振動和波(B班打印年月改)

1、一一. 機械振動：機械振動：物體在一定位置（平衡位置）物體在一定位置（平衡位置）附近作重復往返運動稱為機械振動。附近作重復往返運動稱為機械振動。物體受到回復力作用以及物體具有慣性。物體受到回復力作用以及物體具有慣性。第二節(jié)第二節(jié) 簡諧振動簡諧振動一、簡諧振動的定義式一、簡諧振動的定義式(或或:簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程)kmoxX二二.機械振動的原因：機械振動的原因：第一節(jié)第一節(jié) 振動的一般概念振動的一般概念振動振動)tcos(A) t (xmoxXX(t)為質(zhì)點離開平衡位置的位移；物體為質(zhì)點離開平衡位置的位移；物體所受合外力為零的位置定為平衡位置。所受合外力為零的位置定為平衡位

2、置。1. 振幅振幅A(米）米）：表示質(zhì)點離開平衡位置的表示質(zhì)點離開平衡位置的最大位移的絕對值。最大位移的絕對值。A. 振動周期振動周期T（秒）（秒）：完成一次全振動所完成一次全振動所需時間。需時間。二二.描述簡諧振動的三個重要物理量描述簡諧振動的三個重要物理量2. 振動的周期頻率圓頻率振動的周期頻率圓頻率B. 頻率頻率 （赫茲）（赫茲） ：單位時間內(nèi)完單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)。成全振動的次數(shù)。1C. 圓頻率圓頻率 （弧度（弧度/秒）。秒）。 2A. 位相位相 ：它是反映質(zhì)點在它是反映質(zhì)點在t時刻時刻振動狀態(tài)的物理量。（相同的振動狀態(tài)對振動狀態(tài)的物理量。（相同的振動狀態(tài)對應(yīng)相位差為應(yīng)相位差為

3、的整數(shù)倍。）的整數(shù)倍。） t2B. 初位相初位相 ： t0 時刻的位相。時刻的位相。三、簡諧振動的速度和加速度三、簡諧振動的速度和加速度3. 位相和初位相位相和初位相 ) 2 tcos(v) 2 tcos(A)tsin(Adtdxvm1. 速度速度 叫速度振幅其中 Av m速度的位相比位移超前速度的位相比位移超前22. 加速度加速度) tcos(a) tcos(A) tcos(Adtdvam22叫加速度振幅其中 Aa 2m0 2222xdtxdxa簡諧振動的運動學特征簡諧振動的運動學特征加速度的位相比位移超前或落后加速度的位相比位移超前或落后 ( (或或與位移反相與位移反相) )0 x, v,

4、 a t四、簡諧振動的矢量圖表示法（四、簡諧振動的矢量圖表示法（旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法）# 逆時針旋轉(zhuǎn)為正角。逆時針旋轉(zhuǎn)為正角。# 順時針旋轉(zhuǎn)為負角。順時針旋轉(zhuǎn)為負角。旋轉(zhuǎn)矢量的端點在旋轉(zhuǎn)矢量的端點在X軸上的投影點的坐標為軸上的投影點的坐標為)tcos(A) t (x0AA t&1、2象限象限 v0 。 xOXOX1A2AOX1A2AOX2AO1A反相反相同相同相O t(s)X(m)0.04-0.0412例例1 1：一簡諧振：一簡諧振動曲線如圖所動曲線如圖所示，則以余弦示，則以余弦函數(shù)表示的振函數(shù)表示的振動方程為什么動方程為什么樣？樣？振動振動2比振動比振動1超前超前例例2：一物體沿：一

5、物體沿X軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為0.12m，周期為，周期為2s 。當。當 t=0 時位移為時位移為0.06m，且向，且向X軸正方向運動。求：軸正方向運動。求：（1）初相，）初相，(2)在在 x=0.06m 處，且向處，且向X軸負方向運動時，軸負方向運動時，物體的速度和加速度，以及從這一位置回到平衡位置所需物體的速度和加速度，以及從這一位置回到平衡位置所需的時間。的時間。解題思路：解題思路：作旋轉(zhuǎn)矢量圖作旋轉(zhuǎn)矢量圖1X(m)t(s)22 2o例例3： 求振動方程求振動方程解題思路：解題思路：作旋轉(zhuǎn)矢量圖作旋轉(zhuǎn)矢量圖例例4.一質(zhì)點在一質(zhì)點在x軸上作簡諧振動，振輻軸上作簡諧振動，振輻

