第九章微分方程

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念9.2 一階微分方程一階微分方程9.4 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用9.3 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程第九章第九章 微分方程微分方程 9.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定義二、微分方程的解 含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)(或微分或微分)的函數(shù)方程的函數(shù)方程, 稱為微分方程稱為微分方程. 微分方程中微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 稱為微分方稱為微分方程的階程的階.定義定義9.1一、微

2、分方程的定義例如，例如，,xyy , 0dd)(2 xxtxt,e32xyyy yxxz 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .例例1著名的科學(xué)家伽利略在當(dāng)年研究落體運(yùn)動(dòng)時(shí)著名的科學(xué)家伽利略在當(dāng)年研究落體運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn), xt 時(shí)時(shí)刻刻下下落落的的距距離離為為如如果果自自由由落落體體在在則則,dd22是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)加加速速度度tx即有方程即有方程)19(dd22 gtx從而解得落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律從而解得落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律:,21)(2gttx 這是微分方程應(yīng)用的最早的一個(gè)例子這是微

3、分方程應(yīng)用的最早的一個(gè)例子.例例2),(tPt 時(shí)刻人口數(shù)量為時(shí)刻人口數(shù)量為設(shè)某地區(qū)在設(shè)某地區(qū)在在沒(méi)有人員在沒(méi)有人員遷入或遷出的情況下遷入或遷出的情況下, 時(shí)時(shí)刻刻人人口口數(shù)數(shù)人人口口增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率與與t,)( 成正比成正比tP于是有微分方程于是有微分方程)29()(d)(d trPttP,為常數(shù)為常數(shù)其中其中r方程表述的定律稱為群體增長(zhǎng)的馬爾方程表述的定律稱為群體增長(zhǎng)的馬爾薩斯律薩斯律.例例3在推廣某項(xiàng)新技術(shù)時(shí)在推廣某項(xiàng)新技術(shù)時(shí), 若設(shè)該項(xiàng)技術(shù)需要推廣若設(shè)該項(xiàng)技術(shù)需要推廣,N的總?cè)藬?shù)為的總?cè)藬?shù)為),(tPt為為時(shí)刻已掌握技術(shù)的人數(shù)時(shí)刻已掌握技術(shù)的人數(shù)則則新技術(shù)推廣的速度與已推廣人數(shù)和尚待推廣人

4、數(shù)成新技術(shù)推廣的速度與已推廣人數(shù)和尚待推廣人數(shù)成正比正比, 即有微分方程即有微分方程)39()0()(dd aPNaPtP在很多領(lǐng)在很多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用域有廣泛應(yīng)用.形如形如 的方程通常稱為邏輯斯諦方程的方程通常稱為邏輯斯諦方程, )39( 例例4,Pt 的售價(jià)為的售價(jià)為若設(shè)某商品在時(shí)刻若設(shè)某商品在時(shí)刻社會(huì)對(duì)該商品社會(huì)對(duì)該商品),(),(PSPDP 的函數(shù)的函數(shù)是是的需求量和供給量分別的需求量和供給量分別則則的的變變化化率率可可認(rèn)認(rèn)為為與與該該對(duì)對(duì)于于時(shí)時(shí)間間時(shí)時(shí)刻刻價(jià)價(jià)格格在在ttPt)(,)()(成成正正比比求求量量商商品品在在同同時(shí)時(shí)刻刻的的超超額額需需PSPD 即即有微分方程有微分方程)

5、49()0()()(dd kPSPDktP,)()(確定的情況下確定的情況下和和在在PSPD的關(guān)的關(guān)可解出價(jià)格與可解出價(jià)格與 t.系系未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程定義為常微分方程未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程定義為常微分方程;未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程定義為偏微分方程未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程定義為偏微分方程.微微分分方方程程的的一一般般形形式式是是常常階階)(n)59(0),()( nyyyxF般般形形式式：階階線線性性常常微微分分方方程程的的一一n)69()()()()(1)1(1)( xfyxayxayxaynnnn不能表示成形如不能表示成形如 形式的微分方程，統(tǒng)稱為非形式的微分方程，

6、統(tǒng)稱為非線性方程線性方程.)69( 定義定義9.2.)(階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)上上存存在在在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)nIxy ,)59()(后后代代入入方方程程如如果果將將 xy I在在使方程使方程)59( ,上上為為恒恒等等式式上上在在是是方方程程則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixy)59()( 的解的解. yyx所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)如果關(guān)系式如果關(guān)系式0),( ,)59()(的的解解是是方方程程 x )59(0),( 是方程是方程則稱則稱yx .上的隱式解上的隱式解在區(qū)間在區(qū)間 I二、微分方程的解可以驗(yàn)證，可以驗(yàn)證，.)19(),(21,21212122的的解解都都是是方方程程是是任任意意常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)

7、CCCtCgtxgtx.)29()(e)(的解的解是方程是方程為是任意常數(shù)為是任意常數(shù)函數(shù)函數(shù) CCtPrt.)39()(e式解式解的隱的隱是方程是方程為是任意常數(shù)為是任意常數(shù) CCPNPaNt微分方程的解與隱式解都統(tǒng)稱為微分方程的解微分方程的解與隱式解都統(tǒng)稱為微分方程的解.)79(21212 CtCgtx其中包含兩個(gè)任意常數(shù)，其中包含兩個(gè)任意常數(shù)，. )0(, )0(21xCxC .)19()79(所所有有解解的的一一般般表表達(dá)達(dá)式式是是方方程程 例例1中，考慮自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由積分法和二階方程中，考慮自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由積分法和二階方程 可得可得)19( 定義定義9.3求特解的步驟：求特解的

