比和比例知識在小學數(shù)學解題中的巧妙運用

1、第二講比和比例教學目標:1、比例的基本性質(zhì)2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題3、能夠進行各種條件下比例的轉化，有目的的轉化;4、單位“1”變化的比例問題 5、方程解比例應用題知識點撥：這一部分內(nèi)比例與百分數(shù)作為一種數(shù)學工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關系非常有用, 容也是小升初考13t的重要內(nèi)容 .通過本講需要學生掌握的內(nèi)容有：、比和比例的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1:2：3:4:若若若若a: b=ca: b=ca: b=ca: b=cd, d, d, d,則(a + c)： (b + d)= a： b=c： d;貝U(a-c)： (b - d)= a： b=c： d;貝U (a +x c) ：

2、 (b +xd)=a： b=c： d; (x 為常數(shù))貝U aM = b xc；（即外項積等于內(nèi)項積）正比例:反比例:如果a4=k（k為常數(shù)），則稱 如果axb=k（k為常數(shù)），則稱a、a、b成正比;b成反比.二、主要比例轉化實例yZ x yD x yx ymxmyxma(其中 mbm 0) x的c等于acdy的d,bac一;x:bdy: z ac: bc: bd則x是y的ad , bcy是x的匹. ad三、按比例分配與和差關系按比例分配例如：將x個物體按照a: b的比例分配給甲、乙兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物體數(shù)量與x的比分別為a: a b和b: a b ,所以甲分配到 一a

3、x-個，乙分a b配到上人個.a b已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題例如：兩個類別 A、B,元素的數(shù)量比為 a:b（這里a b）,數(shù)量差為x,那么A的元素數(shù)量為里，B的元素數(shù)量為 旦，所以解題的關鍵是求出a b與a或b的比值.a ba b四、比例題目常用解題方式和思路解答分數(shù)應用題關鍵是正確理解、運用單位“ l”。題中如果有幾個不同的單位“1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1”，轉化成統(tǒng)一的單位“ 1”，使數(shù)量關系簡單化，達到解決問題的效果。在解答分數(shù)應用題時，要注意以下幾點： 1.題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位 “1”。2

4、 .若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。3 .應用正、反比例性質(zhì)解答應用題時要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關系，就能找到更好、更巧的解法。4 .題中有明顯的等量關系，也可以用方程的方法去解。5 .賦值解比例問題 例題精講: 模塊一、比例轉化【例1】【解析】【例2】 【解析】【例3】【解析】【例4】【解析】【鞏固】已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的1 ,乙等于甲、丙兩數(shù)和的 1 ,32 一，一一 5 .一 一丙等于甲、乙兩數(shù)和的 -,求甲：乙：丙.7由甲等于乙、丙兩數(shù)和的 1,得到

5、甲等于三個數(shù)和的1- 1 ,同樣的乙等于甲、33+1 41155丙兩數(shù)和的，1 ,同樣的丙等于甲、乙兩個數(shù)和的一5 ，所以 2+1 37 5 12一一 1 1 5甲：乙：丙 一 ：- ：一 3: 4:5 .4 3 12已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的-,那么甲的 工、乙33的2倍、丙的一半這三個數(shù)的比為多少？, 一 ,、一，2、* ，一 一、 ，一甲的一半、乙的2倍、丙的士這三個數(shù)的比為1:1:1 ,所以甲、乙、丙這三個數(shù)的3比為1 1 : 1 2 : 1 2即24：3,化簡為4:1:3，那么甲的2、乙的2倍、丙232 23的一半這三個數(shù)的比為42：1 2 : 3 1即3：

6、2:鄉(xiāng)，化簡為16:12:9 .3232如下圖所示，圓 B與圓C的面積之和等于圓 A面積的-,且圓A中的陰影部分面5C的陰影部分面積積占圓A面積的1 ,圓B的陰影部分面積占圓B面積的1 ,圓65占圓C面積的1 .求圓A、圓B、圓C的面積之比.3設A與B的共同部分的面積為八5ABC 6xy,x4式子可化簡為B 15C,所以x , A與C的共同部分的面積為 y,BC5y C ,于是得到-B C 65345 一 一 一一. 一A 5 B C 20C.最后得到 A:B:C4則根據(jù)題意有B C ,這條5320:15:1 .某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組.已知甲、乙、丙三組的人數(shù)

