固體材料的導(dǎo)電性1

1、第十二章第十二章 固體材料的導(dǎo)電性固體材料的導(dǎo)電性 本章將具體討論與固體材料的導(dǎo)電性有關(guān)的問題。從固體本章將具體討論與固體材料的導(dǎo)電性有關(guān)的問題。從固體中的電子在外電場中的運動出發(fā)去中的電子在外電場中的運動出發(fā)去理解和討論金屬，半導(dǎo)體等理解和討論金屬，半導(dǎo)體等材料的導(dǎo)電的機理。材料的導(dǎo)電的機理。由于金屬的導(dǎo)電性與費米面的情況有密切由于金屬的導(dǎo)電性與費米面的情況有密切的聯(lián)系，而費米面的測量又與電子在磁場當(dāng)中的運動有關(guān)，所的聯(lián)系，而費米面的測量又與電子在磁場當(dāng)中的運動有關(guān)，所以本章還將具體研究以本章還將具體研究固體中的電子在電磁場中的運動規(guī)律固體中的電子在電磁場中的運動規(guī)律。 綜上，本章的內(nèi)容可具

2、體的分為下面四個部分：綜上，本章的內(nèi)容可具體的分為下面四個部分： 1）關(guān)于固體中電子運動的準經(jīng)典描述。）關(guān)于固體中電子運動的準經(jīng)典描述。 2）關(guān)于金屬的導(dǎo)電性與費米面。）關(guān)于金屬的導(dǎo)電性與費米面。 3）關(guān)于半導(dǎo)體的導(dǎo)電性。）關(guān)于半導(dǎo)體的導(dǎo)電性。 4）關(guān)于能帶理論的局限性：）關(guān)于能帶理論的局限性： 電子的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，電子的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，Maott絕緣體與哈伯德模型。絕緣體與哈伯德模型。 有序與無序，安德森模型與安德森轉(zhuǎn)變等。有序與無序，安德森模型與安德森轉(zhuǎn)變等。 在對金屬電導(dǎo)率等問題的討論中，要涉及到自由電子在外在對金屬電導(dǎo)率等問題的討論中，要涉及到自由電子在外電場中的運動。對這種問題的討論，一般有下

3、面兩種途徑：電場中的運動。對這種問題的討論，一般有下面兩種途徑：a）求解含外場的單電子薛定格方程。）求解含外場的單電子薛定格方程。 b）在外場較弱且恒定，不考慮電子的干涉、衍射及碰撞）在外場較弱且恒定，不考慮電子的干涉、衍射及碰撞等情況下，把電子在外場中的運動當(dāng)作準經(jīng)典粒子來處理。等情況下，把電子在外場中的運動當(dāng)作準經(jīng)典粒子來處理。 該方法具有：圖象清晰、運算簡單的特點，在實際應(yīng)該方法具有：圖象清晰、運算簡單的特點，在實際應(yīng)用中也是常被采用的。用中也是常被采用的。 這就要求：在這種含外場的單電子薛定格方程能夠求解的這就要求：在這種含外場的單電子薛定格方程能夠求解的前提下，解出描寫電子狀態(tài)的波函

4、數(shù)后，在利用流密度的表達前提下，解出描寫電子狀態(tài)的波函數(shù)后，在利用流密度的表達式可求出電流。然后再討論電流與外場的關(guān)系。式可求出電流。然后再討論電流與外場的關(guān)系。 否則就不能得到滿意的結(jié)果。否則就不能得到滿意的結(jié)果。 這些要求一般是很難被滿足的。這些要求一般是很難被滿足的。 本節(jié)將首先討論在準經(jīng)典近似下與電子運動的動力學(xué)方本節(jié)將首先討論在準經(jīng)典近似下與電子運動的動力學(xué)方程相關(guān)的問題，如：運動方程；有效質(zhì)量等。程相關(guān)的問題，如：運動方程；有效質(zhì)量等。1 自由電子的準經(jīng)典運動自由電子的準經(jīng)典運動本段對自由電子的準經(jīng)典近似從以下幾個方面做出討論本段對自由電子的準經(jīng)典近似從以下幾個方面做出討論：（1）

5、自由電子狀態(tài)的經(jīng)典描述：）自由電子狀態(tài)的經(jīng)典描述： 經(jīng)典力學(xué)中的自由粒子做勻速直線運動?？梢酝瑫r具有確經(jīng)典力學(xué)中的自由粒子做勻速直線運動?？梢酝瑫r具有確定的動量、能量和位置。定的動量、能量和位置。一一、金屬中自由電子的準經(jīng)典近似：、金屬中自由電子的準經(jīng)典近似：（2）自由電子狀態(tài)的量子描述：）自由電子狀態(tài)的量子描述： 在量子力學(xué)中自由電子的狀態(tài)由波矢為在量子力學(xué)中自由電子的狀態(tài)由波矢為 k 的平面波來描述。的平面波來描述。由于該波函數(shù)既是能量算符的本征函數(shù)，又是動量算符的本征由于該波函數(shù)既是能量算符的本征函數(shù)，又是動量算符的本征函數(shù)，所以這時電子的波矢函數(shù)，所以這時電子的波矢 k 或動量或動量

6、k 是完全確定的。由不確是完全確定的。由不確定原理，電子的位置就完全不能確定。定原理，電子的位置就完全不能確定。 為了給出一個為了給出一個電子在外場中運動時簡單而又清晰的物理圖像，電子在外場中運動時簡單而又清晰的物理圖像，也經(jīng)常使用準經(jīng)典近似的方法來描述自由電子的狀態(tài)。也經(jīng)常使用準經(jīng)典近似的方法來描述自由電子的狀態(tài)。（3）準經(jīng)典近似對自由電子狀態(tài)的描述：）準經(jīng)典近似對自由電子狀態(tài)的描述： 如果一個量子態(tài)的準經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中如果一個量子態(tài)的準經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中的這個態(tài)在準經(jīng)典近似下就常用一個的這個態(tài)在準經(jīng)典近似下就常用一個“波包波包”來表示。來表示。在這種近似下：在

7、這種近似下：自由電子自由電子平均速度平均速度波包的波包的群速度群速度自由電子自由電子的位置的位置波包中波包中心位置心位置（4）準經(jīng)典近似的使用條件：）準經(jīng)典近似的使用條件： 若金屬中自由電子的運動可以使用若金屬中自由電子的運動可以使用 k 附近附近 k 范圍內(nèi)的平范圍內(nèi)的平面波所組成的波包來描述。面波所組成的波包來描述。 就必然要求：電子的位置分布在波包中心就必然要求：電子的位置分布在波包中心 r 附近的附近的r 范圍范圍內(nèi)，內(nèi)，r 和和k必須滿足不確定關(guān)系。必須滿足不確定關(guān)系。 注意到使用量子力學(xué)描述時，自由電子的波函數(shù)是平面注意到使用量子力學(xué)描述時，自由電子的波函數(shù)是平面波，其波矢是完全確

