：光滑水平面上放有一質量為：光滑水平面上放有一質量為M 的木塊，木塊與一勁度系數(shù)的木塊，木塊與一勁度系數(shù) 為為k 的彈簧相連，彈簧的另一端固定在的彈簧相連，彈簧的另一端固定在O 點。一質量為點。一質量為m 的的 子彈以初速子彈以初速V0 沿垂直于沿垂直于OA 的方向射向木塊，并嵌在其內。的方向射向木塊，并嵌在其內。 初始時彈簧原長為初始時彈簧原長為L0 ，撞擊之后木塊撞擊之后木

38、塊M 運動到運動到 B 點時，彈點時，彈 簧長度變?yōu)榛砷L度變?yōu)長 ，此時此時 OBOA 。 求：在求：在B 點時木塊點時木塊M 運動速度的大小及方向。運動速度的大小及方向。oA0VB0LL解：解： 1. 子彈射入木塊瞬間：子彈射入木塊瞬間：以子彈、木塊為研究對象以子彈、木塊為研究對象, 0 xF則動量守恒：則動量守恒：1V10)(VMmmV 10()VmVmM2. 子彈與木塊共同從子彈與木塊共同從 A 至至B 的過程：的過程：oA0VB0LL1V)(01MmmVV 2. 子彈與木塊共同從子彈與木塊共同從 A 至至B 的過程：的過程：以子彈、木塊、彈簧為對象以子彈、木塊、彈簧為對象0 非保內非保

39、內外外AA則：機械能守恒。則：機械能守恒。V20221)(21)(21)(21LLkVMmVMm )()()(202202MmLLkMmVmV 0 外外M則：角動量守恒。則：角動量守恒。 LVMmLVMm )()(01LVMm sin)( )()(sin20202001MmLLkVmLLmV sinVV例例5：質量為：質量為m 的小圓環(huán)套在長為的小圓環(huán)套在長為l ，質量為質量為 M 的光滑均勻桿的光滑均勻桿AB 上。桿上。桿AB可以繞過其可以繞過其A 端的固定軸在水平面上自由旋轉。開端的固定軸在水平面上自由旋轉。開 始時，桿旋轉的角速度為始時，桿旋轉的角速度為 0 ，而小環(huán)位于，而小環(huán)位于A

40、點處；當小環(huán)受點處；當小環(huán)受 到一微小的擾動后，即沿桿向外滑行。到一微小的擾動后，即沿桿向外滑行。 求：當小環(huán)脫離桿時的速度（方向用與桿的夾角求：當小環(huán)脫離桿時的速度（方向用與桿的夾角 表示）表示）ABlmM0 解：解：全過程角動量守恒、機械能守恒。全過程角動量守恒、機械能守恒。1. 環(huán)自環(huán)自A運動至運動至B（脫離桿之前），脫離桿之前）， B 處兩者具有相同的角速度處兩者具有相同的角速度 1角動量守恒：角動量守恒：1100 JJ 031:20 MlJ其中其中22131mlMlJ )3(01mMM 2. 環(huán)脫離桿。環(huán)脫離桿。設：脫離后瞬間，桿具角速度設：脫離后瞬間，桿具角速度 2 ，環(huán)具速度，環(huán)

41、具速度V（與桿夾角與桿夾角 ）V ABlmM0 V )3(01mMM 2. 環(huán)脫離桿。環(huán)脫離桿。設：脫離后瞬間，桿具角速度設：脫離后瞬間，桿具角速度 2 ，環(huán)具速度，環(huán)具速度V（與桿夾角與桿夾角 ）角動量守恒：角動量守恒：lVmJJ sin22112231:MlJ 其中其中連帶關系：連帶關系： VV sin VV sinl2 21 機械能守恒：機械能守恒：2222200212121mVJJ )23(30MmMmMlV )23(sin1MmMM 例例6：有一輕繩跨過質量可略去不計的定滑輪。繩的一端系一重：有一輕繩跨過質量可略去不計的定滑輪。繩的一端系一重 物，另一端有一人抓住繩子。設此人由靜止以

42、相對繩子的物，另一端有一人抓住繩子。設此人由靜止以相對繩子的 速度速度u勻速向上爬。勻速向上爬。 求：重物相對地面的速度。設人與重物的質量相等。求：重物相對地面的速度。設人與重物的質量相等。mm解：解：由于人勻速運動且與木塊質量相同，故由于人勻速運動且與木塊質量相同，故：滑輪兩端繩子的張力相等?；唭啥死K子的張力相等。1T2T21TT 即：即：對滑輪輪軸的轉動：對滑輪輪軸的轉動：0)(12 RTTM外外則角動量守恒。則角動量守恒。設：豎直向上為正方向。設：豎直向上為正方向。正向正向人：人： 相對繩的速度為相對繩的速度為u ;設繩相對于地面的速度為設繩相對于地面的速度為-u; 則：人相對于地面的

43、速度為：則：人相對于地面的速度為：物：物： 相對繩的速度為相對繩的速度為; 繩相對于地面的速度為繩相對于地面的速度為u；則：物相對于地面的速度為：則：物相對于地面的速度為：1uuV 02 u22uuV u 人相對于地面的速度為：人相對于地面的速度為：V1=u-u物相對于地面的速度為：物相對于地面的速度為：mm1T2T正向正向V2=u角動量守恒：角動量守恒：RmVRmV210 ) (mRuuumR uu21 即：物塊對地面的速度為：即：物塊對地面的速度為：uuV212 且：人對地面的速度為：且：人對地面的速度為：uuuV211 相同相同 把演員視為質點把演員視為質點, a 、b 和蹺和蹺 板作為

44、一個系統(tǒng)板作為一個系統(tǒng), 以通過點以通過點C 垂直平面的軸為轉軸。垂直平面的軸為轉軸。 由于作用在系統(tǒng)上的合外力由于作用在系統(tǒng)上的合外力 矩為零，故矩為零，故 系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒：例例7. 演員演員a 從高從高 h 處自由下落至處自由下落至 A，求演員，求演員 b 被翹板彈起被翹板彈起所達到的高度所達到的高度 2 )(2 lvmJJlvmbaa 板板 演員演員a 從高從高 h 處自由下落至處自由下落至 A ，機械能守恒機械能守恒： 21 2avmhgm 解：解： 共有三個物理過程共有三個物理過程 bhaCABlMmm2/ l其中：其中： , 12 12 lMJ 板板 2 2 gvhb

45、 這樣演員這樣演員 b 將以速率將以速率 v b 跳起，跳起， 達到的高度達到的高度 h 為：為： 211212 22mlMllvma , ) 2 ( 2lmJa 2lvb 聯(lián)立解聯(lián)立解 得得 演員演員 b 向上運動達最大高度向上運動達最大高度 h，機械能守恒機械能守恒： 212 hgmvmb )6(26 lmMghm 8 22gl 632hmMm 例例8：圖示系統(tǒng)中，已知斜面傾角：圖示系統(tǒng)中，已知斜面傾角 、物塊質量、物塊質量m、滑輪的轉動慣滑輪的轉動慣 量量J、滑輪半徑滑輪半徑R、彈簧勁度系數(shù)彈簧勁度系數(shù)k 。設：斜面光滑；初始狀設：斜面光滑；初始狀 態(tài)時物塊態(tài)時物塊m靜止，彈簧為原長。靜止，彈簧為原長。 求求： 物塊運動至何處時達到最大速度？最大速度是多少？物塊運動至何處時達到最大速度？最大速度是多少？ 物塊下落的最遠位置在哪里？物塊下落的