二靜電場(chǎng)的保守性環(huán)路定理

1、二靜電場(chǎng)的保守性環(huán)路定理第一頁，共24頁。barrqq11400qrarbrbEadlF0qrdrrdr 在在 q 的電場(chǎng)中將檢驗(yàn)電荷的電場(chǎng)中將檢驗(yàn)電荷 q0 從從 a 點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到 b 點(diǎn)，電場(chǎng)力作點(diǎn)，電場(chǎng)力作功為：功為： badrrqqdAArrba 4200電場(chǎng)力的功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。電場(chǎng)力的功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。2. .任意帶電體系的場(chǎng)任意帶電體系的場(chǎng) 對(duì)于由多個(gè)靜止點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)或靜止的連續(xù)帶對(duì)于由多個(gè)靜止點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)或靜止的連續(xù)帶電體，可看成是由無數(shù)電荷元組成，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理電體，可看成是由無數(shù)電荷元組成，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可得到電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分（移

2、動(dòng)單位電荷的功）為：可得到電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分（移動(dòng)單位電荷的功）為：drrqqdA2004第二頁，共24頁。bal dEbanbabal dEl dEl dE21任何靜電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分只取決于起始和終了任何靜電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分只取決于起始和終了的位置的位置,而與路徑無關(guān)。這一特性而與路徑無關(guān)。這一特性叫做靜電場(chǎng)的保守性叫做靜電場(chǎng)的保守性。結(jié)論：結(jié)論：電場(chǎng)力為保守力，靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。電場(chǎng)力為保守力，靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。2.2.靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的保守性還可表述為：靜電場(chǎng)的保守性還可表述為：在靜電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)沿任意在靜電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分等于零。閉合路徑的線積分

3、等于零。這稱為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理這稱為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理或環(huán)流定理?；颦h(huán)流定理。Ll dE0運(yùn)動(dòng)電荷的場(chǎng)不是保守場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)電荷的場(chǎng)不是保守場(chǎng)，而是而是非保守場(chǎng)，將在磁場(chǎng)部分討論。非保守場(chǎng)，將在磁場(chǎng)部分討論。banl dEEE)(21baA第三頁，共24頁。1.1.電勢(shì)能電勢(shì)能電場(chǎng)力是保守力，可引入勢(shì)能的概念。電場(chǎng)力是保守力，可引入勢(shì)能的概念。靜電勢(shì)能的改變可以用電場(chǎng)力所作的功來量度。靜電勢(shì)能的改變可以用電場(chǎng)力所作的功來量度。 設(shè)在靜電場(chǎng)中，將檢驗(yàn)電荷設(shè)在靜電場(chǎng)中，將檢驗(yàn)電荷 q0 從從 a 點(diǎn)沿任意路徑移點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)到動(dòng)到 b 點(diǎn)，電場(chǎng)力作功為點(diǎn)，電場(chǎng)力作功為A Aabab。因?yàn)楸Ｊ亓λ鞯墓Φ?/p>

4、于勢(shì)能增量的負(fù)值。因?yàn)楸Ｊ亓λ鞯墓Φ扔趧?shì)能增量的負(fù)值。 電荷電荷 q0 在靜電場(chǎng)中從在靜電場(chǎng)中從 a 點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)到點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)到 b 點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所作的作功時(shí)，電場(chǎng)力所作的作功A Aabab與這兩點(diǎn)電勢(shì)能與這兩點(diǎn)電勢(shì)能E Ea a、E Eb b的關(guān)的關(guān)系為系為: :pabEA)(papbEEpbpaEEbabaabl dEql dFA00qEab第四頁，共24頁。 電勢(shì)能也是一個(gè)相對(duì)的量，必須選擇一個(gè)電勢(shì)能也是一個(gè)相對(duì)的量，必須選擇一個(gè)零勢(shì)能點(diǎn)作為參考。零勢(shì)能點(diǎn)作為參考。bapbpal dEqEE0式中：式中：E Epapa、E Epbpb是電荷是電荷q q0 0分別在分別在a