8、步驟：然后再根據(jù)實(shí)際然后再根據(jù)實(shí)際情況給出確定通解中情況給出確定通解中n個(gè)常數(shù)的條件個(gè)常數(shù)的條件,稱為定解條件稱為定解條件,最后根據(jù)定解條件求出滿足條件的特解最后根據(jù)定解條件求出滿足條件的特解.由定解條件求特解的問(wèn)題，稱為微分方程的定解問(wèn)題由定解條件求特解的問(wèn)題，稱為微分方程的定解問(wèn)題.而通解中而通解中則稱這樣的解為方程則稱這樣的解為方程 的通解的通解.如果方程如果方程 的解中含有的解中含有n個(gè)獨(dú)立的任意個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，常數(shù)，)59( )59( 給任意常數(shù)以確定值的解給任意常數(shù)以確定值的解, 稱為方程稱為方程 的特解的特解.)59( 首先要求出方程首先要求出方程 的通解，的通解，)59( 常

9、見的定解條件是常見的定解條件是)89(,)(,)(,)(10)1(1000 nnyxyyxyyxy.,)89(110常常數(shù)數(shù)為為給給定定其其中中又又稱稱為為初初始始條條件件 nyyy相應(yīng)的定解問(wèn)題又稱為微分方程的初值問(wèn)題相應(yīng)的定解問(wèn)題又稱為微分方程的初值問(wèn)題.作業(yè)作業(yè)P 9.2 一階微分方程一、可分離變量方程二、齊次微分方程三、一階線性微分方程一階微分方程的形式可表為一階微分方程的形式可表為)99(0),( yyxF一、可分離變量方程.,),(的已知函數(shù)的已知函數(shù)是是其中其中yyxyyxF 形如形如)109(d)(d)( yygxxf的一階微分方程的一階微分方程, 稱為可分離變量方程稱為可分離

10、變量方程.對(duì)對(duì)（9-10）兩邊積分兩邊積分, , 得通解得通解 )119(d)(d)( Cyygxxf 將微分方程化為分離變量形式求解方程的方法，將微分方程化為分離變量形式求解方程的方法，稱為稱為分離變量法分離變量法. ., )()(ddyhxxy 例如例如.0d)()(d)()(2121 xyNxNyyMxM均為可分離變量方程均為可分離變量方程.例例1.)1()1(2dd22的的通通解解求求方方程程yxxy 解解分離變量分離變量, 得得xxyyd)1(2d1122 兩邊積分兩邊積分, 得得 xxyyd)1(2d1122即得通解即得通解Cxy 3)1(32arctan)( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)

11、C例例2.d3d3d42的的通通解解求求方方程程yyxyyxx 解解合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng), 得得yxyxxd)1(3d42 分離變量分離變量, 得得yyxxxd3d142 兩邊積分兩邊積分, 得得.ln43)1ln(22Cyx 即有通解即有通解2432e1yCx )(為正常數(shù)為正常數(shù)C例例3.0,0,41)0(,)(dd yNaNyyNayxy式式中中的的特特解解以以及及的的通通解解求求解解邏邏輯輯斯斯蒂蒂方方程程解解分離變量分離變量, xayNyyd)(d 即有即有xaNyyNydd11 兩邊積分兩邊積分, 得得CaNxyNylnln aNxCeln ,0 yNy由于由于整理得通解整理得通解

12、NaxNaxCCNye1e )( 為正常數(shù)為正常數(shù)C,41)0(代入代入將將Ny ,31 C得得于是所求特解為于是所求特解為.e3eNaxNaxNy 例例4, ):( )(百百萬(wàn)萬(wàn)元元單單位位年年凈凈資資產(chǎn)產(chǎn)有有某某公公司司tWt并且并且,%5的速度連續(xù)增長(zhǎng)的速度連續(xù)增長(zhǎng)資產(chǎn)本身以每年資產(chǎn)本身以每年同時(shí)該公司每同時(shí)該公司每年要以年要以30百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.;)()1(的的微微分分方方程程給給出出描描述述凈凈資資產(chǎn)產(chǎn)tW;,)2(0W這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為求解方程求解方程解解(1) 利用平衡法利用平衡法,即由即由凈資產(chǎn)增長(zhǎng)速度凈資產(chǎn)增長(zhǎng)速

13、度= 資產(chǎn)本身增長(zhǎng)速度資產(chǎn)本身增長(zhǎng)速度 職工工資支付速度職工工資支付速度.)(,700,600,500)3(0化化特特點(diǎn)點(diǎn)的的變變?nèi)N種情情況況下下討討論論在在tWW 得到方程得到方程3005. 0dd WtW(2) 分離變量分離變量, 得得tWWd05. 0600d 積分積分, 得得CtWln05. 0600ln )( 為正常數(shù)為正常數(shù)C于是于是tCW05. 0e600 或或)(e60005. 0CAAWt ,)0(0代代入入將將WW 得方程通解得方程通解:tWW05. 00e )600(600 ,600 W上式推導(dǎo)過(guò)程中上式推導(dǎo)過(guò)程中,600時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) W, 0dd tW,6000WW 可