8、定的。這反映在準經(jīng)典近似中就要求波，其波矢是完全確定的。這反映在準經(jīng)典近似中就要求 k 必須很小。具體地說就是要小于第一布里淵區(qū)的線度。即有：必須很小。具體地說就是要小于第一布里淵區(qū)的線度。即有：ak2 這樣這樣r 就必須遠大于晶體原胞的線度。即有：就必須遠大于晶體原胞的線度。即有： 具體地說就是要求：具體地說就是要求： （a）波包的尺寸要比原胞的尺寸大得多，金屬中電子的）波包的尺寸要比原胞的尺寸大得多，金屬中電子的運動就可使用波包的運動規(guī)律來描述。運動就可使用波包的運動規(guī)律來描述。 （b）同時作用于電子的外場的時空變化應(yīng)比較緩慢，其）同時作用于電子的外場的時空變化應(yīng)比較緩慢，其變化的波長變化

9、的波長 a 。 （c）外場的存在近似認為不破壞電子的能譜，只是引起）外場的存在近似認為不破壞電子的能譜，只是引起波矢波矢 k 的變化，否則就必須重新求解有外場時的薛定格方程。的變化，否則就必須重新求解有外場時的薛定格方程。ar 這是因為已經(jīng)知道對于波包必須滿足這是因為已經(jīng)知道對于波包必須滿足 這一條件。這一條件。2xkx積分可得：積分可得：在金屬中，用平面波函數(shù)組成波包，以一維情況為例：在金屬中，用平面波函數(shù)組成波包，以一維情況為例：（1）準經(jīng)典近似下自由電子的平均速度）準經(jīng)典近似下自由電子的平均速度 波包的群速度波包的群速度：2/2/)(00),(kkkktkkxidkAetx利用：利用：)

10、()()(000kkdkdkkk2/2/)()(00000),(kkkktkkdkdtkkxidkeAtxk有：有：2/2/0)()()(0000kktdkdxkkitkxkikkdeAek二二、準經(jīng)典近似下自由電子的運動方程：、準經(jīng)典近似下自由電子的運動方程：tdkdxtdkdxkAetxkktkxki0000212sin),()(相應(yīng)的幾率分布為：相應(yīng)的幾率分布為：由此可知波包的中心位置在由此可知波包的中心位置在:2222)(22sin),(00ktdkdxktdkdxkAtxkktdkdEtdkdxkk0010這里使用了德布羅意關(guān)系式這里使用了德布羅意關(guān)系式:)()(kkE波包中心移動的

11、速度為：波包中心移動的速度為： 在三維情況下，波包的中心位置為：在三維情況下，波包的中心位置為： 波包運動的速度為：波包運動的速度為： 001)(00kkdkdEdkddtdxkvtErkk010001kkkEv（2）準經(jīng)典近似下自由電子的運動方程）準經(jīng)典近似下自由電子的運動方程：自由電子能量自由電子能量 E(k) 的改變，應(yīng)該等于外力所作的功。即有：的改變，應(yīng)該等于外力所作的功。即有： dtvFEkdkk代入自由電代入自由電子速度的表子速度的表達式得：達式得：0 FdtkdEdtFEkdkk1所以有：所以有：Fkdtd)( 當(dāng)有外加靜電場當(dāng)有外加靜電場 E 作用在金屬上作用在金屬上之后，按準

12、經(jīng)典近似，之后，按準經(jīng)典近似，電子的運動方程為：電子的運動方程為：三三、準經(jīng)典近似在金屬導(dǎo)電問題中的應(yīng)用：、準經(jīng)典近似在金屬導(dǎo)電問題中的應(yīng)用： 這就是說，在準經(jīng)典近似下，電子在受到外場作用時，這就是說，在準經(jīng)典近似下，電子在受到外場作用時，滿足經(jīng)典運動方程。滿足經(jīng)典運動方程。Eekdtd)(這說明：在恒定外場的作用下，所有電子的狀態(tài)都按同樣的規(guī)這說明：在恒定外場的作用下，所有電子的狀態(tài)都按同樣的規(guī)律變化，整個費米球在律變化，整個費米球在 k 空間中以勻速率移動?？臻g中以勻速率移動。Eedtkd 若自由電子氣處于基態(tài)，則費米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占若自由電子氣處于基態(tài)，則費米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占

13、據(jù)。設(shè)在據(jù)。設(shè)在 t = 0 的時刻恒定電場的時刻恒定電場 E 施加到電子氣上，那么在施加到電子氣上，那么在 t 時刻費米球的中心將沿與時刻費米球的中心將沿與 E 相反的方向移動相反的方向移動 k 。且有：。且有：ttkkdtEekdk0)()0( 即當(dāng)外電場即當(dāng)外電場E 0時，電子的定向運動可看成兩個過程：時，電子的定向運動可看成兩個過程： 電子在電場的電子在電場的 作用下作加速運動；作用下作加速運動； 電子由于碰撞而失去定向運動。如果認為電子平均經(jīng)過一次電子由于碰撞而失去定向運動。如果認為電子平均經(jīng)過一次碰撞就可達到平衡，碰撞就可達到平衡，就可以理解為電子在相鄰的兩次碰中之就可以理解為電子

14、在相鄰的兩次碰中之間平均所經(jīng)歷的時間。間平均所經(jīng)歷的時間。 在沒有電場作用時，費米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占據(jù)。波在沒有電場作用時，費米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占據(jù)。波矢為矢為 k 和和 k 的電子成對出現(xiàn)。的電子成對出現(xiàn)。即對任何一個量子態(tài)即對任何一個量子態(tài) k，都有一，都有一個反方向的個反方向的k態(tài)與之對應(yīng)，處在這兩種量子態(tài)的電子具有大態(tài)與之對應(yīng)，處在這兩種量子態(tài)的電子具有大小相等、方向相反的速度，所以，系統(tǒng)的總電流為小相等、方向相反的速度，所以，系統(tǒng)的總電流為 0。 若在若在 +x 方向加上電場方向加上電場 E 后，費米球就會沿后，費米球就會沿 -x 方向漂移。方向漂移。由于電子在運動過程中會被

15、聲子、晶格中的雜質(zhì)和缺陷所散射，由于電子在運動過程中會被聲子、晶格中的雜質(zhì)和缺陷所散射，所以費米球不會無休止的漂移，而是會平衡在某一個位置上。所以費米球不會無休止的漂移，而是會平衡在某一個位置上。這種散射的作用可以用一個平均漂移時間這種散射的作用可以用一個平均漂移時間 來描述。來描述。 在平均漂移時間在平均漂移時間 （弛豫時間）（弛豫時間） 內(nèi)，達到平衡。這時費米內(nèi)，達到平衡。這時費米球的位移為：球的位移為：tEekEek0kxkyE 這表明：在電場作用下，整個這表明：在電場作用下，整個電子分布將在電子分布將在k空間沿空間沿E的反方向移的反方向移動。所以，費米球的球心將偏離原動。所以，費米球的

