自動控制5-1頻率特性

1、1第五章第五章 頻率響應法頻率響應法 5.1 頻率特性頻率特性 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 5.3 控制系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性 5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 5.5 穩(wěn)定裕量穩(wěn)定裕量 5.6 閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性 5.7 頻率特性分析頻率特性分析2第五章第五章 頻率響應法頻率響應法 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的時域分析法時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應曲線，直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應曲線，從而利用時域指標

2、直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時從而利用時域指標直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準確的優(yōu)點。域法具有直觀、準確的優(yōu)點。 然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達式是相當困難的，需要大量計算，只有在計算機達式是相當困難的，需要大量計算，只有在計算機的幫助下才能完成分析。的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調整系統(tǒng)的結構能時，采用時域法難于確定該如何調整系統(tǒng)的結構或參數(shù)?；騾?shù)。3 在工程實踐中在工程實踐

3、中, 往往并不需要準確地計算系統(tǒng)往往并不需要準確地計算系統(tǒng)響應的全部過程，而是希望能夠避開繁復的計算，響應的全部過程，而是希望能夠避開繁復的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結構、參數(shù)對系統(tǒng)性能的簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結構、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。影響。 因此，主要采用因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率響應法，析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率響應法，本章本章將詳細介紹控制系統(tǒng)的頻率響應法。將詳細介紹控制系統(tǒng)的頻率響應法。4 頻率響應法頻率響應法：又稱為頻域分析法又稱為頻域分析法，是利用系統(tǒng)是利用系統(tǒng)的的頻率特性頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻

4、率正弦輸入信號（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題的響應特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準確性穩(wěn)定性、快速性及準確性等，是等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內容。論的核心內容。 5 頻率響應法，是一種圖解的分析方法，它不必頻率響應法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，不需要求解系統(tǒng)直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如：的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如： 根據(jù)系統(tǒng)的根據(jù)系

5、統(tǒng)的開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性能揭示能揭示閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能, , 得到定性和定量的結論，得到定性和定量的結論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響性能的影響, ,并提出改進系統(tǒng)的方法。并提出改進系統(tǒng)的方法。頻率響應法頻率響應法的特點：的特點：6第五章第五章 頻率響應法頻率響應法 時域指標和頻域指標之間有對應關系，而且時域指標和頻域指標之間有對應關系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，公式，簡化簡化控制系統(tǒng)的分析控制系統(tǒng)的分析與設計與

6、設計。 頻率特性具有明確的物理意義，它可以通過頻率特性具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學模型作為分求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學模型作為分析與設計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法析與設計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學模型的系統(tǒng)尤其有利。去建立數(shù)學模型的系統(tǒng)尤其有利。 頻率響應法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、頻率響應法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應用到某些非線性系統(tǒng)中。直觀，并且可以拓展應用到某些非線性系統(tǒng)中。7第五章第五章 頻率響應法頻率

7、響應法 本章重點介紹本章重點介紹頻率特性的基本概念、頻率特性頻率特性的基本概念、頻率特性曲線的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的曲線的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。的方法。8第五章第五章 頻率響應法頻率響應法95.1 頻率特性頻率特性)()()(trtcdttdcT 11)()( TssRsC解：解： RC電路的微分方程為電路的微分方程為 式中，式中，T=RC。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為：為： R C r(t) c(t) 例：例： RC線性電路，當輸入為正弦電壓線性電路，當輸入為正弦電壓r(t)

8、=Asin t 時，時，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？10如果輸入為正弦電壓如果輸入為正弦電壓r(t)=Asin t ，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出：的穩(wěn)態(tài)輸出：AC sTss221( )1 A TA TAsTTTsTs222221()1()1()1/ tTA TA TAc tettTTT222( )cossin1()1()1() sstA TAc tctttTT22lim ( )( )cossin1()1() 11ATttTTT2221cossin1()1()1() AtTT2sin(arctan)1() css(t)1 T12 r(t)t0css(t)t0r(t) = Asin t)a

9、rctansin(1)(22TtTAtcss13可見：可見： 穩(wěn)態(tài)輸出電壓仍然是正弦電壓，穩(wěn)態(tài)輸出電壓仍然是正弦電壓，且且其頻率和輸入電其頻率和輸入電 壓頻率相同。壓頻率相同。 穩(wěn)態(tài)輸出電壓幅值是輸入電壓幅值穩(wěn)態(tài)輸出電壓幅值是輸入電壓幅值 倍倍， 是頻率是頻率 的函數(shù)的函數(shù)，記為，記為 A() 。2)(1/1T 穩(wěn)態(tài)輸出電壓相角比輸入電壓相角遲后了穩(wěn)態(tài)輸出電壓相角比輸入電壓相角遲后了arctan T， 是頻率是頻率 的函數(shù)的函數(shù)，記為，記為 () 。 r(t) = Asin t)arctansin(1)(22TtTAtcss比較：比較：14tTAarctan)(11)(22)(sin)()(t

