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1、第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)19.1 9.1 小波變換的定義小波變換的定義u小波變換的定義小波變換的定義 給定一個基本函數(shù),令給定一個基本函數(shù),令 (9.1.1)(9.1.1) 若若a,ba,b不斷地變化,我們可得不斷地變化,我們可得 到一族函數(shù)到一族函數(shù) 。給定平。給定平方可積的信號方可積的信號 ,即即 則小則小x(t)x(t)的小波變換(的小波變換(Wavelet TransformWavelet Transform,WTWT):): (9.1.29.1.2))(1)(,abtatba)(,tba)(t)(tx)()(2RLtxdtabttxabaWTx)()(1),()(),
2、()()(,ttxdtttxbaba第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)2 信號信號 的小波變換的小波變換 是是a a和和b b的函數(shù),的函數(shù),b b是時移,是時移,a a是尺度因子。是尺度因子。 又稱為基本小波,或母小波。又稱為基本小波,或母小波。 是母是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù),稱之為小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù),稱之為小波基函數(shù),或簡稱小波基。小波基函數(shù),或簡稱小波基。 式中式中,b,b的作用是確定對的作用是確定對x(t)x(t)分析的時間位置,分析的時間位置,也即時間中心。尺度因子也即時間中心。尺度因子a a的作用是把基本小的作用是把基本小波波 作伸縮。作伸縮。式中的
3、因子式中的因子 是為了保證在不同的尺度時,是為了保證在不同的尺度時,始終能和始終能和 母函數(shù)有著相同的能量,即母函數(shù)有著相同的能量,即)(tx),(baWTx)(t)(,tba)(ta1)(,tba)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)3 令的傅里葉變換為,的傅里葉變換為,由傅里葉變換的令的傅里葉變換為,的傅里葉變換為,由傅里葉變換的性質(zhì),的傅里葉變換為:性質(zhì),的傅里葉變換為: (9.1.3)由由ParsevalsParsevals定理,(定理,(9.1.29.1.2)式可重新表為:)式可重新表為: (9.1.49.1.4)此式即為小波變換的頻域表達式此式即為小波變換的頻域表達式。dt
4、abtadttba22,)(1)(dtt2)()(1)(,abtatbabjbaeaa)()(,)(),(21),(,baxXbaWTdeaXabj)()(2第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)49.2 小波變換的特點小波變換的特點u 小波變換的恒小波變換的恒Q性性 由小波變換的兩個定義可以看出,如果由小波變換的兩個定義可以看出,如果 在在時域是有限支撐的,那么它和時域是有限支撐的,那么它和 作內(nèi)積后將保證作內(nèi)積后將保證在時域也是有限支撐的,從而實現(xiàn)所希望的時域定位在時域也是有限支撐的,從而實現(xiàn)所希望的時域定位功能,也即功能,也即 反映的是反映的是 在在b b附近的性質(zhì);附近的性質(zhì);若若
5、具有帶通性質(zhì),即具有帶通性質(zhì),即 圍繞著中心頻率圍繞著中心頻率是有限支撐的,那么是有限支撐的,那么 和和 作內(nèi)積后也將作內(nèi)積后也將反映在中頻率處的局部性質(zhì),而實現(xiàn)好的頻率定反映在中頻率處的局部性質(zhì),而實現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。位性質(zhì)。 )(,tba)(,tba)(,tba)(tx)(tx)(,ba),(baWTx)(X第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)5若若 的時間中心是的時間中心是 , ,時寬是時寬是 , 的頻率中心的頻率中心是是 , ,帶寬是帶寬是 ,那么,那么 的時間中心仍是的時間中心仍是 ,但時,但時寬變成寬變成 , 的頻譜的頻譜 的頻率中心變?yōu)榈念l率中心變?yōu)?帶寬變成帶寬變成 。這
6、樣。這樣, , 的時寬帶寬積仍是的時寬帶寬積仍是 , ,與與a a無關(guān)。無關(guān)。 定義:定義:為小波為小波 的品質(zhì)因數(shù),對的品質(zhì)因數(shù),對 ,其,其)(t0tt)(0)(at0tta)(at)( aa,/0aa/)(att0Q/)(t)(atQaa00/= =帶寬帶寬/ /中心頻率中心頻率 帶寬帶寬/ /中心頻率中心頻率 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)6第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)7 不同尺度下小波變換所分析的時寬、帶寬、時間不同尺度下小波變換所分析的時寬、帶寬、時間中心和頻率中心的關(guān)系中心和頻率中心的關(guān)系 022/002t)2/ 1( a) 1( a)2( a/22/2tt
7、圖圖9.2.2 9.2.2 a a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)8 由于小波變換的恒由于小波變換的恒Q Q性質(zhì),因此在不同尺度下,圖性質(zhì),因此在不同尺度下,圖9.2.29.2.2中三個時、頻分析區(qū)間(即三個矩形)的面積保持不變。由中三個時、頻分析區(qū)間(即三個矩形)的面積保持不變。由此,小波變換提供了一個在時、頻平面上可調(diào)的分析窗口,此,小波變換提供了一個在時、頻平面上可調(diào)的分析窗口,該分析窗口在高頻端(圖中該分析窗口在高頻端(圖中 處)的頻率分辨率不好(矩處)的頻率分辨率不好(矩形窗的頻率邊變長),但時域的分