14、可知知通常稱為平衡解通常稱為平衡解, 仍包含在通解表達(dá)式中仍包含在通解表達(dá)式中.(3) 由通解表達(dá)式可知由通解表達(dá)式可知,5000百萬(wàn)元時(shí)百萬(wàn)元時(shí)當(dāng)當(dāng) W凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減, 公司將在第公司將在第36年破產(chǎn)年破產(chǎn);,6000百萬(wàn)元時(shí)百萬(wàn)元時(shí)當(dāng)當(dāng) W公司將收支平衡公司將收支平衡, 凈資產(chǎn)保持凈資產(chǎn)保持在在600百萬(wàn)元不變百萬(wàn)元不變;公公司司凈凈資資產(chǎn)產(chǎn)百百萬(wàn)萬(wàn)元元時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),7000W將按指數(shù)不斷增長(zhǎng)將按指數(shù)不斷增長(zhǎng). 1. 齊次微分方程齊次微分方程形如形如)129(dd xyfxy的一階微分方程的一階微分方程, 稱為齊次微分方程稱為齊次微分方程, 簡(jiǎn)稱齊次方程簡(jiǎn)稱齊次方程.二、齊次

15、微分方程例如例如,0d)2(d)(22 yxyxxyxyxyxyxyxy2dd22 .212 xyxyxy所以該方程是齊次方程所以該方程是齊次方程.)139( xuyxyu或或令令, )(xuuu 是是新新的的未未知知函函數(shù)數(shù)其其中中uuxy uufxux )(dd的解法：的解法：齊次方程齊次方程 xyfxydd分離變量再積分，得分離變量再積分，得 xxuufud)(d)149(ln Cx代入方程代入方程 ，得，得)129( ,回代回代將將xyu .即可得通解即可得通解,a當(dāng)有常數(shù)當(dāng)有常數(shù), 0)( aaf使使,是新方程的解是新方程的解則則au ,代回原方程代回原方程.axy 得得齊齊次次方方

16、程程的的特特解解注意注意例例5.tan的的通通解解求求方方程程xyxyy 解解所給方程為齊次方程所給方程為齊次方程, ,xyu 令令代入原方程代入原方程, 得得,tanuuuux 即即uxuxtandd 分離變量分離變量, 得得xCCxulnlnlnsinln xxuud1dcot 積分積分, 得得即即Cxu sin,代代入入上上式式將將xyu 即得方程通解即得方程通解Cxxy sin)arcsin(Cxxy .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例6.0d)32(d)2(2323的的通通解解求求方方程程 xyxyyxyx解解將方程改寫為齊次方程將方程改寫為齊次方程232132dd xyxyxyx

17、y,xyu 令令則有則有,212323uuuuux 即即2212dduuxux 分離變量分離變量, 得得xxuuudd21 積分積分, 得得Cxuulnln21ln212 即即,e22Cxuu 2CC ,回代回代將將xyu 得方程通解得方程通解322eCxyxy .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例7.,dd,2112122112212121的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式與與求求的的彈彈性性為為相相對(duì)對(duì)于于且且價(jià)價(jià)格格相相關(guān)關(guān)與與價(jià)價(jià)格格已已知知的的售售價(jià)價(jià)分分別別為為和和商商品品設(shè)設(shè)商商品品PPPPPPPPPPPPPPPPBA 解解所給方程為齊次方程所給方程為齊次方程, 整理得整理得2121212

18、111ddPPPPPpPP ,21PPu 令令則有則有uuuuuP 112分離變量分離變量, 得得222d2d11PPuuu 積分積分, 得得CPuulnlnln122 ,21回代回代將將PPu 于是有通解于是有通解2112ePCPPP .為為任任意意正正的的常常數(shù)數(shù)其其中中C2. 可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程,)159(dd111的微分方程的微分方程形如形如 cybxacbyaxfxy為齊次方程為齊次方程. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc，令令kYyhXx ,dd,ddYyXx 否則為非齊次方程否則為非齊次方程. . 11111ddckbhaYbXacbkahbYaXfXY解法解法.是是

19、待待定定的的常常數(shù)數(shù)及及其其中中kh原方程成為原方程成為 , 0, 0111ckbhacbkah,11babaD 系數(shù)行列式系數(shù)行列式有唯一一組解有唯一一組解. .,dd11 YbXabYaXfXY得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( D未必有解未必有解, , 上述方法不能用上述方法不能用. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b.1中必至少有一個(gè)為零中必至少有一個(gè)為零與與ba方程組方程組, 0)1(11 babaD,11 bbaa令令,)(dd1 cbyaxcbyaxfxy 方程可化為方程可化為,byaxz 令令，則則xybaxzdddd .dd11 czczfaxzb , 0 b若若可分離變量的

20、微分方程可分離變量的微分方程. ., 0, 01 ab若若,dd1dd axzbxy,dd11 cczfaxzb可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b,byaxz 令令可分離變量可分離變量. .例例8.42dd的通解的通解求方程求方程 yxxyxy解解因?yàn)橐驗(yàn)?1111 D, 0 于是由方程于是由方程 42 解得解得, 1, 3 則令則令1,3 vyux方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閡vuvuv dd,uvw 再再令令得得11 wwwuw分離變量分離變量, 得得uuwwwdd112 積分得積分得Cuwwlnln)1ln(21arctan2 ,31, 3代入上式代入上式將將 xywx