16、球心將偏離原點位置，從而使原來對稱的分布偏點位置，從而使原來對稱的分布偏向一邊，這樣就有一部分電子對電向一邊，這樣就有一部分電子對電流的貢獻不能被抵消，而產(chǎn)生宏觀流的貢獻不能被抵消，而產(chǎn)生宏觀電流。電流。所形成的電流密度為：所形成的電流密度為：Ememkvd電子獲得的由電場引起的漂移速度為：電子獲得的由電場引起的漂移速度為：EEmnevnej2d則可得金屬的電導(dǎo)率為：則可得金屬的電導(dǎo)率為：mne20kxkyEkF 右圖中右圖中和和是關(guān)于是關(guān)于kxky面對面對稱的這兩個區(qū)域的電子對電流的貢獻稱的這兩個區(qū)域的電子對電流的貢獻相互抵消，只有在費米面附近未被補相互抵消，只有在費米面附近未被補償部分的電

17、子才對傳導(dǎo)電流有貢獻，償部分的電子才對傳導(dǎo)電流有貢獻，這部分電子所占的分數(shù)約為：這部分電子所占的分數(shù)約為：這部分電子對電流的貢獻為這部分電子對電流的貢獻為:FFFvmeEkeEkk11EmneevvmEenjFF21同樣可以得到金屬的電導(dǎo)率為：同樣可以得到金屬的電導(dǎo)率為：mne2mkvFF最后的等號使用了關(guān)系式最后的等號使用了關(guān)系式: 根據(jù)后面這一模型，根據(jù)后面這一模型，對傳導(dǎo)電流有貢獻的電子數(shù)目雖然少，對傳導(dǎo)電流有貢獻的電子數(shù)目雖然少，但其運動速度很快，及其速度與費米速度大致相等。但其運動速度很快，及其速度與費米速度大致相等?；谶@種基于這種認識所得到的結(jié)果與高濃度但低漂移速度的經(jīng)典電子論中

18、電子認識所得到的結(jié)果與高濃度但低漂移速度的經(jīng)典電子論中電子對電流的貢獻相同。對電流的貢獻相同。嚴格理論計算結(jié)果支持了現(xiàn)在的說法。這嚴格理論計算結(jié)果支持了現(xiàn)在的說法。這主要是由于主要是由于Pauli不相容原理的結(jié)果。能量比不相容原理的結(jié)果。能量比 EF 低得多的電子，低得多的電子，其附近的狀態(tài)仍被其它電子所占據(jù)，沒有空狀態(tài)來接納它，因其附近的狀態(tài)仍被其它電子所占據(jù)，沒有空狀態(tài)來接納它，因此，這些電子不能吸收電場的能量而躍遷到較高的能態(tài)，也無此，這些電子不能吸收電場的能量而躍遷到較高的能態(tài)，也無法對電導(dǎo)作出貢獻，能被電場激發(fā)的只有在費米面附近的一小法對電導(dǎo)作出貢獻，能被電場激發(fā)的只有在費米面附近的

19、一小部分電子。部分電子。 此外，費米面附近的電子其平均速度約為此外，費米面附近的電子其平均速度約為 vF ，要比經(jīng)典電，要比經(jīng)典電子論所計算的平均速度子論所計算的平均速度 v0 高出幾個數(shù)量級，所以電子的平均自高出幾個數(shù)量級，所以電子的平均自由程比經(jīng)典理論計算的也要大得多，這些都有利于對實驗結(jié)果的由程比經(jīng)典理論計算的也要大得多，這些都有利于對實驗結(jié)果的理解。理解。 當(dāng)然，我們不能據(jù)此就認為能量比當(dāng)然，我們不能據(jù)此就認為能量比 EF 低得多的電子對金低得多的電子對金屬的導(dǎo)電就沒有貢獻。這些處于費米面內(nèi)的大部分電子并不是屬的導(dǎo)電就沒有貢獻。這些處于費米面內(nèi)的大部分電子并不是多余的，正是因為有了它們

20、，才保證了費米面的存在，可以說多余的，正是因為有了它們，才保證了費米面的存在，可以說這些電子起著基礎(chǔ)性的作用。這些電子起著基礎(chǔ)性的作用。2 布洛赫電子的準經(jīng)典運動布洛赫電子的準經(jīng)典運動 要說明輸運性質(zhì)，只知道能帶結(jié)構(gòu)是不夠的，還需要研究電要說明輸運性質(zhì)，只知道能帶結(jié)構(gòu)是不夠的，還需要研究電子在外場作用下的運動規(guī)律。因為要采用準經(jīng)典近似來描述布洛子在外場作用下的運動規(guī)律。因為要采用準經(jīng)典近似來描述布洛赫電子在外場中的運動，所以稱為赫電子在外場中的運動，所以稱為布洛赫電子的準經(jīng)典運動。布洛赫電子的準經(jīng)典運動。 這時，要討論外場是如何影響電子的運動時，就要討論它這時，要討論外場是如何影響電子的運動時

21、，就要討論它的速度和加速度。這就要使用準經(jīng)典近似。的速度和加速度。這就要使用準經(jīng)典近似。EVrVm外)(222在有外場時，電子的定態(tài)薛定格方程可寫為：在有外場時，電子的定態(tài)薛定格方程可寫為：一般有：一般有：)(rVV外 這樣就可認為：在有外場之后，這樣就可認為：在有外場之后，與不加外場時的情況相比與不加外場時的情況相比較，晶體的能帶結(jié)構(gòu)和電子的波函數(shù)都沒有什么變化較，晶體的能帶結(jié)構(gòu)和電子的波函數(shù)都沒有什么變化。 外場的作用在于只是使電子不停地外場的作用在于只是使電子不停地從外場吸收能量從外場吸收能量，而其，而其狀態(tài)的變化只是在原來能帶結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，狀態(tài)的變化只是在原來能帶結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，使電子對

22、能帶的填使電子對能帶的填充情況發(fā)生一些改變。充情況發(fā)生一些改變。一、布洛赫電子的平均速度：一、布洛赫電子的平均速度： 由于布洛赫函數(shù)由于布洛赫函數(shù) k(r) 不是動量算符的本征函數(shù)。所以，處不是動量算符的本征函數(shù)。所以，處于該態(tài)的電子沒有確定的動量和速度，只能計算其平均值。速于該態(tài)的電子沒有確定的動量和速度，只能計算其平均值。速度度 v = p / m 在在 k(r) 態(tài)中的平均值為：態(tài)中的平均值為：)()(1)(rprmkvknkn 由于下面的計算只限于一個能帶內(nèi)，所以可以略去能帶由于下面的計算只限于一個能帶內(nèi)，所以可以略去能帶指標。指標。由布洛赫定理可知：由布洛赫定理可知：)()(ruer