10、AAtcss RC線性電路線性電路的傳遞函數(shù)為的傳遞函數(shù)為eTjjsTTjsGjGarctan2)(1111)()(11TssRsCsG)()()(取取 s = j , 則有則有15 上式上式表明，表明，A() 和和 () 與系統(tǒng)的數(shù)學模型有本質與系統(tǒng)的數(shù)學模型有本質關系，可以證明這一點具有普遍性關系，可以證明這一點具有普遍性。)(11)(22jGTA)(sin)()(jGtjGAtcss )(arctan)(jGt16 設有穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為設有穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為 mmmmnnnnb sb sbsbC sG sR ssa sasa1011111( )( )( )

11、系統(tǒng)的輸入為諧波信號系統(tǒng)的輸入為諧波信號 為簡便為簡便假設假設ttrrr trtjj000( )cosee22 由歐拉公式，由歐拉公式，r(t)可寫成可寫成 17ttrrr trtee jj000( )cos22 mmmmnnnnb sb sbsbr ssa sasass10110111(j )(j ) niiiCDBssss1jj 經(jīng)拉氏反變換，得經(jīng)拉氏反變換，得 rrr sR sssss00011( )2j2j(j )(j ) 18ttssctBeDejj( ) srBG sR ssG 0j( )( ) (j )( j )2 srDG sR ssG 0j( )( ) (j )(j )2 t

12、GtGssrrctGeGej(j)j(j)00( )(j)(j)22 r GtG0(j ) cos(j ) sGG s j(j)( ) )()(1tjtjnitsiDeBeeCtci19 G(s)c(t)r(t) 可見可見，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，由諧波信號產(chǎn)，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，由諧波信號產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是與輸入同頻率的諧波信號，而幅生的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是與輸入同頻率的諧波信號，而幅值和相角的變化是頻率值和相角的變化是頻率 的函數(shù)，且與系統(tǒng)數(shù)學模型的函數(shù)，且與系統(tǒng)數(shù)學模型有關。有關。定義：定義：G( j) 為為頻率特性頻率特性， 幅值比幅值比 A() =G( j) 為為幅頻特性幅頻特性，

13、相位差相位差 () =G( j) 為為相頻特性相頻特性。 ssctr GtG0( )(j ) cos(j ) 輸入：輸入： 穩(wěn)態(tài)輸出：穩(wěn)態(tài)輸出： 20第五章第五章 頻率響應法頻率響應法 說明：說明： （1）穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比與相位差只與系統(tǒng)）穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比與相位差只與系統(tǒng)的結構、參數(shù)及輸入正弦信號的頻率的結構、參數(shù)及輸入正弦信號的頻率 有關。在系有關。在系統(tǒng)結構、參數(shù)給定的前提下，幅值比與相位差統(tǒng)結構、參數(shù)給定的前提下，幅值比與相位差僅是僅是 的函數(shù)，可以分別表示為的函數(shù)，可以分別表示為 A() 與與 () 。 （2）頻率特性描述的是：頻率特性描述的是： 線性定常系統(tǒng)（或元件）在零

14、初始條件下，當線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當輸入信號的頻率輸入信號的頻率 在在 0 0 的范圍內連續(xù)變化時，系的范圍內連續(xù)變化時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率 變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律。變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律。21第五章第五章 頻率響應法頻率響應法 （3）幅頻特性）幅頻特性 A() 描述的是，幅值比隨頻率而描述的是，幅值比隨頻率而變化的規(guī)律。它反映系統(tǒng)在響應不同頻率的正弦輸入變化的規(guī)律。它反映系統(tǒng)在響應不同頻率的正弦輸入時，在幅值上是放大（時，在幅值上是放大（A1）還是衰減（）還是衰減（A1）。）。 （4）相頻特性）相頻特性

15、 () 描述的是，相位差隨頻率而變描述的是，相位差隨頻率而變化的規(guī)律。它反映系統(tǒng)在響應不同頻率的正弦輸入時，化的規(guī)律。它反映系統(tǒng)在響應不同頻率的正弦輸入時，在相位上是超前（在相位上是超前（ 0）還是遲后（）還是遲后（ 0）。）。 （5）頻率特性中，頻率）頻率特性中，頻率 是一個變量。是一個變量。 （6）頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的正弦頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入的跟蹤能力，輸入的跟蹤能力，在頻域內全面描述系統(tǒng)的性能。在頻域內全面描述系統(tǒng)的性能。 （7）頻率特性頻率特性只與系統(tǒng)的結構、參數(shù)有關，是線只與系統(tǒng)的結構、參數(shù)有關，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。性定常系統(tǒng)的固有特性。 （

