低速空氣動力學理論與計算：第五章

1、低速空氣動力學理論與計算第五章：黏性流寄出和低速邊界層1本章主要內容一描述黏性流動的NS方程二流動相似率和相似性參數三邊界層的概念和方程 邊界層分離四湍流基本知識2引言本章考慮流體粘性的規(guī)律和研究方法研究對象是低速不可壓縮黏性流體研究對象的選擇研究方法數學工具基本結論3NavierStokes方程NS方程是描述黏性流體運動的基本方程其特點是高度的非線性，關于NS方程幾乎沒有什么明確的數學理論和有效的研究方法CFD方法是目前最為有效的NS方程求解辦法4NavierStokes方程應力的記法應力分量之間的關系（直角坐標）粘性應力和速度梯度之間的關系運動方程和邊界條件5應力的記法在無粘流體中，任意劃

2、一小塊平面，作用在平面上的流體只有法向力，沒有切向力在黏性流體中，還包括切向力6可以看作一個總合應力的三個投影切應力分量之間的關系九個應力分量并不獨立（六個切向應力分量兩兩相等），只有六個獨立的應力分量，三個法向，三個切向7粘性應力和速度梯度之間的關系微團運動學（角變形率和線變形率）從產生應力的角度看，固體和流體的不同在于：固體有變形就有應力，流體需要有固體有變形就有應力，流體需要有變形率（單位時間的變形）存在才有應力變形率（單位時間的變形）存在才有應力流體的應力與流體微團的角變形率和線變形率直接相關（用速度的各導數以及粘性系數來表達粘性應力）8粘性應力和速度梯度之間的關系流體的應力：法應力和

3、切應力，隨受力面的方位而定，在流體內部一個指定點上總在流體內部一個指定點上總可以找到一個坐標系，在此坐標系上三個可以找到一個坐標系，在此坐標系上三個坐標平面上作用的應力只有法應力，沒有坐標平面上作用的應力只有法應力，沒有切應力（主應力）切應力（主應力）三維的證明是非常麻煩的，我們在二維中說明方法，很容易推廣到三維9粘性應力和速度梯度之間的關系存在主應力的證明 這個證明很容易推廣到三維這個證明很容易推廣到三維10粘性應力和速度梯度之間的關系坐標轉動時速度及其導數的變換規(guī)律：任意坐標系上的線變形率和角變形率用主應力上的線變形率表達11粘性應力和速度梯度之間的關系散度與坐標系取法無關流場中P點的三個

4、法應力之和是不變量，等于三個主應力之和在靜止的流體中，法應力與坐標方位無關在運動的粘性流體中，三個法應力不一定相等，其和為常數-3p，p為該點平均壓強12粘性應力和速度梯度之間的關系六個應力分量的主應力表達13粘性應力和速度梯度之間的關系需要一個假設才能得到應力與速度梯度之間的關系式：式中和是常數，二者不獨立14粘性應力和速度梯度之間的關系法應力與速度梯度的關系： 注意：散度不變量和線變形率的坐標變換15粘性應力和速度梯度之間的關系粘性應力與速度梯度的關系： 注意：此處的就是流體的黏性系數；回憶第一章是一維的特例 vy=016運動方程有了應力的速度導數表達式后可以寫出粘性流體的運動方程（無論是

5、否考慮流體的粘性，運動方程都是動量守恒方程）考慮粘性流體時，與Euler方程相比，多出切應力，共六個應力列入方程17運動方程NavierStokes方程： 粘性流體滿足的運動方程粘性流體滿足的運動方程前面使用的假設（牛頓流體假設）是分子動力學基礎的，沒有不滿足的反例前面使用的假設（牛頓流體假設）是分子動力學基礎的，沒有不滿足的反例18邊界條件固體邊界：無滑移條件流體邊界（兩種速度不同的流體相鄰）：流體邊界的兩側流速平行，應力大小相等方向相反19例子求解二維平行壁之間的粘性流動（二維壁面固定）20例子求解二維平行壁之間的粘性流動（二維壁面一個固定，另一個以均勻速度U向右運動）21流動相似率和相似