8、辨率變好(矩形的時間邊形窗的頻率邊變長),但時域的分辨率變好(矩形的時間邊變短);反之,在低頻端(圖中變短);反之,在低頻端(圖中 處),頻率分辨率變處),頻率分辨率變好,而時域分辨率變差。但在不同的值下,圖好,而時域分辨率變差。但在不同的值下,圖9.2.29.2.2中分析中分析窗的面積保持不變,也即時、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的要窗的面積保持不變,也即時、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的要作出調(diào)整。作出調(diào)整。0220/u小波變換的時域及頻率分辨率小波變換的時域及頻率分辨率第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9 信號中的高頻成份往往對應(yīng)時域中的快變成份。對信號中的高頻成份往往對應(yīng)時域中的快變成份。對
9、這一類信號分析時則要求時域分辨率要好以適應(yīng)快變成這一類信號分析時則要求時域分辨率要好以適應(yīng)快變成份間隔短的需要,對頻域的分辨率則可以放寬,當然,份間隔短的需要,對頻域的分辨率則可以放寬,當然,時、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。低頻信號往往是時、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。低頻信號往往是信號中的慢變成份,對這類信號分析時一般希望頻率的信號中的慢變成份,對這類信號分析時一般希望頻率的分辨率要好,而時間的分辨率可以放寬,同時分析的中分辨率要好,而時間的分辨率可以放寬,同時分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然,小波變換的特點可以自心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然,小波變換的特點可以自動滿足這些客觀實際的需要
10、。動滿足這些客觀實際的需要。第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)10 用較小的用較小的a對信號作高頻分析時,實際上是用高對信號作高頻分析時,實際上是用高頻小波對信號作細致觀察,用較大的頻小波對信號作細致觀察,用較大的a對信號作低對信號作低頻分析時,實際上是用低頻小波對信號作概貌觀頻分析時,實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。小波變換的這一特點即既符合對信號作實際分察。小波變換的這一特點即既符合對信號作實際分析時的規(guī)律,也符合人們的視覺特點。析時的規(guī)律,也符合人們的視覺特點。u小波變換和其它信號分析方法的區(qū)別小波變換和其它信號分析方法的區(qū)別 傅里葉變換傅里葉變換 傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。
11、這一基函數(shù)在頻傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。這一基函數(shù)在頻域有著最佳的定位功能(頻域的域有著最佳的定位功能(頻域的 函數(shù)),但在時函數(shù)),但在時域所對應(yīng)的范圍是域所對應(yīng)的范圍是 - - ,完全不具備定位功能。,完全不具備定位功能。這是這是FTFT的一個嚴重的缺點。的一個嚴重的缺點。第第9 9章章 小波變換的基礎(chǔ)小波變換的基礎(chǔ)短時傅里葉變換短時傅里葉變換 重寫(重寫(2.1.12.1.1)式,即)式,即 (9.2.6)(9.2.6) STFTSTFT不具備恒不具備恒Q Q性質(zhì),當然也不具備隨著分辨率性質(zhì),當然也不具備隨著分辨率變化而自動調(diào)節(jié)分析帶寬的能力,如圖變化而自動調(diào)節(jié)分析帶寬的能力,如圖9.
12、2.39.2.3所示所示。Ttetg/2)(dtetgxtSTFTtjx)()(),(jtetgxdgx)(),()()(,第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)13 tgt,t G0 tgt,t G0210t002圖圖9.2.3 STFT的時頻分析區(qū)間的時頻分析區(qū)間第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)14 定義定義 (9.2.7)(9.2.7)為信號的為信號的“尺度圖(尺度圖(scalogramscalogram)”。它也是一種能。它也是一種能量量分布,但它是隨位移和尺度的能量分布,而不是簡單分布,但它是隨位移和尺度的能量分布,而不是簡單的隨的能量分布。但由于尺度間接對應(yīng)頻率(小對應(yīng)的
13、隨的能量分布。但由于尺度間接對應(yīng)頻率(小對應(yīng)高頻,大對應(yīng)低頻),因此,尺度圖實質(zhì)上也是一種高頻,大對應(yīng)低頻),因此,尺度圖實質(zhì)上也是一種時頻分布。時頻分布。22)()(1),(dtabttxabaWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)15 綜上所述,由于小波變換具有恒綜上所述,由于小波變換具有恒Q Q性質(zhì)及自動調(diào)性質(zhì)及自動調(diào)節(jié)對信號分析的時寬節(jié)對信號分析的時寬/ /帶寬等一系列突出優(yōu)點,因此帶寬等一系列突出優(yōu)點,因此被人們稱為信號分析的被人們稱為信號分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波變換。小波變換是是八十年代后期發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。八十年代后期發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。 第第9 9