6、A=4 cm，周期，周期T= 2 s，其平衡位置取作坐標原，其平衡位置取作坐標原點若點若t = 0時刻質(zhì)點第一次通過時刻質(zhì)點第一次通過x = -2 cm處，且向處，且向x軸負方向運動，則質(zhì)點第二次通軸負方向運動，則質(zhì)點第二次通過過x = -2 cm處的時刻為處的時刻為 (A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s 第三節(jié)第三節(jié) 無阻尼自由振動、諧振子無阻尼自由振動、諧振子一、彈簧振子：一、彈簧振子：f= -f= - k kx xx xm mk kama=ma=故彈簧振子的無阻尼自故彈簧振子的無阻尼自由振動是簡諧振動。由振動是簡諧振動。 mk f=-kxf=-k

7、x為諧振動的動力學特征為諧振動的動力學特征kmoxXfkm 2T 仍做簡諧振動仍做簡諧振動;圓頻率仍為圓頻率仍為 mk x x22lg結(jié)論結(jié)論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率角頻率, ,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glT22當當 時時 sin sinmglM 1.1.單擺單擺二、微振動的簡諧近似二、微振動的簡諧近似2mlmgl擺球?qū)[球?qū) C點的力矩點的力矩 mglM lg /gmTCO復擺復擺：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體2Imgh結(jié)論結(jié)論：復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。：復擺的小角度擺動振動是簡諧振

8、動。 sin當當 時時gmhCOImghImghcos0Ax sin0AV22020VxA00 xVtg三三. 已知簡諧振動的初始條件已知簡諧振動的初始條件(x0 、v0)，求，求A和和 （最好最好求出求出A A后，再作旋轉(zhuǎn)矢量圖，由后，再作旋轉(zhuǎn)矢量圖，由x x0 0 、v v0 0畫出旋轉(zhuǎn)矢量的位置而求出初位相）畫出旋轉(zhuǎn)矢量的位置而求出初位相）第四節(jié)、簡諧振動的能量第四節(jié)、簡諧振動的能量) t(sinkA21mv21E222k動能動能:) t(coskA21kx21E222p2pkkA21EEE勢能勢能: :簡諧振動能量簡諧振動能量:EpkpEE otEEkE=(1/2)kAE=(1/2)k

9、A2 2xto22020212121kAmvkx 討論討論 1 1：由初始條件確定常數(shù)：由初始條件確定常數(shù)A A2 2、 若彈簧振子豎直懸掛或在光滑斜面上振若彈簧振子豎直懸掛或在光滑斜面上振動，其動，其振動頻率仍保持不變；只要選擇合適振動頻率仍保持不變；只要選擇合適的重力勢能零點，其各能量表達式也保持不的重力勢能零點，其各能量表達式也保持不變，此時勢能應(yīng)理解為重力勢能與彈性勢能變，此時勢能應(yīng)理解為重力勢能與彈性勢能的和。的和。202020VxA第五節(jié)第五節(jié) 同方向的簡諧振動的合成同方向的簡諧振動的合成一、一、 同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成)cos()(111tA

10、tx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtx結(jié)論結(jié)論: :同方向、同頻率的簡諧振動合成后仍然是同方向、同頻率的簡諧振動合成后仍然是同頻率的簡諧振動。同頻率的簡諧振動。)cos(tA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法方法方法)cos(212212221AAAAA22112211cosAcosAsinAsinAtg之間、必在 21|21AAA21AAA重要結(jié)論：重要結(jié)論：, 2, 1, 02 1kk）（, 2, 1, 0) 12(2kk）（振動減弱振動減弱2A1AX振動加強振動加強X1A2AAAcos2212221AAAAA 若兩

11、旋轉(zhuǎn)矢量重合若兩旋轉(zhuǎn)矢量重合,則則: = 1= 2 若兩旋轉(zhuǎn)矢量反向若兩旋轉(zhuǎn)矢量反向,則則 與與振幅大的分振動的初相相同振幅大的分振動的初相相同 二、二、 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用三角函數(shù)關(guān)系式：利用三角函數(shù)關(guān)系式：2cos2cos2coscos合成振動表達式合成振動表達式：2)(cos2)(cos21212ttAxx xt tx x2 2t tx x1 1t t 兩個同方向簡諧振兩個同方向簡諧振動在合成時，由于頻動在合成時，由于頻率的微小差別而造成率的微小差別而造成的合振動時而加強，的合振動時而加

