第4章概率習(xí)題課07

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征( (一一) ) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望( (均值均值) )kkkpxXE 1)(kkkpxgXgEYE 1)()()(dxxfxXE)()( dxxfxgXgEYE)()()()( ijijijpyxgYXgEZE 11),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( dxdyyxfxXE),()( ijiijpxXE 11)(數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): 假設(shè)以下隨機變量的數(shù)學(xué)期望均存在假設(shè)以下隨機變量的數(shù)學(xué)期望均存在 1. E(C)=C, （C 是常數(shù)是常數(shù)） 2. E(CX )=CE(X ), （C 是常數(shù)是常數(shù)）

2、3. E(X Y )=E(X ) E(Y ), 4. 設(shè)設(shè)X與與Y 相互獨立相互獨立, ,則則 E(XY )=E(X )E(Y)kkkpxXD 21E(X)(1,2,k ,PX kkpx1 1。若若X: : 離散型離散型. .dxxfxXD)(E(X)(2 2 2。若若X: : 連續(xù)型連續(xù)型. .概率密度為概率密度為 f(x)E(X)XEVar(X)D(X)2 (1)(1)22E(X)E(XD(X) 計算公式：計算公式：D(X)( x 3 3。均方差或標(biāo)準(zhǔn)差均方差或標(biāo)準(zhǔn)差: : 1。 D(C)=0, (C為常數(shù)為常數(shù)) 2。 D(CX)=C2 D(X), (C為常數(shù)為常數(shù)) 3。 設(shè)設(shè)X與與Y

3、是兩個隨機變量，則有是兩個隨機變量，則有 特別，特別，若若X與與Y相互獨立相互獨立: D(XY)=D(X)+D(Y) 4。 D(X)=0 PX=E(X)=1. ),(2)()( )()(2)()()(YXCovYDXDYEYXEXEYDXDYXD (2)(2)方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)5 5。若若X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, ,則則 E( (X)= , )= , D( (X)= .)= .3 3。若若X( ( ),),則則 E( (X)= )= , , D( (X)= )= . .4 4。若若X服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)均勻分布均勻分布， 則則 E( (X)=()=(a+b)/2, )/2, D(

4、(X)=()=(b-a) )2 2/12./12.6 6。若若XN( , 2), ,則則E( (X)= )= , , D( (X)= )= 2. .2。若若Xb(n, ,p ),則則 E( (X)=)=np, , D( (X)=)=npq. .1 1。若若X服從服從兩點分布兩點分布, ,則則 E( (X)=)=p, , D( (X)=)=pq. .( (三三) )一些常見分布的期望與方差一些常見分布的期望與方差 2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)= , ,方差方差D(X)= = 2 2. . 則對任意的正數(shù)則對任意的正數(shù) ，有，有 上式稱為切比雪夫上式稱為切比雪夫(cheb

5、yshev)不等式不等式22|-XP| ( () ) 注注 此不等式給出了在隨機變量的分布未知的情況下此不等式給出了在隨機變量的分布未知的情況下, , 估計事件估計事件 或或|-X| |-X| 的一種方法的一種方法. .的概率的概率協(xié)方差協(xié)方差: :)()(),(YEYXEXEYXCov 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù):D(Y)D(X)Y)Cov(X, XY X與與Y不相關(guān)不相關(guān): : XY =0計算公式計算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2。D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)協(xié)方差的性質(zhì)：協(xié)方差的性質(zhì)：1 1。Cov(X,X)= D(X) 2 2。Cov(X,Y)=

6、Cov(Y,X) 3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) (a,b為常數(shù)為常數(shù)) 4 4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：. 11 xy . 1,12 bXaYPbaxy使使常常數(shù)數(shù) 注注: : 1)1)若隨機變量若隨機變量X與與Y相互獨立相互獨立, ,則則X與與Y一定不相關(guān)一定不相關(guān); ; 反之不一定成立。反之不一定成立。 2) 2)對對二維正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量(X,Y): X與與Y不相關(guān)不相關(guān) X與與Y獨立獨立 3)3)二維正態(tài)分布只要

