北師大課件數(shù)列遞推性例話

1、1序序 曲曲函數(shù)族中特殊類函數(shù)族中特殊類數(shù)列列數(shù)能排隊(duì)數(shù)列列數(shù)能排隊(duì)自然編號(hào)有座位自然編號(hào)有座位前后跟隨可遞推前后跟隨可遞推2數(shù)列與遞推數(shù)列與遞推問：?jiǎn)枺簲?shù)列是函數(shù)嗎？數(shù)列是函數(shù)嗎？ 答：答：定義在自然數(shù)集定義在自然數(shù)集N上，函數(shù)式為上，函數(shù)式為 an= f (n)問：?jiǎn)枺河泻螌?shí)際意義？有何實(shí)際意義？答：答：數(shù)列的每個(gè)函數(shù)值，都按自然數(shù)序號(hào)排了座位，前后間的數(shù)列的每個(gè)函數(shù)值，都按自然數(shù)序號(hào)排了座位，前后間的鄰居關(guān)系非常清楚，知道了前面的一個(gè)數(shù)，就可知道它的后面鄰居關(guān)系非常清楚，知道了前面的一個(gè)數(shù)，就可知道它的后面數(shù)是誰數(shù)是誰. 因此數(shù)列有因此數(shù)列有“遞推關(guān)系遞推關(guān)系”：an+1= f (an

2、). 問：?jiǎn)枺阂话愫瘮?shù)有這關(guān)系嗎？一般函數(shù)有這關(guān)系嗎？21x答：答：沒有！如一次函數(shù)沒有！如一次函數(shù) y = x，你知道，你知道 后的緊跟數(shù)是誰！后的緊跟數(shù)是誰！3數(shù)列與遞推基礎(chǔ)數(shù)列與遞推基礎(chǔ)一一 等差與遞比數(shù)列都是遞推數(shù)列等差與遞比數(shù)列都是遞推數(shù)列二二 一次式遞推一次式遞推an+1=kan+b三三 四四 五五 六六 七七 八八 遞推式與數(shù)學(xué)歸納法遞推式與數(shù)學(xué)歸納法41、等差數(shù)列是遞推數(shù)列、等差數(shù)列是遞推數(shù)列【定義】【定義】 一個(gè)數(shù)列一個(gè)數(shù)列 an ，如果從它的第，如果從它的第2項(xiàng)開始，每項(xiàng)與它的項(xiàng)開始，每項(xiàng)與它的前面一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)前面一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)d ，即，即【遞推式】【遞推式】

3、 由等差數(shù)列的定義，可得等差數(shù)列的遞推式由等差數(shù)列的定義，可得等差數(shù)列的遞推式daaaann 11則這個(gè)數(shù)列叫等差數(shù)列則這個(gè)數(shù)列叫等差數(shù)列.a2 - a1=a3 - a2=an+1 - an =d52、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式在等差數(shù)列在等差數(shù)列 an 的遞推式中的遞推式中依次令依次令 k=1, 2, , n 得得n+1元元 n+1列方程組列方程組daaaakk 11daadaadaaaannnn11121兩邊相加，消去兩邊相加，消去a1，a2， an 得得an+1= a + nd 或或 an= a + (n -1)d63、等比數(shù)列是遞推數(shù)列、等比數(shù)列是遞推數(shù)列【定義】【定義】

4、一個(gè)數(shù)列一個(gè)數(shù)列 an ，如果從它的第，如果從它的第2項(xiàng)開始，每項(xiàng)與它前項(xiàng)開始，每項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的比等于一個(gè)常數(shù)面一項(xiàng)的比等于一個(gè)常數(shù)q ，即，即則這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列則這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列.qaaaaaann12312【遞推式】【遞推式】 由等比數(shù)列的定義，可得等比數(shù)列的遞推式由等比數(shù)列的定義，可得等比數(shù)列的遞推式nnqbbbb1174、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式在等比數(shù)列的遞推式中在等比數(shù)列的遞推式中kkqbbbb11依次令依次令 k=1, 2, , n 得得n+1元元 n+1列方程組列方程組nnnnqbbqbbqbbbb11121兩邊相乘，消去兩邊相乘，消去b1，b2， bn 得

5、得bn+1= bqn 或或 bn= bq n-18研究函數(shù)式時(shí)，我們是從簡(jiǎn)單的正比例函數(shù)、一次函數(shù)開始的研究函數(shù)式時(shí)，我們是從簡(jiǎn)單的正比例函數(shù)、一次函數(shù)開始的.在這種啟發(fā)下，我們想到了遞推式中的在這種啟發(fā)下，我們想到了遞推式中的“一次式一次式”：（1）k = 1時(shí)，時(shí)， 得等差數(shù)列得等差數(shù)列 an+1 =an + m非常湊巧，等差、等比數(shù)列正好是這種非常湊巧，等差、等比數(shù)列正好是這種“一次式一次式”的特殊情況的特殊情況. 在遞推式（在遞推式（）中：）中：（2）m = 0時(shí)，得等比數(shù)列時(shí)，得等比數(shù)列 an+1 =kan如果如果k 1（當(dāng)然也不為（當(dāng)然也不為0），），m 0 呢？呢？an+1 =k