12、強，時而減弱的現(xiàn)象叫時而減弱的現(xiàn)象叫拍。拍。AX2A1A 單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)叫單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻拍頻1 拍拍頻2 2拍現(xiàn)象應(yīng)用拍現(xiàn)象應(yīng)用: :給鋼琴調(diào)音給鋼琴調(diào)音; ;結(jié)合多普勒效應(yīng)測結(jié)合多普勒效應(yīng)測車速車速例例1：兩個諧振動分別為：兩個諧振動分別為 ， 、當、當 時，合時，合振幅最大；當振幅最大；當 時，合振幅最小，且時，合振幅最小，且寫出它們的合振動方程。寫出它們的合振動方程。cm )43t10cos(5x1cm )t10cos(6x22 2 2思考題思考題1 1: : 一質(zhì)點作簡諧振動一質(zhì)點作簡諧振動, ,其運動速度其運動速度與時間的曲線如圖所示。若質(zhì)點的振

13、動規(guī)與時間的曲線如圖所示。若質(zhì)點的振動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，求其初位相。律用余弦函數(shù)描述，求其初位相。o oV(m/s)V(m/s)t(s)vmmv21x(cm)x(cm)思考題思考題2 2: : 圖中（圖中（1 1）和（）和（2 2）表示兩個同方）表示兩個同方向，同頻率的簡諧振動的振動曲線。則（向，同頻率的簡諧振動的振動曲線。則（1 1）和（和（2 2）合成振動的振幅為）合成振動的振幅為，初位相，初位相為為 ，周期為，周期為；試在圖中畫出合成；試在圖中畫出合成振動的振動曲線。振動的振動曲線。t(s)-0.5-0.5-1-12 21 10 0(1)(1)(2)(2)5 5 波波 動動 學學 基基

14、 礎(chǔ)礎(chǔ)2 2、機械波產(chǎn)生的條件：彈性介質(zhì)和波源。機械波產(chǎn)生的條件：彈性介質(zhì)和波源。第一節(jié)第一節(jié) 機械波的形成和傳播機械波的形成和傳播一、機械波的產(chǎn)生一、機械波的產(chǎn)生1 1、機械波：振動狀態(tài)在彈性面媒質(zhì)中的、機械波：振動狀態(tài)在彈性面媒質(zhì)中的傳播過程。傳播過程。&波動（或行波波動（或行波) )是振動狀態(tài)的傳播，是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質(zhì)點的傳播。是能量的傳播，而不是質(zhì)點的傳播。&后面質(zhì)點的振動規(guī)律與前面質(zhì)點的振后面質(zhì)點的振動規(guī)律與前面質(zhì)點的振動規(guī)律相同，只是位相上有一個落后。動規(guī)律相同，只是位相上有一個落后。二、二、縱波和橫波：縱波和橫波：橫波：橫波：振動方向與傳播方

15、向垂直振動方向與傳播方向垂直, ,如電磁波如電磁波縱波縱波: :振動方向與傳播方向相同，如聲波振動方向與傳播方向相同，如聲波三、三、波線、波面、波前波線、波面、波前波（射）線：波（射）線：表示波的傳播方向的射線稱表示波的傳播方向的射線稱之為波（射）線之為波（射）線。波面（或相面）波面（或相面）: :某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位相同的點組成的面稱為波面。相同的點組成的面稱為波面。波前波前( (波振面）：波振面）：某時刻處在最前面的波面。某時刻處在最前面的波面。波面波面波線波線在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波面垂直在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波面垂直&球面波球面波波振面波振面&a

16、mp;平面波平面波 描述波動的幾個物理量描述波動的幾個物理量 ( (波長、波的傳播速度、波的周期和頻波長、波的傳播速度、波的周期和頻率率) )波線波線波面波面波振面波振面uXy12345601 1、波長、波長 ：同一波線上振動狀態(tài)完全相同的兩個同一波線上振動狀態(tài)完全相同的兩個相鄰點之間的距離（對應(yīng)的位相差為相鄰點之間的距離（對應(yīng)的位相差為 ）22 2、波的周期、波的周期T T：波前進一個波長的距離所需要的波前進一個波長的距離所需要的時間（等于振動的周期，由波源決定）時間（等于振動的周期，由波源決定）u3 3、波速、波速 ：在波動過程中，某一振動狀在波動過程中，某一振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離