21、u得原方程通解得原方程通解,e)1()3(31arctan22 xyCyx.為為任任意意正正的的常常數(shù)數(shù)其其中中C形如形如)169()()( xQyxPy的一階微分方程的一階微分方程, 稱為一階線性微分方程稱為一階線性微分方程, 其中其中, 方方程程變變?yōu)闉槿羧?0)( xQ)179(0)( yxPy則稱方程則稱方程(9-17)為一階齊次線性方程為一階齊次線性方程,)(不不恒恒等等于于零零若若xQ三、一階線性微分方程則稱方程則稱方程 為一階非齊次線性方程為一階非齊次線性方程.)169( . 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy 分離變量，得分離變量，得兩兩端端積積分分，得得,lnd)(l

22、nCxxPy 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解為)189(.ed)( xxPCy1. 一階齊次線性方程的解法一階齊次線性方程的解法可分離變量的方程可分離變量的方程.為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C2. 一階非齊次線性方程的解法一階非齊次線性方程的解法的的通通解解變變形形為為（將將方方程程)179 ,ed)(CyxxP 兩邊求導(dǎo)，得兩邊求導(dǎo)，得,0)(eeddd)(d)( yxPyyxxxPxxP得得利用上面的等式利用上面的等式兩端同乘兩端同乘將方程將方程,e)169(d)( xxP,)(edd)(ed)(d)(d)( xxPxxPxxPexQyxyxPy兩邊積分，得兩邊積分，得

23、,de )(ed)(d)( CxxQyxxPxxP的的通通解解（即即得得方方程程)169 )199(.de )(ed)(d)( CxxQyxxPxxP,ed)(因因子子法法求求解解方方程程的的方方法法叫叫積積分分這這種種利利用用因因子子 xxP.ed)(稱為積分因子稱為積分因子 xxP, )(xCC 換成待定函數(shù)換成待定函數(shù)將將的步驟：的步驟：（求解方程求解方程)169 的的通通解解（對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程（求求出出方方程程)179)169 ,ed)( xxPCy的的通通解解為為（即即令令方方程程)169 )209(,e )(d)( xxPxCy代入原方程，得代入原方程，得, )(e )

24、()(e )()(e )(d)(d)(d)(xQxCxPxPxCxCxxPxxPxxP 這種通過(guò)將齊次方程通解中任意常數(shù)變易為待這種通過(guò)將齊次方程通解中任意常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱為常數(shù)變易法定函數(shù)的方法稱為常數(shù)變易法. .)219(,de )()(d)( CxxQxCxxP即即得得. )199()169)209 的通解表達(dá)式的通解表達(dá)式（即得方程即得方程，（代入代入例例9.12的的通通解解求求方方程程 xyyx解解由方程對(duì)應(yīng)的齊次方程由方程對(duì)應(yīng)的齊次方程02 xyyx分離變量分離變量, 得得xxyyd1d1 積分積分, 得得xCyCxy 或或lnlnln),(xCC 變變易易為為將將,)(

25、為為原原方方程程的的解解設(shè)設(shè)xxCy 代入原方程代入原方程, 得得1)()(11)(22 xxCxxCxxxCx即有即有,1)(xxC 積分積分, 得得CxxC ln)(于是原方程的通解為于是原方程的通解為)(ln1Cxxy .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例10.0d)12(d23的的通通解解求求方方程程 yxyxy解解,的的函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)看看作作當(dāng)當(dāng)將將xy方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?321ddxyyxy 不是一階線性微分方程不是一階線性微分方程, 不便求解不便求解.,的函數(shù)的函數(shù)看作看作若將若將yx方程改寫為方程改寫為12dd23 xyyxy則為一階線性微分方程則為一階線性微分方程, 于是對(duì)應(yīng)齊次

26、方程為于是對(duì)應(yīng)齊次方程為02dd23 xyyxy分離變量分離變量, 積分積分, 得得,d2d yyxx21yCx 即即,C變易常數(shù)變易常數(shù)即令即令21)(yyCx 為原方程的解為原方程的解, 代入原方程代入原方程, 有有,1)(yyC 積分積分, 得得.ln)(CyyC 于是原方程的通解為于是原方程的通解為)(ln12Cyyx .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例11. )(,)0(,22922,2, )()(0tybyybabtatyybttytyt求求均為正常數(shù)均為正常數(shù)其中其中）（并有方程并有方程有關(guān)有關(guān)以及新增投資以及新增投資的增長(zhǎng)率與產(chǎn)值的增長(zhǎng)率與產(chǎn)值時(shí)刻產(chǎn)值時(shí)刻產(chǎn)值設(shè)某企業(yè)設(shè)某企業(yè)

27、 解解atyty2dd 分離變量分離變量, 積分積分, 得得2eatCy ,e )(2attCy 方程方程 對(duì)應(yīng)的齊次方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程為)229( 變易常數(shù)變易常數(shù), 令令 的通解為的通解為)229( 代入原方程代入原方程,積分積分, 得得得得,e2)(2atbttC CabtCat 2e)(2e)(atCabty ,)0(0代入通解代入通解將初始條件將初始條件yy 得得abyC 0所以所求產(chǎn)值函數(shù)為所以所求產(chǎn)值函數(shù)為.e)(20atabyabty 于是方程于是方程 的通解為的通解為)229( 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPxy)()(dd )

28、239()1,0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. . 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程. .時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1,0 n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1,0 n伯努利方程解法伯努利方程解法: :經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程. .3. 伯努利方程伯努利方程,1 nyz 令令，則則xyynxzndd)1(dd ),()(dd1xQyxPxyynn )249(, )()1()()1(dd xQnzxPnxz代代入入即即得得求求出出通通解解后后，將將nyz 1，得得兩兩端端除除以以ny代入上式代入上式. )de )1)(ed)()1(d)()1(1 CxnxQzyxxPnxxPnn