7、比是10:8:7 ,甲組中男、女會員的人數(shù)之比是3:1 ,乙組中男、女會員的人數(shù)之比是5:3 .求丙組中男、女會員人數(shù)之比.以總人數(shù)為1,則甲組男會員人數(shù)為 且，女會員為21 -,10 8 7 3 1 1010 3 10乙組男會員為 一8- 1,女會員為1 -；丙組男會員為10 8 7 5 3 55 5 251 工，女會員為-;所以，丙組中男、女會員人3+210 5103+210 2550數(shù)之比為：5:9 .10 50一項公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個工程隊建設，兩個工程隊建設了相同多的一段時間后，分別剩下60%、40%的任務沒有完成，已知兩個工程隊的工作效率（建設速度）之比3:1

8、 ,求這兩個工程隊原先承包的修建公路長度 之比.【解析】（法一）甲工程隊以3倍乙工程隊建設速度， 僅完成了 40%的承包任務，而乙工程隊 完成了 60% ,所以甲工程隊承包任務的40%等于乙工程隊承包任務的 60% 3 180% ,所以甲工程隊的承包的任務是乙工程隊承包任務的 180% 40% 450%,所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為450%:1 9:2.（法二）兩個工程隊完成的工程任務 （修建公路長度）之比等于工作效率之比，等于 3:1 ,而他 們分別完成了各自任務的 40%和60% ,所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比 為 3 40% : 1 60%9:2.【例5】某團體有100

9、名會員，男女會員人數(shù)之比是14:11，會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、 丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為12:13、5:3、2:1 ,那么丙組有多少名男會員？【解析】會員總人數(shù)100人，男女比例為14:11,則可知男、女會員人數(shù)分別為56人、44人；又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為50人，乙、丙人數(shù)之和為50人，可設丙組人數(shù)為x人，則乙組人數(shù)為 50 x人，又已知甲組男、女會員比為12:13,則甲組男、女會員人數(shù)分別為 24人、26人，又已知乙、丙兩52組男、女會員比例，則可得：24 -（50 x） 2x 56,解得x 18.即丙組會員83人數(shù)為18人，又

10、已知男、女比例，可得丙組男會員人數(shù)為18 - 12人.3【例6】（2007年華杯賽總決賽）A、B、C三項工程的工作量之比為 1:2:3 ,由甲、乙、 丙三隊分別承擔.三個工程隊同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成 的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成 的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊的工作效率的比是多少？【解析】根據(jù)題意，如果把 A工程的工作量看作1,則B工程的工作量就是2, C工程的工 作量就是3.設甲、乙、丙三個工程隊的工作效率分別為x、y、z.經(jīng)過k天，則：將代入，得ky 2-kxL L 4 ,3將代入，得2kx 24x, x ,3

11、7k，,463將x 代入，得 y .代入，得 z .7k7k7k甲、乙、丙三隊的.工作效率的連比是3：-6:且 4:6:3 .7k 7k 7k【鞏固】某次數(shù)學競賽設一、二、 三等獎.已知：甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等；甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)與乙校相應的百分數(shù)的比為5:6;甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的20%;甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的50%;甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的4.5倍.那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)等于多少？【解析】由、可知甲、乙兩校獲獎總人數(shù)的比為6:5,不妨設甲校有 60人獲獎，則乙校有50人獲獎.由知兩校

12、獲二等獎的共有（60 50） 20% 22人；由知甲校獲二等獎的有22 （4.5 1） 4.5 18人；由知甲校獲一等獎的有 60 60 50% 18 12人，那么乙校獲一等獎的也有12人，從而所求百分數(shù)為12 50 100% 24%.【例7】某校畢業(yè)生共有 9個班，每班人數(shù)相等.已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩 個班的女生總數(shù)多1 ;四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的 男生總數(shù)多1.那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？【解析】如下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總人數(shù)多1;由知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總人數(shù)少1.一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班