23、krk ik)()(1)(rprmkvknkndrueiruemkrk ikrk i)()(1*注意到：注意到：drueiruemdruekruemkrk ikrk ikrk ikrk i)()(1)()(1*1、布洛赫電子的平均速度：、布洛赫電子的平均速度：druirumdrukrumkkkk)()(1)()(1*drukprumkvkk)()(1)(*)()()()()2(2222rukErurVkk imkk又有，布洛赫函數(shù)中的又有，布洛赫函數(shù)中的 uk(x) 所滿足的方程為：所滿足的方程為：)()()()()(2(212222rukErurVkikmkk)()()()()(212ruk

24、ErurVkimkk定義：定義：)()(212rVkimHk布洛赫函數(shù)中的布洛赫函數(shù)中的 uk(x) 所滿足的方程可寫為：所滿足的方程可寫為：)()()(rukEruHkkk把方程兩邊對把方程兩邊對 k 求梯度可得：求梯度可得：)()()(rukEruHkkkkk)()()()()()()(rukErukEruHrukimkkkkkkkkr)()()()()()()(212rukErukErurVkimkkkkkrk把該式兩邊同乘以把該式兩邊同乘以 在對整個空間積分可得：在對整個空間積分可得：)(*rukdrurukEdrurukEdruHrudrukirumkkkkkkkkkkkrk)()(

25、)()()()()()()()( )(*drukprumkvkk)()(1)(*1)()(*drurukk注意到有：注意到有：和：和：可得：可得：)(1)(kEkvk這樣，平均速度就可由能帶函數(shù)的梯度求出。這樣，平均速度就可由能帶函數(shù)的梯度求出。 值得注意的是：由于布洛赫態(tài)是與時間無關(guān)的定態(tài)，盡管值得注意的是：由于布洛赫態(tài)是與時間無關(guān)的定態(tài)，盡管電子與周期排列的離子實相互作用，但其平均速度將永遠保持電子與周期排列的離子實相互作用，但其平均速度將永遠保持不會衰減。這就是說：一個理想的晶體金屬會有無窮大的電導(dǎo)。不會衰減。這就是說：一個理想的晶體金屬會有無窮大的電導(dǎo)。平均速度、能帶隨 k 變化的曲線

26、（示意圖）2、對結(jié)果的討論：、對結(jié)果的討論：（1）關(guān)于速度）關(guān)于速度 v(k) 的對稱性：的對稱性： 由于速度由于速度 v(k) 是由是由 E(k) 決定的，而決定的，而 E(k) 既是既是 k 的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，也是也是 k 的偶函數(shù)。所以，的偶函數(shù)。所以， v(k) 也具有以下的對稱性：也具有以下的對稱性：)()(Gkvkv)()(kvkv 矢量矢量 k 給出布洛赫波的傳播方向。所以，當(dāng)給出布洛赫波的傳播方向。所以，當(dāng) k 變?yōu)樽優(yōu)?k 時時波的傳播就反了一個方向，因此速度也就會反一個方向。波的傳播就反了一個方向，因此速度也就會反一個方向。（2）速度）速度 v(k) 與等能面：與等能

27、面： 由于速度由于速度 v(k) 決定于決定于 E(k) 的梯度。所以，的梯度。所以， v(k) 的方向必與等的方向必與等能面相垂直。能面相垂直。 對于自由電子：對于自由電子：mkkv)(速度方向與波矢的速度方向與波矢的方向是一致的。方向是一致的。 對于布洛赫電子：由于等能面的形狀比較復(fù)雜，一般并對于布洛赫電子：由于等能面的形狀比較復(fù)雜，一般并不存在這種一致性。不存在這種一致性。 這也從一個方面說明了：由于受晶格周期場的作用，這也從一個方面說明了：由于受晶格周期場的作用， k 只只是電子的準動量。是電子的準動量。（3）晶體的電阻：）晶體的電阻： 由于布洛赫態(tài)由于布洛赫態(tài)k(r) 是定態(tài)是定態(tài)

28、，v(k) 并不隨時間變化，電子可并不隨時間變化，電子可以在晶體中無阻礙地運動，不受靜止在晶格位置上的離子實的散以在晶體中無阻礙地運動，不受靜止在晶格位置上的離子實的散射。這是因為離子實的作用已經(jīng)包含在單電子的周期勢中，而布射。這是因為離子實的作用已經(jīng)包含在單電子的周期勢中，而布洛赫函數(shù)又是晶體單電子薛定格方程的本征函數(shù)，所以在理想晶洛赫函數(shù)又是晶體單電子薛定格方程的本征函數(shù)，所以在理想晶體中電阻為零。體中電阻為零。 電阻的產(chǎn)生是由于晶體中嚴格的周期性被破壞，如：雜質(zhì)、電阻的產(chǎn)生是由于晶體中嚴格的周期性被破壞，如：雜質(zhì)、缺陷和在缺陷和在 T 0 時，晶格的振動所產(chǎn)生的聲子與電子的電時，晶格的振

29、動所產(chǎn)生的聲子與電子的電 聲子聲子相互作用，這些因素都會使電子被散射，從而體現(xiàn)出電阻的存在。相互作用，這些因素都會使電子被散射，從而體現(xiàn)出電阻的存在。二、準經(jīng)典運動的基本方程：二、準經(jīng)典運動的基本方程： 討論有外場作用時晶體中電子的運動，本應(yīng)直接求解有外場存討論有外場作用時晶體中電子的運動，本應(yīng)直接求解有外場存在時的薛定格方程，但問題會很復(fù)雜，因而難于求解。在時的薛定格方程，但問題會很復(fù)雜，因而難于求解。在實際問題中，當(dāng)滿足條件：在實際問題中，當(dāng)滿足條件： 外場的強度比晶格周期場弱得多。外場的強度比晶格周期場弱得多。 外場的變化很緩慢。外場的變化很緩慢?？砂巡悸搴针娮右暈闇式?jīng)典粒子，采用準經(jīng)典

30、近似來解決問題?？砂巡悸搴针娮右暈闇式?jīng)典粒子，采用準經(jīng)典近似來解決問題。 按準經(jīng)典近似，在外場力按準經(jīng)典近似，在外場力 F 的作用下，使用功能原理，在的作用下，使用功能原理，在 dt 時間內(nèi)電子能量的改變?yōu)椋簳r間內(nèi)電子能量的改變?yōu)椋篸tkvFkdE)()( 電子能量的改變應(yīng)通過波矢電子能量的改變應(yīng)通過波矢 k 的改變來實現(xiàn)。只要不發(fā)生的改變來實現(xiàn)。只要不發(fā)生能帶間的躍遷，電子狀態(tài)的變化只限于一個能帶內(nèi)，則電子能能帶間的躍遷，電子狀態(tài)的變化只限于一個能帶內(nèi)，則電子能量的改變可表示為：量的改變可表示為：kdkvkdkEkdEk)()()()(1)(kEkvk代入上式可得：代入上式可得：dtkvFk