17、稱為波速態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離稱為波速 ，也，也稱之相速。稱之相速。T Tu u &機械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)機械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)。（決（決于介質(zhì)的彈性性質(zhì)和慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈于介質(zhì)的彈性性質(zhì)和慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)的密度。）性模量和介質(zhì)的密度。）第二節(jié)第二節(jié) 平平 面面 簡簡 諧諧 波波 的的 波波 動動 方方 程程一、平面簡諧波的波動方程的推導一、平面簡諧波的波動方程的推導XypuOx1、右行波右行波的波動方程的波動方程（1）已知）已知O點振動表達式：點振動表達式：)cos(tAyo（O點不一定是波源）點不一定是波源）)(cosuxtAy&將將

18、t t 理解為已知點振動了的時間，求理解為已知點振動了的時間，求出任一點實際振動的時間，以此代替已知出任一點實際振動的時間，以此代替已知點振動方程中的點振動方程中的 t t，就可得到任一點的振就可得到任一點的振動方程，即為波動方程。動方程，即為波動方程。&照抄已知點的振動方程，再將任一點照抄已知點的振動方程，再將任一點振動超前于或落后于已知點振動的位相振動超前于或落后于已知點振動的位相補上，就得任一點的振動方程，即為波補上，就得任一點的振動方程，即為波動方程。（超前就動方程。（超前就“ ” ，落后就，落后就 “ ” 。）。）（xtAy2 cos或或（2）如圖，已知）如圖，已知 P 點的

19、振動方程：點的振動方程：)tcos(AyPyXpuOx如圖，已知如圖，已知 P P 點的振動方程：點的振動方程：)tcos(AyPyXpuOx2、左行波、左行波的波動方程：的波動方程：平面簡諧波波動方程的一般形式平面簡諧波波動方程的一般形式)(cosuxtAy2 cosxtAy或或x前為前為“+”號，表明波向號，表明波向x軸軸負負向傳，向傳， x前為前為“-”號，表明波向號，表明波向x軸軸正正向傳。向傳。思考題思考題: 一平面簡諧波在媒質(zhì)中以速度一平面簡諧波在媒質(zhì)中以速度u=20m/s自左向右傳播。已知波線上某自左向右傳播。已知波線上某點點A的振動表式的振動表式 ，D點在點在A點右方點右方9米

20、處。米處。 若取若取x軸方向向左，并以軸方向向左，并以A為坐標原點，為坐標原點，試寫出波動方程并寫出試寫出波動方程并寫出D 點的振動方程。點的振動方程。)(4cos(3SIty結(jié)論：結(jié)論：對于給定的波動，其對于給定的波動，其波動方程波動方程與坐與坐標原點及坐標軸方向的選取標原點及坐標軸方向的選取有關(guān)有關(guān)；但對于給；但對于給定點的定點的振動方程振動方程，卻與坐標原點及坐標軸方，卻與坐標原點及坐標軸方向的選取向的選取無關(guān)無關(guān)思考：思考：若以若以D為坐標原點，再寫以上方程。為坐標原點，再寫以上方程。 tuyXuO1、t 一定時的波形圖一定時的波形圖 t時刻時刻 t+ 時刻時刻 t二、波動方程的物理意

21、義二、波動方程的物理意義)(cosuxtAy討論各質(zhì)點在給定時刻的振動方向討論各質(zhì)點在給定時刻的振動方向波線上兩質(zhì)點之間的位相差波線上兩質(zhì)點之間的位相差x1x2)(21221xx 2、x一定時的振動曲線一定時的振動曲線)(cosuxtAyyOt討論質(zhì)點在某一時刻的振動方向討論質(zhì)點在某一時刻的振動方向3 3、質(zhì)點的振動速度、質(zhì)點的振動速度)ux-(t sinA tyv三三.平面波波動方程的微分形式平面波波動方程的微分形式222221tyuxy例例1：沿：沿X軸正方向傳播的平面簡諧波、在軸正方向傳播的平面簡諧波、在 t=0 時時刻的波形如圖，問：（刻的波形如圖，問：（1）原點）原點O的初相及的初相

22、及P點的點的初相各為多大？（初相各為多大？（2）已知）已知A及及 ，寫出波動方程。，寫出波動方程。uXy0p解題思路：解題思路： 2、若上圖為、若上圖為t=2s時刻的波形圖，重新討論上面各問題。時刻的波形圖，重新討論上面各問題。思考思考:1、從矢量圖上直接求、從矢量圖上直接求O、P兩點之間的位相差。兩點之間的位相差。例例2：一平面簡諧波某時刻的波形圖如下，：一平面簡諧波某時刻的波形圖如下，則則OP之間的距離為多少厘米。之間的距離為多少厘米。Xy0p2320cm解題思路：解題思路：解題思路解題思路:思考題思考題 一圓頻率為一圓頻率為 的簡諧振動沿的簡諧振動沿x x軸的正方向軸的正方向傳播傳播,t