14、章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)169.3 連續(xù)小波變換的計算性質(zhì)連續(xù)小波變換的計算性質(zhì)時移性質(zhì)時移性質(zhì) 若若 的的CWTCWT是是 , ,那么那么 的的CWTCWT是是 。記。記 , (9.3.1)(9.3.1)(tx),(baWTx)(tx),(baWTx)()(txtydtabttxa1baWTy)()(),(t dabttxa1)()(),(baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)17尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果如果x(t)x(t)的的CWTCWT是是 ,令,令 ,則,則 (9.3.2)(9.3.2) 證明證明: : 令令 則則 該性質(zhì)指出,當信號的時間軸按該性質(zhì)指出,當信號的
15、時間軸按 作伸縮時,其小波變換在作伸縮時,其小波變換在a a和和b b兩個軸上同時要作相同比例的伸縮,但小波變換的波形不兩個軸上同時要作相同比例的伸縮,但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點的又一體現(xiàn)。變。這是小波變換優(yōu)點的又一體現(xiàn)。 ),(baWTx)()(txty),(1),(baWTbaWTxydtabttxabaWTy)()(1),(ttt d1abttxa1baWTy)()(),(dtabttxa)()(11),(1baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)18 微分性質(zhì)微分性質(zhì)如果如果x(t)x(t)的的CWTCWT是是 ,令,令 ,則則 (9.3.39.3.3)證明:證明
16、:由移位性質(zhì)有:由移位性質(zhì)有:即即),( baWTx),(baWTx)()()(txdttdxty),(),(baWTbbaWTxydtabtdttdxabaWTy)()(1),(dtabtttxttxaLimt)()()(10dtabttxadtabtttxatLimt)()(1)()(110tbaWTtbaWTLimbaWTxxty),(),(),(0),(),(baWTbbaWTxy第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)19兩個信號卷積的兩個信號卷積的CWT CWT 如果如果x(t),h(t)x(t),h(t)的的CWTCWT分別是分別是 及及 , ,令令 則則 (9.3.4)9.3.
17、4)式中符號式中符號 表示對變量表示對變量b b作卷積。作卷積。 ),( baWTx),(baWTh)()()(thtxty),()(),(baWTtxbaWThby),()(baWTthxbb第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)20 兩個信號和的兩個信號和的CWTCWT 令令 的的CWTCWT分別是分別是 ,且且 ,則,則 (9.3.5a9.3.5a)同理,如果同理,如果 ,則,則 (9.3.5b9.3.5b)即兩個信號和的即兩個信號和的CWT等于各自等于各自CWT的和,也即小波變換滿足的和,也即小波變換滿足疊加原理。疊加原理。 )(),(21txtx),(),(21baWTbaWTxx
18、)()()(21txtxtx),(),(),(21baWTbaWTbaWTxxx)()()(2211txktxktx),(),(),(2211baWTkbaWTkbaWTxxx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)21 小波變換式所定義的小波變換式所定義的CWTCWT是是“線性線性”變換,而變換,而WVDWVD表表達式達式WignerWigner分布為代表的一類時頻分布為分布為代表的一類時頻分布為“雙線性雙線性變換變換”。正因為如此,是信號能量的分布。與之相對。正因為如此,是信號能量的分布。與之相對比,小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅比,小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅平
19、方,即(平方,即(9.2.79.2.7)式的尺度圖則是信號能量的一種)式的尺度圖則是信號能量的一種分布。將分布。將 代入代入(9.2.7)(9.2.7)式,可得:式,可得: (9.3.6)(9.3.6)式中式中 分別是分別是 和和 的幅角。的幅角。)()()(21txtxtx2x2x2xbaWTbaWTbaWT21),(),().()cos(),(),(2121xxxxbaWTbaWT221,xx),(1baWTx),(2baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)22 上式表明在尺度圖中同樣也有交叉項存在,但該上式表明在尺度圖中同樣也有交叉項存在,但該交叉項的行為和交叉項的行為和WVD
20、WVD中的交叉項稍有不同。中的交叉項稍有不同。WVDWVD的交叉的交叉項位于兩個自項的中間,即位于項位于兩個自項的中間,即位于 處,處,分別是兩個自項的時頻中心。尺度圖中的交叉項出分別是兩個自項的時頻中心。尺度圖中的交叉項出現(xiàn)在現(xiàn)在 和和 同時不為零的區(qū)域,也即是真同時不為零的區(qū)域,也即是真正相互交疊的區(qū)域中,這和正相互交疊的區(qū)域中,這和WVDWVD有著明顯的區(qū)別。有著明顯的區(qū)別。WVDWVD和和WTWT之間的關(guān)系之間的關(guān)系 : (9.3.79.3.7) ),(t),(),(2211tt),(1baWTx),(2baWTxdtdaabtWtWbaWTxx),(),(),(2第第9 9章章 小波
21、變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)23 小波變換的內(nèi)積定理小波變換的內(nèi)積定理 定理定理9.1 9.1 設(shè)設(shè) 和和 , 的小的小波變換分別是波變換分別是 和和 ,則,則 (9.3.89.3.8)式中式中 (9.3.99.3.9) )(),(21txtx)()(RLt2)(),(21txtx),(1baWTx),(2baWTx )(),(),(),(212021txtxCdbadabaWTbaWTxxdC02)(第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)24 (9.3.89.3.8)式實際上可看作是小波變換的)式實際上可看作是小波變換的ParsevalParseval定理。該式又可寫成更簡單的形式定理。該式又可寫
