小波變換的定義

1、第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)19.1 9.1 小波變換的定義小波變換的定義u小波變換的定義小波變換的定義 給定一個(gè)基本函數(shù)，令給定一個(gè)基本函數(shù)，令 (9.1.1)(9.1.1) 若若a,ba,b不斷地變化，我們可得不斷地變化，我們可得 到一族函數(shù)到一族函數(shù) 。給定平。給定平方可積的信號(hào)方可積的信號(hào) ，即即 則小則小x(t)x(t)的小波變換（的小波變換（Wavelet TransformWavelet Transform，WTWT）：）： （9.1.29.1.2）)(1)(,abtatba)(,tba)(t)(tx)()(2RLtxdtabttxabaWTx)()(1),()(),

2、()()(,ttxdtttxbaba第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)2 信號(hào)信號(hào) 的小波變換的小波變換 是是a a和和b b的函數(shù)，的函數(shù)，b b是時(shí)移，是時(shí)移，a a是尺度因子。是尺度因子。 又稱為基本小波，或母小波。又稱為基本小波，或母小波。 是母是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，稱之為小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，稱之為小波基函數(shù)，或簡(jiǎn)稱小波基。小波基函數(shù)，或簡(jiǎn)稱小波基。 式中式中,b,b的作用是確定對(duì)的作用是確定對(duì)x(t)x(t)分析的時(shí)間位置，分析的時(shí)間位置，也即時(shí)間中心。尺度因子也即時(shí)間中心。尺度因子a a的作用是把基本小的作用是把基本小波波 作伸縮。作伸縮。式中的

3、因子式中的因子 是為了保證在不同的尺度時(shí)，是為了保證在不同的尺度時(shí)，始終能和始終能和 母函數(shù)有著相同的能量，即母函數(shù)有著相同的能量，即)(tx),(baWTx)(t)(,tba)(ta1)(,tba)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)3 令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為：性質(zhì)，的傅里葉變換為： （9.1.3）由由ParsevalsParsevals定理，（定理，（9.1.29.1.2）式可重新表為：）式可重新表為： （9.1.49.1.4）此式即為小波變換的頻域表達(dá)式此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。dt

4、abtadttba22,)(1)(dtt2)()(1)(,abtatbabjbaeaa)()(,)(),(21),(,baxXbaWTdeaXabj)()(2第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)49.2 小波變換的特點(diǎn)小波變換的特點(diǎn)u 小波變換的恒小波變換的恒Q性性 由小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果由小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果 在在時(shí)域是有限支撐的，那么它和時(shí)域是有限支撐的，那么它和 作內(nèi)積后將保證作內(nèi)積后將保證在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)所希望的時(shí)域定位在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)所希望的時(shí)域定位功能，也即功能，也即 反映的是反映的是 在在b b附近的性質(zhì)；附近的性質(zhì)；若若

5、具有帶通性質(zhì)，即具有帶通性質(zhì)，即 圍繞著中心頻率圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么是有限支撐的，那么 和和 作內(nèi)積后也將作內(nèi)積后也將反映在中頻率處的局部性質(zhì)，而實(shí)現(xiàn)好的頻率定反映在中頻率處的局部性質(zhì)，而實(shí)現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。位性質(zhì)。 )(,tba)(,tba)(,tba)(tx)(tx)(,ba),(baWTx)(X第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)5若若 的時(shí)間中心是的時(shí)間中心是 , ,時(shí)寬是時(shí)寬是 ， 的頻率中心的頻率中心是是 , ,帶寬是帶寬是 ，那么，那么 的時(shí)間中心仍是的時(shí)間中心仍是 ，但時(shí)，但時(shí)寬變成寬變成 ， 的頻譜的頻譜 的頻率中心變?yōu)榈念l率中心變?yōu)?帶寬變成帶寬變成 。這

6、樣。這樣, , 的時(shí)寬帶寬積仍是的時(shí)寬帶寬積仍是 , ,與與a a無關(guān)。無關(guān)。 定義：定義：為小波為小波 的品質(zhì)因數(shù)，對(duì)的品質(zhì)因數(shù)，對(duì) ，其，其)(t0tt)(0)(at0tta)(at)( aa,/0aa/)(att0Q/)(t)(atQaa00/= =帶寬帶寬/ /中心頻率中心頻率 帶寬帶寬/ /中心頻率中心頻率 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)6第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)7 不同尺度下小波變換所分析的時(shí)寬、帶寬、時(shí)間不同尺度下小波變換所分析的時(shí)寬、帶寬、時(shí)間中心和頻率中心的關(guān)系中心和頻率中心的關(guān)系 022/002t)2/ 1( a) 1( a)2( a/22/2tt

7、圖圖9.2.2 9.2.2 a a取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)頻區(qū)間取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)頻區(qū)間第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)8 由于小波變換的恒由于小波變換的恒Q Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖9.2.29.2.2中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間（即三個(gè)矩形）的面積保持不變。由中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間（即三個(gè)矩形）的面積保持不變。由此，小波變換提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口，此，小波變換提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口，該分析窗口在高頻端（圖中該分析窗口在高頻端（圖中 處）的頻率分辨率不好（矩處）的頻率分辨率不好（矩形窗的頻率邊變長(zhǎng)），但時(shí)域的分

