第七章 16固定收入證券和股票定價與靈敏度測量

1、第七章：固定收入證券定價與靈敏度測量l固定收入證券的概念是指在特定時間支付預定現金流的金融資產，也稱為固定收入債券，包括政府、企業(yè)債券或共同基金債券等。l基于債券的固定現金流支付特征，可以將債券概念推廣居民存款 ， 相當于銀行向居民發(fā)行債券，即把存折可以理解為債券l1、基于到期收益率的固定收入證券的定價到期收益率是債券未來現金流的折現值等于債券實際價格時的回報率，也就是債券的內部收益率。內部收益率一般是和債券的息票率不相等，只有債券在到期日時支付本金，且當市場價格等于面值才相等。定價公式：其中，T為到期日內的支付現金流的次數；C1CT表示在到期日內不同時期支付的現金流；R為到期收益率，即內部收

2、益率。此式有普遍意義，適用息票債券，適用零息債券定價，還適用償債基金計算。TTRCRCRCP)1 (.)1 ()1 (221R的確定：從市場當中找出與該債券具有相同期限相同性質的債券（通常使用平價收益?zhèn)?，以它們的到期收益率作為定價基本標準。平價收益?zhèn)傅氖窍⑵甭式咏谑找媛实膫?。這種定價方法采用的是常數收益率，或者說對不同時期的現金流折現都采用一樣的折現率，實際上是認為利率是變的，而實際中利率是在波動變化的。利率是具有期限結構的，這種定價還與利率期限結構相矛盾，因此，這種定價不是很準確。下面，我們來具體解釋利率的期限結構。4l債券的到期收益率與到期時間之間的關系，稱為利率的期限結構，具

3、體就是表現為收益率曲線的形狀l理論上，任何形狀都可以：上翹、下垂、平坦l實際中，一般是上翹的l對收益率曲線的形狀解釋主要如下有四種理論5l（1）、預期理論：該理論認為長期債券的平均年收益率應是期限內預期短期利率的幾何平均。例如，期限為兩年期的即期利率可以視為1年期即期利率和預期的下一年的1年期利率的幾何平均。l按理性預期理論，預期的未來的短期即期利率等于收益率曲線隱含的遠期利率。（即期利率就是現在時刻知道的利率，遠期利率就是未來某個時間的利率）6(1+0.10)*(1+r第2)=(1+0.105)2(1+0.105)2*(1+r第3)=(1+0.108)37l（2）、流動性偏好理論：長期債券流

4、動性低，利率風險高，因此收益率應對風險進行補償，所以要高于短期債券的收益率。l流動性偏好理論是預期理論的擴充，它表明長期利率是預期短期利率與流動性補償之和。（銀行利率）8l（3）、市場分割理論：該理論認為短期、中期和長期利率之間沒有什么關系，不同的機構投資于不同期限的債券，并不轉換期限。短期利率由短期債券市場的供求關系來決定，中期利率由中期債券市場的供求關系來決定。l（4）、基于隨機過程的利率期限結構理論。將收益率看成服從某隨機過程。9（1）基本原理：根據利率期限結構理論，將債券未來時刻產生的現金流分別采用不同的、分別與相關市場利率相對應的折現因子進行折現，最后加總得出債券的市場價值(也稱為債

5、券的分解）。這種方法考慮了利率的期限結構因素和市場利率的變化情況，從而可以得出對債券價格更精確有效的估計。定價公式為：其中：T ,C同前。Rt表示各個時期的折現率，就是隨時間和期限變化的即期利率TTTRCRCRCP)1 (.)1 ()1 (2221110A 傳統方法：用平價收益率曲線表示，即用息票率等于或接近它的到期收益率的不同期限債券的收益率構造收益曲線。B 零息債券收益率方法：面值為PF，T時到期的，價格為P的零息債券收益率為RT,它就是目前T這么長時間的即期利率息票債券定價為：TTFRPP)1 ( TTFTTTRPRCRCRCP)1 ()1 (.)1 ()1 (2221111C 利率期限

