高中奧林匹克物理競賽解題方法十二 類比法

1、.高中奧林匹克物理競賽解題方法十二、類比法方法簡介類比法是根據(jù)兩個研究對象或兩個系統(tǒng)在某些屬性上類似而推出其他屬性也類似的思維方法，是一種由個別到個別的推理形式. 其結(jié)論必須由實驗來檢驗，類比對象間共有的屬性越多，則類比結(jié)論的可靠性越大.在研究物理問題時，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)某些不同問題在一定范圍內(nèi)具有形式上的相似性，其中包括數(shù)學表達式上的相似性和物理圖像上的相似性. 類比法就是在于發(fā)現(xiàn)和探索這一相似性，從而利用已知系統(tǒng)的物理規(guī)律去尋找未知系統(tǒng)的物理規(guī)律.賽題精講例1 圖121中AOB是一內(nèi)表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（圖中紙面）上，夾角（為了能看清楚，圖中畫的是夸大了的）. 現(xiàn)將一質(zhì)點在BOA面內(nèi)

2、從A處以速度射出，其方向與AO間的夾角設質(zhì)點與桌面間的摩擦可忽略不計，質(zhì)點與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求： （1）經(jīng)過幾次碰撞質(zhì)點又回到A處與OA相碰？（計算次數(shù)時包括在A處的碰撞） （2）共用多少時間？ （3）在這過程中，質(zhì)點離O點的最短距離是多少？解析 由于此質(zhì)點彈性碰撞時的運動軌跡所滿足的規(guī)律和光的反射定律相同，所以可用類比法通過幾何光學的規(guī)律進行求解. 即可用光在平面鏡上反射時，物像關于鏡面對稱的規(guī)律和光路是可逆的規(guī)律求解. （1）第一次，第二次碰撞如圖121甲所示，由三角形的外角等于不相鄰的一兩個內(nèi)角和可知，故第一次碰撞的入射角為.第二次碰撞

3、，故第二次碰撞的入射角為.因此每碰一次，入射角要減少1°，即入射角為29°、28°、0°，當入射角為0°時，質(zhì)點碰后沿原路返回. 包括最后在A處的碰撞在內(nèi)，往返總共60次碰撞.圖121乙（2）如圖121乙所示，從O依次作出與OB邊成1°、2°、3°、的射線，從對稱規(guī)律可推知，在AB的延長線上，BC、CD、DE、分別和BC、CD、DE、相等，它們和各射線的交角即為各次碰撞的入射角與直角之和. 碰撞入射角為0°時，即交角為90°時開始返回. 故質(zhì)點運動的總路程為一銳角為60°的RtAMO的

4、較小直角邊AM的二倍.即所用總時間（3）碰撞過程中離O的最近距離為另一直角邊長此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解.例2 有一個很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h. 同時岸上一人從停放點起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h，在水中游的速度為2.0km/h，問此人能否追及小船？解析 費馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播. 據(jù)此可以證明，光在平面分界面上的折射是以時間為極小值的路程傳播. 本題求最短時間問題，可類比類在平面分界面上的折射情況，這樣就把一個運動問題通過類比可轉(zhuǎn)化為光

5、的折射問題求解.如圖122所示，船沿OP方向被刮跑，設人從O點出發(fā)先沿湖岸跑，在A點入水游到OP的B點，如果符合光的折射定律，則所用時間最短.根據(jù)折射定律：在這最短時間內(nèi)，若船還未到達B點，則人能追上小船，若船已經(jīng)通過了B點，則人不能追上小船，所以船剛好能到達B點所對應的船速就是小船能被追及的最大船速根據(jù)正弦定理 又由以上兩式可解得 此即小船能被人追上的最大速度，而小船實際速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船.例3 一只螞蟻洞沿直線爬出，已知爬出速度的大小與距螞蟻洞中心的距離L成反比，當螞蟻爬到距螞蟻洞中心距離L1=1m的A點時，速度大小為，問當螞蟻爬到距螞蟻洞中心L2=2m的B點時

6、，其速度大小螞蟻從A點到達B點所用的時間t=？解析 雖然螞蟻的運動我們不能直接用已學過的運動學公式求解，但只要能找到描述螞蟻運動的公式和學過的公式的形式相同，便可借助學過的公式形式使問題得以解決.由已知得：螞蟻在距離巢中心處的速度為，代入已知得：，所以當由速度的定義得螞蟻從L到L+L所需時間為t所以 類比初速的勻加速直線運動的兩個基本公式在t到t時刻所經(jīng)位移為 比較、兩式可以看出兩式的表述形式相同.據(jù)此，可得螞蟻問題中的參量t和L分別類比為初速為零的勻加速直線運動中的s和t.而相當于加速度a，于是可得：在此螞蟻問題中令t1對應L1，t2對應L2，則所求時間為代入已知可得從A到B所用的時間為此題

