第七章 留數(shù)定理及其應(yīng)用.

1、數(shù)學(xué)物理方法7.1 留數(shù)定理 單值函數(shù) f(z) 在孤立奇點(diǎn)bk 鄰域內(nèi)的洛朗展開 中的 項(xiàng)的系數(shù) 稱為 f(z) 在 bk處的留數(shù)，記作 ，或 。)(1ka )(reskbf留數(shù) llkklbzazf)()()(1)( kbz定義 kbzf),(res 設(shè)光滑的簡(jiǎn)單閉合曲線 C 是區(qū)域 G 的邊界，若除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn) bk ( k =1, 2, n ) 外，函數(shù) f(z) 在 G 內(nèi)單值解析，在 上連續(xù)，且 C 上沒有奇點(diǎn)，則 1)(res2)(kkCbfidzzf 留數(shù)定理 定理G如圖，圍繞每個(gè)奇點(diǎn) bk 作閉合曲線 g gk ，使 g gk 均在 G 內(nèi)，且互不交疊，由復(fù)連通區(qū)域的柯西

2、定理知 nkCkdzzfdzzf1)()(g g nnkknbzazf)()()(證明ng g1g g2g gkg gGC將 f(z) 在 bk 的鄰域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù) nknnkknnknnkknCkkdzbzadzbzadzzf1)(1)()()()(g gg g復(fù)連通區(qū)域的柯西定理洛朗展開系數(shù)公式 1, 01,2)(nnidzazCn 因?yàn)?且C 內(nèi)含有z = a nkknkkCbfiiadzzf11)(1)(res22)( 可知 留數(shù)定理設(shè) z = b 是 f(z) 的 m 階極點(diǎn)，則在 b 點(diǎn)的鄰域內(nèi)留數(shù)的求法全為正冪項(xiàng)，求導(dǎo) (m-1) 后，低于 (m-1) 次的冪項(xiàng)沒有了，高于

3、(m-1) 次的冪項(xiàng)在 ，只剩 了。 1101111)()()()()(bzaabzabzabzazfmmmm bzmmmzfbzdzdma )()()!1(1111 110111)()()()()()(mmmmmmbzabzabzabzaazfbz兩邊同乘以 (z b)m 得0)( bzbz1 a常見情況： ， P(z)、Q(z) 在 b 點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解 析， z = b 是 Q(z) 的一階零點(diǎn)。 Q(b) = 0， Q(b) 0， P(b) 0，則)()()(zQzPzf 若 z = b 是一階極點(diǎn)，則 )()(lim1zfbzabz )()()()(lim)()()()(lim)()(

4、lim1bQbPzQbzbPzQzPbzzfbzabzbzbz )()(1bQbPa 小結(jié)：求留數(shù)的方法 根據(jù)定義將函數(shù)在奇點(diǎn)鄰域展開，求展開系數(shù) a1 求積分 對(duì) m 階極點(diǎn)求導(dǎo)數(shù) 對(duì)一階極點(diǎn)，求極限 對(duì)一階極點(diǎn)，有)()(1zQzPa kdzzfiag g )(211 bzmmmzfbzdzdma )()()!1(1111 )()(lim1zfbzabz 例題例題解求 在奇點(diǎn)處的留數(shù)。 112 z221)()()(resizzQzPifiziz iz 是它的一階極點(diǎn)izizz 11112 例題例題解2zeeibziaz)()0(res1baiaf 方法一：直接在 z = 0 作展開求 在奇

5、點(diǎn)處的留數(shù)。 onnnnnonnnibziazzbaninibziazzzee222)(!)()(1方法二： 是一階奇點(diǎn)0 z201lim)0(reszeezafibziazz zeeibziazz 0lim 0 zibziazibeiae)(bai 所以 是 的三階極點(diǎn)。的倒數(shù) 的零點(diǎn) 例題例題解求 在奇點(diǎn)處的留數(shù)。 3211 ziz 3211 z 321 ziz 0 iz 2232)1(6)1( zzz )1(24)1(6)1(222232 zzzz 322)3(3248)1(72)1(zzzz 3211 z0 iz izzizdzdif 32322)1(1)(! 21)(res bzmm

