2022年《等差數(shù)列前n項和公式》教學設(shè)計

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載等差數(shù)列的前n 項和教學設(shè)計一、設(shè)計理念讓同學在詳細的問題情境中經(jīng)受學問的形成和進展，讓同學利用自己的原有認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的學問與體會，自主地在老師的引導下促進對新學問的建構(gòu)，由于建構(gòu)主義學習理論認為，學習是同學積極主動地建構(gòu)學問的過程在教學過程中，依據(jù)教學內(nèi)容，從介紹高斯的算法開頭，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n 項和的求法通過設(shè)計一些從簡潔到復雜，從特別到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟示同學獲得公式的推導思路，并且充分引導同學綻開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓同學在問

2、題解決中學會摸索、學會學習同時依據(jù)我校的特點，為了促進成果優(yōu)秀同學的進展，仍設(shè)計了選做題和探究題，進一步培育優(yōu)秀生用函數(shù)觀點分析、解決問題的才能，達到了分層教學的目的二、背景分析本節(jié)課教學內(nèi)容是高中課程標準試驗教科書必修5（人教 A 版）中其次章的第三節(jié)內(nèi)容本節(jié)課主要爭論如何應用倒序相加法求等差數(shù)列的前n 項和以及該求和公式的應用等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中常常遇到的一類問題同時，求數(shù)列前n 項和也是數(shù)列爭論的基本問題，通過對公式推導，可以讓同學進一步把握從特別到一般的爭論問題方法三、學情分析1、同學已把握的理論學問角度：同學已經(jīng)學習了等差數(shù)列的定義及通

3、項公式，把握了等差數(shù)列的基本性質(zhì)，有了肯定的學問預備；2、同學明白數(shù)列求和歷史角度：大部分同學對高斯算法有比較清楚的熟悉，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數(shù)列1，2，3， 100 只是一個特別的等差數(shù)列，對于一般的等差數(shù)列的求和方法和公式同學仍是一無所知；3、同學的認知規(guī)律角度：本節(jié)課實行了循序漸進、層層深化的教學方式，以問題解答的形式，通過探究、爭論、分析、歸納而獲得學問，為同學積極摸索、自主探究搭精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -

4、學習好資料歡迎下載建了抱負的平臺，讓同學去感悟倒序相加法的和諧對稱以及使用范疇；四、教學目標1、類比高斯算法，探求等差數(shù)列前n 項和公式，懂得公式的推導方法；2、能較嫻熟地應用等差數(shù)列前n 項和公式解決相關(guān)問題；3、經(jīng)受公式的推導過程，體會層層深化的探究方式，體驗從特別到一般、詳細到抽象的爭論方法，學會觀看、歸納、反思與規(guī)律推理的才能；4、通過生動詳細的現(xiàn)實問題，激發(fā)同學探究的愛好和欲望，樹立同學求真的士氣和自信心，增強同學學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生喜愛數(shù)學的情感，體驗在學習中獲得勝利； 五、教學重點與難點1、教學重點： 等差數(shù)列前 n 項和公式的推導和應用2、教學難點： 公式推導的思路3、重難

5、點解決的方法策略： 本課在設(shè)計上采納了從特別到一般、從詳細到抽象的教學策略；利用分類爭論、類比歸納的思想，層層深化；通過同學自主探究，分析、整理出推 導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫忙同學懂得，通過老師的點撥引 導、師生互動、講練結(jié)合，突出重點、突破難點；六、教學過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情形，提出問題觀賞圖片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建；它雄偉壯麗，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一；陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細致令人叫絕；傳奇陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100 層，奢侈之程度

6、，可見一斑；問題 1： 你能運算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？老師活動： 利用多媒體，展現(xiàn)泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導同學觀看寶石數(shù)目變化情形；同學活動： 觀賞之余觀看三角形中寶石變化情形并嘗試解決問題1.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載活動預設(shè)：（ 1）能得到的信息：從上到下，寶石數(shù)目以1 為公差依次遞增，構(gòu)成等差數(shù)列；（ 2）需要解決的問題： 100 層中到底共有多少顆寶石？【設(shè)計意圖】（1）老師