22、成更簡單的形式, ,即即 (9.3.10)(9.3.10)進一步,如果令進一步,如果令 ,由(,由(9.3.8)式,有)式,有 (9.3.11)(9.3.11) 傅里葉變換中的傅里葉變換中的ParsevalParseval定理,即時域中的能量等于頻域定理,即時域中的能量等于頻域 中的能量。但小波變換的中的能量。但小波變換的ParsevalParseval定理稍為復(fù)雜,它不但要定理稍為復(fù)雜,它不但要有常數(shù)加權(quán),而且以的存在有常數(shù)加權(quán),而且以的存在 為條件。為條件。 )(),(),(),(2121txtxcbaWTbaWTxx)()()(21txtxtxdadbbaWTacdttxx2022),(
23、1)( c第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)259.4小波反變換及小波容許條件小波反變換及小波容許條件u連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件 定理定理9.2 9.2 設(shè)設(shè) ,記,記 , 為的為的傅里葉變換,若傅里葉變換,若 則則 可由其小波變換可由其小波變換 來恢復(fù),即來恢復(fù),即 (9.4.1)(9.4.1)()(),(2RLttx)()(t02)(c)(tx),(baWTxdadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)26證明:設(shè)證明:設(shè) , , ,則則 將它們分別代入(將它們分別代入(9.3.89
24、.3.8)式的兩邊,再令)式的兩邊,再令 ,于,于是是 于是定理得證。于是定理得證。 在定理在定理9.19.1和定理和定理9.29.2中,結(jié)論的成立都是以中,結(jié)論的成立都是以 0a0的范圍內(nèi)任意取值時,這的范圍內(nèi)任意取值時,這時的小波變換即是連續(xù)小波變換。時的小波變換即是連續(xù)小波變換。 用數(shù)值積分的方法計算(用數(shù)值積分的方法計算(9.1.29.1.2)式,即,令)式,即,令 (9.7.1)(9.7.1)Zjaj,2dtabttxabaWTx)()(1),(kkkdtabttxa1)()(1第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)63 由于在由于在 的區(qū)間內(nèi),的區(qū)間內(nèi), ,所以上式,所以上式又可
25、寫為:又可寫為: (9.7.2) 由該式可以看出,小波變換由該式可以看出,小波變換 可看作是可看作是 和和 的卷積后的累加所得到的結(jié)果,卷積的中的卷積后的累加所得到的結(jié)果,卷積的中間變量是間變量是t t,卷積后的變量為,卷積后的變量為a a及及b b。MATLABMATLAB中的中的cwt.mcwt.m即是按此思路來實現(xiàn)的。即是按此思路來實現(xiàn)的。 kkkdtabtkxa1)()(1)()()(11kkkdtabtdtabtkxa1kkt)()(kxtx),(baWTx),(baWTx)(kx)(abt 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)64小波變換的大致過程:小波變換的大致過程: 先由指
26、定的小波名稱得到母小波先由指定的小波名稱得到母小波 及其時間軸上及其時間軸上的刻度,假定刻度長為的刻度,假定刻度長為 ; 從時間軸坐標的起點開始求積分從時間軸坐標的起點開始求積分 , 由尺度由尺度a a確定對上述積分值選擇的步長,確定對上述積分值選擇的步長,a a越大,越大,上述積分值被選中的越多;上述積分值被選中的越多; 求求 和所選中的積分值序列的卷積,然后再作差和所選中的積分值序列的卷積,然后再作差分,即完成(分,即完成(9.7.29.7.2)式。)式。)(t10Ndttk)(01, 1Nk)(kx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)65方法的不足方法的不足: :在在a a變化時,變
27、化時,(9.7.2(9.7.2)式中括號內(nèi)的積)式中括號內(nèi)的積 分、差分后的點數(shù)不同,也即和分、差分后的點數(shù)不同,也即和 卷積后的點數(shù)不同。卷積后的點數(shù)不同。解決的方法解決的方法: :是在不同的尺度下對是在不同的尺度下對 作插值,使其作插值,使其 在不同的尺度下,在其有效支撐范圍在不同的尺度下,在其有效支撐范圍 內(nèi)的點數(shù)始終相同。內(nèi)的點數(shù)始終相同。 有關(guān)有關(guān)CWTCWT快速計算的方法還可借助于快速計算的方法還可借助于CZTCZT及梅林及梅林變換等方法變換等方法 。)(kx)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)66例題:例題: 例例9.7.1 9.7.1 令令 為一正弦加噪聲信號,它取自
28、為一正弦加噪聲信號,它取自MATLABMATLAB中的中的noissin.matnoissin.mat。對該信號作。對該信號作CWTCWT,a a分別分別等于等于2 2和和128128,a=2a=2時,小波變換的結(jié)果對應(yīng)信號中時,小波變換的結(jié)果對應(yīng)信號中的高頻成份,的高頻成份,a=128a=128時,小波變換對應(yīng)信號中的低時,小波變換對應(yīng)信號中的低頻成份。其原始信號及變換結(jié)果見圖頻成份。其原始信號及變換結(jié)果見圖9.7.1(a)9.7.1(a),(b)(b)和(和(c c)。)。)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)6702004006008001000-202 signal nois
