人教版高中數學必修⑤2.5《等比數列的前n項和》教學設計

1、.課題：必修2.5等比數列的前n項和三維目標： 1、 知識與技能（1）理解等比數列前 項和的定義以及等比數列前 項和公式推導的過程，并理解推導此公式的方法錯位相減法，記憶公式的兩種形式；（2）用方程思想認識等比數列前 項和的公式，利用公式求sn 、a1、q 、n、 an；等比數列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值； （3）會用等比數列的前項和公式解決一些簡單的與前項和有關的問題.2、過程與方法（1）經歷等比數列前n 項和的推導與靈活應用，總結數列的求和方法，從“錯位相減法”這種算法中，體會“消除差別”，培養(yǎng)化簡的能力；并能在具體的問題情境中發(fā)現等比關系建立數

2、學模型、解決求和問題。在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）通過公式的推導過程，展現數學中的對稱美；通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現問題，并運用數學知識和方法科學地解決問題.（3）培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學生的運算能力、嚴謹的思維習慣以及解題的規(guī)范性。（4）通過公式的推導過程，展現數學中的對稱美；通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現問題，并運用數學知

3、識和方法科學地解決問題.3、情態(tài)與價值觀(1) 通過對數列知識的進一步學習，不斷培養(yǎng)自主學習、合作交流、善于反思、勤于總結的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2）通過生動具體的現實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，產生熱愛數學的情感, 形成學數學、用數學的思維和意識，培養(yǎng)學好數學的信心，體驗在學習中獲得成功的成就感，為遠大的志向而不懈奮斗。 教學重點：等比數列前 項和公式的推導和應用教學難點：公式推導的思路及綜合運用教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：合作探究、分層推進教學法教學過程：一、雙基回眸 科學導入：前面，我們學習了等比數列的概念、通項公

4、式及其有關性質，并運用這些知識解決了許多的實際問題，請同學們回顧一下學過的等比數列基本知識和性質： 等比數列定義：即(n2) 由三個數a，G，b組成的等比數列可以看成最簡單的等比數列，這時，G叫做a與b的等比中項。 等比數列通項公式：(n1) 在等比數列中， 若m + n= p + q 則 前面，我們學習了等差數列的前n項和，那么等比數列的前n項和有公式嗎？等比數列的前n項和在實際中應用廣泛嗎？利用課本P55“國王對國際象棋的發(fā)明者的獎勵”引發(fā)學生探求問題的積極性：如果把各格所放的麥粒數看成是一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數

5、總合就是求這個等比數列的前64項的和。這需要等比數列的前n項和公式。怎樣推導呢？這就是我們今天探索的問題。二、 創(chuàng)設情境 合作探究：等比數列的前n項和公式推導：【方法一】一般地，設等比數列它的前n項和是【引領學生合作探究、推導】由等比數列的通項公式,上式可以寫成Sn= a1+a1q + a1q2 +a1qn-1 式兩邊同乘以公比q 得 qSn= a1q+ a1q2 +a1qn-1+ a1qn ,的右邊有很多相同的項,用的兩邊分別減去的兩邊,得 (1-q)Sn= a1a1qn 當時，Sn= （q1）又an =a1qn-1 所以上式也可寫成 Sn=（q1）有了等比數列的前n項和公式，就可以解決剛才

6、的問題：由可得=。這個數很大，超過了。國王不能實現他的諾言?！军c評】當q=1時，等比數列的前n項和公式為Sn=na1 公式可變形為Sn=（思考q>1和q<1時分別使用哪個方便） 如果已知a1, an,q,n,Sn五個量中的任意三個就可以求出其余兩個根據學生情況一起探索下列方法：【方法二】有等比數列的定義，根據等比的性質，有即 當時， 或 當q=1時，圍繞基本概念，從等比數列的定義出發(fā)，運用等比定理，導出了公式【方法三】 （結論同上）【小試牛刀】1.根據下列各題的條件，求相應的等比數列an的前n項和。2.（2009浙江理）設等比數列的公比，前項和為，則 3.（2007重慶）在等比數列

7、an中，a28，a564，則公比q為（）A2 B3 C4 D8三、互動達標 鞏固所學： 問題.1求下列等比數列的前8項和：【分析】求出公比，直接運用公式計算即可：【解析】（1）因為所以，當n=8時， （2）又題意可得： 又由q < 0 ,可得 于是【點評】評注:第(2)題已知a1=27,n=8,還缺少一個已知條件,由題意顯然可以通過解方程求得公比q,題設中要求q<0,一方面是為了簡化計算,另一方面是想提醒學生q既可以為正數,又可以為負數.問題.2某商場第一年銷售計算機5000臺,如果平均每年的銷售量比上一年增加10%,那么從第一年起,約幾年內可使總銷售量達到30000臺(保留到個位

8、)?【分析】根據題意，每年銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年的銷售量組成一個等比數列?！窘馕觥坑深}意,從第1年起,每年的銷售量組成一個等比數列兩邊取常用對數，得 (年)答：約5年可以使總銷售量量達到30000臺【點評】先根據題意將實際問題轉化為一個等比數列的前n項和問題，然后利用等比數列的前n項公式列方程,再用對數的知識解方程，體現了數學實際問題的解決思想和運算能力的培養(yǎng)。問題.3為了估計函數在第一象限的圖像與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積X,把x軸上的區(qū)間0,3分成n等份，從各個分點作y軸的平行線與函數圖像相交，再從各交點向左作x軸的平行線，構成（n-1）個矩形，下面的程序用來

9、計算（n-1）個矩形的面積的和s.yoSUM=0K=1INPUT NWHILE k<=N-1AN=(9-(9*3/N)2)*3/N SUM=SUM+ANPRINT k,AN,SUMk=k+1WENDEND閱讀程序，回答下面的問題：（1）程序中的AN,SUM分別表示什么，為什么？（2）請根據程序計算當n=6,11,16時，各個矩形的面積的和（不必在計算機上運行）.【分析】首先應根據所給的程序，結合圖形，搞清AN=(9-(9*3/N)2)*3/N 的含義，SUM的含義也就隨之而知了【解析】經過分析，知：AN表示第k個矩形的面積；SUM表示前k個矩形的面積的和（祥見課本第58頁）【點評】此題的出現，為后面學習導數知識做好了鋪墊。四、思悟小結：知識線：（1）等比數列前 項和的定義； （2）等比數列前 項和公式；（3）相關的等比數列的性質。思想方法線： （1）公式法及錯位相減法； （2）方程思想；（3）整體思想；（4）函數思想。題目線：（1）利用等比數列的通項公式、前 項和公式解決關于前 項和的基本問題；（2）利用等比數列的通項公式、前 項和公式解決上述問題的逆向問題；（3）實際問題；（4）相關的綜合問題。五、針對訓練 鞏固提高：1.(2007湖南) 在等比數列中，若，則該數列的前10項和為（）A B C D2.（2009