16、8）頻率特性的定義也適用于不穩(wěn)定系統(tǒng)。）頻率特性的定義也適用于不穩(wěn)定系統(tǒng)。22第五章第五章 頻率響應法頻率響應法 頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學模型，頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學模型，與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉換。與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉換。 以上三種數(shù)學模型以不同的數(shù)學形式表達系以上三種數(shù)學模型以不同的數(shù)學形式表達系統(tǒng)的運動本質，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內統(tǒng)的運動本質，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學模型。在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學模型。 微分方程微分方程（以（以t為變量）為變量） 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)（以（以s為變量）為變量）

17、 頻率特性頻率特性（以（以為變量）為變量） 控制系統(tǒng)數(shù)學模型之間的轉換關系控制系統(tǒng)數(shù)學模型之間的轉換關系sdtdjs 231 頻率特性：頻率特性：G(j ) 復指數(shù)形式復指數(shù)形式 ： G(j ) = A( ) e j ( ) 實數(shù)和虛數(shù)和的形式：實數(shù)和虛數(shù)和的形式： G(j )= Re( ) + j Im( ) 2 幅頻特性：幅頻特性： A( ) ，A( ) = G(j ) ， 表示表示穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比。3 相頻特性：相頻特性： ( ) ， ( ) = G(j ) 表示表示穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相位差。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相位差。4 實頻特性：實頻特性： Re( )，G(j )

18、 的實部。的實部。 5 虛頻特性：虛頻特性： Im( )，G(j ) 的虛部。的虛部。 24 在復平面中繪制。在復平面中繪制。 特點是：把頻率特點是：把頻率 看成參變量，當看成參變量，當 從從0時，時，頻率特性頻率特性 G( j ) 的矢端軌跡。的矢端軌跡。1. 極坐標圖極坐標圖（幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線，幅相曲線，奈氏曲線，幅相曲線，奈氏曲線） = =0ImRe0G(j )2)(1/1)(TA ( )= arctan T =1前面討論的前面討論的RC電路的極坐標圖。電路的極坐標圖。25 2. 伯德圖（對數(shù)伯德圖（對數(shù)頻率特性曲線）頻率特性曲線） 包括包括對數(shù)對數(shù)幅頻特性曲線幅頻特性曲

19、線和和對數(shù)對數(shù)相頻特性相頻特性曲線曲線。 在半對數(shù)坐標系中繪制。在半對數(shù)坐標系中繪制。橫坐標表示頻率橫坐標表示頻率 ，按對數(shù)分度，單位是，按對數(shù)分度，單位是rad/s 。10 lg 20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101 =1 =10 2345 6 7 8 920304026 在在 軸上，對應于頻率每變化一倍，稱為一倍頻程，軸上，對應于頻率每變化一倍，稱為一倍頻程，例如例如 從從1到到2，2到到4，3到到6，10到到20等的范圍都是一等的范圍都是一倍頻程倍頻程 ； 每變化十倍，稱為十倍頻程（每變化十倍，稱為十倍頻程（dec)，例如

20、，例如 從從1到到10，2到到20 ，10到到100等的范圍都是十倍頻程等的范圍都是十倍頻程 ；所有；所有的十倍頻程在的十倍頻程在 軸上對應的長度都相等。軸上對應的長度都相等。 =1 =10 2345 6 7 8 9203040 橫軸按頻率的對數(shù)橫軸按頻率的對數(shù) lg 標尺刻度，但標出的是頻率標尺刻度，但標出的是頻率 本身的數(shù)值。因此，橫軸的刻度是不均勻的。本身的數(shù)值。因此，橫軸的刻度是不均勻的。 橫軸壓縮了高頻段，擴展了低頻段。橫軸壓縮了高頻段，擴展了低頻段。27 對數(shù)幅頻特性曲線對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的的縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是函數(shù)值，均勻分度，單

21、位是dB(分貝分貝)L( ) = 20lgA( ) 相頻曲線相頻曲線的縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值，均勻的縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。分度，單位是度。 ( ) =G( j ) 28L( )/dB ( )/()90 9020 20 1 2 3 4 5 6 10 20 30 100 1 2 3 4 5 6 10 20 30 100 29下圖是下圖是 RC網(wǎng)絡網(wǎng)絡G(j ) =1/(1+ jT )，T = 0.5時的伯德圖。時的伯德圖。 L( )/dB0202-20dB/dec -90 ( )/()030 -90 ( )/()05.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性w1 .1