6、mzfbzdzdma )()()!1(1111izzizdzd 32221! 21izizdzd 3221! 21izizdzd 4)(3! 21iziz 5)(12! 21iziz 5)(65326i i163 izzizdzdif 32322)1(1)(! 21)(resizzizdzd 32221! 21izzdzd 32211! 21izizdzd 4)(3! 21iziz 5)(12! 21iziz 5)(65)2(6i 5326i i163 為一階極點(diǎn)， 為二階極點(diǎn)先分析奇點(diǎn)的類型 例題例題解求 在奇點(diǎn) 處的留數(shù)。 211 zzz1 z1 z41) 1)(1() 1(lim) 1

7、(res21zzzzfz41) 1() 1() 1)(1() 1()!12(1) 1(res12122zzzzzzzzzdzdf1 z可將 在 展開，為 在復(fù)平面內(nèi)的唯一孤立奇點(diǎn)，不確定， 為本性奇點(diǎn)。 例題例題解求 在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。 21cos3 zz21cos)(3 zzzf2 z 20z2 z21coslim32 zzz21cos3 zz 023)2(1)!2()1(2)2()(kkkzkzzf只關(guān)心負(fù)一次冪系數(shù) 因此，24143)2(res f 023223)2(1)!2()1(2)2(23)2(23)2(kkkzkzzz 21! 2112! 41z 2124143z 顯然，A、B、

8、C 正好是 f(z) 在一階極點(diǎn) z = 1，z = 2，z = 3 的留數(shù)，所以 例題例題解對(duì)有理函數(shù) 部分分式。 )3)(2)(1(1)( zzzzf321)( zCzBzAzf21)3)(2(1)3)(2)(1(1)1(lim)1(res11 zzzzzzzzfA1)3)(1(1)3)(2)(1(1)2(lim)2(res22 zzzzzzzzfA21)2)(1(1)3)(2)(1(1)3(lim)3(res33 zzzzzzzzfA所以3121211121)( zzzzf為 的一階極點(diǎn)，為本性奇點(diǎn)， 例題例題解求 在奇點(diǎn)的留數(shù)。 zez 1zezfz 1)(1 zefbffkbk1)1

9、(res)(res)(res zezezfzz11)1(lim)1(res1 補(bǔ)充定理： 函數(shù)上所有孤立奇點(diǎn)的留數(shù)之和為0 證明：設(shè)一個(gè)球面，其中0點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)分別在一條半徑的兩端。則從該奇點(diǎn)看該鄰域的正方向與從無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)看該鄰域的正方向相反。和為0。 所以，所有有限孤立奇點(diǎn)的留數(shù)的和與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)和相加均為0。如果從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明的話，則需要進(jìn)行一些計(jì)算證明: 現(xiàn)在做一個(gè)區(qū)域，將所有有限奇點(diǎn)囊括進(jìn)去。則該區(qū)域外為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域則cdzzfisf)(2)(Re)(Re)(211icnizsfdzzfi2）在 C 內(nèi)只有 可能是 f(z) 的奇點(diǎn)，作變換 則對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，定義 C 為繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)正

10、向一周的圍道，1）在 C 內(nèi)有奇點(diǎn) bk ，則 Cdzzfif)(21)(res tz1 補(bǔ)充討論： kbkbff)(res)(res CCtdttfitdtfif21211121)(res 在 t = 0 點(diǎn)鄰域內(nèi)冪級(jí)數(shù)展開中 t1 項(xiàng)的系數(shù)在 t = 0 點(diǎn)鄰域內(nèi)冪級(jí)數(shù)展開中 t1 項(xiàng)的系數(shù)在 z = 點(diǎn)鄰域內(nèi)冪級(jí)數(shù)展開中 z1 項(xiàng)的系數(shù) 21ttf tf 1 )(zf 此結(jié)果與有限遠(yuǎn)處奇點(diǎn)的留數(shù)不同之處為：1）形式上多了一個(gè)負(fù)號(hào)；2） z1 是 f(z) 在點(diǎn)展開的正則部分（絕對(duì)收斂的負(fù)冪項(xiàng)），即 使點(diǎn)不是奇點(diǎn)，resf() 也可以不為 0；反之，即使點(diǎn)是奇 點(diǎn)，甚至為一階極點(diǎn)， res