8、辨率變好（矩形的時(shí)間邊形窗的頻率邊變長(zhǎng)），但時(shí)域的分辨率變好（矩形的時(shí)間邊變短）；反之，在低頻端（圖中變短）；反之，在低頻端（圖中 處），頻率分辨率變處），頻率分辨率變好，而時(shí)域分辨率變差。但在不同的值下，圖好，而時(shí)域分辨率變差。但在不同的值下，圖9.2.29.2.2中分析中分析窗的面積保持不變，也即時(shí)、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的要窗的面積保持不變，也即時(shí)、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的要作出調(diào)整。作出調(diào)整。0220/u小波變換的時(shí)域及頻率分辨率小波變換的時(shí)域及頻率分辨率第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9 信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份。對(duì)信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份。對(duì)

9、這一類信號(hào)分析時(shí)則要求時(shí)域分辨率要好以適應(yīng)快變成這一類信號(hào)分析時(shí)則要求時(shí)域分辨率要好以適應(yīng)快變成份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，時(shí)、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。低頻信號(hào)往往是時(shí)、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。低頻信號(hào)往往是信號(hào)中的慢變成份，對(duì)這類信號(hào)分析時(shí)一般希望頻率的信號(hào)中的慢變成份，對(duì)這類信號(hào)分析時(shí)一般希望頻率的分辨率要好，而時(shí)間的分辨率可以放寬，同時(shí)分析的中分辨率要好，而時(shí)間的分辨率可以放寬，同時(shí)分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自動(dòng)滿足這些客觀實(shí)際的需要

10、。動(dòng)滿足這些客觀實(shí)際的需要。第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)10 用較小的用較小的a對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，實(shí)際上是用高對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察，用較大的頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察，用較大的a對(duì)信號(hào)作低對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀察。小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分察。小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)。析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)。u小波變換和其它信號(hào)分析方法的區(qū)別小波變換和其它信號(hào)分析方法的區(qū)別 傅里葉變換傅里葉變換 傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。

11、這一基函數(shù)在頻傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。這一基函數(shù)在頻域有著最佳的定位功能（頻域的域有著最佳的定位功能（頻域的 函數(shù)），但在時(shí)函數(shù)），但在時(shí)域所對(duì)應(yīng)的范圍是域所對(duì)應(yīng)的范圍是 - - ，完全不具備定位功能。，完全不具備定位功能。這是這是FTFT的一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)。的一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)。第第9 9章章 小波變換的基礎(chǔ)小波變換的基礎(chǔ)短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 重寫（重寫（2.1.12.1.1）式，即）式，即 (9.2.6)(9.2.6) STFTSTFT不具備恒不具備恒Q Q性質(zhì)，當(dāng)然也不具備隨著分辨率性質(zhì)，當(dāng)然也不具備隨著分辨率變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)分析帶寬的能力，如圖變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)分析帶寬的能力，如圖9.

12、2.39.2.3所示所示。Ttetg/2)(dtetgxtSTFTtjx)()(),(jtetgxdgx)(),()()(,第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)13 tgt,t G0 tgt,t G0210t002圖圖9.2.3 STFT的時(shí)頻分析區(qū)間的時(shí)頻分析區(qū)間第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)14 定義定義 (9.2.7)(9.2.7)為信號(hào)的為信號(hào)的“尺度圖（尺度圖（scalogramscalogram）”。它也是一種能。它也是一種能量量分布，但它是隨位移和尺度的能量分布，而不是簡(jiǎn)單分布，但它是隨位移和尺度的能量分布，而不是簡(jiǎn)單的隨的能量分布。但由于尺度間接對(duì)應(yīng)頻率（小對(duì)應(yīng)的

13、隨的能量分布。但由于尺度間接對(duì)應(yīng)頻率（小對(duì)應(yīng)高頻，大對(duì)應(yīng)低頻），因此，尺度圖實(shí)質(zhì)上也是一種高頻，大對(duì)應(yīng)低頻），因此，尺度圖實(shí)質(zhì)上也是一種時(shí)頻分布。時(shí)頻分布。22)()(1),(dtabttxabaWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)15 綜上所述，由于小波變換具有恒綜上所述，由于小波變換具有恒Q Q性質(zhì)及自動(dòng)調(diào)性質(zhì)及自動(dòng)調(diào)節(jié)對(duì)信號(hào)分析的時(shí)寬節(jié)對(duì)信號(hào)分析的時(shí)寬/ /帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此被人們稱為信號(hào)分析的被人們稱為信號(hào)分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波變換。小波變換是是八十年代后期發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。八十年代后期發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。 第第9 9

14、章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)169.3 連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì) 若若 的的CWTCWT是是 , ,那么那么 的的CWTCWT是是 。記。記 ， (9.3.1)(9.3.1)(tx),(baWTx)(tx),(baWTx)()(txtydtabttxa1baWTy)()(),(t dabttxa1)()(),(baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)17尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果如果x(t)x(t)的的CWTCWT是是 ，令，令 ，則，則 (9.3.2)(9.3.2) 證明證明: : 令令 則則 該性質(zhì)指出，當(dāng)信號(hào)的時(shí)間軸按該性質(zhì)指出，當(dāng)信號(hào)的

15、時(shí)間軸按 作伸縮時(shí)，其小波變換在作伸縮時(shí)，其小波變換在a a和和b b兩個(gè)軸上同時(shí)要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不兩個(gè)軸上同時(shí)要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一體現(xiàn)。變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一體現(xiàn)。 ),(baWTx)()(txty),(1),(baWTbaWTxydtabttxabaWTy)()(1),(ttt d1abttxa1baWTy)()(),(dtabttxa)()(11),(1baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)18 微分性質(zhì)微分性質(zhì)如果如果x(t)x(t)的的CWTCWT是是 ，令，令 ，則則 （9.3.39.3.3）證明：證明

16、：由移位性質(zhì)有：由移位性質(zhì)有：即即),( baWTx),(baWTx)()()(txdttdxty),(),(baWTbbaWTxydtabtdttdxabaWTy)()(1),(dtabtttxttxaLimt)()()(10dtabttxadtabtttxatLimt)()(1)()(110tbaWTtbaWTLimbaWTxxty),(),(),(0),(),(baWTbbaWTxy第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)19兩個(gè)信號(hào)卷積的兩個(gè)信號(hào)卷積的CWT CWT 如果如果x(t),h(t)x(t),h(t)的的CWTCWT分別是分別是 及及 , ,令令 則則 （9.3.4)9.3.

