第三講 ARMA模型

1、1 第三講第三講 ARMA模型模型2預(yù)備知識預(yù)備知識差分方程：滯后算子與動(dòng)態(tài)模型差分方程：滯后算子與動(dòng)態(tài)模型一、一階差分方程一、一階差分方程 例如： （1） 一個(gè)差分方程指將一個(gè)變量的當(dāng)期值定義為它的前一期和一個(gè)檔期的隨機(jī)擾動(dòng)因素的函數(shù)。 求解差分方程就是想要得到以隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 表示的 表達(dá)式，方法是不斷迭代。 一般地，一階差分方程可以寫為： 1yytttytt+1-1+1+1+ -1+yy+jjjt jtttt jt j 3tt+y=t jjt 動(dòng)態(tài)乘數(shù)：在方程（1）中，一般假設(shè) 是服從某種分布的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，在實(shí)踐中，需要知道 對 的動(dòng)態(tài)影響路徑怎樣。 動(dòng)態(tài)乘數(shù)定義為： 當(dāng) j=0時(shí)，也叫影響

2、乘數(shù)。 脈沖響應(yīng)函數(shù)：由動(dòng)態(tài)乘數(shù)的定義，對應(yīng)每一個(gè)時(shí)間跨度 j，有一個(gè)對應(yīng)的動(dòng)態(tài)乘數(shù)，那么如果將不同時(shí)間跨度 j 的動(dòng)態(tài)乘數(shù)按 j 從小到大的順序擺放一起，形成一個(gè)路徑，就成為脈沖響應(yīng)函數(shù)。應(yīng)用很廣！ 例如，可用之刻畫通貨膨脹或經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出等在受到一個(gè)正向或負(fù)向的貨幣政策沖擊后形成的動(dòng)態(tài)路徑和持續(xù)時(shí)間情況。二、動(dòng)態(tài)乘數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)二、動(dòng)態(tài)乘數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)yt1yyttt（1）4+-1-2+1+2+yyyy+=+ +1t jt jt jt jjjjtttt j 累計(jì)脈沖響應(yīng)函數(shù)： 以此衡量隨機(jī)擾動(dòng)因素如果出現(xiàn)永久性變化后，即 都變化一個(gè)單位，對 造成的影響和沖擊。+1+ttt j， ，yt 練習(xí)

3、練習(xí)：建立年度（19511983）數(shù)據(jù)文件，導(dǎo)入book1中數(shù)據(jù)x。利用Eviews創(chuàng)建一個(gè)程序，嘗試生成不同的yt序列，還可嘗試?yán)L制出脈沖響應(yīng)函數(shù)圖： smpl first first series x=0 smpl first+1 last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正態(tài)分布） 該程序是用一階差分方程生成一個(gè)x序列，初始值設(shè)定為0，擾動(dòng)項(xiàng)設(shè)定為服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.8的正態(tài)分布。5 滯后期增加，就復(fù)雜化。因?yàn)槊總€(gè)滯后項(xiàng)系數(shù)都會(huì)影響差分方程所刻畫的序列變量的動(dòng)態(tài)特征。尤其是在求解高階差分方程和脈沖響應(yīng)分析等問題，僅從原始方程入手很困難和繁瑣。需矩陣知識，把高

4、階化為一階來處理。 滯后算子的一個(gè)重要而常用的性質(zhì)(L是算子) （2） 上式成立條件：|1-1221-)1LLL （三、高階差分方程三、高階差分方程 高階差分方程是學(xué)習(xí)AR(p)的基礎(chǔ)。 p階差分方程一般式：1122yyy+ytttptpt6（一（一）ARMA模型模型的引進(jìn)的引進(jìn) 注意：如果假設(shè)均值為零， 可以不寫） 如果序列在其均值附近波動(dòng)： Y t 可用 來預(yù)測 ，011ttkt ktARYYY：012.TTYYYFYT1TF789 注意注意：平穩(wěn)指弱平穩(wěn)，即方差、均值不隨時(shí)間變化，這樣yt永遠(yuǎn)不會(huì)“過分”偏離其均值水平。換言之，平穩(wěn)序列表現(xiàn)出一種向均值水平恢復(fù)的特征，在金融時(shí)序分析中常稱