7、知道二維正態(tài)分布只要知道X與與Y的分布及相關(guān)系的分布及相關(guān)系 數(shù)即可確定數(shù)即可確定. .0 設(shè)設(shè)X,Y為隨機變量為隨機變量, ,則則,2,1),E(X kk, 2 , 1,),YE(X lklk1)1)X的的k階原點矩階原點矩( (k階矩階矩) )：2)2)X和和Y的的k+l 階混合矩：階混合矩：( (六六) ) 矩矩 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣, 2 , 1,E(X)-EX kk3)3)X的的k階中心矩：階中心矩：, 2 , 1,E(Y)-YE(X)-EX lklk4)4)X和和Y的的k +l 階混合中心矩：階混合中心矩：)X,X,(X21n協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 nnnnnncccccccccC2

8、12222111211 若若n維隨機變量維隨機變量 的二階的二階 混合中心矩都存在，稱矩陣混合中心矩都存在，稱矩陣)X,X,(X21nn維隨機變量維隨機變量 的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣., 2 , 1, ),E(X-)XE(X-EX)X,Cov(Xnjicjjiijiij B2.2.已知隨機變量已知隨機變量X在在 -1,1 上服從均勻分布，上服從均勻分布， Y=X3 , 則則 X與與 Y ( ) (A)不相關(guān)且相互獨立；不相關(guān)且相互獨立； (B)不相關(guān)且相互不獨立；不相關(guān)且相互不獨立； (C)相關(guān)且相互獨立；相關(guān)且相互獨立； (D)相關(guān)且相互不獨立。相關(guān)且相互不獨立。 D1.已知隨機變量已知隨機

9、變量X服從二項分布服從二項分布, ,且且E(X)=2.4,D(X)=1.44, 則二項分布的參數(shù)則二項分布的參數(shù) n, p 的值為的值為( )( ) (A) n=4, p=0.6 ; (B) n=6, p=0.4; (C) n=8, p=0.3 ; (D) n=24, p=0.1. 一一 選擇題選擇題3.3.設(shè)設(shè)X,Y為隨機變量為隨機變量,若若E(XY)=E(X)E(Y) ,則有則有( ) (A) D(XY)=D (X) D(Y) (B) D(X+Y)=D (X)+D (Y) (C) X和和Y相互獨立相互獨立. (D) X和和Y不獨立不獨立.B4.4.設(shè)設(shè)X,Y是兩個隨機變量是兩個隨機變量,

10、,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)a,b ( )使得使得 PY=aX+b=1,且且 0D (X)+ ,那么那么 為為( ) (A) 1； (B) -1； (C) ; (D) .0 a XY aa1 XY C二二 填空題填空題1.1.設(shè)設(shè)X1,X2,X3相互獨立相互獨立, , X1 U(0,6), X2 ,N(0,4), X3 (3), 則則D(X1 - -2 X2 +3 X3) = . 2.2.設(shè)一次試驗成功的概率為設(shè)一次試驗成功的概率為 p, 進(jìn)行進(jìn)行100次獨立重次獨立重 復(fù)試驗復(fù)試驗. .當(dāng)當(dāng) p = = 時時, ,成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的 值最大值最大. .最大值為最大值為 . .

11、461/253.3.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X, Y的數(shù)學(xué)期望分別為的數(shù)學(xué)期望分別為- -2和和2，方差，方差 分別為分別為1和和4，及相關(guān)系數(shù)為，及相關(guān)系數(shù)為- -0.5，則根據(jù)切比雪，則根據(jù)切比雪 夫不等式夫不等式 6YXP_。1/125.5.設(shè)設(shè)X ( ), 且且 E(X- -1)(X - -2)=1. 則則 = . 16.6.設(shè)設(shè)X 的概率密度為的概率密度為 且且 E(X)=1/2, D(X)=3/20, 則則 a = , b= , c= . 其其它它 , 0, 10 ,)(2xcbxaxxf12- -1234.4.設(shè)設(shè)X分布律為分布律為 , ,且且 x1 x2 如果如果E(X)=7/5，

