數(shù)列通項(xiàng)公式求法(有答案)

1、知識框架知識框架數(shù)數(shù) 列列等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式前前 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式n通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式前前 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式n數(shù)列的應(yīng)用數(shù)列的應(yīng)用由遞推公式求通項(xiàng)由遞推公式求通項(xiàng)數(shù)列求和數(shù)列求和由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)由前由前 項(xiàng)和求通項(xiàng)項(xiàng)和求通項(xiàng)n通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式1. . 數(shù)列的概念和簡單表示法數(shù)列的概念和簡單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、解解析法析法）；）； 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一種特殊函數(shù)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一種特殊函數(shù).2. . 等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列理解等差數(shù)

2、列、等比數(shù)列的概念理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式項(xiàng)和的公式.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.了解等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系了解等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.理解由遞推公式求通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的常用方法理解由遞推公式求通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的常用方法.考試要求考試要求從高考情況來看從高考情況來看,求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要有三種類型求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要有三種類型

3、:(1)給出數(shù)列前幾項(xiàng)的值給出數(shù)列前幾項(xiàng)的值,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式;(2)給出數(shù)列的首項(xiàng)給出數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)或前幾項(xiàng))和遞推公式和遞推公式,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式;(3)給出數(shù)列的前給出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 ,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式. 對于對于(1)、(2)兩種類型兩種類型,應(yīng)先考慮是否為應(yīng)先考慮是否為等差或等等差或等比數(shù)列比數(shù)列,或者能否轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列或者能否轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,如是如是,則可利則可利用等差用等差(或等比或等比)數(shù)列通項(xiàng)公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式求解;若不是若不是,則可以考則可以考慮慮觀察歸納法觀察歸納法,通過對數(shù)列前幾項(xiàng)的觀察、分析通過對數(shù)列前幾項(xiàng)的觀察、分析,尋找

4、尋找an與與n之間的關(guān)系之間的關(guān)系,從而求出通項(xiàng)公式從而求出通項(xiàng)公式. 對于第對于第(3)類類,則可利用則可利用an與與Sn之間的關(guān)系求解之間的關(guān)系求解,但但要注意分要注意分n=1和和n 2兩種情況計(jì)算兩種情況計(jì)算,最后要驗(yàn)證兩者最后要驗(yàn)證兩者能否統(tǒng)一能否統(tǒng)一.nS求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式的的方方法法主主要要有有：（1）觀察法（也稱不完全歸納法）；）觀察法（也稱不完全歸納法）； （2）公式法（等差或等比）；）公式法（等差或等比）；（3）配湊法）配湊法（4）待定系數(shù)法）待定系數(shù)法 .（5）逐差疊加法；）逐差疊加法； （6）逐商疊乘法；）逐商疊乘法； （7）進(jìn)退標(biāo)相減法）進(jìn)退標(biāo)相減法 121112 3

5、4(2) 12132 4 6 821 1 1142 3 451 2 4 82(6)1 4 9 1671 1 1 11nnnnnnnnn;(an)(an), , ,(an), ,(a)n, , ,(a), , ,;(an )( ), ,.(a() （）自自然然數(shù)數(shù)列列： ， ， ， ，奇奇數(shù)數(shù)列列： ，3 3, ,5 5, ,7 7, , ；（）偶偶數(shù)數(shù)列列： ， ；（） 倒倒數(shù)數(shù)列列： 1 1, , ，；（） 數(shù)數(shù)列列： ；數(shù)數(shù)列列： 數(shù)數(shù)列列： 或或11nna() 要要熟熟知知一一些些常常見見數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .251017,.(1)0 3 8 15 2421 713 1921