17、4)式中符號(hào)式中符號(hào) 表示對(duì)變量表示對(duì)變量b b作卷積。作卷積。 ),( baWTx),(baWTh)()()(thtxty),()(),(baWTtxbaWThby),()(baWTthxbb第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)20 兩個(gè)信號(hào)和的兩個(gè)信號(hào)和的CWTCWT 令令 的的CWTCWT分別是分別是 ，且且 ，則，則 （9.3.5a9.3.5a）同理，如果同理，如果 ，則，則 （9.3.5b9.3.5b）即兩個(gè)信號(hào)和的即兩個(gè)信號(hào)和的CWT等于各自等于各自CWT的和，也即小波變換滿足的和，也即小波變換滿足疊加原理。疊加原理。 )(),(21txtx),(),(21baWTbaWTxx

18、)()()(21txtxtx),(),(),(21baWTbaWTbaWTxxx)()()(2211txktxktx),(),(),(2211baWTkbaWTkbaWTxxx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)21 小波變換式所定義的小波變換式所定義的CWTCWT是是“線性線性”變換，而變換，而WVDWVD表表達(dá)式達(dá)式WignerWigner分布為代表的一類時(shí)頻分布為分布為代表的一類時(shí)頻分布為“雙線性雙線性變換變換”。正因?yàn)槿绱?，是信?hào)能量的分布。與之相對(duì)。正因?yàn)槿绱?，是信?hào)能量的分布。與之相對(duì)比，小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅比，小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅平

19、方，即（平方，即（9.2.79.2.7）式的尺度圖則是信號(hào)能量的一種）式的尺度圖則是信號(hào)能量的一種分布。將分布。將 代入代入(9.2.7)(9.2.7)式，可得：式，可得： (9.3.6)(9.3.6)式中式中 分別是分別是 和和 的幅角。的幅角。)()()(21txtxtx2x2x2xbaWTbaWTbaWT21),(),().()cos(),(),(2121xxxxbaWTbaWT221,xx),(1baWTx),(2baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)22 上式表明在尺度圖中同樣也有交叉項(xiàng)存在，但該上式表明在尺度圖中同樣也有交叉項(xiàng)存在，但該交叉項(xiàng)的行為和交叉項(xiàng)的行為和WVD

20、WVD中的交叉項(xiàng)稍有不同。中的交叉項(xiàng)稍有不同。WVDWVD的交叉的交叉項(xiàng)位于兩個(gè)自項(xiàng)的中間，即位于項(xiàng)位于兩個(gè)自項(xiàng)的中間，即位于 處，處，分別是兩個(gè)自項(xiàng)的時(shí)頻中心。尺度圖中的交叉項(xiàng)出分別是兩個(gè)自項(xiàng)的時(shí)頻中心。尺度圖中的交叉項(xiàng)出現(xiàn)在現(xiàn)在 和和 同時(shí)不為零的區(qū)域，也即是真同時(shí)不為零的區(qū)域，也即是真正相互交疊的區(qū)域中，這和正相互交疊的區(qū)域中，這和WVDWVD有著明顯的區(qū)別。有著明顯的區(qū)別。WVDWVD和和WTWT之間的關(guān)系之間的關(guān)系 ： （9.3.79.3.7） ),(t),(),(2211tt),(1baWTx),(2baWTxdtdaabtWtWbaWTxx),(),(),(2第第9 9章章 小波

21、變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)23 小波變換的內(nèi)積定理小波變換的內(nèi)積定理 定理定理9.1 9.1 設(shè)設(shè) 和和 ， 的小的小波變換分別是波變換分別是 和和 ，則，則 （9.3.89.3.8）式中式中 （9.3.99.3.9） )(),(21txtx)()(RLt2)(),(21txtx),(1baWTx),(2baWTx )(),(),(),(212021txtxCdbadabaWTbaWTxxdC02)(第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)24 （9.3.89.3.8）式實(shí)際上可看作是小波變換的）式實(shí)際上可看作是小波變換的ParsevalParseval定理。該式又可寫成更簡(jiǎn)單的形式定理。該式又可寫

22、成更簡(jiǎn)單的形式, ,即即 (9.3.10)(9.3.10)進(jìn)一步，如果令進(jìn)一步，如果令 ，由（，由（9.3.8）式，有）式，有 (9.3.11)(9.3.11) 傅里葉變換中的傅里葉變換中的ParsevalParseval定理，即時(shí)域中的能量等于頻域定理，即時(shí)域中的能量等于頻域 中的能量。但小波變換的中的能量。但小波變換的ParsevalParseval定理稍為復(fù)雜，它不但要定理稍為復(fù)雜，它不但要有常數(shù)加權(quán)，而且以的存在有常數(shù)加權(quán)，而且以的存在 為條件。為條件。 )(),(),(),(2121txtxcbaWTbaWTxx)()()(21txtxtxdadbbaWTacdttxx2022),(

