理論力學(xué)_經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論課件

1、7.1 正則共軛坐標(biāo)正則共軛坐標(biāo)7.2 哈密頓函數(shù)和正則方程哈密頓函數(shù)和正則方程7.3 變分問(wèn)題的歐拉方程變分問(wèn)題的歐拉方程 7.4 哈密頓原理哈密頓原理7.5 正則變換正則變換7.6 泊松括號(hào)和泊松定理泊松括號(hào)和泊松定理7.7 哈密頓哈密頓-雅科畢理論雅科畢理論7.8 用哈密頓理論解開普勒問(wèn)題用哈密頓理論解開普勒問(wèn)題完完全全獨(dú)獨(dú)立立的的。是是與與數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)的的術(shù)術(shù)語(yǔ)語(yǔ)來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)，可可以以有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)，用用對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的意意的的，因因此此是是任任。由由于于將將是是兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的力力學(xué)學(xué)量量和和因因此此中中都都含含有有和和對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)。由由于于也也是是唯唯一一的的，兩兩者者一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的

2、的是是唯唯一一的的，那那么么，若若拉拉氏氏函函數(shù)數(shù)量量是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的廣廣義義動(dòng)動(dòng)標(biāo)標(biāo)在在拉拉氏氏理理論論中中，廣廣義義坐坐iiiii2i1iiiiiiqppq) t ,q(fqLqL,qdt/ ) t ,q(df) t ,q,q(LpqLqLpq 本章所要討論的哈密頓理論，其使本章所要討論的哈密頓理論，其使用的坐標(biāo)（共有用的坐標(biāo)（共有s 對(duì)對(duì)pi 、qi ，其中，其中pi完全完全獨(dú)立于獨(dú)立于qi）稱為）稱為或或 ) s 21j ( pqLdtdqL pq qLp p q q q :jjjjjjjjjjj，拉拉氏氏方方程程變變?yōu)闉椋悍Q稱為為正正則則共共軛軛。，；定定義義廣廣義義動(dòng)動(dòng)量量：組組。

3、方方程程化化為為一一階階微微分分方方程程。，廣廣義義動(dòng)動(dòng)量量哈哈密密頓頓函函數(shù)數(shù)：廣廣義義坐坐標(biāo)標(biāo)。方方程程為為二二階階微微分分方方程程組組。，廣廣義義速速度度廣廣義義坐坐標(biāo)標(biāo)拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) dttLqdpdqp dttLqdqLdqqLdL dLdpqqdpdHdttHdppHdqqH) t ,p,q(dH) t ,q,q(Lqp) t ,p,q(H s1jjjjjs1jjjjjs1jjjjjs1jjjjjjjs1jjj ）（其其中中）（右右邊邊微微分分：左左邊邊微微分分：二二、正正則則方方程程正正則則方方程程），（海海森森條條件件；獨(dú)獨(dú)立立，故故得得：，因因?yàn)闉椋ǎǎ?s2

4、1j qHppHq tLtH dpdq dttHdppHdqqHdttLdpqdqpdHdttLqdpdqpdL,dLdpqqdpdHjjjjjjs1jjjjjs1jjjjjs1jjjjjs1jjjjj 廣廣義義能能量量積積分分非非穩(wěn)穩(wěn)定定約約束束機(jī)機(jī)械械能能穩(wěn)穩(wěn)定定約約束束）（）（非非穩(wěn)穩(wěn)定定約約束束穩(wěn)穩(wěn)定定約約束束意意義義三三、哈哈密密頓頓函函數(shù)數(shù)的的物物理理)( UTT )( UT UTTTTT2 UTT2Lqp) t ,p,q(H)( TT2 )( T2qqTqp qTqLp o2o1212s1jjj12s1jjjs1jjjjjj循循環(huán)環(huán)（動(dòng)動(dòng)量量）積積分分。常常數(shù)數(shù)，則則，不不出出現(xiàn)