23、=0,t=0時刻的波形如圖所示時刻的波形如圖所示, ,則畫出則畫出t=0t=0時刻時刻, x, x軸上各點的振動速度軸上各點的振動速度v v和和x x坐標的關(guān)系圖坐標的關(guān)系圖. .uXy01 12 2t=0t=0A A 結(jié)論結(jié)論: :在在t t時刻時刻,V,V與與X X關(guān)系曲線與關(guān)系曲線與t+T/4t+T/4時時刻的波形圖相似刻的波形圖相似 ( (思考思考) )設(shè)有一行波：設(shè)有一行波： )(cosuxtAy質(zhì)元的速度質(zhì)元的速度: : )uxt (sinAv 質(zhì)量為質(zhì)量為 的媒質(zhì)元其動能為：的媒質(zhì)元其動能為：dm)uxt (sindVA21vdm21dW2222k第三節(jié)第三節(jié) 波波 的的 能能

24、量量一、一、媒質(zhì)中單位體積中的能量（波的能量密度）媒質(zhì)中單位體積中的能量（波的能量密度）動能密度動能密度: : )uxt (sinA21w222k1. 1. 動能密度動能密度 2. 2. 勢能密度勢能密度 lkllESf 楊氏彈性模量楊氏彈性模量E E llSfE S為棒之橫截面積為棒之橫截面積llff 張應(yīng)力張應(yīng)力 張應(yīng)變張應(yīng)變倔強系數(shù)倔強系數(shù)彈性勢能：彈性勢能：2)(21dykdWpOxdxSXXyy+dyO22)(21)(21dxdydxESdydxES彈性勢能密度：彈性勢能密度：22)(21)(21xyEdxdyEwp 彈性勢能密度是與媒質(zhì)元的相對形變彈性勢能密度是與媒質(zhì)元的相對形變量

25、的平方成正比，也就是與波形圖上的斜量的平方成正比，也就是與波形圖上的斜率平方成正比。率平方成正比。其勢能密度為：其勢能密度為：)(sin222uxtAwwwpk)uxt (sinA21ww222kp2u E Eu)ux-(t sinu1A xy2221Aw 任意時刻，體元中動能與勢能相等，任意時刻，體元中動能與勢能相等，即動能與勢能同時達到最大或最小。即動能與勢能同時達到最大或最小。其能量密度為：其能量密度為：平均能量密度為：平均能量密度為：XY能量極能量極大大能量極大能量極大 能量極小能量極小 能量極小能量極小Suudt二、波的二、波的能流和能流密度能流和能流密度能流能流 電流電流 能量能量

26、 電量電量 能流密度能流密度 電流電流 密度密度 能流能流 單位時間內(nèi)通過某一截面單位時間內(nèi)通過某一截面的能量稱為波通過該截面的能流。的能量稱為波通過該截面的能流。P PSuwdt)dtu (SwdtdWP#S S也可以不和波速垂直，此時式中的也可以不和波速垂直，此時式中的S S應(yīng)改應(yīng)改 為為S S垂直垂直。#上式也適用于球面波上式也適用于球面波SuwP#平均能流平均能流2、能流密度或波的強度、能流密度或波的強度 I 通過垂直于波通過垂直于波速方向的單位面積的平均能流速方向的單位面積的平均能流uA21uwSPI22垂直波強與振幅的平方成正比波強與振幅的平方成正比解題思路：解題思路：例：如圖，某

27、一點波源發(fā)射功率為例：如圖，某一點波源發(fā)射功率為4040瓦，求該球瓦，求該球面波上通過的平均能流及能流密度。（介質(zhì)無吸面波上通過的平均能流及能流密度。（介質(zhì)無吸收）收）r r波源波源（1 1）在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳）在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進方向上振幅不變。播的平面波在行進方向上振幅不變。 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅u1S2S221121SuwSuw PP證明：因為證明：因為 所以在單位時間內(nèi)通過所以在單位時間內(nèi)通過 和和1S2S面的能量應(yīng)該相等面的能量應(yīng)該相等21SS 22221212SuA21SuA2121AA 設(shè)距波源單位距離處質(zhì)點的振幅為設(shè)距波源單位距離處質(zhì)點的振幅為A A，則可以，則可