第五講 微積分的創(chuàng)立與分析時代

1、 解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺。 微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追潮到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計算自古以來一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無窮小過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子。前面已經(jīng)介紹過阿基米德、劉輝和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實是人們建立一般積分學(xué)的漫長努力的先驅(qū)。 與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。 古希臘學(xué)者曾進(jìn)行過作曲線切線

2、的嘗試，如阿基米德論螺線中給出過確定螺線在給定點處的切線的方法；阿波羅尼奧斯圓錐曲線論中討論過圓錐曲線的切線，等等。但所有這些都是基于靜態(tài)的觀點 古代與中世紀(jì)中國學(xué)者在天文歷法研究中曾涉及到天體運動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，如郭守敬授時歷中求“月離遲疾”(月亮運行的最快點和最慢點)、求月亮白赤道交點與黃赤道交點距離的極值(郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”)等問題，但東方學(xué)者以慣用的數(shù)值手段(“招差術(shù)”，即有限差分計算)來處理，從而回避了連續(xù)變化率。 總之，在17世紀(jì)以前，真正意義上的微分學(xué)研究的例子可以說是很罕見的。一、微積分的醞釀一、微積分的醞釀 近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這

3、半個世紀(jì)。 為了理解這一醞釀的背景，我們首先來略微回顧一下這一時期自然科學(xué)的一般形勢和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。 首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動了光學(xué)的研究。 1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律。開普勒行星運動三大定律要意是： 1）行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點； 2）由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等； 3）行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。 開普勒主要是通過觀測歸納出這三條

4、定律從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗定律，成為當(dāng)時自然科學(xué)的中心課題之一。 1638年，伽利略的關(guān)于兩門新科學(xué)的對話出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45度時達(dá)到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。 凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使空前地成為人們關(guān)注的焦點。當(dāng)時，人們主要集中的焦點有：非勻速運動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成

5、為當(dāng)務(wù)之急；望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠(yuǎn)日點等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待解決。 與此同時，行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使面積、體積、曲線長、重心和引力計算的興趣被重新激發(fā)起來。 在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當(dāng)短的時期內(nèi)，取得了迅速的進(jìn)展。 代表性的工作有： 1、開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積： 例如他認(rèn)為球的體積是無數(shù)個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點在球心，底面則是

6、球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一。2 2、卡瓦列里不可分量原理：、卡瓦列里不可分量原理： 他在用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)中發(fā)展了。認(rèn)為線是由無限多個點組成；面是由無限多條平行線段組成；立體則是由無限多個平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”。 卡瓦列里利用這條原理計算出許多立體圖形的體積，他對積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于在1639利用平面上的不可分量原理建立了等價于列積分式 的基本結(jié)果，110nadxxnan3 3、笛卡兒的、笛卡兒的“圓法圓法”： 笛卡兒的這種代數(shù)方法在推動微積分

7、的早期發(fā)展方面有很大的影響， 笛卡兒圓法在確定重根時會導(dǎo)致極繁復(fù)的代數(shù)計算，1658年荷蘭數(shù)學(xué)家胡德提出了一套構(gòu)造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機(jī)械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時所要進(jìn)行的計算。4 4、費馬求極大值和極小值方、費馬求極大值和極小值方法法 按費馬的方法。設(shè)函數(shù)f(x)在點a處取極值，費馬用“a+e”代替原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即： f(a+e)f(a) 這里所提到的“e”就是后來微積分學(xué)當(dāng)中的“ ”x 5 5、巴羅的巴羅的“微分三角形微分三角形” 巴羅是牛頓的老師。是英國劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)

8、教授”，也是英國皇家學(xué)會的首批會員。當(dāng)巴羅發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識到牛頓的杰出才能時，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生當(dāng)時才27歲的牛頓來擔(dān)任。巴羅讓賢，已成為科學(xué)史上的佳話。6 6、沃利斯的、沃利斯的“無窮算術(shù)無窮算術(shù)” 沃利斯利用他的算術(shù)不可分量方法獲得了許多重要的結(jié)果，其中之一就是沃利斯另“一項重要的研究是計算四分之一單位圓的面積，并由此得到 的無窮乘積表達(dá)式。二、牛頓的二、牛頓的“流數(shù)術(shù)流數(shù)術(shù)” 牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的幾