23、1)( c第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)259.4小波反變換及小波容許條件小波反變換及小波容許條件u連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件 定理定理9.2 9.2 設(shè)設(shè) ，記，記 ， 為的為的傅里葉變換，若傅里葉變換，若 則則 可由其小波變換可由其小波變換 來恢復(fù)，即來恢復(fù)，即 (9.4.1)(9.4.1)()(),(2RLttx)()(t02)(c)(tx),(baWTxdadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)26證明：設(shè)證明：設(shè) ， , ,則則 將它們分別代入（將它們分別代入（9.3.89

24、.3.8）式的兩邊，再令）式的兩邊，再令 ，于，于是是 于是定理得證。于是定理得證。 在定理在定理9.19.1和定理和定理9.29.2中，結(jié)論的成立都是以中，結(jié)論的成立都是以 0a0的范圍內(nèi)任意取值時(shí)，這的范圍內(nèi)任意取值時(shí)，這時(shí)的小波變換即是連續(xù)小波變換。時(shí)的小波變換即是連續(xù)小波變換。 用數(shù)值積分的方法計(jì)算（用數(shù)值積分的方法計(jì)算（9.1.29.1.2）式，即，令）式，即，令 (9.7.1)(9.7.1)Zjaj,2dtabttxabaWTx)()(1),(kkkdtabttxa1)()(1第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)63 由于在由于在 的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)， ，所以上式，所以上式又可

25、寫為：又可寫為： (9.7.2) 由該式可以看出，小波變換由該式可以看出，小波變換 可看作是可看作是 和和 的卷積后的累加所得到的結(jié)果，卷積的中的卷積后的累加所得到的結(jié)果，卷積的中間變量是間變量是t t，卷積后的變量為，卷積后的變量為a a及及b b。MATLABMATLAB中的中的cwt.mcwt.m即是按此思路來實(shí)現(xiàn)的。即是按此思路來實(shí)現(xiàn)的。 kkkdtabtkxa1)()(1)()()(11kkkdtabtdtabtkxa1kkt)()(kxtx),(baWTx),(baWTx)(kx)(abt 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)64小波變換的大致過程：小波變換的大致過程： 先由指

26、定的小波名稱得到母小波先由指定的小波名稱得到母小波 及其時(shí)間軸上及其時(shí)間軸上的刻度，假定刻度長(zhǎng)為的刻度，假定刻度長(zhǎng)為 ； 從時(shí)間軸坐標(biāo)的起點(diǎn)開始求積分從時(shí)間軸坐標(biāo)的起點(diǎn)開始求積分 ， 由尺度由尺度a a確定對(duì)上述積分值選擇的步長(zhǎng)，確定對(duì)上述積分值選擇的步長(zhǎng)，a a越大，越大，上述積分值被選中的越多；上述積分值被選中的越多； 求求 和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差分，即完成（分，即完成（9.7.29.7.2）式。）式。)(t10Ndttk)(01, 1Nk)(kx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)65方法的不足方法的不足: :在在a a變化時(shí)，變

27、化時(shí)，(9.7.2(9.7.2）式中括號(hào)內(nèi)的積）式中括號(hào)內(nèi)的積 分、差分后的點(diǎn)數(shù)不同，也即和分、差分后的點(diǎn)數(shù)不同，也即和 卷積后的點(diǎn)數(shù)不同。卷積后的點(diǎn)數(shù)不同。解決的方法解決的方法: :是在不同的尺度下對(duì)是在不同的尺度下對(duì) 作插值，使其作插值，使其 在不同的尺度下，在其有效支撐范圍在不同的尺度下，在其有效支撐范圍 內(nèi)的點(diǎn)數(shù)始終相同。內(nèi)的點(diǎn)數(shù)始終相同。 有關(guān)有關(guān)CWTCWT快速計(jì)算的方法還可借助于快速計(jì)算的方法還可借助于CZTCZT及梅林及梅林變換等方法變換等方法 。)(kx)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)66例題：例題： 例例9.7.1 9.7.1 令令 為一正弦加噪聲信號(hào)，它取自

28、為一正弦加噪聲信號(hào)，它取自MATLABMATLAB中的中的noissin.matnoissin.mat。對(duì)該信號(hào)作。對(duì)該信號(hào)作CWTCWT，a a分別分別等于等于2 2和和128128，a=2a=2時(shí)，小波變換的結(jié)果對(duì)應(yīng)信號(hào)中時(shí)，小波變換的結(jié)果對(duì)應(yīng)信號(hào)中的高頻成份，的高頻成份，a=128a=128時(shí)，小波變換對(duì)應(yīng)信號(hào)中的低時(shí)，小波變換對(duì)應(yīng)信號(hào)中的低頻成份。其原始信號(hào)及變換結(jié)果見圖頻成份。其原始信號(hào)及變換結(jié)果見圖9.7.1(a)9.7.1(a)，(b)(b)和（和（c c）。）。)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)6702004006008001000-202 signal nois

29、sin02004006008001000-101 a=202004006008001000-20020 a=128圖圖9.7.1 9.7.1 信號(hào)信號(hào)“noissin”noissin”的小波變的小波變換換 (a)(a)原信號(hào)原信號(hào)x(t)x(t)，(b)a=2(b)a=2，(c)a=128(c)a=128第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)68 例例9.7.2 9.7.2 仍然使用例仍然使用例9.7.19.7.1的信號(hào)的信號(hào)“noissin”noissin”，對(duì)其作對(duì)其作CWTCWT時(shí)時(shí)a a分別取分別取1010，3030，6060，9090，120120及及150150。所得到的圖所得到

30、的圖9.7.29.7.2是在各個(gè)尺度下的小波系數(shù)的灰是在各個(gè)尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，說明在該尺度及該位移（水平度圖。顏色越深，說明在該尺度及該位移（水平軸）處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對(duì)小波變軸）處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對(duì)小波變換的結(jié)果具有不同的表示方式。換的結(jié)果具有不同的表示方式。第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)69Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 .time (or space) bscales a1002003004005006007008009001000 10 30 6