13、男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班總人數(shù)多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總人數(shù)少1人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個班的人數(shù)之和.所以，男、女生人數(shù)之比是5:4.模塊二、按比例分配與和差關系 （一）量倍對應【例8 一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學生，甲班比乙班多分到16個，而甲、乙兩班的人數(shù)比為13:11 ,求一共有多少個蘋果？【解析】一共有16 13 1113 11192個蘋果.【鞏固】小新、小志、小剛三人擁有的藏書數(shù)量之比為

14、3:4:6,三人一共藏書52本,求他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量.根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量分別占三人藏書總量的12本，小志擁有6 24 本.3 4 6所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為52 3一63 4 6的藏書數(shù)量為52 4 16本，小剛擁有的藏書數(shù)量為523 4 6【鞏固】在抗洪救災區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了80元.已知甲比丙多捐 18元，甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是 10:7 ,則甲捐 元，乙 捐 元，丙捐 元.【解析】由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多18元，那么甲、乙所捐資的和為：18 （10 7） 10 60（元），乙、丙所捐資的和為 60

15、18 42元.所以，甲捐了 80 42 38（元），乙捐了 60 38 22（元），丙捐了 38 18 20【鞏固】【解析】例9【解析】有120個皮球，分給兩個班使用，一班分到的與二班分到的相等，求兩個32班各分到多少皮球？1 1根據(jù)題意可知一班與一班分到的球數(shù)比-：-3: 2 ,所以一班分到皮球2 33120一72個，二班分到皮球120 72 48個.3 2一班和二班的人數(shù)之比是 8:7,如果將一班的8名同學調(diào)到二班去， 則一班和二班,調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的158 4 :-6:5 ,所以一班原來的人數(shù)為15 948 8 7 42 人.的人數(shù)比變?yōu)?:5 .求原來兩班的人數(shù).原來一班的人

16、數(shù)為兩班總人數(shù)的8 7- -,調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為4 5 98 6 5 6 48人，二班原來的人數(shù)為【例10】幼兒園大班和中班共有 32名男生，18名女生.已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為5:3 ,中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1 ,那么大班有女生多少名？【解析】由于男、女生人數(shù)有比例關系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法.假設18名女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù) 5:3 30:18 ,即男生應有30人, 實際上男生有32人，相差2個人；又中班男生數(shù)：女生數(shù) 2:1 6:3，以3個中 班女生換3個大班女生，每換一組可增加1個男生，所以需要換 2組；所以，大班 女生有18 3 2 12

17、（名）.【鞏固】 參加植樹的同學共有 720人，已知六年級與五年級人數(shù)的比是3:2,六年級比四年級多80人，三個年級參加植樹的各有多少人？【解析】 假設四年級和六年級人數(shù)同樣多，則參加植樹的同學共有720 80 800人，四、五、六三個年級的人數(shù)比為 3: 2:3 ,知道三個量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個年級參加植樹的人數(shù).六年級：800 3一 300人；五年級：3 2 32800 - 200人；四年級：300 80 220人. 3 2 3圓珠筆和鉛筆的價格比是4: 3, 20支圓珠筆和21支鉛筆共用71. 5元.問圓珠筆的單價是每支多少元 ？設圓珠筆的價格為4,那么鉛筆的價

18、格為 3,則20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為 20X4+21 X3=143,則單位“1”的價格為71.5 +143=0.5元.所以圓珠筆的單價是 05 X 4=2（元）.【例11】甲、乙兩只螞蟻同時從 A點出發(fā)，沿長方形的邊爬去，結果在 距B點2厘米的C點相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的1.2倍，求這個長方形的周長.【解析】兩只螞蟻在距 B點2厘米的C點相遇，說明乙比甲一共多走了2 2 4（厘米）.又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的1.2倍，相同時間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1. 2: 1 = 6: 5,所以甲爬的路程是 46 5 5 20（厘米），乙爬的路程是20 4 24（厘米），長方形的

19、周長為 20 24 44（厘米）.【例12】甲乙兩車分別從 A, B兩地出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲、乙的速度比是5 ： 4, 相遇后，甲的速度減少 20%,乙的速度增加 20%,這樣，當甲到達 B地時，乙離 A地還有10千米.問：A, B兩地相距多少千米？【解析】甲、乙原來的速度比是 5： 4,相遇后的速度比是：5 X （1 20%） ： 4X （1 +20%） = 4 ： 4. 8= 5 : 6.相遇時，甲、乙分別走了全程的勺和。設全程x千99米，乘U下的部分甲行的長度和乙行的長度之比為5: 6,其中相遇后甲行駛了全長,一一一，4 一 84 844的4/9 ,所以乙仃駛了全長的 一5 6 一