9、何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。 1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，可以說牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的。牛頓牛頓 (英，英，1642-1727年年)Nature and Natures laws lay hid in night; God said, let Newton be! and all was light.自然和自然定律隱藏在茫茫自然和自然定律隱藏在茫茫黑夜中。上帝說：讓牛頓出黑夜中。上帝說：讓牛頓出世

10、吧！于是一切都豁然明朗。世吧！于是一切都豁然明朗。1、流數(shù)術(shù)的初建、流數(shù)術(shù)的初建牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當(dāng)時他反復(fù)閱讀笛卡兒幾何學(xué)，對笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終趨于零的增量。1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進(jìn)展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以流數(shù)簡論著稱，2、流數(shù)術(shù)的發(fā)展、流數(shù)術(shù)的發(fā)展，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667

11、年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)。他在這一年10月當(dāng)選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠(yuǎn)鏡制作方面的貢獻(xiàn)。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是： (1) 1669年的運用無限多項方程的分析 ； (2) 1671年的流數(shù)法與無窮級數(shù)； (3) 1691年的曲線求積術(shù)。3、原理原理與微積分與微積分牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在出版的力學(xué)名著之中。因此原理也成為數(shù)學(xué)史上的劃時代著作。原理在倡導(dǎo)的同時保留了無限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭

12、議。實際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時，堅持對微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說明了他對微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。 原理被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。 原理中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣： 事實上，他1664年參加巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時，因歐氏幾

13、何成績不佳差一點未能通過。 微積分的創(chuàng)立者牛頓 萊布尼茲評論牛頓：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過一半?！?“宇宙和宇宙規(guī)律，隱藏在一片黑夜里，上帝說降生牛頓，于是世界充滿光明。” “他幾乎以神一般的思維力，最先證明了行星的運動和圖象，彗星的軌道和大海的潮汐?！?牛頓語：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！?拉格朗日評論牛頓：“牛頓是歷史上最大才能的人，也是最幸運的人因為宇宙體系只能被發(fā)現(xiàn)一次。” 牛頓語：“若說我比笛卡兒看得更遠(yuǎn)一些的話，那是因為我站在巨人肩上的緣故?！迸ｎD的名言（對自己的評價） “如果我所見的比笛卡兒遠(yuǎn)一點，那是因為我站在巨人們肩上的緣故?！保?/p>

14、 If I have seen farther than Descartes, it is by standing on the shoulders of giants. ） “我不知道世人對我怎樣看法，我只覺得自己好象是在海濱游戲的孩子，有時為找到一塊光滑的石子或比較美麗的貝殼而高興，而真理的海洋仍然在我的前面未被發(fā)現(xiàn)”三、萊布尼茨的微積分三、萊布尼茨的微積分 萊布尼茨(16461716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思想。1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任

15、大使。萊布尼茨在巴黎居留了四年(16721676)，這四年對他整個科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎(chǔ)。萊布尼茨萊布尼茨 (德德，1646-1716)n 1661年進(jìn)入萊比錫大學(xué)年進(jìn)入萊比錫大學(xué)n 法學(xué)博士、外交官法學(xué)博士、外交官n 1672-1676年留居巴黎年留居巴黎n 數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家n 科學(xué)家科學(xué)家n 哲學(xué)家哲學(xué)家1 1、特征三角形、特征三角形萊布尼茨在巴黎與荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯的結(jié)識、交往，激發(fā)了他對數(shù)學(xué)的興趣他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問

