熱平衡統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律3

1、第第1頁頁 共共23頁頁速率速率大學(xué)物理大學(xué)物理第第2頁頁 共共23頁頁 目標(biāo)：討論體系中粒子按能量的最概然分布目標(biāo)：討論體系中粒子按能量的最概然分布 即：即：N個(gè)粒子在個(gè)粒子在 E 守恒條件下，如何分布在各能級(jí)、守恒條件下，如何分布在各能級(jí)、各狀態(tài)中，其實(shí)現(xiàn)的可能性最大？各狀態(tài)中，其實(shí)現(xiàn)的可能性最大？然然分分布布取取極極大大值值的的分分布布：最最概概求求在最概然分布下在最概然分布下每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)?iN能級(jí)中每個(gè)狀態(tài)被占據(jù)的概率能級(jí)中每個(gè)狀態(tài)被占據(jù)的概率?)(iiigNf大學(xué)物理大學(xué)物理第第3頁頁 共共23頁頁求求 的極大值的極大值運(yùn)用斯特林公式，變分法，拉格朗日乘子法運(yùn)

2、用斯特林公式，變分法，拉格朗日乘子法kTiiiegNkTiiiiegNf1)(守守恒恒確確定定、待待定定常常數(shù)數(shù)，由由NE:得：得：個(gè)個(gè)狀狀態(tài)態(tài)中中去去的的方方式式分分組組，并并分分別別放放入入個(gè)個(gè)粒粒子子按按已已知知：將將iiggNNN,11iNiiiigNN!大學(xué)物理大學(xué)物理第第4頁頁 共共23頁頁 定性說明：定性說明：由于分子頻繁碰撞，動(dòng)能在各運(yùn)動(dòng)形式、由于分子頻繁碰撞，動(dòng)能在各運(yùn)動(dòng)形式、各自由度之間轉(zhuǎn)移，平衡時(shí)，各種平均動(dòng)能按自由度均各自由度之間轉(zhuǎn)移，平衡時(shí)，各種平均動(dòng)能按自由度均分。分。分子的平均總動(dòng)能分子的平均總動(dòng)能: :kTi2k 在溫度在溫度T的平衡態(tài)下，物質(zhì)（固，液，氣）分子

3、的每的平衡態(tài)下，物質(zhì)（固，液，氣）分子的每一個(gè)可能的自由度都有相同的平均動(dòng)能一個(gè)可能的自由度都有相同的平均動(dòng)能kT211. 能均分定理能均分定理大學(xué)物理大學(xué)物理第第5頁頁 共共23頁頁由能均分定律，其他各自由度上平均動(dòng)能均為由能均分定律，其他各自由度上平均動(dòng)能均為kT21由溫度公式由溫度公式kTvvvmvmzyxt23)(21212222kTvmvmvmzyx21212121222每個(gè)自由度上的平均平動(dòng)動(dòng)能：每個(gè)自由度上的平均平動(dòng)動(dòng)能：kTs2平均平動(dòng)動(dòng)能平均平動(dòng)動(dòng)能kTt2平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能kTr2平均振動(dòng)動(dòng)能平均振動(dòng)動(dòng)能平均總動(dòng)能平均總動(dòng)能kTikTsrt2)(21k: 能均分定律是

4、統(tǒng)計(jì)規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)能均分定律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)的整體性質(zhì)，對(duì)個(gè)別分子或少數(shù)分子不適用。的整體性質(zhì)，對(duì)個(gè)別分子或少數(shù)分子不適用。大學(xué)物理大學(xué)物理第第6頁頁 共共23頁頁2) 理想氣體內(nèi)能：（分子數(shù)理想氣體內(nèi)能：（分子數(shù) N）模型：模型：分子間無相互作用分子間無相互作用無分子相互作用勢(shì)能無分子相互作用勢(shì)能分子動(dòng)能：分子動(dòng)能：kTiN2原子振動(dòng)勢(shì)能：原子振動(dòng)勢(shì)能：kTsN2kTsrtN)2(212. 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能1) 實(shí)際氣體實(shí)際氣體的內(nèi)能的內(nèi)能：（分子數(shù)：（分子數(shù) N）所有分子的動(dòng)能：所有分子的動(dòng)能：kTiNkTsrtN2)(21微振動(dòng)：采用諧振動(dòng)模型微振動(dòng)：采用