7、先用多媒體展現(xiàn)彩圖出現(xiàn)的問題，使同學進入問題情境，激發(fā)同學的愛好，并使同學體會數(shù)學來源于生產(chǎn)生活；（2）以問題的提出作為引入方式，使同學帶著問題學習新課，更有目的性；（二）探究等差數(shù)列前n 項和公式老師活動： 指出此數(shù)列的求和方法在1787 年已被高斯解決，讓同學講高斯故事；同學活動： 同學依據(jù)課前的搜集簡介高斯“神速求和”的故事：小高斯上學校四年級時， 一次數(shù)學老師布置了一道數(shù)學習題：把從1 到 100 的自然數(shù)加起來，和是多少？年僅10 歲的小高斯略一思索就得到答案：5050，這使老師特別驚訝；問題 1： 高斯是采納了什么方法來奇妙地運算出答案的呢？ 老師活動： 指導同學快速找出規(guī)律；同學

8、活動： 高斯算法解決： 1 + 2 + 3 + 50 + 51 + 98 + 99 + 100=？活動預設(shè)： 高斯算法： 1+100=101,2+99=101， 50+51=101，所以原式 =50×（ 1+101）=5050問題 2： 在高斯算法中實際上利用了等差數(shù)列通項的哪種性質(zhì)？ 老師活動： 引導同學摸索高斯算法的技巧性及理論依據(jù)；同學活動： 利用高斯算法運算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隱匿的等差數(shù)列項的何種性質(zhì)；活動預設(shè)： 構(gòu)造數(shù)列： a11,a22,a9999, a100100，就有性質(zhì)：等差數(shù)列 an中，如 mnpq ，就 amana paq ；【設(shè)計意圖】 高斯

9、算法首尾組合的思想揭示了等差數(shù)列“角標和相等，對應的項和相等” 的特點，為等差數(shù)列前n 項和公式的推導的“倒序相加法”做好鋪墊，開啟了更深化、更細致的爭論大門；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載問題 3： 你能否利用高斯算法解決一般等差數(shù)列的求和問題？ 方法 1：分類爭論法老師活動： 給出一般數(shù)列：設(shè)等差數(shù)列 an 前 n 項和為Sn ， Sna1a2a3an ，就如何用有限的項表示Sn ？同學活動： 類比高斯算法，分

10、小組爭論并探求等差數(shù)列前n 項和公式； 活動預設(shè)： 以小組為單位投影同學推導過程，并讓其對過程做出說明和說明；a 1a 2a 3a n2a n1a n其中 a1ana2an 1a3an 2結(jié)果猜測：（ 1）同學沒有對 n 的奇偶進行爭論，不嚴密地得出答案；（ 2）同學對 n 的奇偶進行爭論，但對于n 是奇數(shù)時的推導遇到障礙；問 題4 ： 利 用 等 差 數(shù) 列 性 質(zhì) ： 如 mnpq ， 就 amanapa；q得 出 ：a1ana2na 1a3n a2. ，到底一共有多少個a1an ？老師活動： 提出問題，引導同學爭論，并抽小組成員發(fā)表本組觀點；同學活動： 再次以小組為單位以n 的奇偶為標準

11、對前n 項和公式進行求解；活動預設(shè)：（ 1）當 n 為偶數(shù)時：S na 1a na na n122Snna 1a n 2（ 2）當 n 為奇數(shù)時：S na 1a n1a n1a n1a n11222Sn1 aaan21nn12精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載問題 5： an1落單了，如何處理2an12使得我們公式能夠統(tǒng)一形式？老師活動： 提示同學觀看an12的腳標與 a1a n 腳標的關(guān)系；同學活動： 以小組為單位爭

12、論an12的處理方法；活動預設(shè)： 不難發(fā)覺， an1的腳標與2 a1an 腳標滿意如下關(guān)系：2n121 n，故有Sn1 aaan1nn122an1an1n1a 1an2222n1a 1ana 1a n22n a 1an2從而得到：無論 n 取偶數(shù)仍是奇數(shù)，都有Snna1an ；2【設(shè)計意圖】（ 1）類比高斯算法將首尾分組進行“配對”，發(fā)覺需要對 n 的奇偶進行爭論，順應同學思路，自然過渡，同學簡潔聯(lián)想，也充分表達了新課改中敬重同學主體性的原就；（ 2）引導同學發(fā)覺中間項就是對腳標數(shù)的爭論； 方法 2：倒序相加法an 1 的解決方法的過程中，進一步讓同學體會爭論數(shù)列實際上2問題 6： 對 n 的