5、現(xiàn)若若能能量量積積分分；常常數(shù)數(shù)，則則，即即不不顯顯含含若若分分四四、能能量量積積分分和和循循環(huán)環(huán)積積 jjjjs1jjjjjs1jjjjjp 0qHp q H hH 0dtdH0tH t H tHtHqHpHpHqH tHppHqqHdtdH )z, y, x(Upppm21 )z, y, x(Um2pm2pm2pmpmpmp LqpH zmzLpymyLpxmxLp )z, y, x(U2/ )zyx(mL )1( 2z2y2x2z2y2x2z2y2xiizyx222 ）（，直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系解解：U( ) ), r(U)sinr/pr/pp(m21H )( )3()z, r(U)pr/

6、pp(m21 )z, r(U)zrr(m21H zmzLpmrLprmrLp )z, r(U)zrr(m21L)2(222222r2z222r2222z2r2222 作作業(yè)業(yè)球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系，柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)系系常數(shù)常數(shù)正則方程：正則方程：哈密頓函數(shù)：哈密頓函數(shù)：解解 2222232rrr222rmrp 0HpmrppHra)rr (mramrprHp mppHr ra)r/pp(m21H: q)Aqp(2m1 qmv21 vAqqmv21v)Aqvm( LvpLqpHAqvmvLpvAqqmv21L222iii2哈密頓函數(shù)：哈密頓函數(shù)：粒子的動(dòng)量為：粒子的動(dòng)量為：解：解：mgvrxxoy a4/

7、mgxx)a4/x1 (xm21UTTHa4/mgxx)a4/x1 (xm21UTLa/mgxU , 2/ )xyx(mT222222o222222222222 解解： 0a2xmgxmxa4xmx)a4x1(ma2xmgxm)a4/x1(a2/xm2pxHxa2xmx)a4x1(mpxa4mgxm21)a4/x1(mpm21H)a4/x1(mpx)a4/x1(xmxLpa4/mgx2/x)a4/x1(xmH a4/mgx2/x)a4/x1(xmL22222222222x2222x222222x22x22x222222222222 解解：），（s21j QqHp pHq jjjjj 力學(xué)第一性

8、原理力學(xué)第一性原理1、牛頓定律、牛頓定律2、虛功原理、虛功原理3、達(dá)朗貝爾原理、達(dá)朗貝爾原理4、最小作用量原理、最小作用量原理（1）等時(shí)不等能變分）等時(shí)不等能變分哈密頓原理哈密頓原理（2）不等時(shí)等能變分）不等時(shí)等能變分莫培督原理莫培督原理,dxdty1dt)dy()dx(dtdsv ,gy2v : )x(y v B A B A 1222 而而的的關(guān)關(guān)系系與與坐坐標(biāo)標(biāo)速速度度。解解：這這是是泛泛函函極極值值問(wèn)問(wèn)題題點(diǎn)點(diǎn)。間間到到達(dá)達(dá)擦擦地地下下滑滑時(shí)時(shí)，以以最最短短時(shí)時(shí)點(diǎn)點(diǎn)沿沿它它無(wú)無(wú)摩摩在在重重力力作作用用下下，自自零零的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)，曲曲線線來(lái)來(lái)，使使得得初初速速度度為為的的曲曲線線中中，找找

9、出出一一條條和和定定點(diǎn)點(diǎn)二二個(gè)個(gè)鉛鉛直直平平面面內(nèi)內(nèi)在在所所有有聯(lián)聯(lián)結(jié)結(jié)、最最速速落落徑徑問(wèn)問(wèn)題題程程一一、變變分分問(wèn)問(wèn)題題的的歐歐勒勒方方oxyAB泛泛函函取取極極小小值值。取取什什么么函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)問(wèn)問(wèn)題題到到點(diǎn)點(diǎn)所所需需的的時(shí)時(shí)間間為為質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)自自沿沿曲曲線線自自由由滑滑下下、最最速速落落徑徑問(wèn)問(wèn)題題程程一一、變變分分問(wèn)問(wèn)題題的的歐歐勒勒方方, :dxgy2 y1dtT dxdt y1 dt)dy()dx(dtdsv 1BABAxx2xx222 oxyAB 21xx22dx)y,y,x( f )x(yJ : )x(yJ )y(dxd dxdy)x(ddx)y(d dxdy)dx(dx)dy