7、也可以用圖像法、等效法求解，讀者可試試.圖123例4 如圖123所示為一很大的接地導體板，在與導體板相距為d的A處放一帶電量為q的點電荷.（1）試求板上感應電荷在導體內(nèi)P點產(chǎn)生的電場強度；（2）試求感應電荷在導體外點產(chǎn)生的電場強度，P 與對導體板右表面是對稱的；（3）在本題情形中根據(jù)場強分析證明導體表面附近的電圖123甲 場強度的方向與導體表面垂直；（4）試求導體上的感應電荷對點電荷q的作用力；（5）若在切斷導體板與地的連線后，再將+Q電荷置于導體板上，試說明這部分電荷在導體板上如何分布可達到靜電平衡.（略去邊緣效應）解析 面電荷問題有時可用點電荷場來類比，使問題大大簡化.（1）因?qū)w處于靜電

8、平衡狀態(tài)，內(nèi)部場強為零，因此感應電荷在P點產(chǎn)生的場強可用點電荷場類比，若在A點放+q在導體中P點產(chǎn)生的場和感應電荷在P點產(chǎn)生的場相同，因此有，方向如圖123甲所示.（r為AP間距離）圖123乙（2）同理，感應電荷在導體外點產(chǎn)生的電場跟把+q放在與A關于導體右表面對稱的點產(chǎn)生的電場相同，即，方向如圖123甲所示.（3）取導體外極靠近導體表面的一點P1，此處電場由感應電荷和q共同產(chǎn)生，可類比等量異號點電荷形成的電場，導體表面可類比為等勢面，場強和等勢面是垂直的，因此P1點的場強方向跟導體表面垂直.如圖123乙所示.（4）感應電荷對q的作用力也可類比在點放的+q對它的庫侖力來求. 如圖123乙所示.

9、圖124（5）切斷接地線后，感應電荷分布不變，感應電荷和q在導體中產(chǎn)生的電場強度為零（相當于不帶電情況），將+Q置于導體板上時，類比孤立無限大帶電平板，電荷將均勻分布例5 如圖124所示為一無限多電容器連成的網(wǎng)絡，若其中每個電容器的電容均為C，求此網(wǎng)絡A、B間的等效電容CAB.解析 電容器兩極板間所加電壓為U，正極板上的電量為Q時，電容為：C=Q/U. 電阻器兩端所加電壓為U，通過的電流為I時，電阻為R=U/I.在C、R表達式中U相同，Q與I類比，但兩個式子顯然有顛倒的關系，若為電容器引入 C*便可與R類比，通過對R的求解，求出C*，再求出它的倒數(shù)即為C. 當將阻值為R的電阻替換電容C時，可以

10、求得：AB間的總電阻為圖125現(xiàn)在用C*取代R，可解得也即所以AB間的等效電容為 例6 電容器網(wǎng)絡如圖125所示，各電容器以為單位的電容量數(shù)值已在圖中標出. 求A、B兩點之間的等效電容CAB.解析 同樣用類比法為電容器引入輔助參量，則C*的串并聯(lián)公式與電阻R的串并聯(lián)公式完全一樣，而且如圖125甲中兩個電容網(wǎng)絡元之間有完全類似于電阻網(wǎng)絡元的Y變換.變換公式為： 圖125乙圖125丙 通過變換公式對題中的網(wǎng)絡進行交換，從而求解.設將中間同為的電容變?yōu)?，再將三個C*組成的網(wǎng)絡元變換為圖125丁的三個Y網(wǎng)絡元，于是將原網(wǎng)絡等效為如圖125乙網(wǎng)絡，圖125乙中所標數(shù)值均為C*值，為此網(wǎng)絡可等效如圖125