6、性參數考慮粘性作用，符合什么條件兩個流動相似？流場1和2流場參數見右，r是比例系數幾何相似：外形成比例動力相似：寫出流場2的運動方程，把流場2的各參數用流場1的參數表達22流動相似率和相似性參數流場2的運動方程（x方向）用流場1的參數表示23流動相似率和相似性參數方程的各不同類型的項都出來一個由各比例系數組成的數，如果這些數彼此相等，流場2的方程就變成流場1的方程，邊界條件同理，流動就相似了流場相似要求 24流動相似率和相似性參數第1，2部分相等第2，3部分相等第2，4部分相等第2，5部分相等25流動相似率和相似性參數四個等式規(guī)定了四個相似性參數（或稱為四個相似性準則）：St：Strouhal

7、數 非定常判據Fr：Froude數 慣性力與重力之比Ma：Mach數 速度與聲速之比Re：Reynolds數 慣性力與黏性力之比在實驗中這些參數同時滿足幾乎不可能，只能抓住主要矛盾，滿足最重要的無量綱參數26邊界層的概念和邊界層方程邊界層概念的引出理想流體模型無法求解阻力粘性流體方程過于復雜，無法求解，不能滿足線性迭加出路：對流場區(qū)別對待，當Re很大時無粘區(qū)壁面附近慣性力與黏性力同等作用的區(qū)域邊界層研究邊界層的意義27邊界層方程定常NS方程（以二維為例）量階分析28邊界層方程邊界層方程29邊界層方程平板層流邊界層的解30邊界層厚度邊界層厚度的討論31平板邊界層的厚度是隨板的縱向長度增長的，且按

8、照拋物線規(guī)律增長摩擦阻力系數局部摩擦阻力系數：單位面積的摩擦力除以來流動壓頭平板的摩擦應力局部摩擦阻力系數平板平均摩阻系數（單面）總摩擦阻力除以來流動壓頭再除以平板面積（二維板寬為1，Re用板長計）32位移厚度位移厚度層外主流被擠出去的距離 例：平板的位移厚度33動量損失厚度動量損失厚度例：平板的動量損失厚度34Von Karman積分邊界層方程盡管比NS方程簡單很多，但仍舊難以直接求解卡門對邊界層流動動量定理使用動量定理（控制面內流體在某個方向的動量總增加率等于作用在控制面上所控制面內流體在某個方向的動量總增加率等于作用在控制面上所有作用力在該方向的分力有作用力在該方向的分力）得到一個積分關

9、系式，具有較大的實用價值以二維定常問題為例35邊界層流動分離在邊界層內：順壓梯度p/x0則使邊界層增厚的過程加快分離問題：對于邊界層方程，在壁面上此式左側代表邊界層內速度分布曲線的二階導數，此值為0代表拐點，vx/y由負變正的地方36邊界層流動分離在平板流中，U=常數，p/x=0，平板的速度分布曲線的拐點在y=0處；從y=0起，有一個很大的vx/y值，隨著y增大， vx/y單調下降，直到邊界層的外邊界y=處， vx/y降為0。37邊界層流動分離在繞曲面的流動中加速段U/x0，相應的p/x0，是順壓梯度，由上頁方程看vx/y 在壁面附近隨著y上升而下降，從y=0起到y(tǒng)=一直下降，邊界層內不會出現拐點。減速段U/x0，是逆壓梯度，0。在壁面附近開始vx/y 隨著y增大而增大，到邊界層外邊界y=處， vx/y必然降為0，這樣就可以知道在這種流動中vx/y后來必然改為下降，可知在邊界層內部一個y處應該出現拐點。速度分布曲線有拐點是分離的必要條件38邊界層流動分離分離點上速度分布的特點是邊界層外邊界速度分布曲線在y=0與y=之間某處必有一拐點拐點的存在不是分離的充分條件。順壓梯度或無壓力梯度的邊界層流動里不會發(fā)生分離；逆壓梯度的邊界層流動里可能發(fā)生分離。39邊界層流動分離從物理角度分