10、(dxdy ),y(d)dy(0dx0 x 0.T )x(yT 的的普普遍遍形形式式為為泛泛函函變變分分運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì)：。，不不同同處處為為變變分分和和微微分分的的運(yùn)運(yùn)算算相相似似取取極極值值的的條條件件為為泛泛函函0ydxyfyfdxdyyf dxyyfdxdyyfdxdyyf dxyyfyyf dx)y,y,x( fdx)y,y,x( f J dx)y,y,x( f )x(yJ : )x(yJ )y(dxddxdy ),y(d)dy(21212121212121xxxxxxxxxxxxxx 的的普普遍遍形形式式為為泛泛函函變變分分運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì)：0yf y y yf y yf yyf

11、yfdxd y y yf y yf yyf yfy - fdxd:. yfy - f : , x f 0yf yfdxd , y , 0yy 0ydxyf yfdxdy yfT BAxxxx2121 因因?yàn)闉槌３?shù)數(shù)則則歐歐勒勒方方程程有有初初積積分分不不顯顯含含自自變變量量如如果果歐歐勒勒方方程程是是任任意意的的且且)2cos1(2Cctg1Cyctgy C)y1(y )y1(gy2)y1(gy2yygy2y1gy2y1yygy2y1 .Cyfy - f , x f ) gy2y1f ( .121122222212 ，使使引引入入?yún)?shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)即即：則則有有不不顯顯含含因因

12、解解：已已知知例例：求求最最速速落落徑徑方方程程旋旋輪輪線線方方程程程程為為所所以以最最速速落落徑徑的的參參數(shù)數(shù)方方而而， )2cos1(2CyC)2sin2(2Cx :C)2sin2(2Cd)2cos1(Cdxx d)2cos1(CdsinC2 ctgdcossin2Cctgd2sinCydydx )2cos1(2Cyctgy 121211121111給給出出。的的條條件件為為動(dòng)動(dòng)可可由由作作用用函函數(shù)數(shù)取取極極值值學(xué)學(xué)規(guī)規(guī)律律所所決決定定的的真真實(shí)實(shí)運(yùn)運(yùn)由由動(dòng)動(dòng)力力中中的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)約約束束所所允允許許的的各各種種可可能能在在相相同同和和如如果果時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)和和在在哈哈密密頓頓原原理理），比

13、比較較與與定定義義哈哈密密頓頓作作用用函函數(shù)數(shù)：、適適用用完完整整保保守守力力系系 0dt) t ,q,q(LS : , ) t (q ,)t (q)t (q , t t : Lfqytx dx)y,y,x(f )x(yJ (dt) t ,q,q(LS1212121tt2121xxtt ) Q ( ,QqLqLdtd QqTqTdtd 0dtqQ) t ,q,q(TS :2 0qLqLdtd : 0yfyfdxd 0dt) t ,q,q(LS jjjjjjjttjjjjtt2121為為非非有有勢(shì)勢(shì)力力其其中中或或可可導(dǎo)導(dǎo)出出拉拉格格朗朗日日方方程程：，哈哈密密頓頓原原理理、用用完完整整非非保保

14、守守力力系系的的拉拉格格朗朗日日方方程程可可得得由由歐歐勒勒方方程程 rninrninhxpxpnhxxndxdlhxpnhxnDBnADnlsinsin sinsin )( )( :. )( ; (1) :).(2121222221212222212121002 光光程程折折射射定定律律的的證證明明反反射射定定律律的的證證明明例例光光程程最最短短學(xué)學(xué)中中稱稱為為費(fèi)費(fèi)馬馬原原理理最最小小作作用用原原理理在在幾幾何何光光pABDh2h1irxn1n2S1S1S2 212121212121ttjjjjttjjjjjjttjjjjjjjjttjjjjttjjjjttjjjjjjjjjjjjjjdtq

