過(guò)兩圓交點(diǎn)的公共弦所在直線方程探究

1、過(guò)兩圓交點(diǎn)的公共弦所在直線方程探究求經(jīng)過(guò)兩條曲線x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交點(diǎn)的直線方程.常規(guī)解法是: 聯(lián)立方程 求方程組解 即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(0,0), 過(guò)兩交點(diǎn)的直線方程為 7x-4y=0. (4)由上面(1),(2)得到(3),這是解方程的基本步驟,我們可得以下結(jié)論結(jié)論1: 如果兩條曲線方程是 f1(x,y)=0 和 f2(x,y)=0, 它們的交點(diǎn)是P(x0,y0),則方程 f1(x,y)+f2(x,y)=0的曲線也經(jīng)過(guò)P(x0,y0) (是任意常數(shù)).有了這個(gè)結(jié)論，有些題目可快速求解。過(guò)兩圓交點(diǎn)的公共弦所在直線方程就是將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)所得方程。例

2、2 (課本P70.13題) 求經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn),并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.解: 構(gòu)造方程 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0即 (1+)x2+(1+)y2+6x+6y-(4+28)=0此方程的曲線是過(guò)已知兩圓交點(diǎn)的圓,且圓心為當(dāng)該圓心在直線x-y-4=0上時(shí),即 所求圓方程為 x2+y2-x+7y-32=0例3：（P81.14題）求證：兩橢圓b2x2+a2y2=a2b2, a2x2+b2y2=a2b2的交點(diǎn)在以原點(diǎn)為中心的圓周上，并求這個(gè)圓方程。解：將已知的兩橢圓方程相加，得 此方程為以原點(diǎn)為圓心的圓的方程，由

3、曲線系知識(shí)知該圓過(guò)已知兩橢圓的交點(diǎn)。即原題得證。注意:1.由以上分析可以看出,利用曲線系解題,可以快速求解,但有時(shí)卻是失效的.例4: 求以圓x2+y2=5與拋物線y2=4x的公共弦為直徑的圓的方程.常規(guī)解法:聯(lián)立方程 以這兩點(diǎn)為直徑的圓的方程是 .如果用曲線系分析，構(gòu)造方程 即 (8)顯然,=0不是所求圓方程,而在0時(shí),方程(8)已不是圓方程了. 由(8)得不出所求結(jié)果.由方程(5),(6)得到方程（7）,方程(7)是過(guò)(5)(6)公共點(diǎn)的曲線,但方程(7)不能包含過(guò)(5)(6)的所有曲線.最簡(jiǎn)單的例子是: 兩直線x+y=0, xy=0的交點(diǎn)是(0,0),而y2=4x, (x1)2+y2=1等

4、曲線都過(guò)(0,0),但這些曲線不能從直線系中得到.曲線系方程(7)不能包含過(guò)兩曲線(5)(6)公共點(diǎn)的所有曲線，那么使用時(shí)怎么知道所求方程在不在方程(7)中呢?一般,我們對(duì)所求方程結(jié)果的形式應(yīng)該認(rèn)識(shí),所構(gòu)造的方程中有所求結(jié)果的形式就可用,否則不可用.例3,例4就是例子.有三點(diǎn)是可以肯定的:I. 如果(5)(6)是直線,則(7)是直線.II.如果(5)(6)是圓,則(7)是圓,或公共弦所在直線方程.將此推廣,可得III. 如果(5)是圓,(6)是直線,則(7)是圓。雖然曲線系有時(shí)失效,但它任不失為一種有用的方法.如果靈活應(yīng)用,更能顯示它的優(yōu)越性. 從例1可看到,要求兩圓公共弦所在直線方程,只須將

5、兩圓方程中的x2,y2項(xiàng)消去即可.但是如果兩圓無(wú)交點(diǎn),仍可得到一條直線方程,如:已知兩圓 (x1)2+(y1)2=2 (x+2)2+(y+2)2=4 相減,得 3x+3y4=0直線3x+3y4=0與已知圓有何關(guān)系?我們先從兩圓有交點(diǎn)分析:設(shè)O1,O2交于A,B，P是AB上任一點(diǎn)(非A,B),過(guò)P作兩圓割線，與O1交于 C1,D1,與O2交于C2，D2，由相交弦定理。則 |PC1|PD1|=|PC2|PD2|=|PA|PB| 如果P在線段AB的延長(zhǎng)線上,過(guò)P作兩圓的切線PT1,PT2,由切割線定理得 |PT1|2=|PT2|2=|PA|PB|當(dāng)兩圓運(yùn)動(dòng)，從相交到外切，再到相離時(shí)，猜想性質(zhì)|PT1|=|PT2|保持不變。由此得到結(jié)論：動(dòng)點(diǎn)P到兩圓O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,O2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P在一直線上運(yùn)動(dòng)，該直線方程為 (D1D2)x+(E1E2)y +(F1F2)=0 .證明：設(shè)P(x,y),則 由P向兩圓分別作一條切線 PT1,PT2,則|PT1|=|PT2|,即 |PO1|2r12=|PO2|2r22 乘開(kāi) x2+y2+D1x+E1y+F1= x2+y2+D2x+E2y+F2 ,