現(xiàn)代控制理論(17-21講：第5章知識點)

1、1第第5章章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5-1 Lyapunov定義下的穩(wěn)定性定義下的穩(wěn)定性一、外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性一、外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性1、外部穩(wěn)定性、外部穩(wěn)定性即經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論按照系統(tǒng)輸入-輸出特性判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法(BIBO)。最主要最主要的方法是：Routh、Hurwitz、Nyquist Criterion等。這種方法主要解決了解決了SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。2、內(nèi)部穩(wěn)定性、內(nèi)部穩(wěn)定性即按照系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的特性系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的特性判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。最主要最主要的方法就是：Lyapunov第二方法第二方法。這種方法不但對線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

2、十分有效，而不但對線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析十分有效，而且也能解決時變、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題且也能解決時變、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。2二、二、Lyapunov對穩(wěn)定性的定義對穩(wěn)定性的定義1、平衡狀態(tài)、平衡狀態(tài)xe00( )( ,(),( )tt tttxxu平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)是指任何系統(tǒng)在零輸入情況下，系統(tǒng)有一個固定不變的狀態(tài)，即0( ,)eet txx0按照此定義，對連續(xù)定常系統(tǒng):( )( )()ttxA xu = 0如果xe是平衡狀態(tài)是平衡狀態(tài)，則有eA x0若A非奇異，則xe=0；若A奇異，則xe有無窮個。僅討論位僅討論位于坐標(biāo)原點的穩(wěn)定性問題于坐標(biāo)原點的穩(wěn)定性問題。32、Lyapunov

3、對穩(wěn)定性的定義對穩(wěn)定性的定義（1）穩(wěn)定）穩(wěn)定1x2xex0 x( )s( )s任選一實數(shù)0，對應(yīng)一實數(shù)0，使得當(dāng)00( , )et xx時，恒有0ett x x則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的。其中：范數(shù)(norm) : 表示狀態(tài)向量狀態(tài)向量與坐標(biāo)原點之間的距離與坐標(biāo)原點之間的距離。2222123.nxxxxx一般說來，與有關(guān)，也與t0 有關(guān)。如果如果與與t0 無關(guān)，無關(guān)，則稱x是Lyaponov意義下的一致穩(wěn)定一致穩(wěn)定(uniformly stable)。4（2）漸近穩(wěn)定）漸近穩(wěn)定( AS :asymptotically stable)若xe是Lyapunov意義下的穩(wěn)定，且有1x2xex0

4、x( )s()slim ( )ettxx則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。如果的大小與的大小與t0 無關(guān)無關(guān)，則稱x是Lyaponov意義下的一致漸一致漸近穩(wěn)定近穩(wěn)定。對時變系統(tǒng)時變系統(tǒng)，一致漸近穩(wěn)定比一致漸近穩(wěn)定比AS更有實際意義更有實際意義。對時不變系統(tǒng)兩者是等價對時不變系統(tǒng)兩者是等價的。（3）大范圍漸近穩(wěn)定）大范圍漸近穩(wěn)定若xe是漸近穩(wěn)定的，且其漸近穩(wěn)定的范圍是整個狀態(tài)空間，那么平衡狀態(tài)xe是大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。必要條件：只有一個平衡狀態(tài)；必要條件：只有一個平衡狀態(tài)；線性定常系統(tǒng)：若xe是AS，那么它一定是大范圍AS的。1x2xex0 x0 x0 x5（4）不穩(wěn)定）不穩(wěn)定如果對某一實數(shù)

5、0，無論取得多么小，由s()內(nèi)出發(fā)的軌跡，只要其中只要其中有一條軌跡越出有一條軌跡越出s()，則稱，則稱xe為不穩(wěn)定為不穩(wěn)定。1x2xex0 x()s()s5-2 5-2 LyapunovLyapunov第一方法第一方法一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理：定理： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件漸近穩(wěn)定的充分必要條件是A陣的陣的所有特征值所有特征值具有負(fù)實部具有負(fù)實部。（內(nèi)部穩(wěn)定或狀態(tài)穩(wěn)定.）例：試分析下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性例：試分析下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性06211101uy xxx解解: (1) 求求A陣的特征值為陣的特征值為12det()(2)(3)23 I A故系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)