5、為“均值回復(fù)”，英文是mean reverting，許多文獻(xiàn)卻譯為“均值反轉(zhuǎn)”，使讀者一頭霧水！1011 偏自相關(guān)函數(shù)的定義偏自相關(guān)函數(shù)的定義: 設(shè)zt為零均值平穩(wěn)序列， zt+1 ， zt+2， zt+k-1對zt 和zt+k 的線性估計(jì)為： 用kk表示偏自相關(guān)函數(shù)，則：112211112211ktkttktktktttzzzzzzzz)var()var()(),cov(ktktttktktttkkzzzzzzzz12123456556065707580859095Y例例3：建文件：1952到1996（年度），調(diào)入book12的y。第一步：看圖。y的時(shí)序圖：13（1）數(shù)據(jù)量不大時(shí)，如70或8

6、0數(shù)據(jù)，取M=n/4。（2）數(shù)據(jù)量較大時(shí)，如300個(gè)數(shù)據(jù)，可取M=n/10。（3）數(shù)據(jù)量很大時(shí)，如成千上萬，可取M=根號n此例有45個(gè)數(shù)據(jù)，最大滯后期取12即可。可得相關(guān)圖如下：從偏自相關(guān)函數(shù)來看，相鄰兩項(xiàng)的相關(guān)性很強(qiáng)（指的是滯后一期）。而自相關(guān)函數(shù)則不同。14 例例4：季度數(shù)據(jù)文件：1979:11999:2，調(diào)入book8中1個(gè)數(shù)據(jù)y。 同樣，輸入序列名y，滯后期取20?？傻米韵嚓P(guān)圖： 可見：自相關(guān)程度緩慢減弱。而偏自相關(guān)相鄰兩項(xiàng)相關(guān)程度很高。15例例5：建月度文件：1972:011982:12，調(diào)入book18 的y（汗衫背心零售量），滯后期36。自相關(guān)圖為： 從自相關(guān)函數(shù)看： 12、24

7、、36很大，即相同月份有很強(qiáng)季節(jié)性，無明顯趨勢。 從偏自相關(guān)函數(shù)看，k=1時(shí)一樣，k=2時(shí)“自”和“偏”自相關(guān)差距很大。16 下面從自相關(guān)和偏相關(guān)來研究序列特性：（二）（二）時(shí)序特性分析時(shí)序特性分析 1. 平穩(wěn)性分析 （1）平穩(wěn)時(shí)序定義與特點(diǎn) 描述性定義：序列的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間而變化，均值恒為常數(shù)；自相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，與時(shí)間起始點(diǎn)無關(guān)。 平穩(wěn)序列自相關(guān)的特點(diǎn)：自相關(guān)系數(shù)在k較小值時(shí)就迅速趨于零。 （2）消除趨勢方法 若其非平穩(wěn)是趨勢，可逐期差分或短期差分（也叫短差）。17例例6：建季度文件：1979:1-1999:2，導(dǎo)入book8的y。第一：看圖01,0002,0003,0004,0

8、005,0006,0007,0008,0009,00080828486889092949698Y可見，趨勢很強(qiáng)。下面從自相關(guān)圖也可得出此結(jié)論。18趨勢看自相關(guān)，19第二，做差分輸入：genr iy=y-y(-1)，序列圖：-800-40004008001,2001,60080828486889092949698IY 可見，無趨勢但有季節(jié)性，還可從iy自相關(guān)圖可見。如下：20 易見，趨勢基本消除，但有明顯季節(jié)性。月度數(shù)據(jù)類似。4,8,12等地方，有季節(jié)性，21 注意：用自相關(guān)研究時(shí)間序列季節(jié)性時(shí)，得先消除趨勢性。 對于季節(jié)性，也可采用差分，此時(shí)叫季節(jié)差分。 對于季度數(shù)據(jù)，就用genr sy=y-