6、結構的建模利用市場上現存的各種期限的未清償附息債券的價格-收益特性估計即期利率曲線，稱為利率期限結構的建模，包括逐步升級法和計量經濟方法逐步升級法：例假設已知三個債券，其中兩個分別為1年期和兩年期、價格均為100的零息債券，收益率分別為4%和5%，所以即期利率也是4%和5%。第三個債券為3年期、息票率為5%的債券，其目前市場價為98.5。根據這三個債券的價格-收益信息，可用逐步升級的方法估計3年的即期利率x： 重復類似過程可得4年期及所有期望期限的即期利率%6 . 55 .98)1 (10505. 1504. 1532xxP解得12重復類似過程可得4年期及所有期望期限的即期利率，但逐步升級方法

7、只能估計出有限個期限的離散即期利率，實際中常常需要構造出連續(xù)的即期利率曲線，對此，人們引入了計量經濟方法。計量經濟方法：第一步：給出一個用于計算未來1元現值的貼現公式，（即折現函數），其一般形式為泰勒展開，建立三因子模型第二步，根據以上貼現方程計算樣本債券的理論價格。例如，如果一個債券在tn(n=1,N)時刻分別支付cn的現金，根據這些現金流的現值估計出債券的ttRtD)1 ()(332211)(tatatatD13理論價格為按三因子模型展開可得下面形式線性方程如上例中債券1：債券2：債券3：這就得到了關于參數a1 a2 a3的線性方程組。若有更多可知債券，得到更多方程，則解出最小二乘解。第三

8、步，從D(t)解出Rt)(1nNnntDcP)()()()(3322110cfacfacfacfP)1 (104100321aaa)2221 (10510033221aaa)3331 (105)2221 (5)1 (55 .983322133221321aaaaaaaaattRtD)1 ()(14l（一）平均期限(average life)和久期(duration)l因為長期債券的價格比短期債券更易受到利率變動的影響，所以，債券到期前的時間長度可被視為衡量風險的合理尺度。如，尚有5年到期的債券比尚有2年到期的債券面臨的利率風險要大。l由于某些債券在一段時期內分期償還本金，而不是在某個單獨確定的

9、到期日償還，在劃分債券風險類別時經常使用平均期限的概念，而不是距離到期日還有多長時間。l平均期限是收回資金的加權平均時間。計算方法是：將每一筆償還的本金乘以得到它的時間長度，加總后除以本金總和。l缺陷：沒有量化隨利率變動發(fā)生的價格變動。nttnttCtCt11l1938年Frederick Macaulay提出了久期的概念。 Macaulay久期用數學方法估計債券價格對期收益變動的敏感性，按收到債券現金流的加權平均時間計算，利息和本金的支付作為權重。l我們知道，取常數收益率時，債券的定價是：lMacaulay久期定義為：ntttrCP1)1(ntttntnttttttrCPrCtrCD111)

10、1 (1)1 ()1 (nttwtD1l從上面的公式可以看出，久期實際上是一個加權平均的時間長度。l對于零息債券來說，對t=1,2,n-1，都有 Ct=0, 從而D=n，即債券的久期就是債券的到期期限。l對于持有期間有現金流發(fā)生的債券來說，其久期都短于到期期限。即：Dn l影響久期的因素分析：從公式可以看出，影響久期的因素主要有債券的：期限長短n,其它條件不變時，n越大，D越大息票率（影響Ct)越高，D越小到期收益率r,越大，D越小在其他因素不變的情況下，期限越長，或息票利率越低，或到期收益率越低，債券的久期越長。ntttntnttttttrCPrCtrCD111)1 (1)1 ()1 ( 久

11、期的重要性質可加性：一個債券組合的久期是組合內各個債券的久期的加權和，權重等于該種債券在組合中所占的比例。即： 若組合的價值為V=Vj，第j個債券的久期是Dj，則整個組合的久期為： D= jDj ，其中j=Vj/V。 21rDPtrCdrdPnttt1)1 (11下面，我們將用久期來表示債券對利率的靈敏度由于：ntttrCP1)1 (ntttntnttttttrCPrCtrCD111)1 (1)1 ()1 (l對上式再進行改寫，得：l從上式可以看出，如果市場利率發(fā)生變化r ，則可以估算出價格的變化P。l負號表示利率變化方向與債券價格變化的方向相反。lr很小時，忽略不計，D就是債券價格利率敏感性

