第三講 ARMA模型

1、1 第三講第三講 ARMA模型模型2預備知識預備知識差分方程：滯后算子與動態(tài)模型差分方程：滯后算子與動態(tài)模型一、一階差分方程一、一階差分方程 例如： （1） 一個差分方程指將一個變量的當期值定義為它的前一期和一個檔期的隨機擾動因素的函數(shù)。 求解差分方程就是想要得到以隨機擾動項 表示的 表達式，方法是不斷迭代。 一般地，一階差分方程可以寫為： 1yytttytt+1-1+1+1+ -1+yy+jjjt jtttt jt j 3tt+y=t jjt 動態(tài)乘數(shù)：在方程（1）中，一般假設 是服從某種分布的隨機擾動項，在實踐中，需要知道 對 的動態(tài)影響路徑怎樣。 動態(tài)乘數(shù)定義為： 當 j=0時，也叫影響

2、乘數(shù)。 脈沖響應函數(shù)：由動態(tài)乘數(shù)的定義，對應每一個時間跨度 j，有一個對應的動態(tài)乘數(shù)，那么如果將不同時間跨度 j 的動態(tài)乘數(shù)按 j 從小到大的順序擺放一起，形成一個路徑，就成為脈沖響應函數(shù)。應用很廣！ 例如，可用之刻畫通貨膨脹或經濟產出等在受到一個正向或負向的貨幣政策沖擊后形成的動態(tài)路徑和持續(xù)時間情況。二、動態(tài)乘數(shù)與脈沖響應函數(shù)二、動態(tài)乘數(shù)與脈沖響應函數(shù)yt1yyttt（1）4+-1-2+1+2+yyyy+=+ +1t jt jt jt jjjjtttt j 累計脈沖響應函數(shù)： 以此衡量隨機擾動因素如果出現(xiàn)永久性變化后，即 都變化一個單位，對 造成的影響和沖擊。+1+ttt j， ，yt 練習

3、練習：建立年度（19511983）數(shù)據(jù)文件，導入book1中數(shù)據(jù)x。利用Eviews創(chuàng)建一個程序，嘗試生成不同的yt序列，還可嘗試繪制出脈沖響應函數(shù)圖： smpl first first series x=0 smpl first+1 last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正態(tài)分布） 該程序是用一階差分方程生成一個x序列，初始值設定為0，擾動項設定為服從均值為0，標準差為0.8的正態(tài)分布。5 滯后期增加，就復雜化。因為每個滯后項系數(shù)都會影響差分方程所刻畫的序列變量的動態(tài)特征。尤其是在求解高階差分方程和脈沖響應分析等問題，僅從原始方程入手很困難和繁瑣。需矩陣知識，把高

4、階化為一階來處理。 滯后算子的一個重要而常用的性質(L是算子) （2） 上式成立條件：|1-1221-)1LLL （三、高階差分方程三、高階差分方程 高階差分方程是學習AR(p)的基礎。 p階差分方程一般式：1122yyy+ytttptpt6（一（一）ARMA模型模型的引進的引進 注意：如果假設均值為零， 可以不寫） 如果序列在其均值附近波動： Y t 可用 來預測 ，011ttkt ktARYYY：012.TTYYYFYT1TF789 注意注意：平穩(wěn)指弱平穩(wěn)，即方差、均值不隨時間變化，這樣yt永遠不會“過分”偏離其均值水平。換言之，平穩(wěn)序列表現(xiàn)出一種向均值水平恢復的特征，在金融時序分析中常稱

5、為“均值回復”，英文是mean reverting，許多文獻卻譯為“均值反轉”，使讀者一頭霧水！1011 偏自相關函數(shù)的定義偏自相關函數(shù)的定義: 設zt為零均值平穩(wěn)序列， zt+1 ， zt+2， zt+k-1對zt 和zt+k 的線性估計為： 用kk表示偏自相關函數(shù)，則：112211112211ktkttktktktttzzzzzzzz)var()var()(),cov(ktktttktktttkkzzzzzzzz12123456556065707580859095Y例例3：建文件：1952到1996（年度），調入book12的y。第一步：看圖。y的時序圖：13（1）數(shù)據(jù)量不大時，如70或8