29、所所以以例例12.)(ln2dd2的的通通解解求求方方程程yxxyxy 解解,2y將方程兩端除將方程兩端除得得xyxxyyln2dd12 ,1 yz令令則方程化為則方程化為xzxxzln2dd 其通解為其通解為.1ln2 xxCxz,1代入代入將將 yz所求方程的通解為所求方程的通解為11ln2 xxCyx.為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9.3 二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性方程二、二階常系數(shù)非齊次線性方程三、n 階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) )259(0 byyay形形如如稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, .,為已知常

30、數(shù)為已知常數(shù)其中其中ba一、二階常系數(shù)齊次線性方程稱為二階線性微分方程稱為二階線性微分方程)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 形形如如時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為二階齊次線性微分方程稱為二階齊次線性微分方程時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為二階非齊次線性微分方程稱為二階非齊次線性微分方程例如，例如，,sincos線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)與與函函數(shù)數(shù)xx,ee線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)與與函數(shù)函數(shù)xxx.222線線性性相相關(guān)關(guān)與與函函數(shù)數(shù)xx,cos1sin22線線性性相相關(guān)關(guān)與與函函數(shù)數(shù)xx 定義定義9.4內(nèi)的兩個(gè)函內(nèi)的兩個(gè)函為定義在為定義在設(shè)設(shè)),()(, )(21baxyxy數(shù)數(shù)., )()(,21xky

31、xyk 使得使得如果存在非零常數(shù)如果存在非零常數(shù) 則稱則稱,)(, )(21線性相關(guān)線性相關(guān)xyxy,k如果對(duì)于任意常數(shù)如果對(duì)于任意常數(shù))(1xy, )(2xky.)(, )(21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則稱稱xyxy定理定理9.1的的兩兩個(gè)個(gè)線線性性是是方方程程設(shè)設(shè))259()(, )(21 xyxy則則無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的解解,)269()()()(2211 xyCxyCxy.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC例如例如, 有兩個(gè)特解，有兩個(gè)特解，方程方程0 yy,cos1xy ,sin2xy 它們是線性無(wú)關(guān)的它們是線性無(wú)關(guān)的.sincos21xCxCy xxyycossin12 且且xtan 常數(shù)，

32、常數(shù)， 故方程的通解為故方程的通解為是方程是方程 的通解的通解,)259( ,為為常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)因因?yàn)闉?和和它它的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)x e.都只相差一個(gè)常數(shù)因子都只相差一個(gè)常數(shù)因子得得求導(dǎo)求導(dǎo)將將,exy ,exy ,e2xy 所以所以)279(02 ba 是是上上方方程程的的根根，只只要要 .e就是微分方程的解就是微分方程的解xy ,中中代入齊次線性微分方程代入齊次線性微分方程把把yyy 0e )(2 xba , 0e x 由由于于,2422, 1baa 特征方程的根為特征方程的根為.02的特征方程的特征方程稱為齊次線性微分方程稱為齊次線性微分方程方程方程 ba 特征根的三種

33、不同情況討論：特征根的三種不同情況討論：,)1(21 與與實(shí)根實(shí)根特征方程有兩個(gè)不同的特征方程有兩個(gè)不同的, 042 ba,2421baa 有有.2422baa 方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;ee2121xxCCy ,)2(21 實(shí)實(shí)根根特特征征方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)相相同同的的, 042 ba,221b 有有,e12xxy 設(shè)另一特解為設(shè)另一特解為,e11xy 得得一一個(gè)個(gè)解解為為,12常常數(shù)數(shù)由由于于 xyy,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)則則yy得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)289(e )(121 xxCCy ,e11xy ,e22xy

34、 ,i1 , )0(i2 通過(guò)直接驗(yàn)證可知，通過(guò)直接驗(yàn)證可知，,cose1xyx ,sine2xyx 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)299().sincos(e21 xCxCyx 根根：特特征征方方程程有有一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù))3(, 042 ba是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解, 二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟: :(1) (1) 寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程(2) (2) 求出特征方程的兩個(gè)根求出特征方程的兩個(gè)根; 02 ba (3) (3) 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情

35、況, ,按照下列按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解規(guī)則寫出微分方程的通解；與與21 21 ，特征方程的兩個(gè)根特征方程的兩個(gè)根微分方程的通解微分方程的通解21, 兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的實(shí)實(shí)根根21 兩個(gè)相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根 i2, 1 一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù)根根xxCCy21ee21 xxCCy1e )(21 )sincos(e21xCxCyx 例例1.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為022 ,2,121為為兩兩個(gè)個(gè)相相異異實(shí)實(shí)根根其其特特征征根根 所以所以所給方程的通解為所給方程的通解為xxCCxy221ee)( .,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC例例2.02

36、的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為0122 ,1為二重實(shí)根為二重實(shí)根其特征根其特征根 所以所給方程的通解為所以所給方程的通解為xxCCxy e )()(21.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC例例3.20,為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)的的解解都都是是以以使使方方程程試試確確定定常常數(shù)數(shù) ayya解解方程的特征方程為方程的特征方程為02 a 于是容易得到于是容易得到:,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a方程的通解為方程的通解為xaxaCCxy ee)(21,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a方程的通解為方程的通解為21)(CxCxy 方程的通解為方程的通解為,sincos)(21xaCxaCxy ,2 為為周周期