31、dkv)()(0)(kvFdtkd（1）對電場：）對電場：只要只要)(kvFdtkd與不在相互垂直的方向上，就可得出：不在相互垂直的方向上，就可得出：Fdtkd 從這里可以看出：從這里可以看出：)(1)(kEkvkFdtkd描述布洛赫電子的準描述布洛赫電子的準經(jīng)典運動的基本方程經(jīng)典運動的基本方程 （2）對磁場：由于洛倫茲力與）對磁場：由于洛倫茲力與 v(k) 方向垂直不能引起電方向垂直不能引起電子能量的變化，所以不能使用功能原理來導(dǎo)出上式，但是可子能量的變化，所以不能使用功能原理來導(dǎo)出上式，但是可以證明：該式依然成立。以證明：該式依然成立。b) 能帶的能量函數(shù)：能帶的能量函數(shù)： 則完全由量子力

32、學(xué)決定。則完全由量子力學(xué)決定。a) 布洛赫電子的運動方程：布洛赫電子的運動方程：Fdtkd與牛頓第二定律與牛頓第二定律具有相同的形式。具有相同的形式。)(kE這兩條充分反映了這兩條充分反映了“準經(jīng)典近似準經(jīng)典近似”的含義。的含義。 它也表明它也表明 k 起動量的作用，但它又不是布洛赫電子的真實起動量的作用，但它又不是布洛赫電子的真實動量。所以被稱為準動量或晶體動量。動量。所以被稱為準動量或晶體動量。三、電子的有效質(zhì)量：三、電子的有效質(zhì)量：1、電子的有效質(zhì)量：、電子的有效質(zhì)量：)(1)(kEkvkdtkvda)()(1)(1dtkdkEdtkdEakkkFdtkdFkEakk)(12寫成矩陣形式

33、為：寫成矩陣形式為：其分量表達式為：其分量表達式為：3122312)(1)(1jjjijjjiiFkkkEFkkEka) 3 , 2 , 1( i3212322321323222221223122122122321)()()()()()()()()(1FFFkkEkkkEkkkEkkkEkkEkkkEkkkEkkkEkkEaaa 可見，可見，a 與與 F 的關(guān)系，類似于牛頓第二定律的的關(guān)系，類似于牛頓第二定律的 a = F / m 的關(guān)系。定義：的關(guān)系。定義：jiijkkkEm)(1122* m*ij 有效質(zhì)量。有效質(zhì)量。 若做坐標變換，使若做坐標變換，使 k1, k2, k3 沿主軸方向。則

34、有效質(zhì)量沿主軸方向。則有效質(zhì)量張量就變?yōu)閷菑埩?，前式就簡化為：張量就變?yōu)閷菑埩浚笆骄秃喕癁椋?21*3*2*1321100010001FFFmmmaaa其中：其中：222*)(11iikkEm分量式也可被簡化為：分量式也可被簡化為：iiiFam*) 3 , 2 , 1( i 顯然，在這里顯然，在這里 m*i 代替了電子的慣性質(zhì)量代替了電子的慣性質(zhì)量 m 。電子在外力。電子在外力 F 下的運動就如同具有有效質(zhì)量下的運動就如同具有有效質(zhì)量 m*i 的經(jīng)典粒子。而的經(jīng)典粒子。而晶格周期晶格周期場的作用就體現(xiàn)在場的作用就體現(xiàn)在 m*i 中。中。 必須指出：該式中的力必須指出：該式中的力 F 只表

35、示電子所受的外力。只表示電子所受的外力。因為，若把經(jīng)典理論應(yīng)用到本問題，應(yīng)有：因為，若把經(jīng)典理論應(yīng)用到本問題，應(yīng)有：外內(nèi)FFam在前面的討論中，在前面的討論中，F(xiàn)內(nèi)內(nèi) 的作用是通過的作用是通過 m* 表現(xiàn)出來的：表現(xiàn)出來的：外外外外內(nèi)FmFFFFma*11 當(dāng)然，這里只是當(dāng)然，這里只是為了強調(diào)一下前面所要說明的問題為了強調(diào)一下前面所要說明的問題，簡單，簡單地表示一下，它并地表示一下，它并不給出真正物理的含義不給出真正物理的含義。2、對電子有效質(zhì)量的幾點討論：、對電子有效質(zhì)量的幾點討論：（1）有效質(zhì)量）有效質(zhì)量決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)： 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)

36、量完全不同于電子慣性質(zhì)量，完全不同于電子慣性質(zhì)量，一般不是常量一般不是常量而而是波矢是波矢 k 的函數(shù)，由能量的函數(shù)，由能量 E(k) 的二階導(dǎo)數(shù)決定。的二階導(dǎo)數(shù)決定。其數(shù)值的大其數(shù)值的大小及符號就決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)。小及符號就決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)。jiijkkkEm)(1122*按定義：電子的有效質(zhì)量為：按定義：電子的有效質(zhì)量為：在帶底附近有效質(zhì)量是正的；在帶底附近有效質(zhì)量是正的；在帶頂附近有效質(zhì)量是負的。在帶頂附近有效質(zhì)量是負的。（2）能量與有效質(zhì)量：）能量與有效質(zhì)量： 在能帶極值（假定為在能帶極值（假定為 k = 0 處）附近，可將處）附近，可將 E(k) 展開。由展開

37、。由于在極值處的一階導(dǎo)數(shù)為零，于在極值處的一階導(dǎo)數(shù)為零，k 很小只保留到二次項，同時取很小只保留到二次項，同時取主軸坐標系，使展式中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)的交叉項，就可得到：主軸坐標系，使展式中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)的交叉項，就可得到：*3232*2222*1212230232220222210212222) 0()()()(21) 0()(mkmkmkEkkkEkkkEkkkEEkE若有：若有：*222)0()(mkEkE*3*2*1mmmm上式可簡化為：上式可簡化為：等能面為橢球面。等能面為橢球面。等能面為球面。等能面為球面。 該式說明：該式說明：在能帶的極大值或極小值附近的電子，都可看在能帶的極大值或極

38、小值附近的電子，都可看成是具有有效質(zhì)量的自由電子成是具有有效質(zhì)量的自由電子。 這時，這時，晶格周期場的作用通過晶格周期場的作用通過 m* 就可以體現(xiàn)就可以體現(xiàn)，剩下的就，剩下的就可視為自由電子。可視為自由電子。 這一點在這一點在半導(dǎo)體物理半導(dǎo)體物理中往往很重要。因為那里往往遇到的中往往很重要。因為那里往往遇到的是能帶頂和能帶低附近的電子。是能帶頂和能帶低附近的電子。例：求：一維晶體在緊束縛近似下的有效質(zhì)量。例：求：一維晶體在緊束縛近似下的有效質(zhì)量。解：對一維晶體在緊束縛近似下的能量為：解：對一維晶體在緊束縛近似下的能量為：akEkExiscos2)(若若 0 則：則：k = 0 為能帶低；為能