6、017 26373137911134 9 99 999 99995 3 33 333 33337 77 777 7777(7)3, 5, 3, 5, 3, 5,;(8)2 ,4 ,6 ,.8根根據(jù)據(jù)下下列列各各數(shù)數(shù)列列的的前前幾幾項(xiàng)項(xiàng)的的值值 寫寫出出數(shù)數(shù)列列的的一一個個通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式， ， ， ；（ ） ， ， ， ；（ ） ， ， ， ， ；（ ）， ， ； （ ）， ， ；（6 6）， ， ；例例1 1;(9) 25 2 211 ， ， ； 點(diǎn)評點(diǎn)評 求通項(xiàng)公式主要有求通項(xiàng)公式主要有（1）觀察法（也稱不完全歸納法）；）觀察法（也稱不完全歸納法）； （2）公式法（等差或等比）公式法（等差

7、或等比）.題型一題型一 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式： 22nnn2n 1nnnnnnnnnn1nn(1)a2 a(6n5);n13a2n14 a15 a37a9(7)a4;(8)a;(9)a2(n1) 33n1 解解：=n -1=n -1；（ ） =(-1)=(-1)（ ）=(-1)=(-1)；（ ） =10 -1=10 -1；（ ） = (10 -1)= (10 -1)；（6 6） = (10 -1)= (10 -1)；=(-1)=(-1)=(2n)=(2n)= =n點(diǎn)點(diǎn)評評: :（1 1）觀觀察察各各部部分分與與項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù) 的的觀觀察察法法用用不不完完全全歸歸

8、納納根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)列列的的前前若若干干項(xiàng)項(xiàng)求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式, ,常常用用. .( (如如符符號號, ,絕絕對對值值, ,分分子子, ,分分母母, ,底底數(shù)數(shù), ,指指數(shù)數(shù)等等) ), ,然然后后, ,最最后后得得出出通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；（2 2）若若某某一一部部分分成成等等差差數(shù)數(shù)列列或或等等比比數(shù)數(shù)列列, ,就就直直接接用用等等差差、等等比比數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；（3 3）要要通通常常先先將將熟熟知知一一些些每每項(xiàng)項(xiàng)分分解解成成幾幾部部分分常常見見數(shù)數(shù)列列的的通通法法關(guān)關(guān)系系項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .注意注意“三定三定”： -定符號定符號 -定分子、分母或底數(shù)、指數(shù)定分子、分母或底數(shù)、指數(shù)

9、-確定項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系確定項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系題型二題型二 由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法：由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法： 1nnakab 一一（k k、b b為為常常數(shù)數(shù)）型型 11nnnkaaba （1 1）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，是是等等差差數(shù)數(shù)列列 111,5.nnnnaaaaa例2、在數(shù)列中，求 112,4.nnnnaaaaa練習(xí)、在數(shù)列中，求1k （2 2）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，可可用用配配湊湊法法或或待待定定系系數(shù)數(shù)法法，1(),.nnamk amm 比比較較系系數(shù)數(shù)，定定出出例3、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1111,32;nnaaa（）1121,23;nnaaa（ ）11131,1;2nnaaa（ ）1114

10、1,2;3nnaaa（ ）【方方法法一一】配配湊湊法法：.,)()(,),(1323111311232331111111 nnnnnnnnnnnnaaaaamaamaamama即即于于是是，得得對對比比則則設(shè)設(shè)解解：.)(轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為等等比比數(shù)數(shù)列列【方方法法二二】待待定定系系數(shù)數(shù)法法111111111,32;132 13(1)112312 32 31nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa 【方法三】（特征根法）利用特征根轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.（）解：（1）令x=3x+2,解得x=-1數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列11322)32nnnnaanaa【方法四】（退一標(biāo)或進(jìn)一標(biāo)相減法）轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列

11、.解：由遞推關(guān)系，得：（. 132,3423,3)(),( 311112111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa所以即將上述兩式相減，得：1k （2 2）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，可可用用配配湊湊法法或或待待定定系系數(shù)數(shù)法法，1(),.nnamk amm 比比較較系系數(shù)數(shù)，定定出出例3、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1111,32;nnaaa（）1121,23;nnaaa（ ）11131,1;2nnaaa（ ）11141,2;3nnaaa（ ）111111131,1;21211212(2)222211212(1)()21(1)()22nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa 【 方 法 三 】