22、 .比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為 G(s) = K 頻率特性為頻率特性為 G(j ) = K （1）極坐標圖）極坐標圖 A( ) = K ( ) = 0 Re( )=K Im( )=0 （2）伯德圖）伯德圖 L( ) = 20lgK ( ) = 0 ImRe0K20lgK L( )/dB020 ( ) = 0 31 jjG1)( 1)( A（2）伯德圖）伯德圖 L( ) = 20lgA( ) = 20lg ( ) = 90 ImRe0 =0 = = （1）極坐標圖）極坐標圖 ( ) = 90 90 ( )/()0 20dB/dec L( )/dB020110w2 2. . 積分環(huán)

23、節(jié)積分環(huán)節(jié) 頻率特性頻率特性 1)Im(0)Re(32w3 3. . 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 頻率特性頻率特性 G(j ) = j （1）極坐標圖）極坐標圖 A( ) = ( ) = 90 Re( )=0 Im( )= （2）伯德圖）伯德圖 L( ) = 20lgA( ) = 20lg ( ) = 90 由于微分環(huán)節(jié)與積分由于微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)， L( )和和 ( ) 僅相差一個僅相差一個符號。因此，伯德圖是對符號。因此，伯德圖是對稱于稱于 軸的。軸的。ImRe0 =0 = = 90 ( )/()0 L( )/dB02010120dB/dec33w4 4 .

24、 . 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 頻率特性為頻率特性為TjjG 11)(2222111)(TTjTjG 2211)(TA（1）極坐標圖）極坐標圖222222222221)(Im21)Re()Re()(Im)(Re)(Re)(Im11)Re()()(Re)(Im)Re()Im(TT ImRe0 = =0 1Tarctan)(實部與虛部表達式為：實部與虛部表達式為：34（2）伯德圖）伯德圖對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性 2222120lg1120lg)(TTL 因此，慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可用兩條直線近因此，慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可用兩條直線近似表示，這兩條直線稱為漸近線。兩條直線交于似表示，這兩條直線稱

25、為漸近線。兩條直線交于 T = 1或或 =1/T。頻率頻率1/T 稱為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率或轉折頻率。稱為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率或轉折頻率。1/T L( )1當當 1/T 時，時，L( ) 20lg1 = 0 20dB/dec2當當 1/T 時，時，L( ) 20lg T35 1/ lg201lg20/1 1lg20)(2222TTTTTL 如圖可見，交接頻率的地方誤差最大，約如圖可見，交接頻率的地方誤差最大，約 3dB3dB。0.1/T 1/T 2/T 4/T 8/T 10/T0dB 1dB 2dB 3dB 4dB用漸近線近似表示用漸近線近似表示L( )，必然存在誤差，必然存在誤差L( )，L(

26、)可按以下公可按以下公式計算：式計算： L( ) = L( ) La( )式中，式中，L( )表示準確值，表示準確值，La( )表示近似值，有表示近似值，有36相頻特性為：相頻特性為： ( ) = arctan T T = 0 ( ) = 0 T = 0.3 ( ) = 16.7 T = 0.8 ( ) = 38.7 L( )/dB0201/T 20dB/dec 90 ( )/()0 T = 1 ( ) = 45 T ( ) = 9037w5 5. . 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 頻率特性頻率特性 G(j ) = 1 + j T （1）極坐標圖）極坐標圖221lg20)(TL （2）伯德圖）伯德

27、圖 ( )=arctan T 221)(TA ( )=arctan T ImRe0 =0 = = 90 ( )/()0 L( )/dB0201/T20dB/decRe( )=1 Im( )= T 38nnnnnjjjjG2112)()(222222222224)1(1)(nnA n2n2nn2n2n12arctan12arctan)(1) 極坐標圖極坐標圖 幅頻特性為幅頻特性為相頻相頻特性為特性為w 6 6. . 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)頻率特性頻率特性390ReIm1 =0 值小值小 值大值大 n40 rMr A( ) 由圖可見，幅頻特性的最大值隨由圖可見，幅頻特性的最大值隨 減小而增大其值減小而增