20、，所以乙一共行了全長一,9159 15 45還乘I 1- 44 =工，沒有走所以A、B全長為450千米.4545【例13】師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘.完成任務時，師傅比徒弟多加工100個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？1 1【解析】師傅與徒弟的工作效率之比是-：一 5:3,工作時間相同，工作量與工作效率成9 15正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的衛(wèi)和工，師傅和徒弟一共加工了5 35 3100 （-5- -） 400 個零件5 3 5 3【鞏固】師徒二人共加工零件 400個，師傅加工一個零件用 9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘.完成任務時

21、，師傅比徒弟多加工多少個零件？1 1【解析】師傅與徒弟的工作效率之比是-:5:3,而工作時間相同，則工作量與工作效9 15率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的衛(wèi)和旦，師傅比徒弟多加工零件5 35 3400100 個.【例14】A、B、C三個水桶的總容積是 1440公升，如果 A、B兩桶裝?t水，C桶是空 的；若將A桶水的全部和B桶水的1 ,或將B桶水的全部和 A桶水的1倒入C桶， 53C桶都恰好裝滿.求 A、B、C三個水桶容積各是多少公升？根據(jù)題意可知，A桶水的全部加上 B桶水的1等于B桶水的全部加上 A桶水的1 ,所以A桶水的2等于B桶水的4,那么A桶水的全部等于B桶水的-C355 3 5

22、桶水為B桶水的6 1 7.所以A、 B、 C三個水桶的容積之比是 5 5 567 -:1:- 6:5: 7 .又A、B、C三個水桶的總容積是 1440公升，所以 A桶的容積55-65是1440 480公升，B桶的谷積是 480 - 400公升，C桶的容積是6 5 76480 7 560 公升.6學而思學校四五六年級共有615名學生，已知六年級學生的 ，等于五年級2學生的2 ,等于四年級學生的 3。這三個年級各有多少名學生學生？57將六年級學生的1,等于五年級學生的2,等于四年級學生的-,看作一個單位, 2575 72: 1215:14,所以六2 3那么六年級學生人數(shù)等于2個單位，五年級學生等于

23、2.5個單位，四年級學生等于7學生，所以六年級、五年級、四年級學生人數(shù)的比為312年級學生人數(shù)為615 =180 人五年級學生人數(shù)為14.615 210 人12 15 1415615 15一 225人，四年級學生人數(shù)為12 15 14【例15】一塊長方形鐵板，寬是長的 4.從寬邊截去21厘米，長邊截去35%以后，得到一 5塊正方形鐵板.問原來長方形鐵板的長是多少厘米？【解析】如果只將長邊截去 35%,寬、長之比為 4: 5 1 35%16:13,所以寬邊的長4度為21 (16 13) 16 112厘米，所以原來鐵板的長為 112 140厘米. 5【鞏固】 一個正方形的一邊減少 20%,另一邊增

24、加2米，得到一個長方形，這個長方 形的面積與原正方形面積相等.原正方形的邊長是多少米？【解析】要保證面積不變，一邊減少 20%,即是原來的4,另一邊要變成原來的 5 ,即增 54,51 1加- 1 -，所以原正方形的邊長為 2 8(米).444【例16】一把小刀售價3元.如果小明買了這把小刀，那么小明與小強剩余的錢數(shù)之比是2:5;如果小強買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?:13 .小明原來有多少錢？【解析】由已知，小強的錢相當于小明、小強買刀后所剩錢數(shù)和的一5 -5，小明的錢相2 5 7當于小明、小強買刀后錢數(shù)和的_8_ _8 ,所以小明、小強的錢數(shù)的比值為8+13 218 5:-8:

25、15 ,而小明買刀后小明、小強的錢數(shù)之比為2:5 6:15 ,所以小明買刀21 7前后的錢數(shù)之比為8:6 4:3 ,所以小刀的售價等于小明原來錢數(shù)的U 1 ,所441以小明的錢數(shù)為3 - 12元。也可這樣看，小明買刀與未買刀的錢數(shù)比為42 8-:3:4,小明的錢數(shù)為43 4 312 (兀)7 21【鞏固】 甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為6:5,后來甲又得到180元，乙又得到30元，這時甲、乙錢數(shù)之比為18:11 ,求原來兩人的錢數(shù)之和為多少？【解析】 兩人原有錢數(shù)之比為 6:5,如果甲得到180元，乙得到150元，那么兩人的錢數(shù)之 比仍為6:5,現(xiàn)在甲得到180元，乙只得到30元，相當于少得到了

26、120元，現(xiàn)在 兩人錢數(shù)之比為18:11 ,可以理解為：兩人的錢數(shù)分別增加180元和150元之后，錢數(shù)之比為18:15 ,然后乙的錢數(shù)減少 120元，兩人的錢數(shù)之比變?yōu)?18:11 ,所以 120元相當于4份，1份為30元，后來兩人的錢數(shù)之和為 30 (18 15) 990元，所 以原來兩人的總錢數(shù)之和為 990 180 150 660元.【例17】一項機械加工作業(yè)，用4臺A型機床，5天可以完成；用4臺A型機床和2臺B型 機床3天可以完成；用3臺B型機床和9臺C型機床，2天可以完成，若3種機床 各取一臺工作5天后，剩下 A、C型機床繼續(xù)工作，還需要 天可以完成 作業(yè).【解析】由于用4臺A型機床

27、5天可以完成；用4臺A型機床和2臺B型機床3天可以完 成，所以2臺B型機床3天完成的量等于 4臺A型機床2天完成的量，則A、B兩 種機床每天完成的量的比為2 3:4 2 3: 4 ,即A型機床每天完成的量為 3, B型機床每天完成的量為 4,該項作業(yè)總量為3 4 5 60,那么C型機床每天完成 的量為60 2 4 3 9 2,3種機床各取一臺工作 5天后，剩下的工作量為60 3 4 2 5 15, A、C型機床還需繼續(xù)工作 15 3 2 3天.【例18】動物園門票大人20元，小孩10元.六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結果與前一天相 比，大人增加了 60%,兒童增加了 90%,共增加了 2100人，

28、但門票收入與前一天 相同.六一兒童節(jié)這天共有多少人入園？【解析】前一天大人與小孩的人數(shù)比為1:(60% 2) 5: 6 ,六一那天增加的大人與增加的小5孩人數(shù)比為 5 60% : 6 90% 5:9, 大人增加的人數(shù)為 2100 750人，小14孩增加的人數(shù)為2100 750 1350人，大人的總數(shù)為750 60% 750 2000人，小孩的總人數(shù)為1350 90% 1350 2850人，總人數(shù)為 2000 2850 4850人.【例19】某水果批發(fā)市場存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是1:2,第一天售出蘋果的 20%,售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是1:3 ;第二天售出蘋果18噸，桃子12噸，

29、這樣一來，所剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的-,問原有蘋果和桃子各有多少15噸？ 法一：設原來蘋果有 x噸，則原來桃子有2x噸，得：x (1 20%) 18 上，解得2x 2 12151 3x 37 .所以原有蘋果37噸，原有桃子37 2 74(噸).法二：原來蘋果和桃子的噸數(shù)的比是1:2,把原來的蘋果的噸數(shù)看作1,則原來桃4子的噸數(shù)為2,第一天后剩下的蘋果是 1 (1 20%) -，剩下的桃子是5所以此時剩下的蘋果和桃子的重量比是4:2 8:15 .現(xiàn)在再售出蘋果18噸，桃子5 212噸，所剩的蘋果與桃子的重量比是4:15 .這就相當于第一天后剩下的蘋果和桃子的重量比是8:15 ,先售出桃子12

30、噸，蘋果12 32噸，此時剩下的蘋果和桃15558 15 87 依噸，那，第5423 74噸，原有蘋果1 3子的重量比還是8:15 ,再售出18 32 58噸蘋果，剩下的蘋果和桃子的重量比變 55為4:15 ,所以這 及相當于8 4 4份，最后剩下的桃子有 5一天后剩下的桃子有87 12 U1噸，原有桃子11122274 2 37 噸.（二）利用不變量統(tǒng)一份數(shù)【例20】有一個長方體，長和寬的比是 個長方體的體積.【解析】由條件長方體的長、寬、高的比2:1 ,寬與高的比是 3: 2 .表面積為72cm2 ,求這6:3: 2 ,則長方體的所有視面，上面、前面、左面的面積比為 6 3:6 2:3 2