16、題特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn)帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形帕斯卡的“例子”是下述的命題： “圓的一個象限的任何弧的正弦之和，等于界于兩端的兩個正弦之間的底線段乘以半徑”這里“正弦”是指縱坐標(biāo)，而在所說的和中，每個縱坐標(biāo)都要乘以相應(yīng)的圓的無限小弧而不是乘以底的無限小段。xrsy帕斯卡的論證僅限于這一特例，他本人并未察覺其中所使用的三角形的普遍意義。萊布尼茨卻由此看到帕斯卡的方法可以推廣，而借助于這樣的無限小三角形，可以“迅速地、毫無困難地建立大量的定理”，這就是萊布尼茨從帕斯卡的工作中看到的“一束光明”。2 2、分析微

17、積分的建立、分析微積分的建立早在1666年，萊布尼茨在組合藝術(shù)一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結(jié)論。3 3、萊布尼茨微積分的發(fā)表、萊布尼茨微積分的發(fā)表 萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文，刊登在教師學(xué)報上，這也是該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學(xué)研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx，dy。萊布尼茨假設(shè)橫坐標(biāo)x的微分dx是任意的量，縱坐標(biāo)y的微分dy就定義為它與dx之比等于縱坐標(biāo)與次切距之比的那個量。 新方法中明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式： 1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分

18、或切線問題的互逆關(guān)系。萊布尼茨分析道：研究不定求積或其不可能性的方法，對我來說不過是我稱之為反切線方法的更廣泛的問題的特殊情形(并且事實上是比較容易的情形)，而這種反切線方法包括了整個超越幾何的絕大部分”4 4、萊布尼茨的其他數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)、萊布尼茨的其他數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)符號邏輯二進(jìn)制計算機(jī)的先驅(qū)行列式四、牛頓和萊布尼茨四、牛頓和萊布尼茨微積分優(yōu)先權(quán)之爭微積分優(yōu)先權(quán)之爭p德丟勒德丟勒( (瑞士，瑞士，1664-1753)16991664-1753)1699年年“牛頓是微積分牛頓是微積分的第一發(fā)明人的第一發(fā)明人”p17131713年英國皇家學(xué)會裁定年英國皇家學(xué)會裁定“確認(rèn)牛頓為第一發(fā)明確認(rèn)牛頓為第一發(fā)明人人”

19、p英國與歐洲大陸數(shù)學(xué)家分道揚(yáng)鑣英國與歐洲大陸數(shù)學(xué)家分道揚(yáng)鑣p科學(xué)史上最不幸的一章科學(xué)史上最不幸的一章一、微積分的發(fā)展一、微積分的發(fā)展泰勒泰勒( (英英, 1685-1731), 1685-1731)n法學(xué)博士法學(xué)博士n進(jìn)入牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分優(yōu)先進(jìn)入牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭論委員會，皇家學(xué)會秘書權(quán)爭論委員會，皇家學(xué)會秘書n17151715年出版年出版正和反的增量法正和反的增量法n泰勒定理的價值由拉格朗日泰勒定理的價值由拉格朗日( (法法, , 1736-1813)1736-1813)發(fā)現(xiàn)，證明由柯西發(fā)現(xiàn)，證明由柯西( (法法, , 1789-1857)1789-1857)給出給出n

20、與約翰與約翰伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748), 1667-1748)關(guān)于關(guān)于泰勒公式優(yōu)先權(quán)之爭泰勒公式優(yōu)先權(quán)之爭n后期轉(zhuǎn)向宗教和哲學(xué)的寫作后期轉(zhuǎn)向宗教和哲學(xué)的寫作 (x)f2!h(x)hff(x)h)f(x2泰勒公式使任意單變量函泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級數(shù)成為可能。數(shù)展為冪級數(shù)成為可能。n皇家學(xué)會會員，愛丁堡大學(xué)教授皇家學(xué)會會員，愛丁堡大學(xué)教授n1818世紀(jì)英國最大數(shù)學(xué)家，世紀(jì)英國最大數(shù)學(xué)家，17421742年年流數(shù)論流數(shù)論n墓碑上刻墓碑上刻“曾蒙牛頓推薦曾蒙牛頓推薦”n牛頓微積分學(xué)說的竭力維護(hù)者牛頓微積分學(xué)說的竭力維護(hù)者(0)f2!x(0)xff(0)f(x)2麥克勞林