29、sin02004006008001000-101 a=202004006008001000-20020 a=128圖圖9.7.1 9.7.1 信號信號“noissin”noissin”的小波變的小波變換換 (a)(a)原信號原信號x(t)x(t),(b)a=2(b)a=2,(c)a=128(c)a=128第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)68 例例9.7.2 9.7.2 仍然使用例仍然使用例9.7.19.7.1的信號的信號“noissin”noissin”,對其作對其作CWTCWT時時a a分別取分別取1010,3030,6060,9090,120120及及150150。所得到的圖所得到
30、的圖9.7.29.7.2是在各個尺度下的小波系數(shù)的灰是在各個尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深,說明在該尺度及該位移(水平度圖。顏色越深,說明在該尺度及該位移(水平軸)處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對小波變軸)處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對小波變換的結(jié)果具有不同的表示方式。換的結(jié)果具有不同的表示方式。第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)69Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 .time (or space) bscales a1002003004005006007008009001000 10 30 6
31、0 90120150圖圖9.7.2 9.7.2 多尺度下小波變換的灰度表示多尺度下小波變換的灰度表示第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)709.8 尺度離散化的小波變換及小波標架尺度離散化的小波變換及小波標架 對同一個信號對同一個信號 ,在,在 “時頻平面時頻平面” a-b上,上,給給出幾種不同的表示形式:出幾種不同的表示形式: STFTSTFT: (9.8.19.8.1) GaborGabor變換:變換: (9.8.29.8.2) WVDWVD: (9.8.39.8.3) 小波變換:小波變換: (9.8.49.8.4) )(txdetSTFTgtxtjx),()0(21)()()(,th
32、ctxnmmnnm detWxtxtjx),2()0(21)(dadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)719.8.1 尺度離散化的小波變換尺度離散化的小波變換 目前通用的對目前通用的對a a離散化的方法是按冪級數(shù)的形離散化的方法是按冪級數(shù)的形式逐步加大式逐步加大a a,即令,即令 。若取。若取 ,則,則 (9.8.5)(9.8.5)稱為稱為“半離散化二進小波半離散化二進小波”,而,而 (9.8.6)(9.8.6)稱為二進小波變換。稱為二進小波變換。Zjaaaj, 0,0020a)(2(2)(2/,bttjjbj)(),(),(,ttxbjW
33、Tbjxdtbttxjj)(2()(22/第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)72 設(shè):母小波設(shè):母小波 的中心頻率:的中心頻率: ,帶寬:,帶寬: ,當,當 時,時, 的中心頻率變?yōu)榈闹行念l率變?yōu)?,帶寬,帶寬 。若。若 時,時, 的中心頻率和帶寬分別的中心頻率和帶寬分別是:是: , 。從對信號作頻域分。從對信號作頻域分析的角度,希望當析的角度,希望當a由由 變成變成 時,時, 和和 在在頻域?qū)?yīng)的分析窗頻域?qū)?yīng)的分析窗 和和 能夠相連。能夠相連。這樣,當這樣,當j j由由0 0變至無窮時,變至無窮時, 的傅里葉變換可以覆蓋整個的傅里葉變換可以覆蓋整個 軸。軸。 )(t0ja2)(,tb
34、j0jj00j22/)(jj212ja)(, 1tbj01j01j2)(121jjj212j)(,tbj)(, 1tbj)( ,)(jj0j0j)( ,)(1j1j01j01j)(,tbj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)73由由 恢復(fù)恢復(fù) : 設(shè)設(shè) 是是 的對偶小波,并令的對偶小波,并令 和和 取類取類似的形式,即似的形式,即 (9.8.7)(9.8.7)這樣,通過對偶小波,我們希望能重建這樣,通過對偶小波,我們希望能重建 : (9.8.8)(9.8.8)對上式作如下變換:對上式作如下變換:),(bjWTx)(tx)(2( 2)(2/,bttjjbj)(txdbbtbjWTtxjxjj
35、)(2( ),(2)(2/3)( t)(t)(2(),(2)(2/3btbjWTtxjxjj)(),(/bt2bjWT212jxj2j3)(,tbj)(,tbj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)74由(由(9.1.39.1.3)和()和(9.1.49.1.4)式,有)式,有 (9.8.9)(9.8.9)顯然,若顯然,若 (9.8.10)(9.8.10)則(則(9.8.99.8.9)式的右邊變成)式的右邊變成 的傅里葉反變換,的傅里葉反變換,自自然就是然就是 。deXtxtjjjjjjj)2(2)2(2)(212)(2/2/3deXtjjjj)2()2()(211)2()2(jjj)(X)
36、(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)75 對于滿足容許條件的小波對于滿足容許條件的小波 ,當,當 時,其時,其二進制小波二進制小波 對應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足(對應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足(9.4.49.4.4)式)式的穩(wěn)定性條件。這樣,結(jié)合(的穩(wěn)定性條件。這樣,結(jié)合(9.4.49.4.4)和()和(9.8.109.8.10)式,)式,我們可由下式得到對偶小波我們可由下式得到對偶小波 : : (9.8.11) (9.8.11)由于(由于(9.8.119.8.11)式的分母滿足()式的分母滿足(9.4.49.4.4)式,因此有)式,因此有 (9.8.12)(9.8.12)這樣,對偶小波這樣,對偶