37、期要要使使方方程程的的解解均均以以,22 a只要只要即得即得.1 a以上通解均不是周期函數(shù)以上通解均不是周期函數(shù), ,0 a故故,i時(shí)時(shí)并并有有a 形如形如)309()( xfbyyay的方程的方程, 稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中其中.0)(, xfba為為已已知知常常數(shù)數(shù)二、二階常系數(shù)非齊次線性方程xAxAxf sincos)(. 321 ：形形式式常常見見的的幾幾種種)(xf)()(. 1xPxfn xnxPxf e )()(. 2 通常稱方程通常稱方程 為方程為方程)259( 對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程 . )309( 定理定理9.2)319

38、()()()309(,)259()309(,)309()( xyYxyYxy的的通通解解為為則則方方程程的的通通解解對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程方方程程是是的的一一個(gè)個(gè)特特解解是是方方程程如如果果定理定理9.3,)()()()(2121的特解的特解和和分別為方程分別為方程與與如果如果xfbyyayxfbyyayxyxy ,0的通解的通解是方程是方程 byyayY）（則則329)()()(21 xyxyYxy是方程是方程)339()()(21 xfxfbyyay的通解的通解.非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)為非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)為*,yYy 關(guān)鍵：如何求非齊次線性微分方程特解關(guān)鍵：如何求非齊次線性微

39、分方程特解特點(diǎn)：特點(diǎn)：.*來(lái)來(lái)不不用用積積分分就就可可以以求求出出 y待定系數(shù)法待定系數(shù)法：先確定解的形式，再把形式解代入方：先確定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常數(shù)的值，確定待定系數(shù)，從而程定出解中包含的常數(shù)的值，確定待定系數(shù)，從而求出方程求出方程 的特解的特解.)309( )349()()()()( xPxbQxQaxQn, )(*xQy 設(shè)設(shè)特特解解為為,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b,)(次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式應(yīng)應(yīng)為為nxQ)(*xQyn ,0,0時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) ab,1)(次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式應(yīng)應(yīng)為為 nxQ即即設(shè)設(shè)即即設(shè)設(shè))()(*xxQxQyn ,0,0時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) ab.)(直直接接積積分分得

40、得到到直直接接由由方方程程xPyn ,21110 xaxaxaxannnn ,1110nnnnaxaxaxa 型方程型方程)(. 1xPbyyayn 有等式有等式代入原方程后代入原方程后,例例4.322的的通通解解求求方方程程 xyy解解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCYsincos21 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為,2120axaxay 210,aaa為待定常數(shù)為待定常數(shù),代入所給方程代入所給方程, 得得322221200 xaxaxaa比較同冪次項(xiàng)系數(shù)比較同冪次項(xiàng)系數(shù), 得得, 20 a, 01 a72 a于是于是, 722 xy方程通解為方程通解為72sincos

41、221 xxCxCy.,21為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中CC)359()()()()()2()(2 xPxQbaxQaxQn ,e)(*xxQy 設(shè)設(shè)特特解解為為有等式有等式代入原方程后代入原方程后,征根征根不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特即即 ,02 ba 當(dāng)當(dāng)),()(xQnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為xnnnnaxaxaxa e)(1110 型型方方程程xnxPbyyay e)(. 2 xnxQy e)(* , 02 ba 當(dāng)當(dāng),02時(shí)時(shí)且且 a ,是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的單單根根即即 ),(1)(xxQnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為 xnnn

42、nxaxaxaxa e)(21110 xnxxQy e)(* , 02 ba 當(dāng)當(dāng),02時(shí)時(shí)且且 a ,根根是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的二二重重即即 , )(2)(2xQxnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為 xnnnnxaxaxaxa e)(2311120 xnxQxy e)(*2 綜上討論，求非齊次線性微分方程特解時(shí)綜上討論，求非齊次線性微分方程特解時(shí) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根 , 2, 1, 0k,e)(*xnkxQxy 設(shè)設(shè)特特解解為為例例5.e322的通解的通解求方程求方程xxyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxCCy e )(21設(shè)所給方

43、程的特解為設(shè)所給方程的特解為,e )(223140 xxaxaxay ,210為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中aaa代入所給方程代入所給方程, 有有2212032612xaxaxa 比較同冪次項(xiàng)系數(shù)比較同冪次項(xiàng)系數(shù), 得得,410 a021 aa于是得于是得,e414xxy 方程的通解為方程的通解為xxxxCCy e41e )(421.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC, )sincos(*21xaxaxyk 設(shè)設(shè)特特解解為為,i根時(shí)根時(shí)為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征當(dāng)當(dāng) ,1 k型型方方程程xAxAbyyay sincos. 321 .0 k否則否則,e)sincos(*21xkx

44、axaxy 設(shè)特解為設(shè)特解為,i根時(shí)根時(shí)為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征當(dāng)當(dāng) ,1 k型型方方程程xxAxAbyyay e)sincos(. 421 .0 k否則否則例例6.sine22的通解的通解求方程求方程xyyyx 解解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為xxaxay221e)sincos( ,21為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中aa代入所給方程代入所給方程, 有有xxaaxaasinsin)3(cos)3(2121 xxCCY221ee 于是于是 得得xxxy2esin101cos103 所給方程的通解是所給方程的通解是.esin101cos