15、pqp( dtqqHpppHqdtqqHppHqpqp dt)t ,q,p(HqpSdt)t ,q,p(Hqpdt) t ,q,q(LS) t ,q,p(Hqp) t ,q,q(L ) t ,q,q(Lqp) t ,q,p(H 則則方方程程三三、哈哈密密頓頓原原理理導(dǎo)導(dǎo)出出正正 正正則則方方程程是是任任意意的的 qHppHq , q ,p 0dtqqHpppHqS) 0q , 0q ( 0qp dtqpdtd dt)qp(dtddtqpqp(jjjjjjttjjjjjjttjttjttjjttjjttjjttjjjj212121212121 一、正則變換目的一、正則變換目的通過(guò)變量變換獲得更多

16、的循環(huán)坐標(biāo)。通過(guò)變量變換獲得更多的循環(huán)坐標(biāo)。廣廣義義動(dòng)動(dòng)量量守守恒恒常常數(shù)數(shù)則則為為循循環(huán)環(huán)坐坐標(biāo)標(biāo)若若正正則則方方程程 , jjjjjjjjpqHpqqHppHq0) , ( : , :) , ( ),(),( , ,*sjQHPPHQFdtdFHqpHQPsjtpppqqqPPtpppqqqQQPQpqjjjjjjjjssjjssjjjjjj212121212121 則則形形式式體體系系運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程仍仍具具有有正正稱稱為為母母函函數(shù)數(shù)其其中中正正則則變變換換條條件件其其變變換換關(guān)關(guān)系系為為變變換換為為 . P,Q 0FF dt)dtdFdt)Hqp( dt)HQP( , 0dt)Hqp

17、( dtdFHqpHQP :jjttttttttjjtt*jjttjjjj*jj1221212121是是正正則則變變量量由由哈哈密密頓頓原原理理可可知知正正則則變變換換條條件件證證明明 0dttFHH dQ QFPdq qFptFQQFqqFHqpHQP tFQQFqqFdtdFdtdF ) t ,Q,qF Qq 1dtdFHqpHQP 1*jj1jjj1j1jj1jj1jj*jj1jj1jj111jj*jj （是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，設(shè)設(shè)、正正則則變變換換條條件件tFHH ), s1,2,j ( QFP qFp ,t , Qq 0dttFHH dQ QFPdq qFp) t ,Q,qF Qq

18、11*j1jj1j1*jj1jjj1j1 所所以以有有皆皆是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，由由于于（是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，設(shè)設(shè)、0dttFHH dP PFQdq qFpdtdFdt)QPF(dHHQPqpdtdFHqpHQPQPdtd QPQPdtdQP dtdFHqpHQP ) t ,P,qF Pq 22*jj2jjj2j2jj1*jjjj1jj*jjjjjjjjjj1jj*jj2 ）（）（，（是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，設(shè)設(shè)、tFHH ), s1,2,j ( PFQ qFp ,t , Pq 0dttFHH dP PFQdq qFp) t ,P,qF Pq 22*j2jj2j2*jj2jjj2j2 所所以以

19、有有皆皆是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，由由于于（是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，設(shè)設(shè)、0dttFHH dQ QFPdp pFqdtdFdt)qpF(dHHQPqpdtdFHqpqpdtdHQP qpqpdtdqp dtdFHqpHQP ) t ,Q,pF Qp 33*jj3jjj3j3jj1*jjjj1jjjj*jjjjjjjj1jj*jj3 ）（）（，（是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，設(shè)設(shè)、tFHH ), s1,2,j ( QFP pFq ,t , Qp 0dttFHH dQ QFPdp pFq) t ,Q,pF Qp 33*j3jj3j3*jj3jjj3j3 所所以以有有皆皆是是獨(dú)獨(dú)立立變變量量，由由于于（是是獨(dú)獨(dú)立