28、大其值可能大于可能大于1 1。可以求得在系統(tǒng)參數(shù)所對應的條件下，在?？梢郧蟮迷谙到y(tǒng)參數(shù)所對應的條件下，在某一頻率某一頻率 = = r（諧振頻率）處振蕩環(huán)節(jié)會產(chǎn)生諧振峰（諧振頻率）處振蕩環(huán)節(jié)會產(chǎn)生諧振峰值值Mr 。在產(chǎn)生諧振峰值處，必有。在產(chǎn)生諧振峰值處，必有 2121)( rrAM221 nrrAdd 0)(1041可以看出：可以看出： 1） 0.707，沒有峰值，沒有峰值，A( )單調衰減；單調衰減； 2） = 0.707， Mr = 1， r = 0，這正是幅頻特性曲線的，這正是幅頻特性曲線的 初始點；初始點； 3） 1， r 0，幅頻，幅頻A( )出現(xiàn)峰值。出現(xiàn)峰值。 而且而且 越小，峰

29、值越小，峰值Mr 及諧振頻率及諧振頻率 r 越高；越高； 4） = 0，峰值，峰值Mr 趨于無窮，諧振頻率趨于無窮，諧振頻率 r 趨于趨于 n 。 這表明外加正弦信號的頻率和自然振蕩頻率相同，這表明外加正弦信號的頻率和自然振蕩頻率相同，引起環(huán)節(jié)的共振。環(huán)節(jié)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。引起環(huán)節(jié)的共振。環(huán)節(jié)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。 峰值過高，意味著動態(tài)響應的超調大，過程不平穩(wěn)。峰值過高，意味著動態(tài)響應的超調大，過程不平穩(wěn)。 對振蕩環(huán)節(jié)或二階系統(tǒng)來說，相當于阻尼比對振蕩環(huán)節(jié)或二階系統(tǒng)來說，相當于阻尼比 小，小，這和時域分析法一章所得結論是一致的。這和時域分析法一章所得結論是一致的。2121)( rrAM221

30、nr422222224)1(1lg20)(nnL 當當 n時，時，L( ) 20lg 2 / n2 = 40lg / n 。根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。 （2）伯德圖）伯德圖 對數(shù)對數(shù)幅頻特性幅頻特性 L( ) n 40dB/dec432222222222/lg20)/2()/1 (lg20)/2()/1 (lg20),(nnnnnL誤差計算公式是誤差計算公式是： 這是一條斜率為這是一條斜率為 40dB/dec直線，和零分貝線交于直線，和零分貝線交于 = n的地方。故的地方。故振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率為振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率為 n 。44下圖為下圖為 L( , ) 的曲線的曲

31、線 0.1 0.2 0.4 1 2 4 6 8 10 / n201612840-4-8 = 0.05 =10.10.20.30.40.50.60.845相頻特性相頻特性 = 0 (0) = 0 = n ( n) = 90 ( ) = 180 由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，由于系統(tǒng)阻尼比取值不同， ( ( ) )在在 = n鄰域的角鄰域的角度變化率也不同，阻尼比越小，變化率越大。度變化率也不同，阻尼比越小，變化率越大。n2n2nn2n2n12arctan12arctan)(460.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,247nnjsnnnjssjG 2)1(2)(22222 ImRe0 =01 =

32、= w 7. 二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié) 頻率特性頻率特性 由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，其伯德圖可以參照振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖翻轉畫出。因此，其伯德圖可以參照振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖翻轉畫出。 極坐標圖為極坐標圖為：48由于由于 ( )隨頻率的增長而線性隨頻率的增長而線性遲遲后，將嚴重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性后，將嚴重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性ImRe0 大大 ( )/()0 L( )/dB0 小小 =0w 8 8. . 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 其頻率特性其頻率特性 ：G(j ) = e j w 幅值特性：幅值特性：A( ) = e j = 1 相頻特性：相頻特性

33、： ( ) = (rad) = 57.3( )幅值總是幅值總是1，相角隨頻率而變化，其極坐標圖為一單位圓。，相角隨頻率而變化，其極坐標圖為一單位圓。49第五章第五章 頻率響應法頻率響應法505.3 控制系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性5.3.1 開環(huán)極坐標圖開環(huán)極坐標圖 )(21)()()()()( jnkeAjGjGjGjG niinAAAAA121)()()()()( nii1)()( 式中式中 分別計算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，按上式便可計算分別計算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，按上式便可計算出開環(huán)幅值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標圖。出開環(huán)幅值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標圖。設開環(huán)設開環(huán)