39、帶低；k = /a 為能帶頂。為能帶頂。akadkkdEkvxxxxsin2)(1)(akadkkEdmxxxcos2)(*22222一維晶體在緊束縛近似下 E(k) 、v(k) 、m* 隨 k 的變化曲線若若 0 則：則：k = 0 為能帶低；為能帶低；k = /a 為能帶頂。為能帶頂。akadkkdEkvxxxxsin2)(1)(akadkkEdmxxxcos2)(*222223 能帶的填充與材料的導(dǎo)電性能帶的填充與材料的導(dǎo)電性 導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體一、能帶的填充與導(dǎo)電性：一、能帶的填充與導(dǎo)電性： 根據(jù)能帶結(jié)構(gòu)和電子的填充情況可以說明為什么晶體可以根據(jù)能帶結(jié)構(gòu)和電子的填

40、充情況可以說明為什么晶體可以分為導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體，這是能帶理論的巨大成就之一。分為導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體，這是能帶理論的巨大成就之一。1、沒有外場時的情況：、沒有外場時的情況： （1）沒有外場時，能帶中電子的分布是對稱的。占據(jù)波矢）沒有外場時，能帶中電子的分布是對稱的。占據(jù)波矢為為 k 的狀態(tài)的電子數(shù)目，與的狀態(tài)的電子數(shù)目，與占據(jù)波矢為占據(jù)波矢為 - k 的狀態(tài)的電子數(shù)目的狀態(tài)的電子數(shù)目是相等的。是相等的。 （3）能帶中每個電子對電流密度的貢獻為：）能帶中每個電子對電流密度的貢獻為：)()(kvkv （2）在準經(jīng)典近似下，電子的平均速度具有對稱性，滿足）在準經(jīng)典近似下，電子的平均速度具有對稱

41、性，滿足關(guān)系式：關(guān)系式：)(kve所以，能帶中所有電子對電流密度的貢獻為：所以，能帶中所有電子對電流密度的貢獻為：kdkveVj)()(1 積分應(yīng)包括能帶中所有被占據(jù)的態(tài)。積分應(yīng)包括能帶中所有被占據(jù)的態(tài)。結(jié)論：結(jié)論： 當(dāng)沒有外場存在時，分布在當(dāng)沒有外場存在時，分布在 k 和和 k 狀態(tài)中的電子對電流的狀態(tài)中的電子對電流的貢獻相互抵消，盡管電子都在運動但不會形成電流。貢獻相互抵消，盡管電子都在運動但不會形成電流。2、有外場存在時的情況：、有外場存在時的情況：Fdtkd 設(shè)外場為靜電場，場強為設(shè)外場為靜電場，場強為 E ，滿足準經(jīng)典近似的條件：，滿足準經(jīng)典近似的條件：EeF電子所受的靜電力：電子所

42、受的靜電力：準經(jīng)典近似下，準經(jīng)典近似下，電子的運動方程：電子的運動方程：Eedtkd特點：在電場恒定時，每一個波矢特點：在電場恒定時，每一個波矢 k 都都 以同樣的速率在以同樣的速率在 k 空間中變化?？臻g中變化。（1）滿帶在電場的作用下，不會產(chǎn)生電流：）滿帶在電場的作用下，不會產(chǎn)生電流： 如果能帶被填滿，則在電場作用下，第一布里淵區(qū)內(nèi)所有如果能帶被填滿，則在電場作用下，第一布里淵區(qū)內(nèi)所有的電子態(tài)整體發(fā)生平移，如圖所示。的電子態(tài)整體發(fā)生平移，如圖所示。vv 但由于但由于 E(k) 是是 k 的周期的周期函數(shù)，平移后布里淵區(qū)中空函數(shù)，平移后布里淵區(qū)中空出的部分與移開的部分相同。出的部分與移開的部

43、分相同。 平移前后能帶中電子的分布平移前后能帶中電子的分布情況實際上并沒有變化情況實際上并沒有變化。因。因此，滿帶在電場的作用下并此，滿帶在電場的作用下并不會產(chǎn)生電流。不會產(chǎn)生電流。電場作用下滿帶中的電子分布示意圖 （2）外場作用下晶體中）外場作用下晶體中電流的形成：電流的形成： 布洛赫振蕩：布洛赫振蕩： k 空間中的圖像：空間中的圖像： 設(shè)外電場為沿設(shè)外電場為沿 x 方向的恒定電場，電場強度為方向的恒定電場，電場強度為 E 。 在靜電場存在的情況下，在靜電場存在的情況下， 布洛赫電子完全與自由電子不布洛赫電子完全與自由電子不同，會在真實空間作周期性振蕩。同，會在真實空間作周期性振蕩。 這是晶

44、體動力學(xué)所得到的一個與其之前的所有其它理論這是晶體動力學(xué)所得到的一個與其之前的所有其它理論都完全不一樣的結(jié)論。都完全不一樣的結(jié)論。電子所受的電場力應(yīng)為：電子所受的電場力應(yīng)為：eEF 沿沿 x 軸正方向。軸正方向。eEdtdkx電子的運動方程為：電子的運動方程為：常數(shù)eEdtdkx這表明：這表明：電子在電子在 k 空間中做勻速運動。空間中做勻速運動。注意到：注意到：（a）在準經(jīng)典近似中電子是在同一能帶中運動。）在準經(jīng)典近似中電子是在同一能帶中運動。 （b）按能帶理論，在同一能帶中，電子的能量值是隨波）按能帶理論，在同一能帶中，電子的能量值是隨波矢矢 k 作周期變化的。因此，在穩(wěn)恒電場的作用下，電

45、子在作周期變化的。因此，在穩(wěn)恒電場的作用下，電子在 k 空間的勻速運動，這就意味著電子的能量本征值沿空間的勻速運動，這就意味著電子的能量本征值沿 E(k) 函數(shù)函數(shù)曲線做周期性的變化。曲線做周期性的變化。 （c）當(dāng)電子運動到布里淵區(qū)的邊界時：例如已到達）當(dāng)電子運動到布里淵區(qū)的邊界時：例如已到達 k = /a 處，由于處，由于 k = - /a 和和 k = /a 代表的是同一狀態(tài)（相差一代表的是同一狀態(tài)（相差一個倒格矢），這時電子從個倒格矢），這時電子從 k = /a 移出就等于又從移出就等于又從 k = - /a 處處移進來。移進來。結(jié)論：電子所做的運動為循環(huán)運動。結(jié)論：電子所做的運動為循環(huán)

