高中數(shù)學《基本不等式均值不等式》課件新人教A版必修

1、3.4.1基本不等式-均值不等式教學目標教學目標 推導并掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理；利用均值定理求極值。了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。 教學重點：教學重點：推導并掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理；利用均值定理求極值。了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（當且僅當（當且僅當a=b時取時取“=”）證明：證明：222)(2baabba0)(0)(22babababa時，當時，當abba2221指出定理適用范圍：指出定理適用范圍： Rba,2強調(diào)取強調(diào)取“=”的條件：的條件： ba 定

2、理：定理： 如果如果a, bR+，那么，那么 abba2（當且僅當（當且僅當a=b時，式中等號成立）時，式中等號成立）證明：證明： 22()()2aba b abba2 即：即： abba2當且僅當當且僅當a=b時時abba2均值定理：均值定理：注意：注意：1適用的范圍：適用的范圍：a, b 為非負數(shù)為非負數(shù). 2語言表述：語言表述：兩個非負數(shù)兩個非負數(shù)的算術平的算術平均數(shù)均數(shù)不小于不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。稱稱2ab為為a，b的算術平均數(shù)，的算術平均數(shù)，3.我們把不等式我們把不等式 (a0,b0)2abab稱為基本不等式稱為基本不等式稱稱ab的幾何平均數(shù)。的幾何平均數(shù)。為為a

3、，b2ab把把看做兩個看做兩個正數(shù)正數(shù)a，b的等差中項，的等差中項，ab看做看做正數(shù)正數(shù)a，b的等比中項，的等比中項，那么上面不等式可以敘述為：那么上面不等式可以敘述為： 兩個正數(shù)的等差中項兩個正數(shù)的等差中項不小于不小于它們的等比它們的等比中項。中項。 還有沒有其它的證明方法證明上面還有沒有其它的證明方法證明上面的基本不等式呢的基本不等式呢?幾何直觀解釋：幾何直觀解釋：令令正正數(shù)數(shù)a，b為為兩兩條條線線段段的的長，長，用用幾幾何何作作圖圖的的方方法，法，作作出出長長度度為為 和和的的兩兩條條線線段，段，然然后后比比較較這這兩兩條條線線段段的的長。長。2a b a b具體作圖如下：具體作圖如下：

4、（1）作線段）作線段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB為直徑作半圓為直徑作半圓O；（3）過）過D點作點作CDAB于于D，交半圓于點，交半圓于點C（4）連接）連接AC，BC，CA，則，則2abOCCDababa+b2ba ODCBA當當ab時，時，OCCD，即，即2abab當當a=b時，時，OC=CD，即，即2abab例例1已知已知ab0，求證：，求證： ，并，并推導出式中等號成立的條件。推導出式中等號成立的條件。2baab證明：因為證明：因為ab0，所以，所以 ，根據(jù)均值不等式得根據(jù)均值不等式得0,0baab22bab aaba b即即2baab當且僅當當且僅當 時，即時

5、，即a2=b2時式中等號時式中等號成立，成立，baab因為因為ab0，即，即a，b同號，所以式中等號成同號，所以式中等號成立的條件是立的條件是a=b.例例2（1）一個矩形的面積為）一個矩形的面積為100m2，問，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是）已知矩形的周長是36m，問這個矩，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？最大面積是多少？分析：在（分析：在（1）中，矩形的長與寬的乘積是）中，矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù)，求長與寬

6、的和的一個常數(shù)，求長與寬的和的2倍的最小值；倍的最小值；在（在（2）中，矩形的長與寬的和的）中，矩形的長與寬的和的2倍是一個倍是一個常數(shù)，求長與寬的乘積的最大值。常數(shù)，求長與寬的乘積的最大值。解：（解：（1）設矩形的長、寬分別為）設矩形的長、寬分別為x(m)，y(m)，依題意有，依題意有xy=100(m2)，因為因為x0，y0，所以，所以，2xyxy因此，即因此，即2(x+y)40。 當且僅當當且僅當x=y時，式中等號成立，時，式中等號成立，此時此時x=y=10。因此，當這個矩形的長與寬都是因此，當這個矩形的長與寬都是10m時，時，它的周長最短，最短周長是它的周長最短，最短周長是40m.（2）

7、設矩形的長、寬分別為）設矩形的長、寬分別為x(m)，y(m)，依題意有依題意有2(x+y)=36，即，即x+y=18，因為因為x0，y0，所以，所以， 2xyxy因此因此 xy 9將這個正值不等式的兩邊平方，得將這個正值不等式的兩邊平方，得xy81,當且僅當當且僅當x=y時，式中等號成立，時，式中等號成立，此時此時x=y=9，因此，當這個矩形的長與寬都是因此，當這個矩形的長與寬都是9m時，時，它的面積最大，最大值是它的面積最大，最大值是81m2。規(guī)律：規(guī)律： 兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；最小值； 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，

8、它們的積有最大值。最大值。例例3求函數(shù)求函數(shù) 的最大的最大值，及此時值，及此時x的值。的值。223( )(0)xxf xxx解：解： ，因為，因為x0，3( )1 (2)f xxx 所以所以3322 22 6xxxx得得3(22 6xx)-因此因此f(x) 1 2 6當且僅當當且僅當 ，即，即 時，式中等時，式中等號成立。號成立。32xx232x 由于由于x0，所以，所以 ，式中等號成立，式中等號成立，62x 因此因此 ，此時，此時 。max( )1 2 6f x 62x 下面幾道題的解答可能下面幾道題的解答可能有錯有錯，如果，如果錯了錯了，那么那么錯錯在哪里？在哪里？已知函數(shù)已知函數(shù) ，求函

9、數(shù)的，求函數(shù)的最小值和此時最小值和此時x的取值的取值xxxf1)(.2112121)(:取到最小值時函數(shù)即當且僅當解xxxxxxxxf 運用均值不等式的過程中，忽略了運用均值不等式的過程中，忽略了“正數(shù)正數(shù)”這個條件這個條件已知函數(shù)，已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值)2(23)(xxxxf。的最小值是時，函數(shù)即當且僅當解：6323223223)(xxxxxxxxxf 用均值不等式求最值，必須滿足用均值不等式求最值，必須滿足“定值定值”這這個條件個條件的最小值。，（其中求函數(shù)20sin4sin 3y。函數(shù)的最小值為解：4, 4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必須注意必須注意 “相等相等” 的條的條件件.如果取等的條件不成立如果取等的條件不成立,則不能取到該最值則不能取到該最值. 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并說明此時并說明此時x,y的值