5、諧振動(dòng)模型所有分子內(nèi)原子振動(dòng)勢(shì)能：所有分子內(nèi)原子振動(dòng)勢(shì)能：pkEE kTsN2分子間相互作用勢(shì)能：與體積有關(guān)分子間相互作用勢(shì)能：與體積有關(guān)與與T,V有關(guān)有關(guān)大學(xué)物理大學(xué)物理第第7頁頁 共共23頁頁剛性分子剛性分子無振動(dòng)自由度無振動(dòng)自由度分子數(shù)為分子數(shù)為 N 的理想氣體的內(nèi)能為的理想氣體的內(nèi)能為kTiNNE2k對(duì)對(duì) 1mol 剛性分子理想氣體剛性分子理想氣體RTikTiNEA22剛性分子理想氣體剛性分子理想氣體對(duì)對(duì)molMRTiME2單原子分子單原子分子RTME23RTME25剛性雙原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子剛性多原子分子RTME3溫度溫度 T 的的單值函數(shù)單值函數(shù)rti大學(xué)物理大學(xué)物

6、理第第8頁頁 共共23頁頁平衡態(tài)下，物質(zhì)分子每個(gè)自由度上的平均動(dòng)能平衡態(tài)下，物質(zhì)分子每個(gè)自由度上的平均動(dòng)能平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的平均總動(dòng)能平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的平均總動(dòng)能平衡態(tài)下，平衡態(tài)下，1 1mol理想氣體內(nèi)能理想氣體內(nèi)能指出下列各量的物理意義指出下列各量的物理意義:21kT:23kT:2kTi:2RTi:2RTiM理理想想氣氣體體內(nèi)內(nèi)能能平平衡衡態(tài)態(tài)下下，molM大學(xué)物理大學(xué)物理第第9頁頁 共共23頁頁條件：條件： 理想氣體，平衡態(tài)（熱動(dòng)平衡）理想氣體，平衡態(tài)（熱動(dòng)平衡）宏觀：宏觀：有有確確定定值值、Tpn微觀微觀:各分子不停運(yùn)

7、動(dòng)且頻繁碰撞，各分子不停運(yùn)動(dòng)且頻繁碰撞，無無規(guī)規(guī)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)不不斷斷變變化化,v 對(duì)大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定對(duì)大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定的規(guī)律。的規(guī)律。分布函數(shù)：分布函數(shù)：概率密度概率密度 ，是，是 x 的函數(shù)的函數(shù)xNNAxNNxWxfdddd)(NNWdd一般情況：一般情況： N次測(cè)量中次測(cè)量中A事件出現(xiàn)的概率事件出現(xiàn)的概率NNWAAlimN大學(xué)物理大學(xué)物理第第10頁頁 共共23頁頁 1. .內(nèi)容內(nèi)容 平衡態(tài)下，平衡態(tài)下，時(shí)，理想氣體分子速率在時(shí)，理想氣體分子速率在v v+d+dv 間的概率為間的概率為vvkTmNNWkTmvde)2(4dd22232分布

8、函數(shù)：分布函數(shù)：分子速率在分子速率在 v 附近附近的概率的概率22232e)2(4dd)(vkTmvNNvfkTmv大學(xué)物理大學(xué)物理第第11頁頁 共共23頁頁2. 麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線: : 0 1) 氣體分子速率可取氣體分子速率可取的一切值，但的一切值，但v 很小和很小和v很大很大的分子所占比率小，具有中的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。等速率分子所占比率大。令令解解得得0d)(dvvfRTmNTkNmkTvAAp222數(shù)量級(jí)：數(shù)量級(jí)：132sm1010室溫下室溫下,:最概然速率最概然速率pvOvf(v)vp大學(xué)物理大學(xué)物理第第12頁頁 共共23頁頁物理意義：

9、物理意義：的的分分子子數(shù)數(shù)最最多多？是是不不是是速速率率正正好好等等于于pvRTmNTkNmkTvAAp222最最概概然然速速率率:pv vNvfNvNNvfdd,dd)(0d0dNv則則若若 若將若將v分為相等的速率間隔，則在包含分為相等的速率間隔，則在包含vp的間隔中的的間隔中的分子數(shù)最多。分子數(shù)最多。Ovf(v)vp大學(xué)物理大學(xué)物理第第13頁頁 共共23頁頁窄條：窄條：NNvvNNvvfddddd)( 分子速率在分子速率在 v v+dv 區(qū)間內(nèi)的概率區(qū)間內(nèi)的概率部分：部分：NNNNvvfvvvvvv212121dd)(區(qū)區(qū)間間的的概概率率分分子子速速率率在在21 vv 2) 曲線下的面積

10、曲線下的面積： vf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2O大學(xué)物理大學(xué)物理第第14頁頁 共共23頁頁總面積：總面積：1dd)(00NNNNvvf歸一化條件歸一化條件：pvvvfvvNfd)(d)(pvvvNfvvnf0d)(d)(的物理意義的物理意義?vf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2O大學(xué)物理大學(xué)物理第第15頁頁 共共23頁頁m一定一定,mkTvTp23) 分布曲線隨分布曲線隨 m 、T 變化變化： 曲線峰值右移，總面曲線峰值右移，總面積不變，曲線變平坦。積不變，曲線變平坦。速率速率T 一定一定, ,mkTvmp2 曲線峰值左移，總面積不曲線峰值左移，總面積不變