37、小波 也滿足穩(wěn)定性條件,也即,總可以找也滿足穩(wěn)定性條件,也即,總可以找到到一個一個“穩(wěn)定的穩(wěn)定的”對偶小波對偶小波 由(由(9.8.89.8.8)式重建出)式重建出 。 )(tZjaj,2)(,tbj)( tjj2)2()()(ABjj1)2(12)( t)( t)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)76定理定理 9.49.4 : : 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) ,使得,使得 (9.8.13)(9.8.13)則則 (9.8.14)(9.8.14)如果如果 滿足滿足 (9.8.15)(9.8.15)則則 (9.8.16)(9.8.16)0, 0BAB2Aj2j)(222),(21xBbj
38、WTxAxjj)( t 1)2()2(Rjjj)(),(2)(,tjWTtxjxjjdbbtbjWTjxjj)(2( ),(22/3第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)77 定理定理9.49.4指出,若指出,若 的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件,的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件,則則 在在 上的小波變換的幅平方的和是有界的。進上的小波變換的幅平方的和是有界的。進而,而, 和和 的傅里葉變換若滿足(的傅里葉變換若滿足(9.8.159.8.15)式(也即)式(也即(9.8.109.8.10)式),則)式),則 可由(可由(9.8.169.8.16)式重建。)式重建。 若(若(9.8.139.8.13)式的
39、穩(wěn)定性條件滿足,則()式的穩(wěn)定性條件滿足,則(9.3.99.3.9)式的)式的容許條件必定滿足,且容許條件必定滿足,且 (9.8.17)(9.8.17)從而,由連續(xù)小波變換從而,由連續(xù)小波變換 總可以恢復(fù)總可以恢復(fù) ,即,即(9.4.19.4.1)式總是成立式總是成立 )(t)(txZjaj,2)(t)( t)(txBBdA022ln)(2ln),(baWTx)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)78總結(jié):總結(jié): 若若 滿足容許條件,且再滿足穩(wěn)定性條件,滿足容許條件,且再滿足穩(wěn)定性條件,由二進小波變換由二進小波變換 總可以重建,也即一個滿總可以重建,也即一個滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波足
40、穩(wěn)定性條件的對偶小波 總是存在的。但是,總是存在的。但是,滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波 不一定是唯一的。不一定是唯一的。如何構(gòu)造如何構(gòu)造“好好”的小波的小波 及得到唯一的對偶小波及得到唯一的對偶小波 是小波理論中的重要內(nèi)容。是小波理論中的重要內(nèi)容。 )(t),(bjWTx)( t)( t)( t)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)799.8.2 離散柵格上的小波變換離散柵格上的小波變換 令令 ,可實現(xiàn)對,可實現(xiàn)對a的離散化。若的離散化。若j=0,則,則 。當。當 時,將時,將a由由 變成變成 時,即時,即是將是將a擴大了擴大了 倍,這時小波倍,這時小波 的中心頻率
41、比的中心頻率比的中心頻率下降了的中心頻率下降了 倍,帶寬也下降了倍,帶寬也下降了 倍。倍。 當尺度當尺度a分別取分別取 時,對時,對b的抽樣間隔的抽樣間隔可以取可以取 這樣,對這樣,對a和和b離散化后的離散化后的結(jié)果是:結(jié)果是: (9.8.18)()(,bttbjZjaaj,00j10jaja00a)(,tkj)(, 1tkj0a0a,20100aaa,02001000bababa)()(0002/0,bkataatjjjkjZkjkbtaa0j02j0,)(/第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)80 對給定的信號對給定的信號 連續(xù)小波變換可變成如下離散連續(xù)小波變換可變成如下離散柵格上的小
42、波變換,即柵格上的小波變換,即 (9.8.19)(9.8.19)此式稱為此式稱為“離散小波變換(離散小波變換(Discrete Wavelet Discrete Wavelet TransformTransform,DWTDWT)”。注意注意: :式中式中t t仍是連續(xù)變量。這樣,仍是連續(xù)變量。這樣,(a,b)(a,b)平面上離散平面上離散 柵格的取點如圖柵格的取點如圖9.8.19.8.1所示。圖中取所示。圖中取 ,尺,尺 度軸取以度軸取以2 2為底的對數(shù)坐標。為底的對數(shù)坐標。)(txdtttxkjWTkjx)()(),(,20a第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)81圖圖9.8.1 DW