34、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為：為：則則開環(huán)頻率特性為：開環(huán)頻率特性為：)()()()(n21ksGsGsGsG51 解解: : RC超前網(wǎng)絡的傳函為超前網(wǎng)絡的傳函為 ( ) = 90 arctan T2)(11)(TTA 111)( TjTjTjTjjG 例例5-1 如如圖所示圖所示RC超前網(wǎng)絡超前網(wǎng)絡, ,要求繪制它的幅相曲線。要求繪制它的幅相曲線。1)( TsTssG式中式中 T=RC 。其頻率特性為。其頻率特性為 R C r(t) c(t)525.0 0.982 11.32.0 0.895 301.0 0.707 45幅相曲線如圖幅相曲線如圖ImRe0 T=125 T= T=01 T A( ) (

35、 )()0 0 900.1 0.0995 84.30.3 0.288 73.3 10 ( ) = 90 arctan T2)(11)(TTA 53TjjTssjGjs11)( 把開環(huán)頻率特性按實部和虛部分開，然后再用一系把開環(huán)頻率特性按實部和虛部分開，然后再用一系列列 值代入，計算相應的實頻和虛頻值值代入，計算相應的實頻和虛頻值, ,繪制出開環(huán)幅相繪制出開環(huán)幅相曲線。曲線。 由開由開環(huán)傳遞函數(shù)零極點形式先標出每一零點和極點，環(huán)傳遞函數(shù)零極點形式先標出每一零點和極點，當當s=j 時，可作出相應零點或極點對應的矢量時，可作出相應零點或極點對應的矢量( (頻率特頻率特性性) )，根據(jù)所對應的，根據(jù)所

36、對應的 值，計算出有關矢量的長度和角度，值，計算出有關矢量的長度和角度，就能求得頻率特性。就能求得頻率特性。 例例5-2 由極點由極點零點分布圖求例零點分布圖求例1中的頻率特性中的頻率特性 解：解：54 G(j0) = 0 90 G(j1/T) = 0.707 45 G(j2/T) = 0.895 30 G(j5/T) = 0.982 11.3 G(j ) = 1 0 0 j -1/Tj +1/T ImRe0 =1/T2/T5/T = TjjA1)()1()(Tjj55121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmklllklknnvijjjijsssKGssT sT sT s

37、 1. 1. 極坐標圖的起點極坐標圖的起點即即 0時，時，Gk(j0+)在在復平面上的位置。復平面上的位置。0 0型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Gk(j 0) =K0I I型及型及I I型以上系統(tǒng)：型以上系統(tǒng)：0( 0)()kvKGjj 幅值()vKj 0 相角相角()vKvj 020v=0v=1v=2 最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)56121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmklllklknnvijjjijsssKGssT sT sT s 2. 2. 極坐標圖的終點極坐標圖的終點即即 +時時，Gk(+j)在在復平面上的位置復平面上的位置。()()kn mKGjj 相角相角()()n mK

38、nmj 2幅值幅值()n mKj 00n-m=2n-m=3n-m=157121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmklllklknnvijjjijsssKGssT sT sT s 3. 3. 與實軸的交點與實軸的交點令 ，解得x；Im()kGj 0將其代入Re()kGj 即得與實軸的交點。4. 4. 變化范圍變化范圍根據(jù)實頻、虛頻符號或相角范圍決定所在象限。58 (1) 確定起點確定起點( =0)：精確求出：精確求出A(0) ， (0) ； (2) 確定終點確定終點( = )：求出：求出A( ) ， ( ) ； (3) 確定曲線與確定曲線與實實軸的交點：軸的交點： G(j

39、)=Re( )+j Im( ) 令令 Im( ) = 0 求出求出 x 代入代入 Re( x)，求出，求出與實與實 軸的交點軸的交點； (4) 確定曲線所在象限；確定曲線所在象限； 根據(jù)根據(jù)Re( )和和Im( )的符號，或根據(jù)的符號，或根據(jù) ( )的變化范圍。的變化范圍。 最后最后由起點出發(fā)，繪制曲線的大致形狀。由起點出發(fā)，繪制曲線的大致形狀。59系統(tǒng)系統(tǒng)的幅頻的幅頻特性特性 ：1)1)()(jTjTKjG21k11)(222221TTKA系統(tǒng)系統(tǒng)的相頻的相頻特性特性 ：TT21arctanarctan)(01)1)()(KsTsTKsG21k試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲

40、線。例例5-3 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 解：系統(tǒng)解：系統(tǒng)為為 最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)，0 型，型，n m = 2。 6001)1)()(KsTsTKsG21k試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。例例5-3 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為 解：系統(tǒng)解：系統(tǒng)為為 最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)，0 型，型，n m = 2。 （3）與實軸的交點：與實軸的交點：（1）起點：起點：A(0) = K, (0)=0 （2）終點：終點：A( ) = 0, ( )= 180 )()()()( )()(11111111jTjTjTjTjTjTKj