11、，曲線變尖銳。變，曲線變尖銳。Ovf(v)vp2vp1m1m2 m1T一定一定大學(xué)物理大學(xué)物理第第16頁頁 共共23頁頁1) 平均速率平均速率RTRTmkTvvvfv60.188d)(03) 最概然速率最概然速率(最可幾速率最可幾速率)RTRTmkTvp41. 1222) 方均根速率方均根速率mkTvvfvv3d)(022RTRTmkTv73. 13323. .分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值wMMd0d)()()(vvfvgvg一般情況：一般情況：大學(xué)物理大學(xué)物理第第17頁頁 共共23頁頁三者關(guān)系：三者關(guān)系：2vvvpOvf(v)vpv2v:則則若若,BASSvv 0pvv

12、020vv NNNvv21000(1)下列答案中正確的是：下列答案中正確的是：Ovf(v)v0SASB大學(xué)物理大學(xué)物理第第18頁頁 共共23頁頁(2)區(qū)間的分子的平均速率區(qū)間的分子的平均速率求速率在求速率在21 vv解一：解一：2121d)(vvvvvvvfv解二：解二：21212121212121d)(d)(d)(d)(ddvvvvvvvvvvvvvvvvfvvvfvvNfvvvNfNNvv哪一種解法對(duì)？哪一種解法對(duì)？;ddddd)(21212121vvvvvvvvvNNvvvNNvvvvf2121212121dddvvvvvvvvvvvNNvNNv大學(xué)物理大學(xué)物理第第19頁頁 共共23頁頁

13、4. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證(高真空技術(shù)的發(fā)展促進(jìn)驗(yàn)證精度的提高高真空技術(shù)的發(fā)展促進(jìn)驗(yàn)證精度的提高)教材教材: 1955年年 密勒密勒.庫什實(shí)驗(yàn)庫什實(shí)驗(yàn) 不同不同v分子到達(dá)分子到達(dá) P所用時(shí)間不等所用時(shí)間不等, 沉淀于玻片上不同位沉淀于玻片上不同位置置, 用光學(xué)方法測(cè)玻片上鉍厚度分布可推知分子速率分用光學(xué)方法測(cè)玻片上鉍厚度分布可推知分子速率分布。布。介紹介紹: 1934年年 葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)O: 鉍蒸汽源鉍蒸汽源平平行行狹狹縫縫:,321SSSP ：繞中心：繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒內(nèi)貼玻片筒內(nèi)貼玻片O 大學(xué)物理大學(xué)物理第第20頁頁 共共23頁頁,Fv處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計(jì)方法可用于處

14、理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計(jì)方法可用于金屬中自由電子金屬中自由電子(“(“電子氣電子氣”模型模型),),設(shè)導(dǎo)體中自由電設(shè)導(dǎo)體中自由電子子數(shù)為數(shù)為N, ,電子速率最大值為費(fèi)米速率電子速率最大值為費(fèi)米速率且已知電子且已知電子速率在速率在 v v + d v 區(qū)間概率為區(qū)間概率為NNd0d2vAv)()0(FFvvAvv為常數(shù)為常數(shù) 畫出電子氣速率分布曲線畫出電子氣速率分布曲線AvF定出定出由由2,vvvp求求大學(xué)物理大學(xué)物理第第21頁頁 共共23頁頁: 由歸一化條件由歸一化條件330023,13dd)(FFvvAvAvAvvvfFFvFFpvvvvvvvvfvvvF75. 0d3d)(;2003FFFFvvvvvvvvvvF77. 06 . 06 . 0d3222022vNNvfdd)()(0)0(2FFvvvvAvOvf(v)vF大學(xué)物理大學(xué)物理第第22頁頁 共共23頁頁無外力場(chǎng)存在時(shí)無外力場(chǎng)存在時(shí), 麥?zhǔn)戏肿铀俾史植级甥準(zhǔn)戏肿铀俾史植级蓈vkTmNNWkTmvde)2(4dd22232麥?zhǔn)戏肿铀俣确植级甥準(zhǔn)戏肿铀俣确植级蓏yxvvvkTmvvvkTmNNWzyxddde)2(dd)(223222保守力場(chǎng)中，粒子不再均勻分布保守力場(chǎng)中，粒子不再均勻分布重力場(chǎng)中粒子按高度分布規(guī)律重力場(chǎng)中粒子按高度分布規(guī)律粒子按勢(shì)能分布規(guī)律粒子按勢(shì)能分布規(guī)律或：或：大學(xué)物理大學(xué)