5、a點(diǎn)和點(diǎn)和b b點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí),q,q0 0與電場(chǎng)所組與電場(chǎng)所組成的系統(tǒng)的靜電勢(shì)能。成的系統(tǒng)的靜電勢(shì)能。令令, 0pbE即選定即選定b b點(diǎn)為電勢(shì)能零點(diǎn)。點(diǎn)為電勢(shì)能零點(diǎn)。電荷電荷q q0 0在此系統(tǒng)的電場(chǎng)中在此系統(tǒng)的電場(chǎng)中a a點(diǎn)的的電勢(shì)能為：點(diǎn)的的電勢(shì)能為：勢(shì)能零點(diǎn)apal dEqE0意義：電荷在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能等于意義：電荷在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能等于將此電荷由該點(diǎn)沿將此電荷由該點(diǎn)沿任意路徑移到電勢(shì)能零點(diǎn)的過程中電場(chǎng)力所作的功任意路徑移到電勢(shì)能零點(diǎn)的過程中電場(chǎng)力所作的功。babaabl dEql dFA0pbpaabEEA0qEab第五頁，共24頁。, 0pE電荷電荷q q0 0在此系統(tǒng)的電場(chǎng)

6、中在此系統(tǒng)的電場(chǎng)中a a點(diǎn)的的電勢(shì)能為：點(diǎn)的的電勢(shì)能為：apal dEqE0意義：電荷意義：電荷q q0 0在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能等于將該電荷由該點(diǎn)在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能等于將該電荷由該點(diǎn)沿任意路徑移到無窮遠(yuǎn)的過程中電場(chǎng)力所作的功。沿任意路徑移到無窮遠(yuǎn)的過程中電場(chǎng)力所作的功。強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：對(duì)于無限帶電體，不能取無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)能零點(diǎn)。對(duì)于無限帶電體，不能取無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)能零點(diǎn)。即：即：2.2.電勢(shì)與電勢(shì)差電勢(shì)與電勢(shì)差勢(shì)能零點(diǎn)apal dEqE0兩邊同除以兩邊同除以q q0 0，得：，得：將將勢(shì)能零點(diǎn)apal dEqE0這一比值與這一比值與q0的值無關(guān)，僅取決于的值無關(guān)，僅取決于電場(chǎng)的性質(zhì)及場(chǎng)點(diǎn)的位

7、置。電場(chǎng)的性質(zhì)及場(chǎng)點(diǎn)的位置。對(duì)有限帶電體，通常規(guī)定無窮遠(yuǎn)對(duì)有限帶電體，通常規(guī)定無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)能零點(diǎn)。處為電勢(shì)能零點(diǎn)。勢(shì)能零點(diǎn)apal dEqE0第六頁，共24頁。定義電勢(shì)：定義電勢(shì)：零點(diǎn)apaal dEqEU0意義：意義：把單位正電荷從場(chǎng)點(diǎn)把單位正電荷從場(chǎng)點(diǎn)a a經(jīng)過任意路徑移到零電勢(shì)參考點(diǎn)經(jīng)過任意路徑移到零電勢(shì)參考點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所作的功。也等于單位正電荷在時(shí)電場(chǎng)力所作的功。也等于單位正電荷在a a點(diǎn)所具有的電勢(shì)能。點(diǎn)所具有的電勢(shì)能。電勢(shì)差：靜電場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)值的差。電勢(shì)差：靜電場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)值的差。0qEEUUUpbpabaabbal dE意義：意義：把單位正電荷從把單位正電荷從a a點(diǎn)沿任意路徑移

8、到點(diǎn)沿任意路徑移到b b點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所作的功。力所作的功。 電勢(shì)差和電勢(shì)的單位相同，在國(guó)際單位制中，電勢(shì)的電勢(shì)差和電勢(shì)的單位相同，在國(guó)際單位制中，電勢(shì)的單位為：焦耳單位為：焦耳/庫(kù)侖（記作庫(kù)侖（記作J/C），也稱為伏特（），也稱為伏特（V），即），即1V1J/C。0qAab第七頁，共24頁。1. .電勢(shì)是標(biāo)量，只有正負(fù)之分。電勢(shì)是標(biāo)量，只有正負(fù)之分。2. . 電勢(shì)和電勢(shì)能一樣都是相對(duì)的量，為了讓它有確定電勢(shì)和電勢(shì)能一樣都是相對(duì)的量，為了讓它有確定的值，必須選擇一個(gè)零點(diǎn)作為參考點(diǎn)。但電勢(shì)差的值的值，必須選擇一個(gè)零點(diǎn)作為參考點(diǎn)。但電勢(shì)差的值具有絕對(duì)的意義，與零點(diǎn)的選擇無關(guān)。具有絕對(duì)的意義，與