12、 （ 特 征 根 法 ）利 用 特 征 根 轉(zhuǎn) 化 為 等 比 數(shù) 列 .（ ）解 ： （ 1） 令 x=x+1,解 得 x=2數(shù) 列是 以為 首 項(xiàng) ，為 公 比 的 等 比 數(shù) 列例4、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：117213,;4nnnaaaa（）21211111721320 ,4721,2)4127211416722522411222651622512nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaaaa解 ： （ ） 令, 得 x則 x是 函 數(shù) f (的 不 動 點(diǎn) .故 可 得為 一 等 比 數(shù) 列 .數(shù) 列是 以為 首 項(xiàng) ，為 公 比 的 等

13、 比 數(shù) 列 .（）（12615n ）此此種種類類型型，更更適適合合用用特特征征根根法法及時(shí)反饋：根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1122,;21nnnaaaa21211112120,2121,1)21112112122121221121111333111111313nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 解：（）令,得2x則x是函數(shù)f(的不動點(diǎn).故可得為一等比數(shù)列.數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公11111333( 1)3( 1)nnnnnnnnaaa 比的等比數(shù)列.（- ）此此種種類類型型，更更適適合合用用特特征征根根法法例5、根據(jù)下列條件，求出數(shù)

14、列的通項(xiàng)公式：113111,;247nnnaaaa（）2111311410,47131)2471127411144131111552224721111122451411)152nnnnnnnnnnxxxxxxxaaaaaaaaanaa 解：（）令,得4x則x是函數(shù)f(的不動點(diǎn).故可得為一等差數(shù)列.（）（）數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（9428nn此此種種類類型型，更更適適合合用用特特征征根根法法及時(shí)反饋1：根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11212,;46nnnaaaa21211211410,46121)24611231112112111222461121152212(1) 11521

15、351nnnnnnnnnnxxxxxxxxaaaaaaaaanana 解：（）令,得4x則x是函數(shù)f(的不動點(diǎn).故可得為一等差數(shù)列.數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.06n此此種種類類型型，更更適適合合用用特特征征根根法法及時(shí)反饋2：根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1122,(;31nnnaaaa用特征根法）21211210,121,0)111112111111222111111122221112121nnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa 解：（）令,得x則x是函數(shù)f(的不動點(diǎn).故可得，即為一等比數(shù)列.（1-）數(shù)列 1-是以1-為首項(xiàng)，為公

16、比的等比數(shù)列.1-1111)222111)2121211)2nnnnnnnnaa （） （此此種種類類型型，更更適適合合用用特特征征根根法法及時(shí)反饋2：根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1122,(;31nnnaaaa用倒數(shù)法）11111211111122211111111(1)2221111121211111)222111)2121211)2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 解：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（練習(xí)、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1113,32;nnaaa（）1111,1;2nnaaa（2）111,37;2nnaaa（3） 1nn

17、aaf n 二二型型：（用用逐逐差差疊疊加加法法）例例4、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1112,;nnaaan （ ）練練1、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11111,3(2);nnnaaan （ ）練練2、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1112,(2)nnaaan n 1nnaf n a 三三型型：（用用逐逐商商疊疊乘乘法法）例例5、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11111,2;nnnaaa （ ）練練1、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公

18、式：、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11111,(2);nnnaaann （ ）練練2、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11213,(2)21nnnaaann練練3、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：2112,2()nnnaaaa nN212121122213221222121211(1)11(1)11(1)11(1)11(1)11(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa （練3）解：2 13 14 11 12 13 14 11 12221234122222111112 222212(1