31、0 90120150圖圖9.7.2 9.7.2 多尺度下小波變換的灰度表示多尺度下小波變換的灰度表示第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)709.8 尺度離散化的小波變換及小波標(biāo)架尺度離散化的小波變換及小波標(biāo)架 對(duì)同一個(gè)信號(hào)對(duì)同一個(gè)信號(hào) ，在，在 “時(shí)頻平面時(shí)頻平面” a-b上，上，給給出幾種不同的表示形式：出幾種不同的表示形式： STFTSTFT： （9.8.19.8.1） GaborGabor變換：變換： （9.8.29.8.2） WVDWVD： （9.8.39.8.3） 小波變換：小波變換： （9.8.49.8.4） )(txdetSTFTgtxtjx),()0(21)()()(,th

32、ctxnmmnnm detWxtxtjx),2()0(21)(dadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)719.8.1 尺度離散化的小波變換尺度離散化的小波變換 目前通用的對(duì)目前通用的對(duì)a a離散化的方法是按冪級(jí)數(shù)的形離散化的方法是按冪級(jí)數(shù)的形式逐步加大式逐步加大a a，即令，即令 。若取。若取 ，則，則 (9.8.5)(9.8.5)稱為稱為“半離散化二進(jìn)小波半離散化二進(jìn)小波”，而，而 (9.8.6)(9.8.6)稱為二進(jìn)小波變換。稱為二進(jìn)小波變換。Zjaaaj, 0,0020a)(2(2)(2/,bttjjbj)(),(),(,ttxbjW

33、Tbjxdtbttxjj)(2()(22/第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)72 設(shè)：母小波設(shè)：母小波 的中心頻率：的中心頻率： ，帶寬：，帶寬： ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的中心頻率變?yōu)榈闹行念l率變?yōu)?，帶寬，帶寬 。若。若 時(shí)，時(shí)， 的中心頻率和帶寬分別的中心頻率和帶寬分別是：是： ， 。從對(duì)信號(hào)作頻域分。從對(duì)信號(hào)作頻域分析的角度，希望當(dāng)析的角度，希望當(dāng)a由由 變成變成 時(shí)，時(shí)， 和和 在在頻域?qū)?yīng)的分析窗頻域?qū)?yīng)的分析窗 和和 能夠相連。能夠相連。這樣，當(dāng)這樣，當(dāng)j j由由0 0變至無窮時(shí)，變至無窮時(shí)， 的傅里葉變換可以覆蓋整個(gè)的傅里葉變換可以覆蓋整個(gè) 軸。軸。 )(t0ja2)(,tb

34、j0jj00j22/)(jj212ja)(, 1tbj01j01j2)(121jjj212j)(,tbj)(, 1tbj)( ,)(jj0j0j)( ,)(1j1j01j01j)(,tbj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)73由由 恢復(fù)恢復(fù) ： 設(shè)設(shè) 是是 的對(duì)偶小波，并令的對(duì)偶小波，并令 和和 取類取類似的形式，即似的形式，即 (9.8.7)(9.8.7)這樣，通過對(duì)偶小波，我們希望能重建這樣，通過對(duì)偶小波，我們希望能重建 ： (9.8.8)(9.8.8)對(duì)上式作如下變換：對(duì)上式作如下變換：),(bjWTx)(tx)(2( 2)(2/,bttjjbj)(txdbbtbjWTtxjxjj

35、)(2( ),(2)(2/3)( t)(t)(2(),(2)(2/3btbjWTtxjxjj)(),(/bt2bjWT212jxj2j3)(,tbj)(,tbj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)74由（由（9.1.39.1.3）和（）和（9.1.49.1.4）式，有）式，有 (9.8.9)(9.8.9)顯然，若顯然，若 (9.8.10)(9.8.10)則（則（9.8.99.8.9）式的右邊變成）式的右邊變成 的傅里葉反變換，的傅里葉反變換，自自然就是然就是 。deXtxtjjjjjjj)2(2)2(2)(212)(2/2/3deXtjjjj)2()2()(211)2()2(jjj)(X)

36、(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)75 對(duì)于滿足容許條件的小波對(duì)于滿足容許條件的小波 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，其時(shí)，其二進(jìn)制小波二進(jìn)制小波 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足（對(duì)應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足（9.4.49.4.4）式）式的穩(wěn)定性條件。這樣，結(jié)合（的穩(wěn)定性條件。這樣，結(jié)合（9.4.49.4.4）和（）和（9.8.109.8.10）式，）式，我們可由下式得到對(duì)偶小波我們可由下式得到對(duì)偶小波 : : (9.8.11) (9.8.11)由于（由于（9.8.119.8.11）式的分母滿足（）式的分母滿足（9.4.49.4.4）式，因此有）式，因此有 (9.8.12)(9.8.12)這樣，對(duì)偶小波這樣，對(duì)偶

37、小波 也滿足穩(wěn)定性條件，也即，總可以找也滿足穩(wěn)定性條件，也即，總可以找到到一個(gè)一個(gè)“穩(wěn)定的穩(wěn)定的”對(duì)偶小波對(duì)偶小波 由（由（9.8.89.8.8）式重建出）式重建出 。 )(tZjaj,2)(,tbj)( tjj2)2()()(ABjj1)2(12)( t)( t)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)76定理定理 9.49.4 : : 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) ，使得，使得 (9.8.13)(9.8.13)則則 (9.8.14)(9.8.14)如果如果 滿足滿足 (9.8.15)(9.8.15)則則 (9.8.16)(9.8.16)0, 0BAB2Aj2j)(222),(21xBbj