9、零點(diǎn)的選擇無關(guān)。對(duì)有限帶電體一般選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。對(duì)有限帶電體一般選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。注意幾點(diǎn)：注意幾點(diǎn)：3. . 電勢(shì)零點(diǎn)的選擇：電勢(shì)零點(diǎn)的選擇：在實(shí)際問題中，也常常選地球的電勢(shì)為零電勢(shì)。在實(shí)際問題中，也常常選地球的電勢(shì)為零電勢(shì)。對(duì)對(duì)無限帶電體無限帶電體不宜選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。此時(shí)只有電勢(shì)不宜選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。此時(shí)只有電勢(shì)的相對(duì)值（即電勢(shì)差）有意義。的相對(duì)值（即電勢(shì)差）有意義。4. .電勢(shì)能與電勢(shì)的區(qū)別：電勢(shì)能與電勢(shì)的區(qū)別：EP 可正可負(fù)，取決于可正可負(fù)，取決于 q 和和 q0 ； U只取決于場(chǎng)源電荷只取決于場(chǎng)源電荷 q 。第八頁，共24頁。 當(dāng)已知電勢(shì)分布時(shí)，可用電勢(shì)差求出點(diǎn)電荷在電場(chǎng)

10、中移當(dāng)已知電勢(shì)分布時(shí)，可用電勢(shì)差求出點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力所做的功：動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力所做的功：baabl dEqA0例、例、用場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)的定義直接積分求點(diǎn)電荷產(chǎn)生的用場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)的定義直接積分求點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。 rrqE420pppl dEUUUpEqr負(fù)點(diǎn)電荷周圍的場(chǎng)電勢(shì)為離負(fù)電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越高。負(fù)點(diǎn)電荷周圍的場(chǎng)電勢(shì)為離負(fù)電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越高。正點(diǎn)電荷周圍的場(chǎng)電勢(shì)為離正電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低。正點(diǎn)電荷周圍的場(chǎng)電勢(shì)為離正電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低。解：解： )(0baUUqpprqdrrq02044強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：第九頁，共24頁。3.3.電勢(shì)迭加原理電勢(shì)迭加原理表述：表述：

11、一個(gè)電荷系的電場(chǎng)中一個(gè)電荷系的電場(chǎng)中,任一點(diǎn)的電勢(shì)等于每一個(gè)任一點(diǎn)的電勢(shì)等于每一個(gè)帶電體單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和。帶電體單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和。由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理和電勢(shì)的定義，可得電勢(shì)疊加原理。由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理和電勢(shì)的定義，可得電勢(shì)疊加原理。l dEpUp)(1r2r3rir1q2q3qiqppipiiirql dEpU04)(iiirqpU04)(表達(dá)式：表達(dá)式：（1 1）電勢(shì)是標(biāo)量，迭加的結(jié)果是求代數(shù)和；）電勢(shì)是標(biāo)量，迭加的結(jié)果是求代數(shù)和；（2 2）要求各個(gè)點(diǎn)電荷的零電勢(shì)點(diǎn)必須相同；）要求各個(gè)點(diǎn)電荷的零電勢(shì)點(diǎn)必須相同；強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：pl dEE)(21iipU)(第十頁，共2

12、4頁。4.4.電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的求解有兩種方法：電勢(shì)的求解有兩種方法：1. .由電勢(shì)的定義出發(fā)，用場(chǎng)強(qiáng)的線積分求電勢(shì)，即由由電勢(shì)的定義出發(fā)，用場(chǎng)強(qiáng)的線積分求電勢(shì)，即由電勢(shì)定義式電勢(shì)定義式 計(jì)算計(jì)算P點(diǎn)電勢(shì)。點(diǎn)電勢(shì)。零點(diǎn)ppl dEU2. .根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式和電勢(shì)迭加原理求電勢(shì)分布。根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式和電勢(shì)迭加原理求電勢(shì)分布。（1）點(diǎn)電荷系：先分別求出每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)的電點(diǎn)電荷系：先分別求出每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)的電場(chǎng)的電勢(shì)，再求代數(shù)和得到電勢(shì)。場(chǎng)的電勢(shì)，再求代數(shù)和得到電勢(shì)。iiiirqUU04公式：公式：（2）連續(xù)帶電體：將帶電體分割成無限多個(gè)電荷元，連續(xù)帶電體：將帶電體分割成