6、定的；故系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的；(2) 判定系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性判定系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性(BIBO)，有有61162( )()01111213(3)(2)3sG ssssssss CIAB系統(tǒng)的極點位于根平面的系統(tǒng)的極點位于根平面的左半平面左半平面，因而系統(tǒng)是外部穩(wěn)定，因而系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。系統(tǒng)內(nèi)部不是的。系統(tǒng)內(nèi)部不是AS，而外部是，而外部是BIBO穩(wěn)定的，穩(wěn)定的，從而說明從而說明了采用零極點對消的方法來校正系統(tǒng)的局限性了采用零極點對消的方法來校正系統(tǒng)的局限性。小小 結(jié)結(jié)（1）AS是指系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，屬內(nèi)部穩(wěn)定性，也即是指系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，屬內(nèi)部穩(wěn)定性，也即狀態(tài)穩(wěn)定性；狀態(tài)穩(wěn)定性；（2）BIBO穩(wěn)定性是

7、指系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即外部穩(wěn)定性；穩(wěn)定性是指系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即外部穩(wěn)定性；（3）系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定必然外部穩(wěn)定，但外部穩(wěn)定并非內(nèi)部穩(wěn)定；）系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定必然外部穩(wěn)定，但外部穩(wěn)定并非內(nèi)部穩(wěn)定；（4）若系統(tǒng)是）若系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，且又能控能觀，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，且又能控能觀，則系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定的。75-3 Lyapunov第二方法第二方法一、標(biāo)量函數(shù)的正定性、負(fù)定性和不定性一、標(biāo)量函數(shù)的正定性、負(fù)定性和不定性1、正定性、正定性 如果對所有在域s中的非零向量x，均有均有V(x)0，僅在x=0處有V(x)=0，則稱標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s內(nèi)是正定的；122122.V( )xexxxxxx是

8、正定的；是正定的；2、負(fù)定性、負(fù)定性 如果對所有在域s中的非零向量x，總有總有V(x)0，則稱標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)V(x)在在域域s內(nèi)是半正定的內(nèi)是半正定的；8如果如果V(x)是半正定，則是半正定，則-V(x)是半負(fù)定的；是半負(fù)定的；12.( )exVxx x是半正定的；是半正定的；12( )Vxx x是半負(fù)定的；是半負(fù)定的；4、不定性、不定性 無論域s多么小，在域s內(nèi)，V(x)能正能負(fù)，則稱標(biāo)量函數(shù)V(x)是不定的；21 22.( )exVxxxx是不定的；是不定的；二、二次型函數(shù)的正定性二、二次型函數(shù)的正定性設(shè)V(x)是一個二次型標(biāo)量函數(shù)，即，111111.( ).nTnnnnnppxVxxp

9、px xx Px并設(shè)P是實對稱矩陣，當(dāng)x0時，有V(x)0，則稱V(x)是正定的。91、二次型函數(shù)V(x)為正定為正定的充要條件充要條件是P的各階主子式的各階主子式為正為正，即11111121121221.00.0.nnnnppppppppp 2、二次型函數(shù)V(x)為負(fù)定為負(fù)定的充要條件充要條件是P的各階主子式的各階主子式滿足滿足下列條件：0iii 為 偶 數(shù)為 奇 數(shù)Sylvester 準(zhǔn)則：準(zhǔn)則：2221231 22 31 3.( )4224Tex Vxxxxxx xxxxx Px1123231012( )141211TxVxxxxx xx Px應(yīng)用Sylvester 準(zhǔn)則，有123000