6、0數(shù)據(jù)，取M=n/4。（2）數(shù)據(jù)量較大時，如300個數(shù)據(jù)，可取M=n/10。（3）數(shù)據(jù)量很大時，如成千上萬，可取M=根號n此例有45個數(shù)據(jù)，最大滯后期取12即可?？傻孟嚓P圖如下：從偏自相關函數(shù)來看，相鄰兩項的相關性很強（指的是滯后一期）。而自相關函數(shù)則不同。14 例例4：季度數(shù)據(jù)文件：1979:11999:2，調入book8中1個數(shù)據(jù)y。 同樣，輸入序列名y，滯后期取20?？傻米韵嚓P圖： 可見：自相關程度緩慢減弱。而偏自相關相鄰兩項相關程度很高。15例例5：建月度文件：1972:011982:12，調入book18 的y（汗衫背心零售量），滯后期36。自相關圖為： 從自相關函數(shù)看： 12、24

7、、36很大，即相同月份有很強季節(jié)性，無明顯趨勢。 從偏自相關函數(shù)看，k=1時一樣，k=2時“自”和“偏”自相關差距很大。16 下面從自相關和偏相關來研究序列特性：（二）（二）時序特性分析時序特性分析 1. 平穩(wěn)性分析 （1）平穩(wěn)時序定義與特點 描述性定義：序列的統(tǒng)計特征不隨時間而變化，均值恒為常數(shù)；自相關系數(shù)只與時間間隔有關，與時間起始點無關。 平穩(wěn)序列自相關的特點：自相關系數(shù)在k較小值時就迅速趨于零。 （2）消除趨勢方法 若其非平穩(wěn)是趨勢，可逐期差分或短期差分（也叫短差）。17例例6：建季度文件：1979:1-1999:2，導入book8的y。第一：看圖01,0002,0003,0004,0

8、005,0006,0007,0008,0009,00080828486889092949698Y可見，趨勢很強。下面從自相關圖也可得出此結論。18趨勢看自相關，19第二，做差分輸入：genr iy=y-y(-1)，序列圖：-800-40004008001,2001,60080828486889092949698IY 可見，無趨勢但有季節(jié)性，還可從iy自相關圖可見。如下：20 易見，趨勢基本消除，但有明顯季節(jié)性。月度數(shù)據(jù)類似。4,8,12等地方，有季節(jié)性，21 注意：用自相關研究時間序列季節(jié)性時，得先消除趨勢性。 對于季節(jié)性，也可采用差分，此時叫季節(jié)差分。 對于季度數(shù)據(jù)，就用genr sy=y-

9、y(-4)，對月度數(shù)據(jù)，就用genr iy=y-y(-12) 第三，對逐期差分后的數(shù)據(jù)iy再做一階季節(jié)差分 輸入：genr sy=iy-iy(-4)， 先看sy的圖形：-300-200-100010020030040080828486889092949698SY可見，即去除了趨勢也去除了季節(jié)。22 再看sy的自相關圖，如下：23 注意注意： （1）很多遞增序列，如GDP，一階差分難平穩(wěn)?？上热?shù)再差分。 （2）用自相關函數(shù)可判斷序列完全隨機。（三）（三）ARMA模型及其改進模型及其改進24 例如例如：AR(1)： （1）1yytttc2-122-12+12-1-1-2-yy = y =(1+

10、 +) +y+tttttttnnnt ntttt nccccc （）在|1條件下，則有 ，則上式變?yōu)椋簂im=0nn2-1-2y+1-ttttc 即無窮階移動平均過程，即MA()。 即當|1時，AR(1)中的yt可寫成擾動項的和。 實際上，在一般條件都滿足的情況下，|1是是AR(1)平平穩(wěn)的充要條件穩(wěn)的充要條件。252-1-2y -+tttt 可見，只要|1，則yt方差保持恒定不變。=, ()1-tcEy即如果令： ，則有2220-1-222242-1-224222= (y - )(+) = ()() +() + =(1+) =1-tttttttEEEEE yt的方差為262210.5, (0

11、,), =0.5ttttyyN 20210.5=3.414=11-1-1-0.51- 5c和 為了對AR(1)的均值和方差有更感性的認識，可模擬AR(1)數(shù)據(jù)生成過程，使用的AR(1)過程為 分別生成兩組觀測值，容量n=30和n=1000，二序列（模擬圖如下）均值和方差分別為： 但是，發(fā)現(xiàn)模擬數(shù)據(jù)的均值和方差與理論上的均值和方差不等。但是，n越大越接近，為什么？27程序為：smpl first first：選取序列的第一個值series x=1：令第一個值為1smpl first+1 last：選取第二個值到最后一個值series x=1+0.50.5*x(-1)+0.5*nrnd：令第二個值