21、麥克勞林( (英英, 1698-1746), 1698-1746)X=0時的泰勒級數(shù)稱為時的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù)”n16861686到英國到英國, 1718, 1718年出版年出版機(jī)會的學(xué)機(jī)會的學(xué)說說 n英國皇家學(xué)會會員，進(jìn)入牛頓和萊布英國皇家學(xué)會會員，進(jìn)入牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭論委員會尼茨發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭論委員會n17301730年年分析雜論分析雜論n2)en(n!n棣莫弗棣莫弗( (法法, 1667-1754), 1667-1754)ninisincos)sincosn（n 1707-1730 1707-1730年棣莫弗定理年棣莫弗定理伯努利家族伯努利家族尼古

22、拉伯努利雅格布雅格布尼古拉約翰約翰尼古拉第二尼古拉第三丹尼爾丹尼爾約翰第二約翰第三丹尼爾第二雅格布第二伯努利家族伯努利家族雅格布雅格布伯努利伯努利( (瑞，瑞，1654-1705)1654-1705)n“我違背父親的意愿，研究星星。我違背父親的意愿，研究星星?！?n16871687年巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授年巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授 n1717世紀(jì)牛頓和萊布尼茨之后最先世紀(jì)牛頓和萊布尼茨之后最先發(fā)展微積分的人發(fā)展微積分的人n解析幾何、微積分、變分法、概解析幾何、微積分、變分法、概率論率論n16941694年年微分學(xué)方法微分學(xué)方法n16891689年證明調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性年證明調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性1nn13121

23、1n1約翰約翰伯努利伯努利( (瑞，瑞，1667-1748)1667-1748)n16941694年醫(yī)學(xué)博士、數(shù)學(xué)教授、英國皇家年醫(yī)學(xué)博士、數(shù)學(xué)教授、英國皇家學(xué)會會員學(xué)會會員n解析幾何、微分方程、變分法解析幾何、微分方程、變分法n1818世紀(jì)初分析學(xué)的重要奠基者之一世紀(jì)初分析學(xué)的重要奠基者之一, , 歐歐拉拉( (瑞瑞, 1707-1783), 1707-1783)的老師的老師n17001700年左右發(fā)展了積分法年左右發(fā)展了積分法n17421742年年積分學(xué)教程積分學(xué)教程( (寫于寫于1691-1692)1691-1692)n洛必達(dá)洛必達(dá)( (法法, 1661-1704), 1661-1704

24、)法則，法則，16961696年年關(guān)于曲線研究的無窮小分析關(guān)于曲線研究的無窮小分析 limlimaxaxlg(x)f(x)g(x)f(x)丹尼爾丹尼爾伯努利伯努利( (瑞，瑞，1700-1782)1700-1782)n醫(yī)學(xué)博士、數(shù)學(xué)教授、植物學(xué)教授、醫(yī)學(xué)博士、數(shù)學(xué)教授、植物學(xué)教授、生理學(xué)教授、物理學(xué)教授、哲學(xué)教生理學(xué)教授、物理學(xué)教授、哲學(xué)教授、英國皇家學(xué)會會員授、英國皇家學(xué)會會員n圣彼得堡：圣彼得堡：1725172517331733年年n巴塞爾：巴塞爾：1733173317821782年年n17381738年年流體動力學(xué)流體動力學(xué)n第一個把牛頓和萊布尼茨的微積分第一個把牛頓和萊布尼茨的微積分思

25、想連接起來的人思想連接起來的人n把微積分、微分方程應(yīng)用到物理學(xué)，把微積分、微分方程應(yīng)用到物理學(xué)，研究流體力學(xué)問題、物體振動和擺研究流體力學(xué)問題、物體振動和擺動問題，為數(shù)學(xué)物理方法的奠基人動問題，為數(shù)學(xué)物理方法的奠基人歐拉歐拉( (瑞瑞, 1707-1783), 1707-1783)n圣彼得堡科學(xué)院圣彼得堡科學(xué)院(1727-1741, 1766-1783)(1727-1741, 1766-1783)n柏林科學(xué)院柏林科學(xué)院(1741-1766)(1741-1766)n17481748年年無窮分析引論無窮分析引論、17551755年年微分學(xué)微分學(xué)原理原理、1768-17701768-1770年年積分