10、 故v(x)是正定的。10 習(xí)題習(xí)題: 4-1 4-2 11三、三、Lyapunov第二方法的幾個定理第二方法的幾個定理基本思路基本思路：受擾、獲得能量、能量函數(shù)、運(yùn)動的幾種形式、Lyapunov函數(shù)；1、定理一：、定理一：( , ) tx f x設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: xe=0是其平衡狀態(tài)。如果存在一個有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，并且滿足下列條件：(1) V(x)是正定的；是正定的；(2) 是負(fù)定的；是負(fù)定的；( )Vx則在狀態(tài)空間坐標(biāo)原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。此時，如果隨著如果隨著|x|，V(x) ，那么在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定范圍漸近穩(wěn)定的。221211222212

11、12()()xax xxxax xx xx例例1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:其中：其中：a為非零正常數(shù)。試為非零正常數(shù)。試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。12解：（解：（1）由）由 , 求得求得( ) tx0ex= 0是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；（2）選擇可能的）選擇可能的Lyapunov函數(shù)為：函數(shù)為：2212( )Vxxx是二次型函數(shù)，顯然是正定的；是二次型函數(shù)，顯然是正定的；（3）求）求V(x)的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：2212121222212( )()222 ()dVxxx xx xdta xx x顯然是負(fù)定的，故系統(tǒng)顯然是負(fù)定的，故系統(tǒng)AS；而而221212)x

12、xxor x x2212( )Vxx x故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。132、定理二：、定理二：( , ) tx f x設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: xe=0是其平衡狀態(tài)。如果存在一個有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，并且滿足下列條件：(1) V(x)是正定的；是正定的；( )Vx(2) 是半負(fù)定的；是半負(fù)定的；(3) 對于任意初始時刻t0時的任意狀態(tài)x00, 在tt0時，除了在x=0時,有 外， 不恒等于零不恒等于零，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的。如果隨著|x|，V(x) ，那么在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的。( )0Vx(

13、)Vx在應(yīng)用定理二時，注意以下兩種兩種情況：1x2x00 x( )0Vx( )VCx（1）極限環(huán)的情況。穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定但不是漸近穩(wěn)定；141x2x00 x( )VCx( )Vx（2） 不恒等于不恒等于0，屬于x的運(yùn)動軌跡與V(x)=C相相切切的情況，但最終趨于原但最終趨于原點點，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。12212xxx xx例例2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（解：（1）由）由 , 求得求得( ) tx0ex= 0是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；（2）選擇）選擇Lyapunov函數(shù)為：函數(shù)為：15（3）22212121

14、22( )()222dVxxx xx xxdt x故故V(x)的導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的；的導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的；（4）由：）由：2212120,00 xxxxxx 有2x 不恒等于零22( )2Vx x不恒等于零故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2212( )Vxxx二次型函數(shù)，是正定的；二次型函數(shù)，是正定的；3、定理三：、定理三：( , ) tx f x設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: xe=0是其平衡狀態(tài)。如果存在一個有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，并且滿足下列條件：16(1) V(x)在原點的某一鄰域內(nèi)是正定的；在原點的某一鄰域內(nèi)是正定的；( )Vx(2) 在同樣的鄰域

15、內(nèi)也是正定的；在同樣的鄰域內(nèi)也是正定的；那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。（注意：此地V(x)的導(dǎo)數(shù)也可半正定，但有但有V(x)的導(dǎo)數(shù)不恒為零的導(dǎo)數(shù)不恒為零。）21122212sin tcos tttxx ex exxx例例3：設(shè)時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（解：（1） 顯然顯然 是系統(tǒng)平衡狀態(tài)是系統(tǒng)平衡狀態(tài);ex = 0（2）選擇）選擇V(x)為：為：12( )2tVe x xx在在、象限，象限，V(x)0是正定的；是正定的；17（2）在相同的區(qū)域內(nèi)求）在相同的區(qū)域內(nèi)求V(x)的導(dǎo)數(shù)，有：的導(dǎo)數(shù)，有：12212222121212(