19、 2)21 212 2(21)111(1) (1)(1)(1)(1)11(1) (1)(1)(1)(1)11(1)11(1)11(1)nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa （練3） 11111121122221211(1)2133131(2)1231(2)31()nnnnnnnnnnnnnaaaaaaannaananN （練3）即數(shù)列的通項(xiàng)公式為當(dāng)時(shí)也滿足數(shù)列的通項(xiàng)公式為題型三題型三 nnS已已知知=f(n),=f(n),求求通通項(xiàng)項(xiàng)a a 1112nnnnnSnaSSnSan 利利用用數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和與與通通項(xiàng)項(xiàng) 的的關(guān)關(guān)系系注意注意:此類題在求通項(xiàng)時(shí)此類題在求

20、通項(xiàng)時(shí),要分兩種情況計(jì)算要分兩種情況計(jì)算, 最后看兩者能否統(tǒng)一最后看兩者能否統(tǒng)一. 2123232nnnnnaS,Snn;S已已知知下下面面各各數(shù)數(shù)列列的的前前項(xiàng)項(xiàng)和和的的公公式式求求的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .1 1例例 、注意注意:此類題在求通項(xiàng)時(shí)此類題在求通項(xiàng)時(shí),要分兩種情況計(jì)算要分兩種情況計(jì)算, 最后看兩者能否統(tǒng)一最后看兩者能否統(tǒng)一. 11nn2nnanSlogS+ 1n,a . 練練 ：已已知知數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和滿滿足足求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式1;nnnaSS 處處理理方方法法：用用 退退一一標(biāo)標(biāo)或或進(jìn)進(jìn)一一標(biāo)標(biāo)相相減減法法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為. .的混合式的混合式和和已知已知nnaS 1

21、nnnnaSaa .例例2 2：在在數(shù)數(shù)列列中中，已已知知2 2（n+2)n+2)求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式 112(),.nnnnnnnaSnSalglgSlgaa 已已知知數(shù)數(shù)列列的的前前n n項(xiàng)項(xiàng)和和與與第第 項(xiàng)項(xiàng)之之間間滿滿足足2 2= =+ +求求練練2 2. . 1123111111231,(),.nnnnaaaaaanna 已已知知數(shù)數(shù)列列滿滿足足a a求求數(shù)數(shù)列列的的通通練練 . .項(xiàng)項(xiàng)公公式式1 1 333121202,nnnnnaSaaaaaaa 已已 知知 數(shù)數(shù) 列列的的 前前n n項(xiàng)項(xiàng) 和和 為為， 且且練練 3 3. .（ 2 20 01 1對對 任任 意意的的 n nN

22、N , ,都都 有有（ 1 1） 求求，的的 值值 ；（ ） 求求 數(shù)數(shù)0 0廣廣 州州 一一 模模 ）列列的的 通通 項(xiàng)項(xiàng) 公公 式式 。 111111112.nnnnnnnnnnnnnnnnaSaaSaSaaaanaaaana 例例2 2：在在數(shù)數(shù)列列中中，已已知知2 2（n n+ +2 2) )，求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式解解：2 2（n n+ +2 2) )2 2（n n- -1 1+ +2 2) )（n n+ +2 2) )（n n+ +1 1) )（n n+ +1 1) )n n+ +1 1再再用用逐逐商商疊疊乘乘法法求求出出數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式。 1123111111231,() ,.nnnnaaaaaanna 已已 知知 數(shù)數(shù) 列列滿滿 足足 a a求求 數(shù)數(shù) 列列的的 通通練練. .項(xiàng)項(xiàng) 公公 式式1 1123211123211111111123211112321111(),.nnnnnnnnnnnnnaaaaaannnaaaaanaaannaananana 用用 逐逐 商商 疊疊 乘乘 法法 可可 求求 得得解解 ： 112(),.nnnnnnnaSnSalglgSlgaa 已已知知數(shù)數(shù)列列的的前前n n項(xiàng)項(xiàng)和和與與第第 項(xiàng)項(xiàng)之之間間滿滿足足2=+2=+求求練練2.2.2221112141101()()()()(),nnnnnnnnnnnnn