13、無限多個(gè)電荷元，將每個(gè)電荷元看成點(diǎn)電荷，根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)公式求電荷將每個(gè)電荷元看成點(diǎn)電荷，根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)公式求電荷元的電勢(shì)，迭加歸結(jié)于積分元的電勢(shì)，迭加歸結(jié)于積分。rdqdUU04注意電荷元的選取！注意電荷元的選取！第十一頁，共24頁。例例1：均勻帶電圓環(huán)，半徑為均勻帶電圓環(huán)，半徑為 R，帶電為，帶電為 q，求圓，求圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì) U。oxRqxdqdU解：解：將圓環(huán)分割成無限多個(gè)電荷元：將圓環(huán)分割成無限多個(gè)電荷元：rdqdU04rdUUdqrq0041環(huán)上各點(diǎn)到軸線等距。環(huán)上各點(diǎn)到軸線等距。2/1220)(4Rxq第十二頁，共24頁。例例2：均勻帶電球殼半徑為均勻帶電球

14、殼半徑為 R，電量為，電量為 q，求：球殼內(nèi)、外，求：球殼內(nèi)、外的電勢(shì)分布。的電勢(shì)分布。oRqr高斯面高斯面E解：解：球殼內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)球殼內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)作高斯球面作高斯球面r0qSdES0qdSESrIII2041rqE,Rr 0qI區(qū)：球面內(nèi)區(qū)：球面內(nèi)01E,RrII區(qū)：球面外區(qū)：球面外qq20241rqE第十三頁，共24頁。l dEl dEURRr 211drER20drrqR2041Rq04I區(qū)：球殼內(nèi)電勢(shì)區(qū)：球殼內(nèi)電勢(shì)選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)0點(diǎn)，點(diǎn)，RroRqrE ErIIIldEUr 22drEr2drrqr2041rq04II區(qū)：球殼外電勢(shì)區(qū)：球殼外電勢(shì)Rr第十四頁，共24頁。

15、oRqIIIRoEr204RqoRqIIIRoVrRq04,RrI區(qū)：球面內(nèi)區(qū)：球面內(nèi)01E,RrII區(qū)：球面外區(qū)：球面外20241rqERqU014rqU024第十五頁，共24頁。例例3 3：無限長(zhǎng)帶電直線線電荷密度為無限長(zhǎng)帶電直線線電荷密度為 ，求電勢(shì)分布。，求電勢(shì)分布。orP解：解：無限長(zhǎng)帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)：無限長(zhǎng)帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)：rE02PPl dEU若選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)若選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì) 0 點(diǎn)，則點(diǎn)，則PEdrdrrr02r)ln(ln20r無意義無意義QR選取距帶電直導(dǎo)線為選取距帶電直導(dǎo)線為R的的Q點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，QPPEdrUrRln20Rrdrr02當(dāng)電荷分當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到布

16、擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時(shí)，無窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)電勢(shì)零點(diǎn)不能再選不能再選在無窮遠(yuǎn)在無窮遠(yuǎn)處。處。 第十六頁，共24頁。例例4：在正方形四個(gè)頂點(diǎn)上各放置在正方形四個(gè)頂點(diǎn)上各放置 帶電量為帶電量為+ +q的四個(gè)電荷，的四個(gè)電荷，各頂點(diǎn)到正方形中心各頂點(diǎn)到正方形中心O O的距離為的距離為r r。求：。求： （1 1）O O點(diǎn)的點(diǎn)的電勢(shì)；（電勢(shì)；（2 2）把試探電荷）把試探電荷q q0 0從無窮遠(yuǎn)處移到從無窮遠(yuǎn)處移到O O點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所作點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所作的功；（的功；（3 3）電勢(shì)能的改變。）電勢(shì)能的改變。解：解：4104iiiOrqUrqrq0044qqqqor（1 1）根據(jù)電勢(shì)迭加原理）根據(jù)電勢(shì)迭加原理（2 2）根

17、據(jù)電勢(shì)差的定義）根據(jù)電勢(shì)差的定義0qAUUOO)(0OOUUqAOUq0rqq00（2 2）根據(jù)）根據(jù)abpbpaAEEOOOAEEErqq00第十七頁，共24頁。1.1.等勢(shì)面等勢(shì)面aal dEU引：引：.場(chǎng)強(qiáng)電勢(shì)的積分關(guān)系場(chǎng)強(qiáng)電勢(shì)的積分關(guān)系等勢(shì)面：將電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來組成的面叫等勢(shì)面：將電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來組成的面叫做等勢(shì)面做等勢(shì)面.即即 的空間曲面稱為等勢(shì)面。等的空間曲面稱為等勢(shì)面。等勢(shì)面上的任一曲線叫做等勢(shì)線或等位線。勢(shì)面上的任一曲線叫做等勢(shì)線或等位線。CzyxU),(規(guī)定：規(guī)定：畫等勢(shì)面時(shí)，相鄰兩個(gè)等勢(shì)面的電勢(shì)差為常數(shù)。畫等勢(shì)面時(shí)，相鄰兩個(gè)等勢(shì)面的電勢(shì)差為常數(shù)。第十八頁