41、TjTKjG21212121k61 )()()(2222211(1212121TTjTTTTKjGk因此，與實軸交于點（因此，與實軸交于點（K , 0）。 令令 Im( ) = 0 求出求出 x =0 代入代入 Re( x)=K)()()(2222111Re2121TTTTK2)()()(222211Im2121TTTTK虛頻：虛頻：實頻：實頻：62當當 增加時，增加時， ( )是單調減的，從是單調減的，從0 變化到變化到 180 。（4）曲線所在象限：曲線所在象限： Im( ) 0Re( )可正可負可正可負故曲線在第故曲線在第III，IV象限。象限?；蚧蛳到y(tǒng)系統(tǒng)的相頻的相頻特性特性 ：TT2

42、1arctanarctan)(63ImRe0 =0 幅相曲線大致形狀如圖幅相曲線大致形狀如圖: :)1)(1()(21 sTsTksGk64例例5-4 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為 解：系統(tǒng)解：系統(tǒng)為為 最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)，I 型，型，n m = 2。 )1(1)( sssGk（1）起點：起點：Gk (j0) = 90 （2）終點：終點：Gk (j ) = 0180 （3）與實軸的交點）與實軸的交點:)1(111)1(1)(22 jjjjGk通過分析實部和虛部函數(shù)，可知與坐標軸無交點。通過分析實部和虛部函數(shù)，可知與坐標軸無交點。試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線

43、。65或或當當 增加時，增加時， ( )是單調減的，從是單調減的，從 90 變化到變化到 180 。（4）曲線所在象限：曲線所在象限： Im( ) 0Re( ) 0故曲線在第故曲線在第III象限。象限。)1(111)1(1)(22 jjjjGk ( ) = 90 arctan 當當 =0時，實部函數(shù)有漸近線為時，實部函數(shù)有漸近線為1。66開環(huán)開環(huán)概略極坐標圖如下所示：概略極坐標圖如下所示：ImRe0 =0 1)1(1)( sssGk67例例5-5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。 1）起點：起點：Gk (j0) = 180 2）終點：終點

44、：Gk (j ) = 0270 3）與實軸的交點：）與實軸的交點：)1)(5 . 01()21()(2ssssksGk )1)(25. 01()5 . 0()5 . 21()(22222 jkjGk令令 Im( )= 0 x = 0.707 Re( x) = 2.67k 解：系統(tǒng)解：系統(tǒng)為為 最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)，II 型，型，n m = 3。 68或或當當 增加時，增加時， ( )是單調減的，從是單調減的，從 180 變化到變化到 270 。（4）曲線所在象限：曲線所在象限： Im( ) 0Re( ) 0故曲線在第故曲線在第II和和III象限。象限。 ( ) = arctan2 180

45、 arctan arctan0.5 3 + 0.5 = 180 + arctan 1 + 2.5 2)1)(25. 01()5 . 0()5 . 21()(22222 jkjGk69ImRe0 =0 2.67k開環(huán)開環(huán)概略極坐標圖如下所示：概略極坐標圖如下所示：)1)(5 . 01()21()(2ssssksGk 701)( TsksGk1TjkjGk)( 例例5-11 一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函頻率特性頻率特性 試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。 解：系統(tǒng)解：系統(tǒng)為為非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)，不能根據(jù)型別、，不能根據(jù)型別、n m的值確定起點和終

46、點。的值確定起點和終點。 幅頻幅頻特性特性 相頻相頻特性特性 () = ( arctan)122TkA)(71ReIm0 = 0 k （1）起點：起點：當當 = 0，Gk (j0) = k180 （2）終點：終點：當當 ，Gk (j ) = 90 （3）與實軸的交點：）與實軸的交點：2211111TTjkTjTjTjkjGk)()()()(（4）曲線所在象限：曲線所在象限： Im( ) 0Re( ) 0故曲線在第故曲線在第III象限。象限。72 開環(huán)對數(shù)幅頻特性和開環(huán)對數(shù)相頻特性分別為開環(huán)對數(shù)幅頻特性和開環(huán)對數(shù)相頻特性分別為 nii1)()( n1iin1ii)()(20lg)(20lg)(L

47、AAL說明：說明： L( ( ) )和和 ( ( ) )分別都是各典型環(huán)節(jié)的疊加。分別都是各典型環(huán)節(jié)的疊加。73 例例5-6 已知一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為已知一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為)12 . 0(10)( sssG要求繪制伯德圖。要求繪制伯德圖。552 . 0lg200解：開環(huán)傳函由三個典型環(huán)節(jié)組成：解：開環(huán)傳函由三個典型環(huán)節(jié)組成： 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 10 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 1/s 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 1/(0.2s+1)，轉折頻率為，轉折頻率為5 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性：的對數(shù)幅頻特性：20lg10 = 20 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性：的對數(shù)幅頻特性： 20lg 慣性環(huán)