43、T9.8.1 DWT取值的離散柵格取值的離散柵格 由該圖可看出小波分析的由該圖可看出小波分析的“變焦距變焦距”作用,即在不作用,即在不同的尺度下(也即不同的頻率范圍內(nèi)),對時域的分同的尺度下(也即不同的頻率范圍內(nèi)),對時域的分析點數(shù)是不相同的。析點數(shù)是不相同的。 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)82 記記 ,仿照傅里葉級數(shù)和,仿照傅里葉級數(shù)和GaborGabor展開展開那樣來重建那樣來重建 ,即,即 (9.8.20)(9.8.20)該式稱為小波級數(shù),該式稱為小波級數(shù), 稱為小波系數(shù),稱為小波系數(shù), 是是 的對偶函數(shù),或?qū)ε夹〔?。的對偶函?shù),或?qū)ε夹〔ā?),(,kjWTdxkj)(tx
44、)()()(,tkdtxkj0jkj )(kdj)(,tkj)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)83 對任一周期信號對任一周期信號 ,若周期為,若周期為T T,且,且 ,則可展成傅里葉級數(shù),即則可展成傅里葉級數(shù),即 (9.8.21a)(9.8.21a)式中式中 是是 的傅里葉系數(shù),它由下式求出:的傅里葉系數(shù),它由下式求出: (9.8.21b) (9.8.21b) )(tx), 0()(2TLtx)(txTekXtxktjk0)()()(0kXdtetxTkXTTtjk2/2/00)(1)(第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)84 小波級數(shù)和傅里葉級數(shù)形式上類似,但其物小波級
45、數(shù)和傅里葉級數(shù)形式上類似,但其物理理 概念卻有著明顯的不同:概念卻有著明顯的不同: 傅里葉級數(shù)的基函數(shù)傅里葉級數(shù)的基函數(shù) ,是一組正交基,是一組正交基,即即 。 小波級數(shù)小波級數(shù) 所用的一族函數(shù)不一定是正交基,所用的一族函數(shù)不一定是正交基,甚至不一定是一組甚至不一定是一組“基基”;Zketjk,0)(,210201kkeetjktjk)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)85對傅里葉級數(shù)來說,基函數(shù)是固定的,且分析和對傅里葉級數(shù)來說,基函數(shù)是固定的,且分析和重建的基函數(shù)是一樣的,即重建的基函數(shù)是一樣的,即 都是(差一負都是(差一負號);對小波級數(shù)來說,分析所用的函數(shù)是可變號);對
46、小波級數(shù)來說,分析所用的函數(shù)是可變的,且分析和重建的,且分析和重建 所用的函數(shù)是不相同的,所用的函數(shù)是不相同的,即分析時是即分析時是 ,而重建時是,而重建時是 ;在傅里葉級數(shù)中,時域和頻域的分辨率是固定不在傅里葉級數(shù)中,時域和頻域的分辨率是固定不變的,而小波級數(shù)在變的,而小波級數(shù)在a,ba,b軸上的離散化是不等距的,軸上的離散化是不等距的,這正體現(xiàn)了小波變換這正體現(xiàn)了小波變換“變焦變焦”和和“恒恒Q”Q”性的特點。性的特點。tjke0)(,tkj)(,tkj)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)86將連續(xù)小波變換改變成離散小波變換的疑問:將連續(xù)小波變換改變成離散小波變換的疑問:
47、一族小波函數(shù)一族小波函數(shù) ,在空間,在空間 上是否是完上是否是完備的?所謂完備,是指對任一備的?所謂完備,是指對任一 ,它都可以,它都可以由這一組函數(shù)(即由這一組函數(shù)(即 )來表示;)來表示; 如果如果 是完備的,那么是完備的,那么 對的表示對的表示 是否有是否有信息的冗余?信息的冗余? 如果如果 是完備的,那么對是完備的,那么對a和和b的抽樣間隔如何的抽樣間隔如何選取才能保證對選取才能保證對 的表示不存在信息的冗余?的表示不存在信息的冗余?Zkjtkj,),(,)(2RL)()(2RLtx)(,tkj)(,tkj)(,tkj)(tx)(,tkj)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)
48、879.8.3 9.8.3 小波標架理論介紹小波標架理論介紹u 標架的基本理論,其要點是:標架的基本理論,其要點是: 若若 是是HilbertHilbert空間中的一組向量,對給定的空間中的一組向量,對給定的 若存在常數(shù)若存在常數(shù) ,滿足,滿足 (9.8.22)(9.8.22) 則則 構(gòu)成了一個標架;構(gòu)成了一個標架; 若若A=BA=B,則稱,則稱 為緊標架,若為緊標架,若A=B=1A=B=1,則,則 成一正交基成一正交基 定義標架算子定義標架算子S S為為 (9.8.23)(9.8.23)則則 (9.8.24)(9.8.24)記記 為的對偶函數(shù)族,則為的對偶函數(shù)族,則 也構(gòu)成一個標架,標架界也
49、構(gòu)成一個標架,標架界分別為分別為 和和 ; n)()(2RLtxBA0222,xBxxAnn n n nnnnxSx,nnnnnnSxSxx11,nnS1n1B1A第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)88 用標架來表征一個信號用標架來表征一個信號 ,也即對,也即對 作分解時,作分解時,標架標架 可給出完備的且是穩(wěn)定的表示,但這種表可給出完備的且是穩(wěn)定的表示,但這種表示是冗余的,即示是冗余的,即 之間是線性相關(guān)的,因此之間是線性相關(guān)的,因此 不是唯一的。對信號的冗余表示有時并不一定是不是唯一的。對信號的冗余表示有時并不一定是壞事,它在表示的穩(wěn)定性、對噪聲的魯棒性壞事,它在表示的穩(wěn)定性、對噪聲
50、的魯棒性(robustnessrobustness)方面都優(yōu)于正交基;)方面都優(yōu)于正交基; 標界邊界標界邊界B B和之和之A A比值,即比值,即B/AB/A稱為冗余比。在實稱為冗余比。在實際工作中,總希望接近于際工作中,總希望接近于1 1,即,即 為緊標架。當為緊標架。當A=BA=B時,有時,有 (9.8.25)(9.8.25) nxxn njjA1 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)89定理定理9.59.5 : : 如果如果 構(gòu)成構(gòu)成 中的一中的一個標架,且標架邊界分別為個標架,且標架邊界分別為A A和和B B,則母小波須滿足:,則母小波須滿足: (9.8.26a)(9.8.26a)及