11、f() 也可以為 0。留數(shù)的計(jì)算在積分計(jì)算中常用到！下面重點(diǎn)學(xué)習(xí)積分計(jì)算中留數(shù)定理的運(yùn)用，涉及定積分和常見類型積分的計(jì)算。作變換 ，即 ， ， 則R 在 上連續(xù)，保證了 R(z) 在 上無(wú)奇點(diǎn)。7.2 有理三角函數(shù)的積分 計(jì)算方法 R 為 和 的有理函數(shù)，在 上連續(xù)， izz21sin2 cossin 20)cos,(sindRI2 , 0 12212221,211res221,21zzzzizzRzizdzzzizzRI 1 z iez zz21cos2 izdzd 2 , 0 例題例題解計(jì)算積分1,cos1120 dI 12202111cos11zizdzzzdI 有一階極點(diǎn)： 2122

12、z只有 在 內(nèi) 2122 z1 z 1222zidzzz 1222res2zzz 2112222 zz 212222 1,122 設(shè) ，則 ， 例題例題解計(jì)算積分)(,cos45cos0為正整數(shù)為正整數(shù)mdxxmxI 被積函數(shù)為偶函數(shù)ixez izdxdz zzx21cos2 dxxmxIcos45cos21令 dxxmxIdxxmxIcos45sin,cos45cos21則 dxxeiIIimxcos4521 1221)1(251zmdzzzziiII252)1 (25)(22zzzzzzzfmmmmmzmzzzzzzzf231221221)2(2lim)1(2521lim21res2122

13、1 1212323121 mmiiiII 在 內(nèi)，函數(shù) f(z) 只有一個(gè)一階極點(diǎn)1 z)12(,21 zz中的被積函數(shù)為奇函數(shù)，2I02 ImIdxxmxI23121cos45cos211 1123 mI 可見 z = 0 是被積函數(shù) 在 內(nèi)的唯一奇點(diǎn)，是 2n + 1 階極點(diǎn)，若求 2n 階導(dǎo)數(shù)則很復(fù)雜，故將 f(z) 在 中展開 例題例題解計(jì)算積分 202cosxdxInixez dzzidx zzx21cos2 1222)1()( nnzzzf令 112222122202)1(221cosznnnznndzzzidzzizzxdxI 1 z z0由二項(xiàng)式定理知 nkknnnnzknkn

14、zzzzf2024121222)!2( !)!2(1)1()(21) !()!2(!)!2()0(resnnnnnaf 當(dāng) k = n 時(shí)，為 項(xiàng)1 z22222202) !2()!2(2) !()!2(22) !()!2(22cosnnnnnniixdxInnnn nknknzknkn201224)!2( !)!2( nkknzknkn20122)!2( !)!2( 的奇點(diǎn) 均為一階極點(diǎn)，只有 在 內(nèi) 例題例題解計(jì)算積分 202cos11dI令 204020202cos312cos312cos31cos11ddddI161)(2 zzzf 12122021641622cos11zzzzdzi

15、dzzizzzdI 223 z223 z1 zzz21cos2 dzzid iez 24162116123res2232232 zzzzzf 2248)23(res24cos11202 fiidI 12122021)24(12112121sin1zzdzzazidzzizzadxxI 例題例題解計(jì)算積分0,sin1202 adxxI dzzid 令 020202cos1212cos122sin1dadxxadxxaIzz21cos2 iez 有一階極點(diǎn)只有 在 內(nèi)1)24(1)(2 zazzfaaaz 22121 zaaaz 2212 aaazaaafiidxxIaaaz 221222022)

16、24(212212res2sin12 在上半平面補(bǔ)上以圓點(diǎn)為圓心 R 為半徑的弧 CR，則 -R, R+CR 形成閉合圍道，應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算閉合圍道積分后令 R0。7.3 無(wú)窮積分 將實(shí)變函數(shù) f(x) 延拓為 f(z) 補(bǔ)上適當(dāng)?shù)姆e分路徑，形成閉合圍道 dxxfI)(計(jì)算方法： R RoRC 例題例題解計(jì)算積分 dxxI22)1(1iz 2222111i)(zi)(z)z(f(z)在上半平面只有一個(gè)二階極點(diǎn)iizizdzdizizizdzdifiziziz41)(2lim)(1lim)()(1)(lim)(res32222 )(res2)1()1(1)1(1222222ifizdzdxxdz

17、zRCRRC 0)1(1lim22 zzz因?yàn)橛梢矶ǖ谌拢┲?)1(1lim22 RCRz所以2)1(122 dxxIR RoRCiizdzdxxRCRRRR412)1(lim)1(1lim2222 可見，無(wú)窮積分的被積函數(shù) f(z) 必須滿足：1）在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外，處處解析，實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)；2）在 內(nèi)，當(dāng) 時(shí)， 一致的趨于 0。 即 ，使當(dāng) 時(shí)， zarg0 z)(zzf0)(, 0 M azarg0, 0 )(zzf 例題例題解計(jì)算定積分 0411dxxI4 iez 411)()(zzfxf 在圍道內(nèi)只有一個(gè)一階奇點(diǎn)oiRRRC0 , 0iRCRR 作圍道 044044)(