26、學(xué)原理積分學(xué)原理n最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家、最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家、歐拉全集歐拉全集8787卷卷n李善蘭譯的李善蘭譯的代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)（18591859）等著作記載）等著作記載了歐拉的學(xué)說了歐拉的學(xué)說n“讀讀歐拉，他是我們大家的老師讀讀歐拉，他是我們大家的老師”n“四杰四杰”：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯xixixsincosen 18 18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、“數(shù)學(xué)家之英雄數(shù)學(xué)家之英雄”歐拉歐拉無窮分析引論無窮分析引論瑞士法郎上的歐拉（瑞士法郎上的歐拉（1976）達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾( (法法, 1717-1783), 1717-1783)n自學(xué)成

27、才，巴黎科學(xué)院院士、終身秘書自學(xué)成才，巴黎科學(xué)院院士、終身秘書n1751-17571751-1757年與狄德羅年與狄德羅(1713-1784)(1713-1784)共同共同主編主編百科全書百科全書n“科學(xué)處于科學(xué)處于1717世紀(jì)的數(shù)學(xué)時代到世紀(jì)的數(shù)學(xué)時代到1818世紀(jì)的世紀(jì)的力學(xué)時代，力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興力學(xué)時代，力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣。趣?！眓動力學(xué)動力學(xué)、數(shù)學(xué)手冊數(shù)學(xué)手冊 n數(shù)學(xué)分析的重要開拓者之一，其成就僅數(shù)學(xué)分析的重要開拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾爾伯努利伯努利拉格朗日拉格朗日( (法法, 1736-1813), 17

28、36-1813)n數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中都有重大歷史性貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中都有重大歷史性貢獻(xiàn)，分析學(xué)中僅次于歐位的最大開拓者，論著超分析學(xué)中僅次于歐位的最大開拓者，論著超過過500500篇篇n17541754年年(18(18歲歲) )發(fā)現(xiàn)萊布尼茨公式發(fā)現(xiàn)萊布尼茨公式n17551755年任數(shù)學(xué)教授年任數(shù)學(xué)教授( (都靈時期都靈時期: 1754-1766): 1754-1766)n17881788年年分析力學(xué)分析力學(xué)( (柏林時期柏林時期: 1766-1787): 1766-1787)n17971797年年解析函數(shù)論解析函數(shù)論( (巴黎時期巴黎時期: 1787-1813): 1787-1813

29、)n分析力學(xué)的創(chuàng)立者、分析力學(xué)的創(chuàng)立者、天體力學(xué)的奠基者天體力學(xué)的奠基者n18081808年伯爵，年伯爵，18131813年帝國大十字勛章年帝國大十字勛章 b-af(b)-f(a)f(c) 1011n)(nn)(x-x)!(n(c)fR貝克萊主教貝克萊主教（愛爾蘭，（愛爾蘭，19851985）微積分的發(fā)展微積分的發(fā)展l 積分技術(shù)積分技術(shù)l 多元函數(shù)多元函數(shù)l 無窮級數(shù)無窮級數(shù)l 函數(shù)概念函數(shù)概念l 分析嚴(yán)格化的嘗試分析嚴(yán)格化的嘗試貝克萊貝克萊( (愛爾蘭愛爾蘭, 1685-1753): , 1685-1753): 分析學(xué)家，分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家或致一位不信神的數(shù)學(xué)家(1734)(1

30、734)“這些消逝的增量究竟是什么呢？它們既不這些消逝的增量究竟是什么呢？它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?？道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠幔俊?形式化觀點形式化觀點 極限觀點極限觀點：綜述綜述l 常微分方程常微分方程l 偏微分方程偏微分方程l 變分法變分法l 微分幾何微分幾何l 概率論概率論常微分方程常微分方程l 萊布尼茨、惠更斯、約翰萊布尼茨、惠更斯、約翰伯努利給出問題的解伯努利給出問題的解q 1690 1690年雅格布年雅格布伯努利伯努利( (瑞瑞, 1654-1705), 1654-1705)提提出懸鏈線問