12、 D(X)=6/25 ,則則 x1=_, x2=_.x1 x23/5 2/5Xp1 2三三 解答題解答題1.1.游客乘電梯從電視塔的底層到頂層觀光游客乘電梯從電視塔的底層到頂層觀光, ,電梯每整點電梯每整點 的第的第5分鐘分鐘, ,25分鐘分鐘, ,55分鐘從底層起行分鐘從底層起行. .假設(shè)一游客在假設(shè)一游客在 8點到點到9點之間的任意時刻到達(dá)電視塔的底層電梯處是點之間的任意時刻到達(dá)電視塔的底層電梯處是 等可能的等可能的, ,求該游客等候電梯時間的數(shù)學(xué)期望求該游客等候電梯時間的數(shù)學(xué)期望. .提示提示:1。設(shè)設(shè)X表示到達(dá)電視塔底層電梯處的時刻，表示到達(dá)電視塔底層電梯處的時刻， 則則 XU 0，6

13、0. 2。設(shè)設(shè)Y為旅客等候電梯的時間為旅客等候電梯的時間,待求的是待求的是Yg(X)的期望的期望.答案：答案：35/3.35/3. 2.2.一盒中放有10個籌碼，其中8個標(biāo)有2，2個標(biāo)有8. 今某人從盒中隨機地?zé)o放回地抽取3個籌碼. 若他獲得的獎金等于所抽3個籌碼的數(shù)字之和，求他獲獎數(shù)額的期望值. 解 : (1) 設(shè)X表示該人獲獎的數(shù)額， 從10個籌碼中抽取3個共有種情形，3個籌碼出現(xiàn)的數(shù)僅有3種不同情形：882，822，222所以X的取值為 18（882），12（822），6（222）， X的分布律為 X 18 12 6 3101822CCC3102812CCC31038CC(2) 6 .

14、91205661205612120818)( XE (2)12081205612056即 X 18 12 6 3. 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為: 其其他他,010 , 10,2),(yxyxyxf(1) 判斷判斷X與與Y是否相互獨立是否相互獨立, ,是否相關(guān)是否相關(guān)?(2) 求求E(X+Y),D(X+Y)答答: (1) X與與Y 不相互獨立不相互獨立,但相關(guān)但相關(guān).(2) E(X+Y)=5/6 , D(X+Y)=5/36 4.已知已知(X,Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布. 若若X N(1,32), Y N(0,42), 且且 求：求：1) E(Z), D(Z); 2)

15、 23,21YXZXY .XZ 答：答：1) E(Z)=1/3, D(Z)=3; 2） =0 . XZ 21, 0N5.5.已知已知X X與與Y Y相互獨立相互獨立, ,且均服從且均服從 分布分布, , 求求, )(YXE . )(YXD ,2)( YXE.21)( YXD答答6.6. 設(shè)有設(shè)有n n個球和個球和n n個能裝球的盒子，他們各編有序號個能裝球的盒子，他們各編有序號 1 1，2 2，n n，今隨機地將球分放在盒子里，每個今隨機地將球分放在盒子里，每個 盒中一個球，求兩個序號恰好一致的數(shù)對個數(shù)的盒中一個球，求兩個序號恰好一致的數(shù)對個數(shù)的 均值。均值。(習(xí)題14)提示：設(shè)提示：設(shè)X為兩個序號一致的個數(shù)，令為兩個序號一致的個數(shù)，令niiiiiXi, 2 , 1 , , 0 , 1 個個盒盒子子個個球球未未裝裝入入第第第第個個盒盒子子個個球球裝裝入入第第第第則則niiniiXEXEXX11)()( , 自測題自測題1.1.1)設(shè)設(shè)XN(,2), Y =exp , 求求E(Y). 2)已知已知X服從參數(shù)為服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的指數(shù)分布, ,求求E(X+e-2X).2222X2.2.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X和和Y同分布同分布,概率密度均為概率密度均為 1)已知事件已知事件A= 和和B= 獨立獨立, 且且 求常數(shù)求常數(shù) a ； 2)求求 的數(shù)學(xué)期望