20、立變變量量，設(shè)設(shè)、tFHHsjPFQpFqtPpFPpjjjj 44444* ), 1,2, ( ), （是獨(dú)立變量，是獨(dú)立變量，設(shè)設(shè)、. , qQFP , QqFpQq)q,Q,t(F :.Q dF)dQPdqp(:.HH , 0tF ,) s1,2,i ( tFHH :,jj1jjj1jjj1 jiiii*ii*換換動(dòng)動(dòng)量量與與坐坐標(biāo)標(biāo)的的名名稱稱已已互互取取母母函函數(shù)數(shù)例例如如的的意意義義了了已已經(jīng)經(jīng)沒沒有有純純粹粹空空間間坐坐標(biāo)標(biāo)注注意意正正則則變變換換的的條條件件則則如如果果母母函函數(shù)數(shù)不不顯顯含含時(shí)時(shí)間間有有同同一一種種形形式式關(guān)關(guān)系系新新舊舊哈哈密密頓頓函函數(shù)數(shù)之之間間的的四四種

21、種正正則則變變換換中中 換換。的的顯顯函函數(shù)數(shù)，故故為為正正則則變變不不是是母母函函數(shù)數(shù)證證為為一一正正則則變變換換。，證證明明：變變換換 t F dF)QctgPPQ(d )PQ(d)QctgP(d )PQ(dPdPcscQctgPdQ QdPPdQPdPQctgQdPctgPdQ PdQPdPQctgctgPdQ PdQ)dPPsinPcosdQQ1(QctgPPdQpdq: QctgPpPsinQlnq 222 常常數(shù)數(shù)。令令。求求母母函函數(shù)數(shù)，已已知知正正則則變變換換為為例例 f0pf psinq2 pfpsinq2)p( f)pcospsinp(qppF )p( f)pcospsin

22、p(q )p( fdq)pcospsinp(F psinq2pF ,pcospsinpqF Fppsinq2q)pcospsinp( ,psinq2Ppcosq2Q :222221121Qq22Qq2Qcosq )pcospsinp(q)Q,q(F q2Q1p sin ,q2Qcosp )pcospsinp(qF f)p(f)pcospsinp(qF psinq2Ppcosq2Q : 于于是是母母函函數(shù)數(shù)可可取取為為常常數(shù)數(shù)。，。，正正則則變變換換 2/QcscymQFP yctgQmyFp /2QcscxmQFP xctgQmxFp )ctgQy2/ctgQx(m) t ,Q,q F2/ )

23、yx(mm2/ )p(pH:2222212221y1221111111x22212112222212y2x （選選解解2211222221222122222122212222212222221222121*2222222y1221111x22212112222212y2xPP 2/Qcscym2/Qcscxm 2/ )Qctg1(ym2/ )Qctg1(xm 2/ )yx(m m2/ )QctgymQctgxm( HtFHH , 2/QcscymP yctgQmp , /2QcscxmP xctgQmp )ctgQy2/ctgQx(m) t ,Q,q F2/ )yx(mm2/ )p(pH: （

24、選選解解。，；，為為表表示示諧諧振振子子的的正正則則方方程程，新新變變量量 tQ CP Q0P tQ CP PHQ0QHP: PQ PPH ,Qcscym21P ,Qcscxm21P222222221111111*11*1jj2211*2222212211 ）（）（）（）（。；22221111222222222221112211221122222111112222212211tsinmC2ytsinmC2x Ctcscym21Qcscym21PCtcscxm21Qcscxm21P tQ CP tQ CP Qcscym21P ,Qcscxm21P jjjjjjjjjjqHpfpHqftf ppf