9、y(-4)，對月度數(shù)據(jù)，就用genr iy=y-y(-12) 第三，對逐期差分后的數(shù)據(jù)iy再做一階季節(jié)差分 輸入：genr sy=iy-iy(-4)， 先看sy的圖形：-300-200-100010020030040080828486889092949698SY可見，即去除了趨勢也去除了季節(jié)。22 再看sy的自相關(guān)圖，如下：23 注意注意： （1）很多遞增序列，如GDP，一階差分難平穩(wěn)?？上热?shù)再差分。 （2）用自相關(guān)函數(shù)可判斷序列完全隨機(jī)。（三）（三）ARMA模型及其改進(jìn)模型及其改進(jìn)24 例如例如：AR(1)： （1）1yytttc2-122-12+12-1-1-2-yy = y =(1+

10、 +) +y+tttttttnnnt ntttt nccccc （）在|1條件下，則有 ，則上式變?yōu)椋簂im=0nn2-1-2y+1-ttttc 即無窮階移動(dòng)平均過程，即MA()。 即當(dāng)|1時(shí)，AR(1)中的yt可寫成擾動(dòng)項(xiàng)的和。 實(shí)際上，在一般條件都滿足的情況下，|1是是AR(1)平平穩(wěn)的充要條件穩(wěn)的充要條件。252-1-2y -+tttt 可見，只要|1，則yt方差保持恒定不變。=, ()1-tcEy即如果令： ，則有2220-1-222242-1-224222= (y - )(+) = ()() +() + =(1+) =1-tttttttEEEEE yt的方差為262210.5, (0

11、,), =0.5ttttyyN 20210.5=3.414=11-1-1-0.51- 5c和 為了對AR(1)的均值和方差有更感性的認(rèn)識，可模擬AR(1)數(shù)據(jù)生成過程，使用的AR(1)過程為 分別生成兩組觀測值，容量n=30和n=1000，二序列（模擬圖如下）均值和方差分別為： 但是，發(fā)現(xiàn)模擬數(shù)據(jù)的均值和方差與理論上的均值和方差不等。但是，n越大越接近，為什么？27程序?yàn)椋簊mpl first first：選取序列的第一個(gè)值series x=1：令第一個(gè)值為1smpl first+1 last：選取第二個(gè)值到最后一個(gè)值series x=1+0.50.5*x(-1)+0.5*nrnd：令第二個(gè)值

12、到最后一個(gè)值為服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)， 可以想象，如果按一定規(guī)則的數(shù)據(jù)生成過程生成足夠多的觀測序列（比如1萬次或10萬次），然后再求樣本均值，應(yīng)該可以得到較高精度的結(jié)果，從而盡量捕捉真實(shí)過程的特性。 該思想與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的另一重要概念不謀而合，即蒙特卡洛模擬。 28（2）AR (p) 序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)：k截尾性：AR(p)為p階截尾。由AR(1)的穩(wěn)定性知|1，當(dāng)k時(shí)，呈指數(shù)形衰減。該現(xiàn)象叫拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinite memory）。注意：1jtt jttt jtjtt jtt jtt jttjE y c ycEEjj 41MA(1)的自相關(guān)函數(shù)為：1210=11+=01