31、18:12 :6 3: 2:1，這三個面的面積和等于長方體表面積的二分之一，所以，長方體的上面的面積為72 - 一3- 18cm2,前面2 3 2 1的面積為 72 1 2- 12cm2 ,左面的面積為 720 - -1一 6cm2 ,而 2 3 2 12 3 2 118 12 6 1296 362,所以36即是長、寬、高的乘積，所以這個長方體的體積為 336cm .【鞏固】有一個長方體，長與寬的比是 2:1 ,寬與高的比是3: 2 .已知這個長方體的全部棱長之和是220厘米，求這個長方體的體積.22【解析】由條件寬與圖的比為3:2 1:1,所以這個長方體的長、寬、高的比為2:1:2即6:3:

32、 2,由于長方體的所有棱中，長、寬、高各有4條，所以長方體的長為220 1 6 30 厘米， 寬為 2201一3一 15 厘米， 高為4 6 3 24 6 3 212220 1 6 2 2 10厘米，所以這個長萬形的體積為 30 15 10 4500立萬厘米.【例21】（2009年第七屆“希望杯”二試六年級）某高速公路收費站對于過往車輛收費標準是：大型車30元，中型車15元，小型車10元.一天，通過該收費站的大型車和 中型車數(shù)量之比是 5: 6,中型車與小型車之比是 4:11，小型車的通行費總數(shù)比大 型車多270元.（1）這天通過收費站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？（2）這天的收費總數(shù)是

33、多少元？【解析】大型車、小型車通過的數(shù)量都是與中型車相比，如果能將5: 6中的6與4:11中的4統(tǒng)一成4,612,就可以得到大型車、中型車、小型車的連比.由5:6 10:12和4:11 12:33 ,得到 大型車：中型車：小型車 10:12:33 .以10輛大型車、12輛中 型車、33輛小型車為一組.因為每組中收取小型車的通行費比大型車多 10 33 30 10 30（元），所以這天通過白車輛共有 270 30 9（組）.所以這天通 過大型車有10 9 90（輛），中型車有12 9 108（輛），小型車有33 9 297（輛）.（2）這天收取的總費用為：30 90 15 108 297 10

34、7290元.【例22】6枚壹分硬幣摞在一起與 5枚貳分硬幣摞在一起一樣高，4枚壹分硬幣摞在一起與3枚伍分硬幣摞在一起一樣高.用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，共用了124枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？【解析】由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為6:5,壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為4:3 6: 4.5 ,所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為6:5: 4.5,即 1212:10:9 ,因此壹分硬幣的數(shù)量為124 - 48枚，貳分硬幣的數(shù)量為12 10 9124 40枚，伍分硬幣的數(shù)量為 124 9 36枚，這些硬幣一共12 10 912 10 9有48

35、1 40 2 36 5 308分，即幣值為 3.08元.【例23】某工地用3種型號的卡車運送土方.已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6,速度比為6:8:9 ,運送土方的路程之比為15:14:14 ,三種車的輛數(shù)之比為 10:5: 7.工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了25天完成任務.那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【解析】由于甲、乙、丙三種卡車運送土方的路程之比為15 ：14 ： 14,速度之比為6 ：8：9,15 14 14 5 7 14所以它們運送1次所需的時間之比為 1 ：14 5:7:14,

36、相同時間內(nèi)它們運送6 8 92 4 9的次數(shù)比為：-：-：-9.在前10天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的5 7 14數(shù)量之比為5： 5 7.由于三種卡車載重量之比為 10： 7： 6,所以三種卡車的總載重量之比為50： 35：42 .那么三種卡車在前10天內(nèi)的工作量之比為：50 - : 35 4 : 42 20： 20： 27 .在后15天，由于甲車全部投入使用，所5714以在后15天里的工作量之比為 40：20：27.所以在這25天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為:20 10 40 1532【例2例(20 20 27) 10 (40 20 27) 15 79將一堆糖果全部分給甲、乙、