13、奇偶爭論過于復雜，能否回避對n 的爭論呢？老師活動： 由此引入倒序相加法：S na 1a 2a 3a n2a n1a nS na na n1a n2a 3a 2a 12Sna1an a2an 1 a3an2 an2a3 an 1a2 ana1 由性質(zhì)“如 mnpq ，就 amana pa q ”可得：精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載2 Sn aaSn a 1a n （等差數(shù)列前 n 項和公式）2n1nn【設(shè)計意圖】（

14、1）數(shù)學問題的解決講究最優(yōu)化原就，因此引導讓同學體會到數(shù)學方法的多樣性，但需要尋求高效率的方法；（ 2）倒序相加求和法是數(shù)列求和常用方法之一，方法比公式本身更為重要，也為以后數(shù)列求和的學習做好鋪墊；1n（三）公式懂得和深化公式一、 Snn aa 2問題 1： 此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量？ 老師活動： 引導同學找出變量同學活動： 觀看公式，找出變量；活動預設(shè)： 此公式中，共有四個變量：Sn , n, a1 , an ，可知三求一；【設(shè)計意圖】 讓同學從變量上懂得公式，從形式上初步明白如何由已知探求未知，在頭腦中初步建構(gòu)公式的適用情形；問題 2： 此公式仍可進行怎樣的變形？老師活動：

15、 引導同學從an 下手對公式進行變形，投影同學的變形過程；同學活動： 嘗試對公式進行變形；2活動預設(shè)： 公式二、Snann1n1d【設(shè)計意圖】（1）讓同學學會在舊知與新知之間搭建橋梁，運用舊知鞏固新知，利用舊知得出新知；（ 2）體會學問之間的整體性和關(guān)聯(lián)性，感受運用舊知推導新知的勝利和歡樂；問題 3： 觀看、對比公式一、二，你能得出什么結(jié)論有利于你解題時對公式進行挑選？ 老師活動： 引導同學從兩個公式中的變量進行總結(jié)；同學活動： 總結(jié)出兩公式的區(qū)分及適用情形；活動預設(shè)：（ 1）在兩個公式，五個變量中：a1 , n, d ,an , Sn ，可知三求二精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - -

16、- - - -第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載（ 2）如已知 an ，優(yōu)先選用公式一，如已知d ，優(yōu)先選用公式二；【設(shè)計意圖】 通過兩公式的對比爭論，可進一步加深同學對公式的記憶，公式一、二的區(qū)分可提高同學的做題速度和質(zhì)量，再一次表達了數(shù)學的簡潔美和精準性；（四）公式應用、反饋評判課堂練習之“爭分奪秒”： 1+3+5+7+9+11+13+15=11+21+31+41+51+61= -60-50-40-30-20-10=1+2+3+n=老師活動： 分析解決問題，組織同學溝通、

17、爭論，再進行公式的應用；【設(shè)計意圖】 透過此題，培育同學嫻熟地選取恰當?shù)墓竭M行求解；課堂練習之“你爭我搶”1. 求等差數(shù)列 1， 4， 7，的前 100 項的和老師活動： 引導同學認真審題，找出相關(guān)已知量，將已知和未知建立聯(lián)系，將舊知與新知結(jié)合解題，尋求解題最簡便的方法，投影同學解題過程并引導同學進行評判；同學活動： 溝通、爭論，選取最優(yōu)方法；課堂練習之“男女對抗”：1已知等差數(shù)列 an 中， a， d=1 ，就該數(shù)列前 9 項和 S9 等于（）A.55B.45C.35D.252已知等差數(shù)列 an 中,a2+a8=8, 就該數(shù)列前 9 項和 S9 等于A.18B.27C.36D.45老師活動

18、： 引導同學利用通項性質(zhì)求和；同學活動： 運用通項性質(zhì)“等差數(shù)列 an中，如 mnpq ，就 amana paq ”巧解變式；【設(shè)計意圖】 讓同學懂得前 n 項和公式的Sn 另一變形：再次對通項性質(zhì)進行鞏固；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載六、布置作業(yè)1. 課本 P46 習題 2.3 ，第 1 題（ 1）（ 3）七、板書設(shè)計一、等差數(shù)列前n 項和：3.3 等差數(shù)列前 n 項和四、課堂練習Sna1a2an二、公式的推導方法一：分類爭論法方法二：倒序相加法三、深化公式公式 1、公式 2、變形：（主板書）（副板書）（幫助性板書）八、教學反思“等差數(shù)列前n 項和”的推導不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和該方