13、jjjj42 AR(2)示例：用ARMA模型模擬我國1983年1月2007年8月的CPI ，用隨后的單位根檢驗(yàn)知CPI非平穩(wěn)，但一階差分CPI平穩(wěn)。其中cpi在工作文件框中用D_CPI表示，則建立cpi的AR(2)， 為此，在公式欄輸入：D_CPI=AR(1)=C(1),AR(2)=C(2)，則120.420.19ttttCPICPICPIu t = (7.25) (3.29) R2=0.286 D.W.=2.03即模型為： 還可做殘差LM檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)以消除自相關(guān)。另外，預(yù)測后，可以畫出D_CPI和D_CPIf的圖形進(jìn)行比較。4345的下標(biāo)k只考慮在季節(jié)時(shí)滯上的值。4647-800-400040

14、08001,2001,60080828486889092949698IY 可見，趨勢已去除，但有季節(jié)性（也可從看iy自相關(guān)圖看出，在4、8、12、16、20等自相關(guān)函數(shù)很大，有明顯季節(jié)性）。 再做季節(jié)差分：genr sy=iy-iy(-4)48-300-200-100010020030040080828486889092949698SY 可見，不僅無趨勢，且季節(jié)也已消除。 再看sy的自相關(guān)圖也會(huì)發(fā)現(xiàn)，季節(jié)性已不明顯。 所以，d=D=1。49 為此，觀察sy的自相關(guān)和偏自相關(guān)，好像p、q都是零，但不論自相關(guān)還是偏自相關(guān)后面均出現(xiàn)較大值，這時(shí)可考慮p、q試著取1（這是經(jīng)驗(yàn)） 下面根據(jù)上述選擇的模型

15、形式，作參數(shù)估計(jì)。 特別注意：做模型時(shí)，可先取對數(shù)，再做逐期差分和步長為4的季節(jié)差分，這樣更容易使序列平穩(wěn)。具體來講：（上述例例7）50第一步： genr ly=log(y) genr ily=ly-ly(-1) genr sly=ily-ily(-4)被解釋變量就是sly，即Yt。 下面做一個(gè)簡單模型：選擇：P=0，q=0，P=2，Q=1輸入：ls d(log(y),1,4) sar(4) sar(8) sma(4)，或輸入：d(LOG(Y),1,4) SAR(4) SAR(8) SMA(4)得如下表：5152 注意注意：d(y,n,s)=(1-B)n(1-B s)y表示對序列做n次一階逐期

16、差分和一次步長為s的季節(jié)差分后的新序列。 這里：假設(shè)p=q=0，若p=2，q=3，則需輸入： d(LOG(Y),1,4) ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) ma(3) SAR(4) SAR(8) SMA(4) 如果季節(jié)為12，則對應(yīng)P=2，Q=1，上述后三項(xiàng)應(yīng)為：SAR(12) SAR(24) SMA(12)。 53 出于擬合的目的，估計(jì)出的ARIMA模型通常不做參數(shù)顯著性檢驗(yàn)。另外，R2=0.2左右，故擬合不太好。 同樣，也可預(yù)測。點(diǎn)擊forecast，Method處“靜態(tài)” 。02,0004,0006,0008,00010,000828486889092949698YF 2

17、S.E.Forecast: YFActual: YForecast sample: 1979Q1 1999Q2Adjusted sample: 1982Q2 1999Q2Included observations: 69Root Mean Squared Error 108.1534Mean Absolute Error 76.31120Mean Abs. Percent Error 3.082479Theil Inequality Coefficient 0.014320 Bias Proportion 0.010138 Variance Proportion 0.126457 Covariance Proportion 0.863404 MAPE=3.08，不錯(cuò)。通常，ARMA和ARIMA模型預(yù)測精度都很高。 54再看一下y和yf的圖形： 01,0002,0003,0004,0005,0006,0007,0008,0009,00080828486889092949698YYF55 上述完成了識別、估計(jì)，還需殘差檢驗(yàn)，即自相關(guān)檢驗(yàn)。 需注意，在回歸模型中自相關(guān)檢驗(yàn)是檢驗(yàn)殘差序列的一階自相關(guān)，即DW檢驗(yàn)。 但對于ARMA或ARIMA模型，這種檢驗(yàn)不