38、WTxAxjj)( t 1)2()2(Rjjj)(),(2)(,tjWTtxjxjjdbbtbjWTjxjj)(2( ),(22/3第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)77 定理定理9.49.4指出，若指出，若 的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，則則 在在 上的小波變換的幅平方的和是有界的。進(jìn)上的小波變換的幅平方的和是有界的。進(jìn)而，而， 和和 的傅里葉變換若滿足（的傅里葉變換若滿足（9.8.159.8.15）式（也即）式（也即（9.8.109.8.10）式），則）式），則 可由（可由（9.8.169.8.16）式重建。）式重建。 若（若（9.8.139.8.13）式的

39、穩(wěn)定性條件滿足，則（）式的穩(wěn)定性條件滿足，則（9.3.99.3.9）式的）式的容許條件必定滿足，且容許條件必定滿足，且 (9.8.17)(9.8.17)從而，由連續(xù)小波變換從而，由連續(xù)小波變換 總可以恢復(fù)總可以恢復(fù) ，即，即（9.4.19.4.1）式總是成立式總是成立 )(t)(txZjaj,2)(t)( t)(txBBdA022ln)(2ln),(baWTx)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)78總結(jié)：總結(jié)： 若若 滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進(jìn)小波變換由二進(jìn)小波變換 總可以重建，也即一個(gè)滿總可以重建，也即一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波足

40、穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波 總是存在的。但是，總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波 不一定是唯一的。不一定是唯一的。如何構(gòu)造如何構(gòu)造“好好”的小波的小波 及得到唯一的對(duì)偶小波及得到唯一的對(duì)偶小波 是小波理論中的重要內(nèi)容。是小波理論中的重要內(nèi)容。 )(t),(bjWTx)( t)( t)( t)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)799.8.2 離散柵格上的小波變換離散柵格上的小波變換 令令 ，可實(shí)現(xiàn)對(duì)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)a的離散化。若的離散化。若j=0，則，則 。當(dāng)。當(dāng) 時(shí)，將時(shí)，將a由由 變成變成 時(shí)，即時(shí)，即是將是將a擴(kuò)大了擴(kuò)大了 倍，這時(shí)小波倍，這時(shí)小波 的中心頻率

41、比的中心頻率比的中心頻率下降了的中心頻率下降了 倍，帶寬也下降了倍，帶寬也下降了 倍。倍。 當(dāng)尺度當(dāng)尺度a分別取分別取 時(shí)，對(duì)時(shí)，對(duì)b的抽樣間隔的抽樣間隔可以取可以取 這樣，對(duì)這樣，對(duì)a和和b離散化后的離散化后的結(jié)果是：結(jié)果是： (9.8.18)()(,bttbjZjaaj,00j10jaja00a)(,tkj)(, 1tkj0a0a,20100aaa,02001000bababa)()(0002/0,bkataatjjjkjZkjkbtaa0j02j0,)(/第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)80 對(duì)給定的信號(hào)對(duì)給定的信號(hào) 連續(xù)小波變換可變成如下離散連續(xù)小波變換可變成如下離散柵格上的小

42、波變換，即柵格上的小波變換，即 (9.8.19)(9.8.19)此式稱為此式稱為“離散小波變換（離散小波變換（Discrete Wavelet Discrete Wavelet TransformTransform，DWTDWT）”。注意注意: :式中式中t t仍是連續(xù)變量。這樣，仍是連續(xù)變量。這樣，(a,b)(a,b)平面上離散平面上離散 柵格的取點(diǎn)如圖柵格的取點(diǎn)如圖9.8.19.8.1所示。圖中取所示。圖中取 ，尺，尺 度軸取以度軸取以2 2為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。)(txdtttxkjWTkjx)()(),(,20a第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)81圖圖9.8.1 DW

43、T9.8.1 DWT取值的離散柵格取值的離散柵格 由該圖可看出小波分析的由該圖可看出小波分析的“變焦距變焦距”作用，即在不作用，即在不同的尺度下（也即不同的頻率范圍內(nèi)），對(duì)時(shí)域的分同的尺度下（也即不同的頻率范圍內(nèi)），對(duì)時(shí)域的分析點(diǎn)數(shù)是不相同的。析點(diǎn)數(shù)是不相同的。 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)82 記記 ，仿照傅里葉級(jí)數(shù)和，仿照傅里葉級(jí)數(shù)和GaborGabor展開展開那樣來重建那樣來重建 ，即，即 (9.8.20)(9.8.20)該式稱為小波級(jí)數(shù)，該式稱為小波級(jí)數(shù)， 稱為小波系數(shù)，稱為小波系數(shù)， 是是 的對(duì)偶函數(shù)，或?qū)ε夹〔?。的?duì)偶函數(shù)，或?qū)ε夹〔ā?),(,kjWTdxkj)(tx

44、)()()(,tkdtxkj0jkj )(kdj)(,tkj)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)83 對(duì)任一周期信號(hào)對(duì)任一周期信號(hào) ，若周期為，若周期為T T，且，且 ，則可展成傅里葉級(jí)數(shù)，即則可展成傅里葉級(jí)數(shù)，即 (9.8.21a)(9.8.21a)式中式中 是是 的傅里葉系數(shù)，它由下式求出：的傅里葉系數(shù)，它由下式求出： (9.8.21b) (9.8.21b) )(tx), 0()(2TLtx)(txTekXtxktjk0)()()(0kXdtetxTkXTTtjk2/2/00)(1)(第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)84 小波級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)形式上類似，但其物小波級(jí)