37、丙三個小朋友.原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為5: 4:3 .實際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為小朋友比原計劃多得了 15塊糖果.那么這位小朋友是7: 6:5 ,其中有一位“甲”、“乙”或“丙”)，他實際所得的糖果數(shù)為塊.方法一：原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的-;實際甲、12乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的-,18的，所以這位小朋友是丙.糖果總數(shù)為15218518518312只有丙占總數(shù)的比例是增加540 (塊)，丙實際所得的糖化通比為：甲乙丙總數(shù)為原計分配為5:4 : 312份實際分配為7:6:518份化通比為15:12:936份14:12:1036份對比分析甲15 -

38、14,乙 1212,丙91方法二:,發(fā)現(xiàn)多得糖果的是丙5-150（塊）.18所以 15+ ( 109) X 10= 150 (塊)果數(shù)為540今年兒子的年齡是父親年齡的14,15年后，兒子的年齡是父親年齡的今11年兒子多少歲?方法一：今年兒子的年齡相當于父子年齡差的15年后兒子的年齡相當于5 11- 一，年齡差為63 2父子年齡差的 一5- 5 ,所以15年相當于父子年齡差的 11 5 6115 1 30歲.今年兒子30 3 10歲.方法二：今年兒子的年齡是父親年齡的-,所以兒子：父親=1: 4; 15年后，兒4子的年齡是父親年齡的 ,所以兒子：父親=5: 11。因為在年齡問題中年齡差不11變

39、所以列表分析為：兒子 父親 年齡差1:435:116根據(jù)不變量化通比為2:865:116對比分析為：15+ (5 2) X 2= 10 (歲)【例25】一個周長是56厘米的大長方形，按圖與圖所示意那樣，劃分為四個小長方形.在圖中小長方形面積的比是A:B 1:2, B:C 1:2 .而在圖中相應的比例是A':B' 1:3,B':C' 1:3.又知長方形D'的寬減去D的寬所得到的差與 D'的長減去D的長所得到差之比為1:3 .求大長方形的面積.(1)【詳解】因為A:B 1:2,因為 A': B' 1:3, B':C'B

40、:C 1:2 ,所以1:3 ,所以 A': C'設長方形的寬為a,長為b,得:得 a:b 2:5 .又 a b 56 2所以長方形面積20 8 160 .3 -a41028,A:C1:9 ,2 a34 b5所以1:4;a 8, b 20.【例26】北京中學生運動會男女運動員比例為19:12 ,組委會決定增加女子藝術體操項目,這樣男女運動員比例變?yōu)?0:13;后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變?yōu)?0:19 ,已知男子象棋項目運動員比女子藝術體操運動員多 為多少？15人，則總運動員人數(shù)【解析】 將運動會最初的運動員人數(shù)設為“1”，那么男運動員人數(shù)為 919 12員人數(shù)為,而增加

41、女子藝術體操項目，男運動員人數(shù)不變，仍然是31,女運動31,所以這3119247時女運動員人數(shù)為19 20 13 247 ,增加男子象棋項目，女運動員人數(shù)保持不變,31620仍然是247 ,所以男運動員人數(shù)增加為為24762062012731 620247 c19620.39,男子象棋項目的人數(shù)為 29623930 39 .女子藝術體操項目人數(shù)62191 , - ，男子象棋項目運動員比31 623 3，原來總運動員人數(shù)為 15 3100人，62062050人，女子藝術體操運動員有 3100 35人, 62050 35 3185人.女子藝術體操運動員多 62 620男子象棋項目運動員有 3100

42、 62所以現(xiàn)在的總運動員人數(shù)為3100【鞏固】袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是 19:13.放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量 之比變?yōu)?:3 ;再放入若干只白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?3:11 .已知放入的紅球比白球少80只.那么原來袋子里共有 只球.【解析】根據(jù)第一次操作白球的數(shù)量不變，把 19:13改寫成57:39 , 5:3改寫成65:39 .第 二次操作相對于第一次操作紅球數(shù)量不變，把13:11改寫成65:55 ,這時我們可以看出，經(jīng)過兩次操作后，紅球共增加了 65 57 8份，白球增加了 55 39 16份.原 來紅球有 8016 8 57 570個，白球有 8016 8 39 39