12、到最后一個值為服從正態(tài)分布的隨機數(shù)， 可以想象，如果按一定規(guī)則的數(shù)據(jù)生成過程生成足夠多的觀測序列（比如1萬次或10萬次），然后再求樣本均值，應該可以得到較高精度的結果，從而盡量捕捉真實過程的特性。 該思想與計量經濟學的另一重要概念不謀而合，即蒙特卡洛模擬。 28（2）AR (p) 序列的自相關和偏自相關：k截尾性：AR(p)為p階截尾。由AR(1)的穩(wěn)定性知|1，當k時，呈指數(shù)形衰減。該現(xiàn)象叫拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinite memory）。注意：1jtt jttt jtjtt jtt jtt jttjE y c ycEEjj 41MA(1)的自相關函數(shù)為：1210=11+=01

13、jjjj42 AR(2)示例：用ARMA模型模擬我國1983年1月2007年8月的CPI ，用隨后的單位根檢驗知CPI非平穩(wěn)，但一階差分CPI平穩(wěn)。其中cpi在工作文件框中用D_CPI表示，則建立cpi的AR(2)， 為此，在公式欄輸入：D_CPI=AR(1)=C(1),AR(2)=C(2)，則120.420.19ttttCPICPICPIu t = (7.25) (3.29) R2=0.286 D.W.=2.03即模型為： 還可做殘差LM檢驗，發(fā)現(xiàn)以消除自相關。另外，預測后，可以畫出D_CPI和D_CPIf的圖形進行比較。4345的下標k只考慮在季節(jié)時滯上的值。4647-800-400040

14、08001,2001,60080828486889092949698IY 可見，趨勢已去除，但有季節(jié)性（也可從看iy自相關圖看出，在4、8、12、16、20等自相關函數(shù)很大，有明顯季節(jié)性）。 再做季節(jié)差分：genr sy=iy-iy(-4)48-300-200-100010020030040080828486889092949698SY 可見，不僅無趨勢，且季節(jié)也已消除。 再看sy的自相關圖也會發(fā)現(xiàn)，季節(jié)性已不明顯。 所以，d=D=1。49 為此，觀察sy的自相關和偏自相關，好像p、q都是零，但不論自相關還是偏自相關后面均出現(xiàn)較大值，這時可考慮p、q試著取1（這是經驗） 下面根據(jù)上述選擇的模型

15、形式，作參數(shù)估計。 特別注意：做模型時，可先取對數(shù)，再做逐期差分和步長為4的季節(jié)差分，這樣更容易使序列平穩(wěn)。具體來講：（上述例例7）50第一步： genr ly=log(y) genr ily=ly-ly(-1) genr sly=ily-ily(-4)被解釋變量就是sly，即Yt。 下面做一個簡單模型：選擇：P=0，q=0，P=2，Q=1輸入：ls d(log(y),1,4) sar(4) sar(8) sma(4)，或輸入：d(LOG(Y),1,4) SAR(4) SAR(8) SMA(4)得如下表：5152 注意注意：d(y,n,s)=(1-B)n(1-B s)y表示對序列做n次一階逐期

16、差分和一次步長為s的季節(jié)差分后的新序列。 這里：假設p=q=0，若p=2，q=3，則需輸入： d(LOG(Y),1,4) ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) ma(3) SAR(4) SAR(8) SMA(4) 如果季節(jié)為12，則對應P=2，Q=1，上述后三項應為：SAR(12) SAR(24) SMA(12)。 53 出于擬合的目的，估計出的ARIMA模型通常不做參數(shù)顯著性檢驗。另外，R2=0.2左右，故擬合不太好。 同樣，也可預測。點擊forecast，Method處“靜態(tài)” 。02,0004,0006,0008,00010,000828486889092949698YF 2

17、S.E.Forecast: YFActual: YForecast sample: 1979Q1 1999Q2Adjusted sample: 1982Q2 1999Q2Included observations: 69Root Mean Squared Error 108.1534Mean Absolute Error 76.31120Mean Abs. Percent Error 3.082479Theil Inequality Coefficient 0.014320 Bias Proportion 0.010138 Variance Proportion 0.126457 Covariance Proportion 0.863404 MAPE=3.08，不錯。通常，ARMA和ARIMA模型預測精度都很高。 54再看一下y和yf的圖形： 01,0002,0003,0004,0005,0006,0007,0008,0009,00080828486889092949698YYF55 上述完成了識別、估計，還需殘差檢驗，即自相關檢驗。 需注意，在回歸模型中自相關檢驗是檢驗殘差序列的一階自相關，即DW檢驗。 但對于ARMA或ARIMA模型，這種檢驗不