11、丙網(wǎng)絡，圖中所標數(shù)值仍是C*值.因為此網(wǎng)絡中沒有電流圖125丙可當作平衡的橋式電路，中間的電容可拆去，此網(wǎng)絡又可等效為圖125丁，再類比電阻串并聯(lián)公式可得圖126故原網(wǎng)絡A、B間的等效電容為例7 如圖126所示，一個由絕緣細線構(gòu)成的剛性圓形軌道，其半徑為R. 此軌道水平放置，圓心在O點，一個金屬小珠P穿在此軌道上，可沿軌道無摩擦地滑動，小珠P帶電荷Q. 已知在軌道平面內(nèi)A點（）放有一電荷q. 若在OA連線上某一點A1放電荷q1，則給P一個初速度，它就沿軌道做勻速圓周運動. 求A1點位置及電荷q1之值.解析 因為P可沿圓軌道做勻速圓周運動，說明此圓軌道是一等勢線，將此等勢線看成一個球面鏡的一部分

12、. 已知半徑為R，所以此球面鏡的焦距為.由成像公式若q為物點，q1為像點不成立，只能是q1為物點成虛像于q，所以有又 圖127解得 例8 將焦距為10cm的一塊雙凸透鏡沿其表面的垂直方向切割成相同的兩部分，把這兩部分沿垂直于主軸的方向移開一段距離，并用不透明的材料將其擋住. 若在原透鏡左側(cè)主軸上，距透鏡光心20cm處放一點光源M，如圖127所示，點光源能射出波長為的單色光，那么在透鏡另一側(cè)距透鏡50cm的屏幕（垂直于透鏡主軸放置）上，將出現(xiàn)多少亮條紋？解析 由透鏡成像規(guī)律可知，單色點光源M，經(jīng)切割成的兩個半透鏡分別成兩個像M1，M2（此時每個半透鏡相當于一個透鏡）. 這兩個像距相等，關于主光軸

13、對稱，形成相干光源，從而在屏幕上可看到干涉條紋，屏幕中央是零級亮條紋，兩側(cè)依次分布著各級干涉條紋.根據(jù)透鏡成像公式： 設兩個像之間的距離由圖127甲中的幾何關系可知由、兩式得 由圖127甲知 類比光的雙縫干涉作圖127乙. 設屏幕上Q為一級亮條紋，則光程差為 因為解很小，所以有將其代入式得： 將、代入式得： 由于干涉條紋是等間距的，所以屏幕上出現(xiàn)的亮條紋數(shù)目為 由圖127甲中幾何關系得：解得 圖128將代入式得 將已知代入得N=46.6所以亮條紋的條數(shù)為46條.例9 如圖128所示，半徑R=10cm的光滑凹球面容器固定在地面上，有一小物塊在與容器最低點P相距5mm的C點由靜止無摩擦滑下，則物塊

14、自靜止下滑到第二次通過P點時所經(jīng)歷的時間是多少？若此裝置放在以加速度a向上運動的實驗艙中，上述所求的時間又是多少？解析 本題中的小物塊是在重力、彈力作用下做變速曲線運動，我們?nèi)糇プ∥矬w受力做往復運動的本質(zhì)特征，便可以進行模型等效，即把小物塊在凹球面上的運動等效為單擺模型.將上述裝置等效為單擺，根據(jù)單擺的周期公式得若此裝置放在以加速度a向上運動的實驗艙中，比較兩種情形中物體受力運動的特征，可以等效為單擺的重力加速度為的情形，經(jīng)類比推理可得：針對訓練1宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L. 若拋出時的初速度增大到2倍

15、，則拋出點與落地點之間的距離為. 已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G. 求該星球的質(zhì)量M.2如圖129所示，有一半徑為R的接地導體球，在距離球心a處放有一點電荷Q，由于靜電感應，球的表面出現(xiàn)感應電荷，求點電荷Q和導體球之間的相互作用力.3如圖1210所示，如果導體球不接地，且與外界絕緣，帶電量為q，則點電荷Q和導體球之間的作用力大小是多少？4已知，試求如圖1211所示的電路中，A、B間的等效電容CAB.5電容器網(wǎng)絡如圖1212所示，各電容器以為單位的電容量數(shù)值已在圖中標出，試求A、B兩點間的等效電容CAB.6許多電容量都為C的電容器組成一個多級網(wǎng)絡，如圖1213所示.（1）問在最后一級右邊的電容器上并聯(lián)一個多大的電容，可使整個網(wǎng)絡的總電容也等于C？（2）如不加，但無限增加級數(shù)，問整個網(wǎng) 路的總 電容是多少？（3）當電路中的級數(shù)足夠多時，如果在最后一級 右邊的電容器上并聯(lián)一個任意大小的電容， 問整個網(wǎng)路的總電容是多少？7將焦距為f的一塊透鏡沿其表面的垂直方向切割成兩部分. 如圖1214所示，