48、節(jié)慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性：的對數(shù)幅頻特性：74 L( )/dB0201 20dB/dec105 40dB/dec 20dB/dec552 . 010lg202 . 0lg20lg2010lg2010lg20lg2010lg20)(L75 分析開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，有下列特點：分析開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，有下列特點：（1）最左端直線的斜率為）最左端直線的斜率為 20 dB/dec，這一斜率完全由，這一斜率完全由 G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)決定；的積分環(huán)節(jié)數(shù)決定；（2） =1時，曲線的分貝值等于時，曲線的分貝值等于20 lgK；（3）在慣性環(huán)節(jié)）在慣性環(huán)節(jié)轉折轉折頻率頻率5(rad/s)處，斜率從處，斜率從 20

49、dB/dec 變?yōu)樽優(yōu)?40 dB/dec 。 L( )/dB0201 20dB/dec105 40dB/dec 20dB/dec76 一般的近似對數(shù)幅頻曲線特點：一般的近似對數(shù)幅頻曲線特點：(1) 最左端直線的斜率為最左端直線的斜率為 20NdB/dec，N是積分環(huán)節(jié)是積分環(huán)節(jié) 個數(shù)個數(shù);(2) 在在 =1時，最左端直線或其延長線的分貝值等于時，最左端直線或其延長線的分貝值等于 20lgK，或，或最左端直線或其延長線在最左端直線或其延長線在 =K1/N 時時過過 0 分貝線；分貝線；(3) 在在轉折轉折頻率處，曲線的斜率發(fā)生改變，改變多少頻率處，曲線的斜率發(fā)生改變，改變多少取取 決于典型環(huán)節(jié)

50、種類。決于典型環(huán)節(jié)種類。具體地，具體地， 在慣性環(huán)節(jié)后，斜率減少在慣性環(huán)節(jié)后，斜率減少 20dB/dec； 在在一階微分一階微分環(huán)節(jié)后，斜率環(huán)節(jié)后，斜率增加增加 20dB/dec； 在振蕩環(huán)節(jié)后，斜率減少在振蕩環(huán)節(jié)后，斜率減少 40 dB/dec； 在在二階微分二階微分環(huán)節(jié)后，斜率環(huán)節(jié)后，斜率增加增加 40 dB/dec。77 繪制近似對數(shù)幅頻曲線的步驟：繪制近似對數(shù)幅頻曲線的步驟： 在半對數(shù)坐標上標出所有的轉折頻率；在半對數(shù)坐標上標出所有的轉折頻率； 確定低頻段的斜率和位置；確定低頻段的斜率和位置； 斜率：斜率： 20NdB/dec，N是積分環(huán)節(jié)個數(shù)是積分環(huán)節(jié)個數(shù); 位置位置：最左端直線或其

51、延長線最左端直線或其延長線 在在 =1時，時，分貝值為分貝值為20lgK， 或或在在 = K1/N 時時，過，過 0 分貝線。分貝線。 由低頻段開始向高頻段延伸，每經(jīng)過一個轉折頻率，由低頻段開始向高頻段延伸，每經(jīng)過一個轉折頻率， 曲線的斜率發(fā)生相應的變化。曲線的斜率發(fā)生相應的變化。78 對數(shù)相頻特性作圖時，首先確定低頻段的相位角，其對數(shù)相頻特性作圖時，首先確定低頻段的相位角，其次確定高頻段的相位角，再在中間選出一些插值點，計算次確定高頻段的相位角，再在中間選出一些插值點，計算出相應的相位角，將上述特征點連線即得到對數(shù)相頻特性出相應的相位角，將上述特征點連線即得到對數(shù)相頻特性的草圖。的草圖。 k

52、( ) = 090arctan(0.2 ) -90 ( )/()0-180 k(0)= 90 k( ) = 180 k(1)= 101.3 k(5)= 135 k(10) = 153.4 1 5 1079 例例5-7 繪制單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為繪制單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為)20)(1()2(100)( sssssGk試繪制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線。試繪制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線。1)1)(0.05(1)10(0.5)(ksssssG 開環(huán)傳函由以下開環(huán)傳函由以下五五個典型環(huán)節(jié)組成：個典型環(huán)節(jié)組成： （1）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 10 （2）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 1/s （3）一階微分）一階微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 0.5s+1，轉折頻