46、運動。電子在恒定電場作用下的運動討論：電子的循環(huán)運動：討論：電子的循環(huán)運動： （a）在能量上：在這種運動中，電子的能量值是隨波矢）在能量上：在這種運動中，電子的能量值是隨波矢 k 的變化而作周期變化的。的變化而作周期變化的。 （b）在速度上：在這種運動中，電子速度的大小和方向）在速度上：在這種運動中，電子速度的大小和方向也是隨波矢也是隨波矢 k 的變化而作周期變化的?；蛘f：速度的變化而作周期變化的?；蛘f：速度 v 是隨時是隨時間振蕩變化的。具體情況是：間振蕩變化的。具體情況是： 設(shè)：設(shè)：t = 0 時，電子處在能帶低處，對應(yīng)于時，電子處在能帶低處，對應(yīng)于 k = 0 的情況。的情況。這時，電子

47、的有效質(zhì)量這時，電子的有效質(zhì)量 m* 0 。外力的作用會使電子的速度。外力的作用會使電子的速度增加。當(dāng)達到增加。當(dāng)達到 k = /2a 處時：處時：m*+ ，時的外力的加速作，時的外力的加速作用消失，這時電子的速度達到極大值。用消失，這時電子的速度達到極大值。 A) 電子速度的振蕩：電子速度的振蕩：電子的有效質(zhì)量 當(dāng)波矢的值超過當(dāng)波矢的值超過 k = /2a 的點后，電子的有效質(zhì)量會變?yōu)榈狞c后，電子的有效質(zhì)量會變?yōu)?m* 0 ，這樣外力的作用會使電子減速，直至，這樣外力的作用會使電子減速，直至 k = /a 時，速時，速度變?yōu)榱恪＿@時電子正處在帶頂，仍然是度變?yōu)榱?。這時電子正處在帶頂，仍然是

48、m* 0 的情況。的情況。外力就會使反向速度減小，直至外力就會使反向速度減小，直至 k = 0 處，處，v = 0 。這樣就完成。這樣就完成了一次振蕩。了一次振蕩。 周期場中的電子的能量本征值周期場中的電子的能量本征值 E(k) 在有外場時，會增加在有外場時，會增加一個靜電勢能一個靜電勢能 -eEx ，它會使電子的能帶發(fā)生傾斜。如圖所示：，它會使電子的能帶發(fā)生傾斜。如圖所示： 電子速度的這種振蕩，意味著電子在實空間（坐標空間）電子速度的這種振蕩，意味著電子在實空間（坐標空間）的振蕩。的振蕩。B) 電子在坐標空間的振蕩：電子在坐標空間的振蕩：晶體受電場作用能帶會出現(xiàn)傾斜xE = 0電子能量(a)

49、(b)xE 0電子能量 設(shè)：設(shè)：t = 0 時，電子處在較低的能帶低時，電子處在較低的能帶低 A 處，在電場力的處，在電場力的作用下，電子從作用下，電子從 A（能帶底）（能帶底） B C（能帶頂）。對應(yīng)于（能帶頂）。對應(yīng)于 電子從電子從 k = 0 運動到運動到 k = /a 。在。在 C 點，電子遇到能隙，相當(dāng)點，電子遇到能隙，相當(dāng)于存在一個勢壘。于存在一個勢壘。 在布洛赫電子的準經(jīng)典近似中，電子被限制在同一能帶在布洛赫電子的準經(jīng)典近似中，電子被限制在同一能帶中運動，所以，當(dāng)電子遇到勢壘后將全部被反射回來。中運動，所以，當(dāng)電子遇到勢壘后將全部被反射回來。 在被反射回來后的運動中，電子從在被反

50、射回來后的運動中，電子從 C（能帶頂）（能帶頂） B A（能帶底）（能帶底） 。對應(yīng)于。對應(yīng)于 從從 k = - /a 到到 k = 0 的運動。至此完的運動。至此完成了一次在實空間（坐標空間）中的振蕩過程。成了一次在實空間（坐標空間）中的振蕩過程。電子在實空間的運動示意圖 （c）必須指出：前述的電子的振蕩現(xiàn)象，在實際中是很）必須指出：前述的電子的振蕩現(xiàn)象，在實際中是很難觀察到的。難觀察到的。 原因就在于：在實際的晶體中，電子的運動會不斷受到原因就在于：在實際的晶體中，電子的運動會不斷受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射。若以聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射。若以 來表示相鄰的兩次散射來表示相鄰的兩次散射（碰撞）

51、之間的平均間隔時間（碰撞）之間的平均間隔時間 弛豫時間。如果弛豫時間。如果 很小，很小，使得電子還沒有來得及完成一次振蕩過程就已經(jīng)被散射，這使得電子還沒有來得及完成一次振蕩過程就已經(jīng)被散射，這樣前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實際中就是很難觀察到的。樣前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實際中就是很難觀察到的。 一般的講：一般的講： T 10-5 s ; 10-14 s 這就是說：在完成振蕩的一個周期時間內(nèi)這就是說：在完成振蕩的一個周期時間內(nèi) ，電子要被碰，電子要被碰撞約為撞約為 109 次。次。 正是由于這種頻繁的碰撞，前述的振蕩現(xiàn)象就會完全被正是由于這種頻繁的碰撞，前述的振蕩現(xiàn)象就會完全被“沖擊沖擊”掉了。所以，

52、前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實際中就很掉了。所以，前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實際中就很難被觀察到。難被觀察到。 若以若以 T 來表示電子完成一次上述振蕩所需要的時間來表示電子完成一次上述振蕩所需要的時間 振蕩周期。振蕩周期。 未滿帶電子導(dǎo)電：未滿帶電子導(dǎo)電：能夠觀察到振蕩現(xiàn)象的條件為：能夠觀察到振蕩現(xiàn)象的條件為：T在晶體中：在晶體中：m103,s101014a 這樣就可以估算出為觀察到電子的振蕩現(xiàn)象所需要加的這樣就可以估算出為觀察到電子的振蕩現(xiàn)象所需要加的外電場的場強為：外電場的場強為：V/cm1025EeEaeEakT22空間的速度電子在簡約區(qū)的寬度 對能夠觀察到振蕩現(xiàn)象所需實驗條件的具體估算：對能夠

53、觀察到振蕩現(xiàn)象所需實驗條件的具體估算：如果是絕緣體，在這種強度的電場下，它也已經(jīng)被擊穿。如果是絕緣體，在這種強度的電場下，它也已經(jīng)被擊穿。 對金屬，其本身就無法實現(xiàn)高強度的電場的。對金屬，其本身就無法實現(xiàn)高強度的電場的。 所以，為觀察到電子的這種振蕩現(xiàn)象所需的實驗條件在所以，為觀察到電子的這種振蕩現(xiàn)象所需的實驗條件在實際中也將無法實現(xiàn)。實際中也將無法實現(xiàn)。Eaa2a3aaa2a3a 對于未滿帶，對于未滿帶，只有部分狀態(tài)被電子只有部分狀態(tài)被電子占據(jù)。這時在電場的占據(jù)。這時在電場的作用下，整個電子分作用下，整個電子分布向反方向移動。布向反方向移動。 雖然布洛赫振雖然布洛赫振蕩從理論上說是存在蕩從理