16、)2()22()( )2()ttVex xx xex xxxVxxxx當(dāng)當(dāng)V(x) 0時，時， ,故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)是不穩(wěn)定的。定的。( )0Vx小小 結(jié)結(jié)（1）Lyapunov函數(shù)是一個正定的標(biāo)量函數(shù)；函數(shù)是一個正定的標(biāo)量函數(shù)；（2）對于一個給定的系統(tǒng)，）對于一個給定的系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)不是唯一函數(shù)不是唯一的；的；（3）Lyapunov第二方法的定理均是充分條件，因此當(dāng)?shù)诙椒ǖ亩ɡ砭浅浞謼l件，因此當(dāng)你選定的你選定的V(x)不滿足定理的條件時，不能斷定系統(tǒng)的穩(wěn)不滿足定理的條件時，不能斷定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，很可能你沒找到合適的定性，很可能你沒找到合適的V(x)；（

17、4）一般選取）一般選取V(x)=xTpx為最簡單的二次型，但并不為最簡單的二次型，但并不意味著意味著V(x)一定就是簡單的二次型；但是對于線性系一定就是簡單的二次型；但是對于線性系統(tǒng)的統(tǒng)的V(x)一定可以用二次型來構(gòu)造。一定可以用二次型來構(gòu)造。185-4 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理（充分必要條件）：定理（充分必要條件）：( ),txAx給定線性定常系統(tǒng)為:ex0是其平衡狀態(tài)，若對任何對稱的正定矩陣Q，都存在一個對稱對稱正定矩陣正定矩陣P，使?jié)M足T A PPAQ 則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的（當(dāng)然是大范圍AS）

18、，而且是系統(tǒng)的一個Lyapunov函數(shù)。（在應(yīng)用中只要簡單地取只要簡單地取Q=I即可即可.）( )TVxx Px證：( )0T xx Pxx0設(shè)：V（）對上式求導(dǎo)，有19( )() ()()()TTTTTTTTTTVxx PxxPxx P xAxPxx P Axx A Pxx PAxxA PPA x欲使系統(tǒng)在原點是漸近穩(wěn)定的，則要求v(x)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，故必須有( )0TV xx Qx即T A PPAQQ是正定的，-Q必是負(fù)定的，故定理得證。例例1：設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：1214xx試用試用Lyapunov第二方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第二方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。20解：

19、解： （1）因為）因為A非奇異，故非奇異，故xe=0；（2）設(shè)）設(shè) ，而，而( )TVxx PxT A PPAQI故故1112111212221222111210241401pppppppp由此，可得由此，可得11121112221222221250481ppppppp 解之，得解之，得11122223711606060ppp 211112122223760607116060pppp P驗算驗算P的正定性，有的正定性，有1112360p 2237204606007113606060 即即P是正定的，系統(tǒng)在是正定的，系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。（4）系統(tǒng)的）系統(tǒng)的Lyapunov函

20、數(shù)為：函數(shù)為：1221211 22223716060( )(231411 )711606060TxVxxxx xxxxx Px故故2212( )TVxx xx Qx顯然是負(fù)定的，故知求解正確。顯然是負(fù)定的，故知求解正確。22 習(xí)題習(xí)題:4.4 4.6 (1) (3) 4-7 23二、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析二、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理定理:給定線性離散系統(tǒng)為給定線性離散系統(tǒng)為:(1)( )( )ekkkxGxx0 系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件是：對給定任一正定對稱矩陣Q，都存在一個正定對稱矩陣P，使?jié)M足T G PGPQ而且( ( )( )( )TVkkkxxPx是這個