25、qqftfdtdf . f f H .) t ,p,q(f 是是否否是是運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)積積分分的的關(guān)關(guān)系系來(lái)來(lái)判判斷斷和和下下面面研研究究坐坐標(biāo)標(biāo)而而求求出出力力學(xué)學(xué)量量守守恒恒可可通通過(guò)過(guò)循循環(huán)環(huán)學(xué)學(xué)量量正正則則變變量量描描寫寫系系統(tǒng)統(tǒng)：力力一一、泊泊松松括括號(hào)號(hào)jiiijiijjjjiiijiijjjiiiiijiiijiijjjjjpH qHpqpHqqH,qqqHqHpppHqpH,pp 1qq 1pp 0pq 0pq 0qp 0qpH, f tfdtdf qHpfpHqfH, f 。，力力學(xué)學(xué)量量的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程：定定義義泊泊松松括括號(hào)號(hào)：守守恒恒條條件件不不顯顯含含時(shí)時(shí)間間，即即若若

26、的的條條件件守守恒恒量量是是運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)積積分分正正則則方方程程： 0H, f 0tf f 0H, f tfdtdf :)( fpH qqHp jjjj )(mxy yxmmppxymmpp yHpLpHyLxHpLpHxL qHpLpHqLH,Lk )ypxp(L :)yx(m21)pp(m21H : :212222yx21xyyzyzxzxzjjjzjjzzxy2222212y2x 平平面面諧諧振振子子的的角角動(dòng)動(dòng)量量為為解解函函數(shù)數(shù)為為已已知知平平面面諧諧振振子子哈哈密密頓頓量量的的守守恒恒性性。討討論論平平面面諧諧振振子子的的角角動(dòng)動(dòng)例例為為非非中中心心力力場(chǎng)場(chǎng)。因因?yàn)闉榱α?chǎng)場(chǎng)不不守守恒

27、恒。角角動(dòng)動(dòng)量量時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（為為中中心心力力場(chǎng)場(chǎng)。因因?yàn)闉榱α?chǎng)場(chǎng)守守恒恒。角角動(dòng)動(dòng)量量時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（解解函函數(shù)數(shù)為為已已知知平平面面諧諧振振子子哈哈密密頓頓量量的的守守恒恒性性。討討論論平平面面諧諧振振子子的的角角動(dòng)動(dòng)例例 )yx(m21U L 0H,L , 2 )yx(m21U L 0H,L , 1)(mxyH,L :)yx(m21)pp(m21H : :222221zz212221zz212122z2222212y2x 0, , )3(01,q )2( c 0, c )1(qppq, ) t ,p,q() t ,p,q( jjjjj ，若若，若若為為常常數(shù)數(shù)。，如如果果泊泊松松括括號(hào)號(hào)的的

28、性性質(zhì)質(zhì)：的的泊泊松松括括號(hào)號(hào)為為，定定義義任任意意兩兩個(gè)個(gè)力力學(xué)學(xué)量量 0, , , , )7(t,t,t)6(, )5(, , )4(qppq, :njjnjjjjjjj ，則則如如泊泊松松括括號(hào)號(hào)的的性性質(zhì)質(zhì)：泊泊松松括括號(hào)號(hào),H ,H, , ,HH,t,t, t , , 0, , 0, , , , .H,t ,H,t 0H,t C, C) t ,p,q( C) t ,p,q( 21 守守恒恒可可知知：，證證明明：由由也也是是守守恒恒量量。則則都都是是守守恒恒量量，和和若若二二、泊泊松松定定理理守守恒恒量量即即二二、泊泊松松定定理理 C,0H, t :, t, t t,tt,t H,H,

29、 ,H ,H, , ,HH,t,t, t , .H,t ,H,t zniixiiiyniiyizxizyixniiyiyxiyyixniiyixxixyixyxniixiiyizniiziixiyniiyiizixL)pyxp(00 zLpLpLzLyLpLpLyL xLpLpLxLL ,L )pypx(L )pxpz(L)pzpy(L : L 。，解解所所組組成成的的泊泊松松括括號(hào)號(hào)。的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)分分量量試試求求由由質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)組組角角動(dòng)動(dòng)量量例例： 0L,L 0L,L 0L,L L,LL,L LL,L LL,L LL,L zzyyxxxxxxyxzxzyzyx ，同同理理：；而而。，同