43、0個.兩種球共570 390 960 個.【例27】有若干個突擊隊參加某工地會戰(zhàn)，已知每個突擊隊人數(shù)相同，而且每個隊的女隊 員的人數(shù)是該隊的男隊員的1 ,以后上級從第一突擊隊調(diào)走了該隊的一半隊員，18而且全是男隊員，于是工地上的全體女隊員的人數(shù)是剩下的全體男隊員的,問17開始共有多少支突擊隊參加會戰(zhàn)？【解析】由于每個隊的女隊員的人數(shù)是該隊的男隊員的,所以原來全體女隊員的人數(shù)是18全體男隊員的 工，即原來女隊員的人數(shù)占所有隊員人數(shù)的工，調(diào)走第一突擊隊的1825一半隊員后，女隊員的人數(shù)占剩下的隊員總數(shù)的,由于調(diào)走的全是男隊員，女25隊員的人數(shù)沒有變化，所以調(diào)走后的隊員總數(shù)與調(diào)走前的隊員總數(shù)之比為2

44、5:25 7:8 ,即調(diào)走的隊員人數(shù)占原來隊員總人數(shù)的1 ,而調(diào)走的隊員為第一突8 78擊隊的一半，且每個突擊隊人數(shù)相同，1 1 4,故開始共有4支突擊隊參加會戰(zhàn).2 8（三）利用等量關系列方程解比例【例28】某學校入學考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是4:3.結果錄取91人，其中男生與女生人數(shù)之比是 8:5 .未被錄取的學生中，男生與女生人數(shù)之比是3:4.問報考的共有多少人？【解析】（法1）錄取的學生中男生有 91 8 56人，女生有91 56 35（人），先將未錄取 5 8的人數(shù)之比3: 4變成4:4 4 ,又有56 3 42 （人），所以每份人數(shù)是 34442 354 - 3 3（人），那

45、么未錄取的男生有 4 3 12（人），未錄取的女生34有4 - 3 16（人）.所以報考總人數(shù)是56 1235 16 119（人）.3（法2）設未被錄取的男生人數(shù)為 3x人，那么未被錄取的女生人數(shù)為4x人，由于錄8取的學生中男生有91 56人，女生有91 56 35 （人），則5 856 3x : 35 4x 4:3,解得x 4 .所以未被錄取的男生有12人，女生有16人.報考總人數(shù)是56 1235 16 119 （人）.【例29】有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重 6千克，乙塊重4千克，現(xiàn)在從甲、乙 兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊的剩余的部分 一起熔煉，再將乙塊

46、上切下的部分與甲塊的剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新 合金的含銅率相同，求切下的重量為 .【解析】設切下的部分重量為 x千克，則甲切下的x千克與乙剩下的（4x）千克混合.由于 得到的兩塊新合金的含銅率相同，所以若將這兩塊新合金混合，得到的大塊合金的含銅率應與原來的兩塊新合金的含銅率相同，而這一大塊合金是由 6千克甲塊合金與4千克乙塊合金混合而成的，所以x千克甲塊合金與（4-x）千克乙塊合金混合后的含銅率與6千克甲塊合金與4千克乙塊合金混合后的含銅率相同，而甲、乙兩塊合金含銅率不同，所以這兩種混合中甲、 乙兩種合金的重量比相同，即x_ 64 x 4所以：4x 6 （4 x）,解得 x 2.4.課

47、后練習：a） 右圖是一個園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的3是草地；圓的6是竹林；竹林比草47地多占地450平方米.問：水池占多少平方米 ？【解析】正方形的-是草地，那如果水池占1份，草地的面積便是 3份；圓的6是竹林，水池占1份，竹林的面積是 6份。從而竹林比草地多出的面積是（ 6-3=） 3份。3 份的面積是450平方米，可見1份面積是450 + 3=150 （平方米），即水池面積是150 平方米。b） 乙兩個班共種樹若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的1等于乙班種的棵數(shù)的且乙班比甲班多種樹24棵，甲、乙兩個班各種樹多少棵？1 1【解析】甲、乙兩班種樹棵數(shù)之比為：-：4:5 ,甲班種樹棵數(shù)為：24 5 4