21、系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。證：證：( ( )( )( )0( )Tkkkk xxPxx0設(shè) V（）故有故有24()(1)()(1)(1)()()()()()()()()()()()()()TTTTTTTTTVkVkVkkkkkkkkkkkkkkkxxxxP xxP xG xP G xxP xxGP G xxP xxGP GP x 因為因為V(x(k)為正定的，而為正定的，而AS的條件要求的條件要求V(x(k)是負(fù)定的，故是負(fù)定的，故( ( )( )() ( )( )( )TTTVkkkkk xxG PGP xxQx即即T G PGPQ證畢。證畢。注意：注意： 為了簡單起見，一般可取為了簡單起

22、見，一般可取Q=I；但若在；但若在xo時，時，V(x(k)不恒等于零，也可取不恒等于零，也可取Q為半正定。為半正定。25例例2：線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：0.80.4(1)( )1.20.2kkxx試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。取取Q=I，則由，則由GTPG-P=-Q，有，有11121112122212220.8 1.20.80.41 00.4 0.21.20.201pppppppp解出解出P陣為：陣為：111212223.9041.0571.0572.223ppppP顯然，矩陣顯然，矩陣P是正定的。所以：是正定的。所以：xe=0是是AS的。

23、的。解：解：( ),ek x0故265-5 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 與線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析不同，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性往往具有局部的性質(zhì)，即非線性系統(tǒng)在大范圍內(nèi)不是漸近穩(wěn)定的，但可能是局部漸近穩(wěn)定的。xx2242420.520 xxxx例如：非線性系統(tǒng)例如：非線性系統(tǒng) 其相平面圖如圖所示：陰影內(nèi)出發(fā)的軌跡均是收斂的；而陰影外的軌跡都趨于無限遠(yuǎn)點。系統(tǒng)具有局部穩(wěn)定性。 因而應(yīng)當(dāng)找出在原點周圍最大鄰域內(nèi)，滿足漸近穩(wěn)定條件的V(x)； 目前對非線性系統(tǒng)的V(x)尚無統(tǒng)一求取方法，本節(jié)介紹的方法均是充分條件。27一、克拉索夫斯基一、克拉索夫斯基(Krasovskii)法法設(shè)非線性系統(tǒng)

24、的狀態(tài)方程為( )( )xf xf 00設(shè)f(x)對xi (i=1,2,.n)是可微的，故系統(tǒng)的Jacobian矩陣為1111212.( ).nTnnnnfffxxxfffxxxfJ xxKrasovskii定義：( )( )( )TQ xJxJ x28則 如果Q(x)是負(fù)定是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為:( )( ) ( )TTVxx xfx f x 而且，如果xx,有有v(x)，那么xe =0是大范圍漸大范圍漸近穩(wěn)定近穩(wěn)定的。證：故有( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )TTTVxfx f xfx f xfx f x( )( ) ( )(

25、 ) ( )( ) ( )TTTVxfx f xfx f xfx f x( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTTTJ x f xf xfx J x f xfx Jx f xfx J x f xfxJxJ xf xfx Q x f x29即Q(x)是負(fù)定的，則 也是負(fù)定的；( )Vx另外，對任一非零n維向量x，有( )TTTTTTx Q x xxJ (x)J(x) xx J (x)xx J(x)x( )TTTTTTx Q x xxJ (x)J(x) xx J (x)xx J(x)x2TTTTx

26、J(x)xx J(x)xx J(x)x這表明如果Q(x)負(fù)定，則J(x)負(fù)定。因此若x0，則J(x)0，也即說明x0，f(x) 0:0,( )( ) ( )0,TV x0 xfx f xx0即V(x)是正定的。例例1：利用：利用Krasovskii法確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)法確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0的穩(wěn)的穩(wěn)定性。定性。1132122xxxxxx 30解：顯然解：顯然x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，有為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，有13122xxxxf(x)221011 3x J(x)故故2221126Tx Q(x)J (x)J(x)由由Sylvester準(zhǔn)則，有準(zhǔn)則，有1222203 120 x 故故x0,Q