45、103ee2221xxxxxCCy 例例7.2cos24的的通通解解求求方方程程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為042 解得解得, i 21 , i 22 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY2sin2cos21 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為, )2sin2cos(21xaxaxy ,21為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中aa,2cos,2sin的系數(shù)的系數(shù)比較比較xx.0,2112 aa得得于是于是, 得得xxy2sin21 所給方程的通解是所給方程的通解是.2sin212sin2cos21xxxCxCy 代入所給方程代入所給方程, 有有x

46、xaxa2cos22sin42cos412 )369()()()()(1)1(1)( xfyxayxayxaynnnn變變?yōu)闉閯t則如如果果)369(,0)( xf n 階線性微分方程的一般形式為階線性微分方程的一般形式為.)(),(,),(),(21的已知函數(shù)的已知函數(shù)都是都是其中其中xxfxaxaxan三、n 階線性微分方程解的結(jié)構(gòu))379(0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn稱之為稱之為 n 階齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱齊次線性方程階齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱齊次線性方程. . 稱為稱為 n 階非齊次線性微分方程，階非齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱非齊次線性方程，簡(jiǎn)稱非齊次線性方程，

47、,0)( xf如如果果定義定義9.5),()(),(),(21baxyxyxyn是是定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè),內(nèi)內(nèi)的的一一組組函函數(shù)數(shù),21nkkk數(shù)數(shù)如果存在不全為零的常如果存在不全為零的常使得等式使得等式0)()()(2211 xykxykxyknn,),(內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在區(qū)間在區(qū)間ba,),(),(21xyxy則稱函數(shù)組則稱函數(shù)組,)(是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的xyn,1k的數(shù)的數(shù)如果對(duì)于任意不全為零如果對(duì)于任意不全為零,2nkk 內(nèi)總有內(nèi)總有在區(qū)間在區(qū)間),(ba0)()()(2211 xykxykxyknn.)(,),(),(21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則稱稱xyxyxyn定理定理9.4都

48、都是是方方程程如如果果函函數(shù)數(shù))(,),(),(21xyxyxym,)379(的解的解 則則)()()()(2211xyCxyCxyCxymm .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中mCCC定理定理9.5階階齊齊次次是是如如果果函函數(shù)數(shù)nxyxyxyn)(,),(),(21,)379(個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特解解的的線線性性方方程程n 則則)389()()()()(2211 xyCxyCxyCxynn個(gè)個(gè)任任意意是是其其中中nCCCn,21也是方程也是方程 的解的解, )379( 是方程是方程 的通解的通解, )379( .常數(shù)常數(shù)定理定理9.6的的是是非非齊齊次次線線性性方方程程如如果果)

49、369()( xy,一個(gè)特解一個(gè)特解,)379(的通解的通解是對(duì)應(yīng)齊次方程是對(duì)應(yīng)齊次方程 Y則則)399()( yYxy例如，例如，,sin,cos, 122xx函函數(shù)數(shù). 0sincos122 xx故它們?cè)谡麄€(gè)數(shù)軸上是故它們?cè)谡麄€(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的線性相關(guān)的上上就就有有恒恒等等式式在在),( , 1, 1321 kkk取取是非齊次線性方程是非齊次線性方程 的通解的通解.)369( 定理定理9.7分分別別是是非非齊齊次次線線性性方方程程如如果果)(, )(21xyxy )()()()(11)1(1)(xfyxayxayxaynnnn )()()()(21)1(1)(xfyxayxayxaynn

50、nn 的特解的特解.,)379(的的通通解解是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程 Y則則)409()(21 yyYxy是非齊次線性方程是非齊次線性方程)()()()()(211)1(1)(xfxfyxayxayxaynnnn 的通解的通解.)419()(1)1(1)( xfyayayaynnnnn階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為都都是是常常數(shù)數(shù)其其中中nnaaaa,121 其對(duì)應(yīng)的特征方程為其對(duì)應(yīng)的特征方程為)439(0111 nnnnaaa )429(01)1(1)( yayayaynnnn n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為

51、根據(jù)特征方程的根的不同情況根據(jù)特征方程的根的不同情況, ,按照下列規(guī)則按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解寫出微分方程的通解特征方程的根特征方程的根項(xiàng)項(xiàng)微分方程通解中的對(duì)應(yīng)微分方程通解中的對(duì)應(yīng)r單實(shí)根單實(shí)根rk 重重實(shí)實(shí)根根i2, 1 rk 重復(fù)根重復(fù)根一對(duì)一對(duì)rxCe給給出出一一項(xiàng)項(xiàng)：)sincos(e21xCxCx 給給出出兩兩項(xiàng)項(xiàng)：i2, 1 r一對(duì)單復(fù)根一對(duì)單復(fù)根)(e121 kkrxxCxCCk項(xiàng)項(xiàng)：給給出出sin)(cos)(e2121121xxDxDDxxCxCCkkkkkx 項(xiàng)：項(xiàng)：給出給出可可設(shè)設(shè)為為的的常常見見類類型型對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)*,)(yxf n 階非齊次線性微分方程的特解求法階非

52、齊次線性微分方程的特解求法)(xf*yk的的重重?cái)?shù)數(shù)特特征征根根 xmxP e)(xBxA sincos xxBxA e )sincos( xmkxQx e)()sincos(21xaxaxk xkxaxax e )sincos(21 的重?cái)?shù)的重?cái)?shù)特征根特征根i 的的重重?cái)?shù)數(shù)特特征征根根i 例例8.5)4(的的通通解解求求方方程程 xyy解解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為024 解得解得, )2(0重重 , i 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.sincos)(4321xCxCxCCY 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為),(2baxxy代入方程有代入方程有