18、，共24頁。等勢(shì)面的性質(zhì)：等勢(shì)面的性質(zhì)：證明：證明： 1.在靜電場(chǎng)中，沿等勢(shì)面移動(dòng)電荷時(shí)，靜電場(chǎng)力對(duì)此在靜電場(chǎng)中，沿等勢(shì)面移動(dòng)電荷時(shí)，靜電場(chǎng)力對(duì)此電荷不作功。電荷不作功。l dMNE)(0baUUqbaabUql dEqA00ab等勢(shì)面等勢(shì)面02.除電場(chǎng)強(qiáng)度為零處外，電力線與等勢(shì)面正交。除電場(chǎng)強(qiáng)度為零處外，電力線與等勢(shì)面正交。證明：證明：0cosEdlldEdAMNl dE3.由于由于規(guī)定了兩個(gè)相鄰等勢(shì)面的電勢(shì)差相等，所以等勢(shì)面較規(guī)定了兩個(gè)相鄰等勢(shì)面的電勢(shì)差相等，所以等勢(shì)面較密集的地方，場(chǎng)強(qiáng)較大。等勢(shì)面較稀疏的地方，場(chǎng)強(qiáng)較小。密集的地方，場(chǎng)強(qiáng)較大。等勢(shì)面較稀疏的地方，場(chǎng)強(qiáng)較小。 因?yàn)閷挝徽?/p>

19、荷從等勢(shì)面上因?yàn)閷挝徽姾蓮牡葎?shì)面上M點(diǎn)移到點(diǎn)移到N點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為零，而路徑不為零。點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為零，而路徑不為零。第十九頁，共24頁。因沿電力線方向移動(dòng)正電荷場(chǎng)力做正功，電因沿電力線方向移動(dòng)正電荷場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減少。勢(shì)能減少。4.電力線電力線的方向的方向指向電勢(shì)降低的方向。指向電勢(shì)降低的方向。證明：證明：假設(shè)電荷假設(shè)電荷q q0 0由2移到1，12UU 012UUE2等勢(shì)面等勢(shì)面l d1122121)(ppppEEEEA0)(120UUq的方向?yàn)殡妱?shì)降低的方向。的方向?yàn)殡妱?shì)降低的方向。E2.2.電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度Ul ddndUU 3P1P2PEn 12 取兩個(gè)相鄰近的等勢(shì)面取兩個(gè)相

20、鄰近的等勢(shì)面1和和2，電勢(shì)分別為，電勢(shì)分別為U和和U+dU,且且dU0,.規(guī)定：規(guī)定：等勢(shì)面的法線正方向?yàn)橹傅葎?shì)面的法線正方向?yàn)橹赶螂妱?shì)升高的法線方向。向電勢(shì)升高的法線方向。第二十頁，共24頁。ndndUgradU定義電勢(shì)梯度矢量：定義電勢(shì)梯度矢量：大?。捍笮。悍较颍悍较颍篸ndU寫成矢量式：寫成矢量式：U算符算符gradkzjyix電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度 是一個(gè)矢量，是一個(gè)矢量，U它的方向是沿電力線的切向并指向電勢(shì)升高的方向。它的方向是沿電力線的切向并指向電勢(shì)升高的方向。如果過如果過P1沿沿 方向的電勢(shì)增加率為方向的電勢(shì)增加率為 ， 與與 的夾角的夾角為為 。l ddldUl dn cosdndU

21、dldU沿著等勢(shì)面的正法線方向沿著等勢(shì)面的正法線方向有：有：Ul ddndUU 3P1P2PEn 12)cos(dldn 第二十一頁，共24頁。3.3.場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的積分關(guān)系，有：根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的積分關(guān)系，有：21UUl dE)(dUUUdU即：即：dUdlEcoscosdldUEdndU 電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電勢(shì)梯度矢量電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電勢(shì)梯度矢量的方向相反，即的方向相反，即 與與 反向。反向。En 寫成矢量式：寫成矢量式：ndndUE 電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢(shì)梯度矢量的負(fù)電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢(shì)梯度矢量的負(fù)值。值。場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系gradUUUl ddndUU 3P1P2PEn 12第二十二頁，共24頁。在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：kzUjyUixUE在任意方向上，場(chǎng)強(qiáng)的分量為：在任意方向上，場(chǎng)強(qiáng)的分量為：cosdndU注意幾點(diǎn)：注意幾點(diǎn)：1.“ .“