18、)(1111111RCRCiydiyzdzdxxdzzR RCRzdzxdxi40411)1(4411res2 iezzi 212i 011lim4 zzR01lim4 RCRzdz（引理二）所以2121)1(04ixdxi 即42104 xdx在上半平面內(nèi)有兩個(gè)一階極點(diǎn) 和 例題例題解計(jì)算積分 dxxxI42114 iez 4211)()(zzzfxf 43442424211res11res211 iiezezzzzzidxxx43 iez 01142 zzzz 434323241412 iiezezzzzzi iiiii2222222241412 434423432424141211 ii

19、eziieziieeeeidxxx 4)(14)(1222222222iiiii 4222iii 2 只要知道 ，那么分別比較實(shí)部和虛部即可。7.4 含三角函數(shù)的無(wú)窮積分當(dāng) 時(shí)， 和 行為復(fù)雜，故取被積函數(shù)為 pxdxxfIcos)(計(jì)算方法： RRCipzRRCipzRRipxCizpdzezfdxpxipxxfdzezfdxexfdzezf)()sin)(cos()()()(ipzezf)(pzpzsincos Rz或 0,sin)( ppxdxxfI RCipzdzezf)(R RoRC 設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，Q(z) 一致的趨近于 0，則0)(lim RCipzRdzezQ約當(dāng)定理 定理其中

20、p 0，CR 是以原點(diǎn)為圓心，以 R 為半徑的半圓弧。 z zarg0證明ideRdzCziRi,Re 0)sin(cos)()(ideReeRQdzezQiiipRiCipzR 20sin0sin0sin2)()( deRdeRRdeeRQdzezQpRpRpRiCipzR 時(shí)，20 2sin pRpRpRCipzepdeRdeRdzezQR 122)(20220sin 可見0)(lim RCipzRdzezQ由復(fù)變積分性質(zhì)知：2 o1 sin kkbipbkCipzebfidzezfdxpxipxxf)(res2)()sin)(cos( 當(dāng) f(x) 為偶函數(shù)時(shí)， f(x)cospx 為偶

21、函數(shù)，f(x)sinpx 為奇函數(shù)。 bk 在 C 內(nèi)約當(dāng)引理保證了： kkbipbkebfipxdxxf)(rescos)(0 kkbipbkebfpxdxxf)(ressin)(0 當(dāng) f(x) 為奇函數(shù)時(shí)， f(x)cospx 為奇函數(shù)，f(x)sinpx 為偶函數(shù)。為偶函數(shù) 例題例題解計(jì)算積分 041cosdxxaxI4 iez 411)(xxf 014 RCiazdzze43 iez 0114 zz411)()(zzfxf在上半平面內(nèi)有一階極點(diǎn) 和由約當(dāng)引理知 4344404,1res,1res1cos iiaziiazezefezefidxxax 4343304441cos iie

22、iazeiazzezeidxxax aiaaiaeieii22222222241241 aaea2222cossin2222 非奇非偶 例題例題解計(jì)算積分 dxxxxxI102cos2102)(2 xxxxf01022 RCizdzzzzeiz31 01022 zzzz102)()(2 zzzzfxf在上半平面內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn) 由約當(dāng)引理知)31(22)31(res2102102iiCizixeifidzzzzedxxxxe ieiieizzzeeifiiiiiizii6)31(2)31(2)31()102(lim31res3)31(2)31(31)31( )1sin1cos3(3)1sin3

23、1(cos36)31(21023332 eieieiidzxxxeiix )1sin31(cos3102cos32 edxxxxx 所以)1sin1cos3(3102sin32 edxxxxx 為奇函數(shù) 例題例題解計(jì)算積分0,sin022 adxaxxxI22)(axxxf 022 RCizdzazzeiaz 022 zazz22)()(azzzfxf 在上半平面內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn) 由約當(dāng)引理知)(2222022)(res2121iaiCizixixeiafidzazzedxaxxedxaxxe 方法一： 22)(limres)(22)(31)(aiaiiaiiziaiezzeazzeeiaf