53、526 xbax比較系數(shù)比較系數(shù), 得得 ,61 a,25 b于是于是.256123xxy 從而得到所給方程的通解從而得到所給方程的通解2343212561sincos)(xxxCxCxCCxy .,4321為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CCCC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9.4 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、新產(chǎn)品的推廣模型二、價(jià)格調(diào)整模型三、人才分配問(wèn)題模型, )(,txt 時(shí)刻的銷量為時(shí)刻的銷量為市場(chǎng)市場(chǎng)設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向)449()(dd xNkxtx,N定定的的市市場(chǎng)場(chǎng)容容量量考考慮慮到到產(chǎn)產(chǎn)品品銷銷售售存存在在一一,同時(shí)同時(shí)于是有于

54、是有一、新產(chǎn)品的推廣模型,品品每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳由于產(chǎn)品性能良好由于產(chǎn)品性能良好因此因此,)(dd成成正正比比與與時(shí)時(shí)刻刻產(chǎn)產(chǎn)品品銷銷售售的的增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率txtxt,統(tǒng)計(jì)表明統(tǒng)計(jì)表明,)(dd也也成成正正比比客客潛潛在在的的銷銷售售量量與與尚尚未未購(gòu)購(gòu)買買該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的顧顧txNtx .0為為比比例例系系數(shù)數(shù)其其中中常常數(shù)數(shù) k分離變量，積分，可以解得分離變量，積分，可以解得）（459e1)( kNtCNtx也稱為邏輯斯蒂曲線也稱為邏輯斯蒂曲線.由由22)e1(eddkNtkNtCkCNtx 以及以及33222)e1()1e(eddkNtkNtkNtCCNCktx 方程

55、方程 也稱為邏輯斯蒂模型，也稱為邏輯斯蒂模型，)449( 通解表達(dá)式通解表達(dá)式)459( ,*)(0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Ntx ,01e* kNtC當(dāng)當(dāng),2*)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Ntx ,2)(*時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Ntx ,的一半時(shí)的一半時(shí)量量即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求N,銷售速度不斷增大銷售速度不斷增大.銷售速度逐漸減少銷售速度逐漸減少,一一半半時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)銷銷量量不不足足 N,當(dāng)銷量超過(guò)一半時(shí)當(dāng)銷量超過(guò)一半時(shí),0dd tx則則有有.)(單調(diào)增加單調(diào)增加即銷量即銷量tx,2*)(時(shí)時(shí)即即Ntx ;0dd22 tx;0dd22 tx,產(chǎn)品最為暢銷產(chǎn)品最為暢銷.從從市市場(chǎng)場(chǎng)供供求求關(guān)關(guān)系系商商品品的的價(jià)價(jià)格格變變化

56、化主主要要服服,的單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)遞增函數(shù)是價(jià)格是價(jià)格商品供給量商品供給量一般地一般地PS.的單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)遞減函數(shù)商品需求量是價(jià)格商品需求量是價(jià)格 P求求函函數(shù)數(shù)分分別別為為設(shè)設(shè)商商品品的的供供給給函函數(shù)數(shù)和和需需,)(bPaPS )469()( PPD .0,0, bba且且均均為為常常數(shù)數(shù)其其中中當(dāng)供給量和需求量相等時(shí)當(dāng)供給量和需求量相等時(shí),二、價(jià)格調(diào)整模型由由 可得供求平衡時(shí)的價(jià)格可得供求平衡時(shí)的價(jià)格)469( baPe .為均衡價(jià)格為均衡價(jià)格并稱并稱eP,一般地說(shuō)一般地說(shuō),時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)DS ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)DS .商品價(jià)格要落商品價(jià)格要落的變化率的變化率時(shí)刻的價(jià)格時(shí)刻的價(jià)格假設(shè)假設(shè)因此因

57、此)(,tPt,成成正正比比與與超超額額需需求求量量SD 于是有于是有)()(ddPSPDktP .,數(shù)數(shù)用來(lái)反應(yīng)價(jià)格的調(diào)整系用來(lái)反應(yīng)價(jià)格的調(diào)整系其中其中0 k方程方程,可得可得)479()(dd PPtPe ,商品價(jià)格要漲商品價(jià)格要漲將將 代入代入)469( ,0)( kb 其中常數(shù)其中常數(shù)方程方程(9-47)(9-47)的通解為的通解為teCPtP e)(,)(00PP 假假設(shè)設(shè)初初始始價(jià)價(jià)格格代入上式代入上式 , 得得,ePPC 0于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為teePPPtP e )()(0,知知由由0 ).()(,ePtPt時(shí)時(shí)將將逐逐漸漸趨趨實(shí)實(shí)際際價(jià)價(jià)格格說(shuō)說(shuō)明明隨隨著著時(shí)時(shí)間間不不斷斷推推延延)(,tP.eP近均衡價(jià)格近均衡價(jià)格 每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍,其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)其其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作.),(txt1年教師人數(shù)為年教師人數(shù)為設(shè)設(shè)目目科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)),(tx2為為,個(gè)畢業(yè)生個(gè)畢業(yè)生個(gè)教員每年平均培養(yǎng)個(gè)教員每年平均培養(yǎng)又設(shè)又設(shè) 1每年每年調(diào)出調(diào)出理崗位上退休、死亡或理崗位上退休、死亡或從教育、科技和經(jīng)濟(jì)管從教育、科技和經(jīng)