30、同理理：ijjijijis21s21jjs21s21jjijjijijis21s21jjs21s21jjPQ 0PP 0QQ ) t ,PP,P,QQ,Q(pp) t ,PP,P,QQ,Q(qq pq 0pp 0qq ) t ,pp,p,qq,q(PP) t ,pp,p,qq,q(QQ ，滿滿足足或或，滿滿足足則則變變換換（證證明明略略）三三、用用泊泊松松括括號(hào)號(hào)判判別別正正0pp 0qq 1PctgPcsc ctgPctgPPsinQQ1QpPqPpQqpqQctgPpPsinQlnq PQ 0PP 0QQ pq 0pp 0qq 222ijjijijiijjijiji ，顯顯然然有有，。，例

31、例：變變換換，或或滿滿足足，正正則則變變換換滿滿足足一、哈密頓一、哈密頓-雅科畢方程雅科畢方程 ),(),( ),(),( *tpptqqtpppqqqPPtpppqqqQQPQPQHssjjssjjssjjssjjjjjjjj2121212121212121000常常數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)新新正正則則方方程程變變?yōu)闉椋钭罾砝硐胂氲牡恼齽t則變變換換使使雅雅科科畢畢方方程程即即為為哈哈密密頓頓得得到到利利用用正正則則變變換換關(guān)關(guān)系系稱稱為為主主函函數(shù)數(shù)并并記記為為）（選選取取。滿滿足足：，則則要要求求母母函函數(shù)數(shù)欲欲使使- 0) t ,qSqS,qS,qq,q(HtS: ,) t ,q(SQ ,q)

32、t ,q(Sp : , , ) t ,q(S ,t ,P,qFF 0tFH F 0H s21s21jjjjjjjjjjj2* 。又又稱稱為為哈哈密密頓頓作作用用函函數(shù)數(shù)密密頓頓作作用用量量即即是是積積分分限限不不確確定定的的哈哈的的物物理理意意義義哈哈密密頓頓主主函函數(shù)數(shù)討討論論雅雅方方程程哈哈正正則則變變換換 , dt L S LHqptSqqSdtdS S : 0) t ,qSqS,qS,qq,q(HtS:-) t ,q(SQ ,q) t ,q(Sp :jjjjs21s21jjjjjjjjj hqWqW,qW,qq,qH h ),qq,q(WhtdthS htSqS,qH : .h)p,q

33、(H t t 1s21s211s21s21 雅雅科科畢畢方方程程變變?yōu)闉楣苊茴D頓且且令令雅雅科科畢畢方方程程可可寫寫成成哈哈密密頓頓常常數(shù)數(shù)，存存在在能能量量積積分分哈哈密密頓頓函函數(shù)數(shù)不不顯顯含含時(shí)時(shí)間間間間、哈哈密密頓頓函函數(shù)數(shù)不不顯顯含含時(shí)時(shí)c2/qhqhtSc2/qhqdq)qh(Wdq)qh(dWqhdqdWhdqdWq dqdWqSp)h,q(WhthdtS htSqSqqSp22 所所以以雅雅方方程程：哈哈，解解： 0tS2kqqSm21 tS2kqm2ptSH ,SQ ,qSp :2kqm2pH 222222 解解統(tǒng)統(tǒng)的的哈哈密密頓頓函函數(shù)數(shù)為為點(diǎn)點(diǎn)的的線線性性諧諧振振動(dòng)動(dòng)

34、。設(shè)設(shè)系系度度質(zhì)質(zhì)雅雅科科畢畢方方程程求求解解單單自自由由例例：用用哈哈密密頓頓 dqqkE2mkEt) t ,q(S dqqkE2mkWdqqkE2mkdW0E2kqdqdWm21tS2kqqSm21 ),q(WEt) t ,q(S , H 0tS2kqqSm21tSH 222222222則設(shè)則設(shè)不顯含時(shí)間且穩(wěn)定約束不顯含時(shí)間且穩(wěn)定約束)t (sinkE2mqkE2mkqSp)t (coskE2qE2kqcoskmtqkE2dqkmtESSdqqkE2mkEt) t ,q(S 2122 ) t ,qq,q(W)q(SS ,) t ,qSqS,qS,qq,q(F )qS,q( , F ,0)