24、aaixieeidzaxxe 2222aedxaxxx 2sin022 所以0cos22 dxaxxxaedxaxxx 22sin即為奇函數(shù)22)(axxxf kkbipbkebfpxdxxf)(ressin)(0 方法二：aaiaieeeiafdxaxx 22)(ressin)(022 22)(limres)(22)(31)(aiaiiaiiziaiezzeazzeeiaf 所以 主值積分 解析函數(shù) f(x) 在有界區(qū)域內(nèi)某點(diǎn) x0 無(wú)界，稱 為 f(x) 在 a, b 上的主值積分。7.5 實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情形 圍道作法同上，只是積分圍道繞過(guò)實(shí)軸上的奇點(diǎn)。圍道多了一段以實(shí)軸上的奇點(diǎn)為圓心，d

25、 d 為半徑的半圓弧。 計(jì)算方法： R RoRCd dCd d d d定義 bxxabadxxfdxxfdxxfpv 00)()()(. 例題例題解計(jì)算主值積分 )1(.2xxxdxpvI RCRCRCzzzdzxxxdxzzzdzxxxdxzzzdz)1()1()1()1()1(22222d dd dd dR RoRCd dCd d d d32)1(1res22 iezzzzi 3221res21 iezzzi i 3由引理二知：大弧上的積分為零。01022 zzzz0)0()1(lim2 iKzzzdzRCR又由引理一知：小弧上的積分值。1)1(02 zzzzz d dd diikzzzd

26、zC )0()1(lim20 d dd diixxxdxxxxdxRR 3)1()1(22因此即3)1(.2 dxxxxdxpvI 例題例題解計(jì)算積分 dxxxIsin0 RCizRixCizRixCizdzzedxxedzzedxxedzzed dd dd dR RoRCd dCd d d d圍道 C 內(nèi) 解析，故積分值為零。zeiz由約當(dāng)引理知：大弧積分為零。 當(dāng) 時(shí)01,arg0 zzz 0lim dzzeRCizR又由引理一知：小弧上的積分值。10 zizzez d dd diikdzzeCiz )0(lim00 RixRixdxxeidxxed dd d 可知即idxxxpvidxx

27、xpv sin.cos.所以 dxxxIsin 例題例題解計(jì)算積分)00(,coscos02 badxxbxaxI022222 RCibziazRibxiaxCibziazRibxiaxCibziazdzzeedxxeedzzeedxxeedzzeed dd dd dR RoRCd dCd d d d圍道 C 內(nèi) 解析，故積分值為零。zeeibziaz 21)(zzf 在實(shí)軸上有二階極點(diǎn) z = 0 ，作如圖圍道RibxiaxRibxiaxRibxiaxdxxeedxxeedxxeeddd222 RibxiaxibxiaxRibxiaxRibxiaxdxxeeeedxxeedxxeeddd22

28、2 Ribxibxiaxiaxdxxeeeed2Rdxxbxaxd2coscos2又由約當(dāng)引理知：大弧積分為零。 當(dāng) 時(shí)01,arg0 zzz 0lim2 dzzeRCiazR由引理一知：小弧上的積分值。)(002baizibeiaezeezeezzibziazzibziazibziaz )()0(lim20baikdzzeeCibziaz d dd d0lim2 dzzeRCibzR0)(coscos222222badxxbxaxdzzeedxxeedzzeedxxeeRCibziazRibxiaxCibziazRibxiaxdddd即)(2coscos2abdxxbxaxddzzeeidz

29、zeeziizizzi33333)2(12 例題例題解計(jì)算積分 dxxxI33sin31)(zzf 在實(shí)軸上有三階極點(diǎn) z = 0dzzeedzzziziz333323sin1I 2I dzzeeiizzi23)(由約當(dāng)引理知：大弧積分為零。 當(dāng) 時(shí)01,arg02 zzz RCizziRRixxiCizzidzzeedxxeedzzee333333333R RRCd dCd d d do對(duì)于 I1 作圍道 C，如下圖03lim33 dzzeeRCizziR故iI 61 )0(2resfi 0333223! 22 zizzizeezdzdi ieeizizzi0339! 22 i 6 R RRC d dCd d d do0333333333 RCziizRRziizCziizdzzeedxzeedzzee故02 I對(duì)于 I2 作圍道 C，如下圖弧積分在下半平面，以保證能滿足約當(dāng)引理中 的ziizee33 0 peipz由約當(dāng)