54、論上說是存在的。但由于電子在運的。但由于電子在運動過程中必然會受到動過程中必然會受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射，但由于其振蕩散射，但由于其振蕩周期要比散射的弛豫周期要比散射的弛豫時間長得多，所以時間長得多，所以電電子還沒能來得及有效子還沒能來得及有效地完成一次振蕩，就地完成一次振蕩，就已經(jīng)達到了一個新的已經(jīng)達到了一個新的穩(wěn)定的分布穩(wěn)定的分布，如圖所，如圖所示。示。 在有電場存在時達到的在有電場存在時達到的這種新的穩(wěn)定分布中，在未滿帶的這種新的穩(wěn)定分布中，在未滿帶的情況下，沿電場正、反方向運動的電子數(shù)目不再相等。情況下，沿電場正、反方向運動的電子數(shù)目不再相等。使原來使原來的對稱分布

55、被破壞。這就使得總的電流不再為零。所以不滿的的對稱分布被破壞。這就使得總的電流不再為零。所以不滿的能帶可以導(dǎo)電。能帶可以導(dǎo)電。二、近滿帶時的空穴導(dǎo)電：二、近滿帶時的空穴導(dǎo)電： 通過前面的討論可知：不滿的能帶可以導(dǎo)電，其電流的載通過前面的討論可知：不滿的能帶可以導(dǎo)電，其電流的載流子是電子。流子是電子。 近滿帶就是指能帶基本被填滿，只有少量空態(tài)時的情況。近滿帶就是指能帶基本被填滿，只有少量空態(tài)時的情況。并經(jīng)常稱這些空態(tài)為空穴。在描述這種近滿帶的導(dǎo)電性時，通并經(jīng)常稱這些空態(tài)為空穴。在描述這種近滿帶的導(dǎo)電性時，通常不用數(shù)量很大的電子而使用數(shù)量較少的空穴，時?？梢允箚柍２挥脭?shù)量很大的電子而使用數(shù)量較少的

56、空穴，時?？梢允箚栴}大為簡化也更為直觀。題大為簡化也更為直觀。1、空穴導(dǎo)電與電子導(dǎo)電的等效性：、空穴導(dǎo)電與電子導(dǎo)電的等效性： 為簡單，我們考慮在一個能帶中只有一個波矢為為簡單，我們考慮在一個能帶中只有一個波矢為 k 的狀態(tài)的狀態(tài)是空的，而其余的狀態(tài)全部被電子占滿時的簡單情況。是空的，而其余的狀態(tài)全部被電子占滿時的簡單情況。 在電場作用下，這缺少一個電子的近滿帶應(yīng)有電流產(chǎn)生。在電場作用下，這缺少一個電子的近滿帶應(yīng)有電流產(chǎn)生。其電流密度的表達式可寫為：其電流密度的表達式可寫為：)()()(kkkvVekj 現(xiàn)設(shè)想，用一個電子把上述空穴填滿。注意到滿帶電子的現(xiàn)設(shè)想，用一個電子把上述空穴填滿。注意到滿

57、帶電子的總電流為零，則應(yīng)有：總電流為零，則應(yīng)有：0)()()()(kkkkvVekvVekvVe所以可得：所以可得：)()(kvVekj 這就是說，缺少一個電子的能帶所產(chǎn)生的電流與一個帶正這就是說，缺少一個電子的能帶所產(chǎn)生的電流與一個帶正電荷電荷 e 的載流子以速度的載流子以速度 v(k) 運動時所產(chǎn)生的電流是相同的。運動時所產(chǎn)生的電流是相同的。 這樣就可以把缺少一個電子的能帶其所有這樣就可以把缺少一個電子的能帶其所有 2N-1 個電子對個電子對電流的貢獻歸結(jié)為一個帶正電荷電流的貢獻歸結(jié)為一個帶正電荷 e 的空穴的貢獻。的空穴的貢獻。2、在外場中空穴的運動方程：、在外場中空穴的運動方程： 在電

58、場和磁場的作用下，波矢為在電場和磁場的作用下，波矢為 k 的空狀態(tài)也隨其它有電的空狀態(tài)也隨其它有電子占據(jù)的狀態(tài)一起運動，其所受外力子占據(jù)的狀態(tài)一起運動，其所受外力 F 與電子相同。即有：與電子相同。即有：)()()(*BkvEkmedtkvde 其中其中 me* 為空狀態(tài)的電子有效質(zhì)量（這里為簡單假定它是各向為空狀態(tài)的電子有效質(zhì)量（這里為簡單假定它是各向同性的）。因為電子總是先占據(jù)低能量的狀態(tài)，空出來的狀態(tài)同性的）。因為電子總是先占據(jù)低能量的狀態(tài)，空出來的狀態(tài)一般就在能帶頂附近。所以應(yīng)有：一般就在能帶頂附近。所以應(yīng)有：me* 0 ?，F(xiàn)在定義：。現(xiàn)在定義：)()(*kmkmeh 為空穴的有效質(zhì)量

59、，它是正的。這樣上式就可表示為：為空穴的有效質(zhì)量，它是正的。這樣上式就可表示為：)()()(*BkvEkmedtkvdh 這樣就可以把空穴看成是帶正電荷這樣就可以把空穴看成是帶正電荷 e 具有正有效質(zhì)量具有正有效質(zhì)量 mh*(k) 的的準粒子。這樣，近滿帶中大量電子的運動就可以使用少量的空準粒子。這樣，近滿帶中大量電子的運動就可以使用少量的空穴的運動來描述，從而使問題得到簡化。穴的運動來描述，從而使問題得到簡化。三、導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體的區(qū)分：三、導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體的區(qū)分：1、導(dǎo)體與絕緣體、半導(dǎo)體的區(qū)別：、導(dǎo)體與絕緣體、半導(dǎo)體的區(qū)別：（1）外層價電子的能帶填充情況決定晶體的導(dǎo)電性：）外層價電子的能帶填充情況決定晶體的導(dǎo)電性： 當(dāng)原子結(jié)合成晶體后，原子的內(nèi)層滿殼層電子將填滿相應(yīng)當(dāng)原子結(jié)合成晶體后，原子的內(nèi)層滿殼層電子將填滿相應(yīng)的一系列能帶。所以，這些電子的數(shù)量雖然很大但卻不參與導(dǎo)的一系列能帶。所以，這些電子的數(shù)量雖然很大但卻不參與導(dǎo)電。因此，只需考慮電。因此，只需考慮外層價電子的能帶填充情況就可判斷晶體外層價電子的能帶填充情況就可判斷晶體的導(dǎo)電性。的導(dǎo)電性。（3）每個原胞含有偶數(shù)個價電子時的兩種情況：）每個原胞含有偶數(shù)個價電子時的兩種情況： 一個能帶可以容納一個能帶可以容納 2N 個電子，這里個電子，