12、的一階測量11d PDPd rr rdrDPdP1更精確一些，可用調整久期，其定義如下：drDPdPrDDmodmod1drdPP1l（P/P=-Dmod* r）說明當市場利率發(fā)生變化時，債券價格變化的百分率是調整久期與利率變化的乘積。例如，如果某債券的調整久期為5，利率1%的變動將引起證券價格5%的變動。也就是說，債券價格變化的百分率與久期和利率變化成比例。因此，久期，尤其是調整久期，是衡量債券對利率風險暴露的有效工具。久期相等的債券面臨的利率風險是一樣的，即利率變動給久期相同的債券帶來相同的價格變化率。債券的久期越大，該債券對利率越敏感。l久期提供了對債券價格利率敏感性的測量，在利率風險的

13、管理中有十分重要的作用，但亦存在其局限性。體現在：l第一、久期計算中，對所有現金流采用了一個折現率，也就是表示利率期限結構一條水平線，即在某一時點，不同期限的債券的利率水平是相同的，與實際不大符合。l第二、利用久期管理利率風險時，考慮不同時點的收益率曲線的變化只是曲線的平移。l第三，采用久期的方法對債券價格利率風險的敏感性進行測量實際上只考慮了價格和收益率變化之間的線性關系。而市場實際情況表明這種關系經常是非線性的。實線：實際價格變化虛線：久期近似值到期收益率的變化%債券價格的百分比變化8%l從前頁的圖我們可以看到，近似久期（虛線）總是低于債券的價值，當收益率下降時，它低估債券價格的增長程度，

14、當收益率上升時，它高估債券價格的下跌程度。這是由于真實價格變化與收益變化關系曲線的曲率決定的。曲線的形狀，如價格-收益率關系的形狀是凸的l（二）凸性l久期只是刻畫了債券（或其它資產）的價值對利率變化的敏感性的一階測量，因此，只有在利率發(fā)生微小變化的情況下才是有效的。當利率發(fā)生較大變動時，就要考慮2階敏感性的度量。這就是涉及到凸性的概念。l其中，為誤差項102220(1)()()()()1()2()ntttrrCPrd P rrP rrP rrdrdP rrrdr 22m od1( )( )()21()2PPrrPrrPDrCrP l上式右邊第一項是基于久期的近似價格變化百分比，第二項即為凸性，

15、即：l凸性l凸性與收益率變化平方( r)2的乘積表示由凸性造成的近似價格變化。221 d PCP drl我們再考慮等式：lP/P=-Dmod*r+1/2凸性*(r)2l其中，第二項是由于凸性引起的。由于凸性大于零，因此第二項總是大于0，說明當收益率變動時總是低估債券的新價值。把凸性考慮進來可以讓我們對債券價格變化的估計更加精確。lP=PD+ PClP171書上例子31 凸性也具有可加性：一個債券組合的久期是組合內各個債券的凸性的加權和，權重等于該種債券在組合中所占的比例。即： 若組合的價值為V=Vj，第j個債券的久期是Cj，則整個組合的久期為： C= jCj ，其中j=Vj/V。 32到期收益

16、率的變化%債券價格變化的百分比ABrr1r2現金流說明T現金流金額折現率折現值久期1年的票息151.05 4.761905 0.0476192年的票息251.1025 4.535147 0.0907033年的票息351.157625 4.319188 0.1295764年的票息451.215506 4.1135120.164545年的票息551.276282 3.917631 0.195882本金51001.276282 78.35259 3.91762999.99997 4.545949說明：收益率5，面值100合計久期的計算D/(1+r)4.55/1.054.33調整久期34現金流說明T現金流金額折現率折現值t(t+1)折現值1年的票息151.05 4.7619059.5238095242年的票息251.10