27、(x)是負(fù)定的，系統(tǒng)在是負(fù)定的，系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的；且是漸近穩(wěn)定的；且當(dāng)當(dāng)x時，有時，有23 21122( )( ) ( )()TVxxxx xfx f x因此系統(tǒng)在因此系統(tǒng)在xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。是大范圍漸近穩(wěn)定的。31解：解：例例2：確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)：確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe 漸近穩(wěn)定的條件。漸近穩(wěn)定的條件。112212()xf xxxxax假定假定f(0)=0，a0。(1).ex0 x0由，解出：111(2)fxaJ(x)12222TfxaQ(x)J (x)J(x)32(3)由由Sylvester準(zhǔn)則，欲使準(zhǔn)則，欲使Q(x)是負(fù)定的，則是負(fù)定的，則111200ffx

28、x 即：2111440ffaxxa 即：故當(dāng)故當(dāng)a0， 時，系統(tǒng)在時，系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。11fxa 注意注意:(1).對線性定常系統(tǒng),其Jacobian矩陣為J(x)=A, Q(x)=AT+A；若A為非奇異,Q(x)為負(fù)定,則系統(tǒng)在xe =0是漸近穩(wěn)定的；(2).對某些線性或非線性系統(tǒng)某些線性或非線性系統(tǒng)，其Q(x)陣不一定是負(fù)定的陣不一定是負(fù)定的，這時就不能對系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供任何信息；(3).要使Q(x)為負(fù)定為負(fù)定的必要前提必要前提是：Q(x)的主對角線上的的主對角線上的所有元素不能恒等于零所有元素不能恒等于零。33 習(xí)題習(xí)題: 4.5 4.934二、變量二、變量-

29、梯度法梯度法1、預(yù)備知識（1）V(x)是一個標(biāo)量（純量）函數(shù)是一個標(biāo)量（純量）函數(shù)，即只考慮大小、正負(fù)而不考慮方向的函數(shù)；但它又是一個多元函數(shù)；正因為它是標(biāo)量函數(shù)，因而它的梯度一定存在；（2）梯度場一定是個保守場（有勢場），保守場的旋度必為零，即保守場是一個無旋場；（3）由于梯度V的取法是多種多樣的，因而V(x)不是唯一的；但一當(dāng)V取定了，那么一定有唯一的V(x)與之對應(yīng)。2、變量、變量-梯度法梯度法設(shè)所研究的非線性系統(tǒng)為( , )etxf xx0假定V(x)是系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)，那么:351212( ).()TnnVVVVxxxVxxx xx即V(x)的導(dǎo)數(shù)可由V求得；（1） 的計算的計算(

30、 )Vx（2）V(x)的確定的確定( )()TVVdx0 xx當(dāng)被積函數(shù)是梯度時，線積分與路徑無關(guān)，故1232113112211(. 0)(,. 0)112200(,.)0( )().nnnTxxxxxxxxxxxxxxnnVVdV dxV dxV dxx0 xx即V(x)可由它的梯度V唯一的確定；36（3）對V的約束 現(xiàn)在把尋求V(x)的問題，已經(jīng)轉(zhuǎn)換成了尋求一個合適的V(x)的梯度V的問題，因而V必須受到一定的約束。a. 旋度方程 為了保證假定的V ，是V(x)的梯度，那么必有:()0rotV 也即由旋度方程所構(gòu)成的Jacobian矩陣必須是對稱的:1111212.().niTinnnnVVVxxxVVVxVVVxxx Jx即滿足下列個n(n-1)/2旋度方程:37( ,1,2,. )jijiVVi jnxx當(dāng)n=3時，則旋度方程為：331221213213VVVVVVxxxxxxb. 由V計算出的V(x)和 必須滿足 Lyapunov穩(wěn)定性定理的要求，即：( )Vx(