45、數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)形式上類似，但其物理理 概念卻有著明顯的不同：概念卻有著明顯的不同： 傅里葉級(jí)數(shù)的基函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的基函數(shù) ，是一組正交基，是一組正交基，即即 。 小波級(jí)數(shù)小波級(jí)數(shù) 所用的一族函數(shù)不一定是正交基，所用的一族函數(shù)不一定是正交基，甚至不一定是一組甚至不一定是一組“基基”；Zketjk,0)(,210201kkeetjktjk)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)85對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)來說，基函數(shù)是固定的，且分析和對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)來說，基函數(shù)是固定的，且分析和重建的基函數(shù)是一樣的，即重建的基函數(shù)是一樣的，即 都是（差一負(fù)都是（差一負(fù)號(hào)）；對(duì)小波級(jí)數(shù)來說，分析所用的函數(shù)是可變號(hào)）；對(duì)

46、小波級(jí)數(shù)來說，分析所用的函數(shù)是可變的，且分析和重建的，且分析和重建 所用的函數(shù)是不相同的，所用的函數(shù)是不相同的，即分析時(shí)是即分析時(shí)是 ，而重建時(shí)是，而重建時(shí)是 ；在傅里葉級(jí)數(shù)中，時(shí)域和頻域的分辨率是固定不在傅里葉級(jí)數(shù)中，時(shí)域和頻域的分辨率是固定不變的，而小波級(jí)數(shù)在變的，而小波級(jí)數(shù)在a,ba,b軸上的離散化是不等距的，軸上的離散化是不等距的，這正體現(xiàn)了小波變換這正體現(xiàn)了小波變換“變焦變焦”和和“恒恒Q”Q”性的特點(diǎn)。性的特點(diǎn)。tjke0)(,tkj)(,tkj)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)86將連續(xù)小波變換改變成離散小波變換的疑問：將連續(xù)小波變換改變成離散小波變換的疑問：

47、一族小波函數(shù)一族小波函數(shù) ，在空間，在空間 上是否是完上是否是完備的？所謂完備，是指對(duì)任一備的？所謂完備，是指對(duì)任一 ，它都可以，它都可以由這一組函數(shù)（即由這一組函數(shù)（即 ）來表示；）來表示； 如果如果 是完備的，那么是完備的，那么 對(duì)的表示對(duì)的表示 是否有是否有信息的冗余？信息的冗余？ 如果如果 是完備的，那么對(duì)是完備的，那么對(duì)a和和b的抽樣間隔如何的抽樣間隔如何選取才能保證對(duì)選取才能保證對(duì) 的表示不存在信息的冗余？的表示不存在信息的冗余？Zkjtkj,),(,)(2RL)()(2RLtx)(,tkj)(,tkj)(,tkj)(tx)(,tkj)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)

48、879.8.3 9.8.3 小波標(biāo)架理論介紹小波標(biāo)架理論介紹u 標(biāo)架的基本理論，其要點(diǎn)是：標(biāo)架的基本理論，其要點(diǎn)是： 若若 是是HilbertHilbert空間中的一組向量，對(duì)給定的空間中的一組向量，對(duì)給定的 若存在常數(shù)若存在常數(shù) ，滿足，滿足 (9.8.22)(9.8.22) 則則 構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)架；構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)架； 若若A=BA=B，則稱，則稱 為緊標(biāo)架，若為緊標(biāo)架，若A=B=1A=B=1，則，則 成一正交基成一正交基 定義標(biāo)架算子定義標(biāo)架算子S S為為 (9.8.23)(9.8.23)則則 (9.8.24)(9.8.24)記記 為的對(duì)偶函數(shù)族，則為的對(duì)偶函數(shù)族，則 也構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架，標(biāo)架界也

49、構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架，標(biāo)架界分別為分別為 和和 ； n)()(2RLtxBA0222,xBxxAnn n n nnnnxSx,nnnnnnSxSxx11,nnS1n1B1A第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)88 用標(biāo)架來表征一個(gè)信號(hào)用標(biāo)架來表征一個(gè)信號(hào) ，也即對(duì)，也即對(duì) 作分解時(shí)，作分解時(shí)，標(biāo)架標(biāo)架 可給出完備的且是穩(wěn)定的表示，但這種表可給出完備的且是穩(wěn)定的表示，但這種表示是冗余的，即示是冗余的，即 之間是線性相關(guān)的，因此之間是線性相關(guān)的，因此 不是唯一的。對(duì)信號(hào)的冗余表示有時(shí)并不一定是不是唯一的。對(duì)信號(hào)的冗余表示有時(shí)并不一定是壞事，它在表示的穩(wěn)定性、對(duì)噪聲的魯棒性壞事，它在表示的穩(wěn)定性、對(duì)噪聲

50、的魯棒性（robustnessrobustness）方面都優(yōu)于正交基；）方面都優(yōu)于正交基； 標(biāo)界邊界標(biāo)界邊界B B和之和之A A比值，即比值，即B/AB/A稱為冗余比。在實(shí)稱為冗余比。在實(shí)際工作中，總希望接近于際工作中，總希望接近于1 1，即，即 為緊標(biāo)架。當(dāng)為緊標(biāo)架。當(dāng)A=BA=B時(shí)，有時(shí)，有 (9.8.25)(9.8.25) nxxn njjA1 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)89定理定理9.59.5 : : 如果如果 構(gòu)成構(gòu)成 中的一中的一個(gè)標(biāo)架，且標(biāo)架邊界分別為個(gè)標(biāo)架，且標(biāo)架邊界分別為A A和和B B，則母小波須滿足：，則母小波須滿足： (9.8.26a)(9.8.26a)及