51、及 (9.8.26b)(9.8.26b)Zkjkbtaatjjkj,),()(002/0,)(2RLBabdAab2ln)(2ln000200BabdAab2ln)(2ln000200第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)90 以上定理又稱構(gòu)成標架以上定理又稱構(gòu)成標架 的必要條件。的必要條件。這一條件實際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。這一條件實際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。當僅當僅a a對取二進制離散化,對取二進制離散化,b b保持連續(xù)時,該必要保持連續(xù)時,該必要條件也就是充分條件條件也就是充分條件。)(,tkj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)91 若若 構(gòu)成緊標架,即構(gòu)成緊標
52、架,即A=BA=B,那么,其標架邊界,那么,其標架邊界 (9.8.27)(9.8.27) 若若 構(gòu)成構(gòu)成 中正交基,則中正交基,則 (9.8.28)(9.8.28)(,tkj02000200)(ln2)(ln2dabdabA)(,tkj)(2RL0002022ln)()(abdd第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)92定理定理9.6: 9.6: 定義定義 (9.8.29)(9.8.29)及及 (9.8.30)(9.8.30)如果如果 和和 的選取保證的選取保證 (9.8.31a)(9.8.31a)及及 (9.8.31b)(9.8.31b)則則 是是 中的一個標架。中的一個標架。 、 分別是
53、標架界分別是標架界A A和和B B的下界與上界。的下界與上界。)()(sup)(j0jj0a1aa02/1000)2()2(bkbkkk0a0bjjaabA0)(inf(1201000j2j0a100ab1B0)(sup() (,tkj)(2RL0A0B第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)93 例例9.8.1 9.8.1 對(對(9.6.69.6.6)式給出的墨西哥草帽?。┦浇o出的墨西哥草帽小波,利用(波,利用(9.8.319.8.31)式計算在)式計算在a a和和b b取不同步長時邊取不同步長時邊界界A A和和B B的值,如表的值,如表9.8.19.8.1所示。表中所示。表中 取取 。顯
54、然,。顯然,N N越大,對越大,對a a離散化的步長越小。離散化的步長越小。jaa0Na/1024 , 3 , 2 , 1N第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)94第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)95第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)96由該表可以看出:由該表可以看出:當當 時,墨西哥草帽離散化后的時,墨西哥草帽離散化后的 都接近都接近于構(gòu)成一個緊標架,即這時的于構(gòu)成一個緊標架,即這時的B/AB/A接近于接近于1 1;同一值同一值N N下,下, 越小,越小,A A和和B B的值越大,因為這時的值越大,因為這時 所以它們的值反映了冗余度的大小。顯然,所以它們的值反映了冗余度的大
55、小。顯然, 越小,越小,冗余度越大,自然冗余度越大,自然A A和和B B越大;越大;同一同一N N值下,值下, 越大,越大,B/AB/A的值越大,這就越遠離緊的值越大,這就越遠離緊標架。若再增加標架。若再增加 ,有可能使求出的為負值,從而,有可能使求出的為負值,從而使這時的使這時的 不再構(gòu)成標架。不再構(gòu)成標架。75. 00b)(,tnm0bBA 0b0b0b)(,tnm第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)97總結(jié):總結(jié): 總之,以上的標架理論及邊界值總之,以上的標架理論及邊界值A(chǔ)、B的計算給我的計算給我們一個大致估計選取們一個大致估計選取 的原則,即二者的選取的原則,即二者的選取要保持離散
56、化后的要保持離散化后的 至少要構(gòu)成一個標架,至少要構(gòu)成一個標架,以保證對信號穩(wěn)定、完備的表示。但在一般情況以保證對信號穩(wěn)定、完備的表示。但在一般情況下,標架并不是正交基,除非下,標架并不是正交基,除非A=B=1。00,ba)(,tnm第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)98定義定義9.8.19.8.1: 若若 是由母小波是由母小波 通過通過伸縮與移位生成的伸縮與移位生成的 上的上的“稠密稠密”的二維函數(shù)族,的二維函數(shù)族,并且存在常數(shù)和,使得并且存在常數(shù)和,使得 (9.8.32)(9.8.32)對于所有滿足平方和的序列對于所有滿足平方和的序列 成立,式中成立,式中 (9.8.33)(9.8.33)則稱則稱 是是 上的一個上的一個RieszRiesz基,常數(shù)基,常數(shù)A A、B B分別稱為分別稱為RieszRiesz基的下界和上界?;南陆绾蜕辖纭kjtkj,)(,)(t)(2RL22,22,22,kjjkkjkjkjcBccA jkkjkjcc2,22,kjc,Zkjtkj,),(,)(2RL第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)99 定義中定義中“稠密稠密”的含義是指的含義是指 中的任一函中的任一函數(shù)都可由二維序列數(shù)都可由二維序列 的線性組合來表示。的線性組合來表示。定
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