35、t ,qSqS,qS,qq,q(F)qS,q( 0tSH 2s321111s32s321111111s32s321111 其其解解可可寫寫成成此此時(shí)時(shí)即即都都必必須須為為常常數(shù)數(shù)和和欲欲使使上上式式成成立立可可以以寫寫成成雅雅方方程程以以分分離離出出來(lái)來(lái)哈哈相相應(yīng)應(yīng)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)可可雅雅方方程程中中有有一一個(gè)個(gè)變變量量及及、哈哈 22s24232s432222222222s43222212111s13121s321111111111s32111) t ,tW,qWqW,qW,qq,q(F ),q(SS ,)qS,q( ) t ,qq,q(W),q(SW , , q , F ) t ,tW,qWq

36、W,qW,qq,q(F ),q(SS ,)qS,q( ) t ,qq,q(W)q(SS 積積分分得得可可設(shè)設(shè)同同理理如如還還有有可可分分離離變變量量如如果果積積分分得得解解可可寫寫成成) t ,qq,qq,q( SqS ,qSqS )qS,q( , - , H q , q ),q(S),q(S ),q(SS s1i1i21iiiiiiiiiiiiiisss222111 于于是是常常數(shù)數(shù)這這時(shí)時(shí)中中雅雅方方程程哈哈顯顯含含在在也也不不中中不不顯顯含含在在則則為為循循環(huán)環(huán)坐坐標(biāo)標(biāo)若若到到母母函函數(shù)數(shù)的的形形式式為為應(yīng)應(yīng)用用上上面面方方法法，最最后后得得部部分分離離，則則可可逐逐次次如如果果方方程程

37、的的變變量量可可以以全全212221121221121122211122211221qh2dqdW2qdqdWhqdqdWdqdW2qdqdW21dqdWpdqdWp),q(W)h,q(Wht),h,q,q(WhtStH ，所所以以不不顯顯含含時(shí)時(shí)間間解解：因因?yàn)闉楣苊茴D頓函函數(shù)數(shù)c2/ )2/qq(/ )3/qhq2(htSc2/ )2/qq(W2/ )q(dqdWc/ )3/qhq2(W/ )qh2(dqdWdqdW/ )qh2(dqdW2qqh2dqdW2qdqdW 22222311222222222212311122111211212222122211 的軌道方程。的軌道方程。間，

38、因此是系統(tǒng)間，因此是系統(tǒng)個(gè)方程，它們都不含時(shí)個(gè)方程，它們都不含時(shí)），常數(shù)，（常數(shù)，（，）軌道方程）軌道方程（都可決定。都可決定。則軌道方程，運(yùn)動(dòng)方程則軌道方程，運(yùn)動(dòng)方程），），（，如果取如果取1s (1) 32iW PSQ132i PPh iiiiii1 .sqs,(1)(2)(2) tt),h,q,q(f:t ),h,q,q(fthWthS ),h,q,W(q-htS PSQ232i PPh io2221o12221222111ii1得得運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程個(gè)個(gè)方方程程，即即可可共共個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)聯(lián)聯(lián)立立起起來(lái)來(lái)與與式式式式即即，）運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程（都都可可決決定定。則則軌軌道道方方程程，運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程），（，如如果果取取 。），（；，；，解解：選選廣廣義義坐坐標(biāo)標(biāo)：運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的軌軌道道方方程程。真真空空中中雅雅可可畢畢方方程程求求拋拋射射體體在在例例：試試用用哈哈密密頓頓2222yx2y2x2y2x21yW)mgyE(m2xWEmgyyWxWm21yWpxWpEmgy)pp(m21HmgyU)pp(m21Tyqxq- 32222322y22y22x2xyx222cdya)mgyE(m2