51、及 (9.8.26b)(9.8.26b)Zkjkbtaatjjkj,),()(002/0,)(2RLBabdAab2ln)(2ln000200BabdAab2ln)(2ln000200第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)90 以上定理又稱構(gòu)成標(biāo)架以上定理又稱構(gòu)成標(biāo)架 的必要條件。的必要條件。這一條件實(shí)際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。這一條件實(shí)際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。當(dāng)僅當(dāng)僅a a對(duì)取二進(jìn)制離散化，對(duì)取二進(jìn)制離散化，b b保持連續(xù)時(shí)，該必要保持連續(xù)時(shí)，該必要條件也就是充分條件條件也就是充分條件。)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)91 若若 構(gòu)成緊標(biāo)架，即構(gòu)成緊標(biāo)

52、架，即A=BA=B，那么，其標(biāo)架邊界，那么，其標(biāo)架邊界 (9.8.27)(9.8.27) 若若 構(gòu)成構(gòu)成 中正交基，則中正交基，則 (9.8.28)(9.8.28)(,tkj02000200)(ln2)(ln2dabdabA)(,tkj)(2RL0002022ln)()(abdd第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)92定理定理9.6: 9.6: 定義定義 (9.8.29)(9.8.29)及及 (9.8.30)(9.8.30)如果如果 和和 的選取保證的選取保證 (9.8.31a)(9.8.31a)及及 (9.8.31b)(9.8.31b)則則 是是 中的一個(gè)標(biāo)架。中的一個(gè)標(biāo)架。 、 分別是

53、標(biāo)架界分別是標(biāo)架界A A和和B B的下界與上界。的下界與上界。)()(sup)(j0jj0a1aa02/1000)2()2(bkbkkk0a0bjjaabA0)(inf(1201000j2j0a100ab1B0)(sup() (,tkj)(2RL0A0B第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)93 例例9.8.1 9.8.1 對(duì)（對(duì)（9.6.69.6.6）式給出的墨西哥草帽小）式給出的墨西哥草帽小波，利用（波，利用（9.8.319.8.31）式計(jì)算在）式計(jì)算在a a和和b b取不同步長(zhǎng)時(shí)邊取不同步長(zhǎng)時(shí)邊界界A A和和B B的值，如表的值，如表9.8.19.8.1所示。表中所示。表中 取取 。顯

54、然，。顯然，N N越大，對(duì)越大，對(duì)a a離散化的步長(zhǎng)越小。離散化的步長(zhǎng)越小。jaa0Na/1024 , 3 , 2 , 1N第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)94第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)95第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)96由該表可以看出：由該表可以看出：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，墨西哥草帽離散化后的時(shí)，墨西哥草帽離散化后的 都接近都接近于構(gòu)成一個(gè)緊標(biāo)架，即這時(shí)的于構(gòu)成一個(gè)緊標(biāo)架，即這時(shí)的B/AB/A接近于接近于1 1；同一值同一值N N下，下， 越小，越小，A A和和B B的值越大，因?yàn)檫@時(shí)的值越大，因?yàn)檫@時(shí) 所以它們的值反映了冗余度的大小。顯然，所以它們的值反映了冗余度的大

55、小。顯然， 越小，越小，冗余度越大，自然冗余度越大，自然A A和和B B越大；越大；同一同一N N值下，值下， 越大，越大，B/AB/A的值越大，這就越遠(yuǎn)離緊的值越大，這就越遠(yuǎn)離緊標(biāo)架。若再增加標(biāo)架。若再增加 ，有可能使求出的為負(fù)值，從而，有可能使求出的為負(fù)值，從而使這時(shí)的使這時(shí)的 不再構(gòu)成標(biāo)架。不再構(gòu)成標(biāo)架。75. 00b)(,tnm0bBA 0b0b0b)(,tnm第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)97總結(jié)：總結(jié)： 總之，以上的標(biāo)架理論及邊界值總之，以上的標(biāo)架理論及邊界值A(chǔ)、B的計(jì)算給我的計(jì)算給我們一個(gè)大致估計(jì)選取們一個(gè)大致估計(jì)選取 的原則，即二者的選取的原則，即二者的選取要保持離散

56、化后的要保持離散化后的 至少要構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架，至少要構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架，以保證對(duì)信號(hào)穩(wěn)定、完備的表示。但在一般情況以保證對(duì)信號(hào)穩(wěn)定、完備的表示。但在一般情況下，標(biāo)架并不是正交基，除非下，標(biāo)架并不是正交基，除非A=B=1。00,ba)(,tnm第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)98定義定義9.8.19.8.1： 若若 是由母小波是由母小波 通過通過伸縮與移位生成的伸縮與移位生成的 上的上的“稠密稠密”的二維函數(shù)族，的二維函數(shù)族，并且存在常數(shù)和，使得并且存在常數(shù)和，使得 (9.8.32)(9.8.32)對(duì)于所有滿足平方和的序列對(duì)于所有滿足平方和的序列 成立，式中成立，式中 (9.8.33)(9.8.33)則稱則稱 是是 上的一個(gè)上的一個(gè)RieszRiesz基，常數(shù)基，常數(shù)A A、B B分別稱為分別稱為RieszRiesz基的下界和上界?；南陆绾蜕辖?。Zkjtkj,)(,)(t)(2RL22,22,22,kjjkkjkjkjcBccA jkkjkjcc2,22,kjc,Zkjtkj,),(,)(2RL第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)99 定義中定義中“稠密稠密”的含義是指的含義是指 中的任一函中的任一函數(shù)都可由二維序列數(shù)都可由二維序列 的線性組合來表示。的線性組合來表示。定