31、題出懸鏈線問題 csdxdy cosh cxcy 初等解法初等解法l l 形成和發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)形成和發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展互相促進(jìn)和互相推動的技術(shù)的發(fā)展互相促進(jìn)和互相推動的q 分離變量法分離變量法q 變量代換法變量代換法q 積分因子法積分因子法q 黎卡提方程黎卡提方程q 降階法降階法q 常系數(shù)線性方程常系數(shù)線性方程2001年9月6日哈勃拍到的星體爆發(fā)星系拉格朗日拉格朗日( (法法, 1958), 1958)偏微分方程偏微分方程包含未知函數(shù)以及包含未知函數(shù)以及偏導(dǎo)數(shù)的等式偏導(dǎo)數(shù)的等式l 偏微分方程理論研究一個方程偏微分方程理論研究一個方程

32、( (組組) )是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解，有多是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解，有多少個解少個解, , 解的各種性質(zhì)與求解方法，及解的各種性質(zhì)與求解方法，及其應(yīng)用其應(yīng)用l一階偏微分方程：一階偏微分方程：17721772年拉格朗日年拉格朗日( (法法, , 1736-1813)1736-1813)和和18191819年柯西年柯西( (法法, , 1789-1857 )1789-1857 )發(fā)現(xiàn)將其轉(zhuǎn)化為一階常微發(fā)現(xiàn)將其轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組分方程組達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾( (法法, 1959), 1959)偏微分方程偏微分方程22222xuctu t)-(xt)(x x)u(t, 通解1ncossin l

33、nlnau(t, x)n特解n 1747 1747年和年和17491749年達(dá)朗貝爾和歐拉求年達(dá)朗貝爾和歐拉求出解出解n 弦振動方程：弦振動方程：17151715年和年和17271727年泰勒年泰勒和約翰和約翰伯努利分別提出伯努利分別提出n 1753 1753年丹尼爾年丹尼爾伯努利導(dǎo)出了具有正伯努利導(dǎo)出了具有正弦周期模式的解弦周期模式的解拉普拉斯拉普拉斯0zVyVxV22222202l 拉普拉斯拉普拉斯: 1773: 1773年進(jìn)入巴黎科學(xué)院年進(jìn)入巴黎科學(xué)院, 1785, 1785年當(dāng)選年當(dāng)選院士院士, , 17891789年研究制定公制系統(tǒng)年研究制定公制系統(tǒng), , 17961796年任科學(xué)院

34、年任科學(xué)院院長院長, 1799, 1799年任內(nèi)政部長年任內(nèi)政部長, 1803, 1803年任參議院議長年任參議院議長, , 18171817年再任法國科學(xué)院院長年再任法國科學(xué)院院長, , 并封爵并封爵 n位勢方程位勢方程( (拉普拉斯方程拉普拉斯方程) )：17521752年歐拉年歐拉提出，提出，17851785年拉普拉斯年拉普拉斯( (法法, 1749-1827) , 1749-1827) 用球調(diào)和函數(shù)求解用球調(diào)和函數(shù)求解l 1796 1796年年宇宙體系論宇宙體系論的星云假說，的星云假說，1799179918251825年年天體力學(xué)天體力學(xué)l “陛下陛下, , 我不需要這樣的假設(shè)我不需要這樣的假設(shè)! !”星云假說星云假說n16971697年牛頓、萊布尼茨、洛必達(dá)、年牛頓、萊布尼茨、洛必達(dá)、約翰約翰伯努利、雅伯努利、雅各布各布伯努利等解決伯努利等解決 16961696年約翰年約翰伯努利提出最速降線伯努利提出最速降線問題問題變分法變分法l 研究泛函的極值的方法研究泛函的極值的方法l Calculus of Variations (1756)dxy(x)(x)y12g1J21xx2dx x),y f(y,J21xx歐拉歐拉( (瑞士瑞士, 19