6、an + m （）9【例【例1】 已知數(shù)列已知數(shù)列 an 中，中，a1=2，an+1=2an - -1 求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和.【點(diǎn)評(píng)】【點(diǎn)評(píng)】 一次遞推數(shù)列一次遞推數(shù)列 an+1= 2an-1 通過轉(zhuǎn)換，通過轉(zhuǎn)換，bn = an - 1 化為等化為等比數(shù)列比數(shù)列 bn+1 = 2bn【解答】【解答】 an+1 = 2an-1 an+1- -1=2(an - -1)令令 bn = an - -1得得 bn+1 = 2bn bn=2n - - 1 an = bn+1 = 2n- - 1 +1 （下略）（下略）【分析】【分析】 遞推公式是一個(gè)典型的遞推公式是

7、一個(gè)典型的“一次式一次式”，我們考慮將其轉(zhuǎn)，我們考慮將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解化為等差或等比數(shù)列求解.10【例【例2】 已知已知 m 0， k 0，1，a 1 = a ( 0 ) , an+1 = kan +m求數(shù)列求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.【分析】【分析】 按例按例1的經(jīng)驗(yàn)，轉(zhuǎn)化到等比數(shù)列，關(guān)鍵在常數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，轉(zhuǎn)化到等比數(shù)列，關(guān)鍵在常數(shù) c 匹配匹配.【解答】【解答】 設(shè)設(shè)(an+1-c) = k(an - c)kcckaann1令令 c kc = m，得，得kmc1令令 bn = an cckcacbakbbnnnnn1111)( 即即kmkkmaann1 )1(1 11我們可以

8、類比等差等比數(shù)列定義等和等積數(shù)列我們可以類比等差等比數(shù)列定義等和等積數(shù)列.【定義】【定義】 等和數(shù)列等和數(shù)列 等積數(shù)列等積數(shù)列maaaann11pbbbbnn11【遞推式】【遞推式】 等和數(shù)列等和數(shù)列 等積數(shù)列等積數(shù)列maaaann 11nnbpbbb11【說明】【說明】 等和數(shù)列是一次遞推數(shù)列等和數(shù)列是一次遞推數(shù)列an+1 = kan+m 在在k= - -1 時(shí)的特時(shí)的特殊形式殊形式.等積數(shù)列是反比例遞推數(shù)列等積數(shù)列是反比例遞推數(shù)列.12【例【例1】 已知數(shù)列首項(xiàng)已知數(shù)列首項(xiàng) a1 =2若若an+a n+1=3 求數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解答】【解答】 由由 a1+a2 = a2+a3

9、 = an+an+1【說明】【說明】 等和數(shù)列一般形式為等和數(shù)列一般形式為 a1=a，an + an+1=m得得 a1 = a3 = =a2m - -1=2 a2 = a4 = =a2m = 1等和數(shù)列一般為擺動(dòng)數(shù)列，只當(dāng)?shù)群蛿?shù)列一般為擺動(dòng)數(shù)列，只當(dāng) m = 2a 時(shí)，為常數(shù)列時(shí)，為常數(shù)列.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為故數(shù)列的通項(xiàng)公式為為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)nnan 1 2通項(xiàng)公式為通項(xiàng)公式為為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)namnaan 13【例【例2】 已知數(shù)列首項(xiàng)已知數(shù)列首項(xiàng) b1 =2若若bn b n+1=3 求數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解答】【解答】 由由b1b2 = b2b3 =bnbn+1【說明】【說明】

10、等積數(shù)列一般形式為等積數(shù)列一般形式為 b1=b bn bn+1=p等積數(shù)列一般為擺動(dòng)數(shù)列，只當(dāng)?shù)确e數(shù)列一般為擺動(dòng)數(shù)列，只當(dāng) p = b2 時(shí)，為常數(shù)列時(shí)，為常數(shù)列.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為故數(shù)列的通項(xiàng)公式為為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)nnbn 23 2通項(xiàng)公式為通項(xiàng)公式為為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)nbpnbbn 得得 b1 = b3 = =b2m - -1=2 b2 = b4 = =b2m = 2314在等差數(shù)列在等差數(shù)列 an 中中daaaann11如果讓公差如果讓公差d（常數(shù)）變動(dòng)起來，由（常數(shù)）變動(dòng)起來，由 d 變?yōu)樽優(yōu)閐n，得數(shù)列，得數(shù)列nnndaaaa11我們可以稱其為我們可以稱其為“變差變差”數(shù)列數(shù)列. 當(dāng)變

11、差當(dāng)變差dn 為等差或等比數(shù)列時(shí)，為等差或等比數(shù)列時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式我們可以將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.15【例題】【例題】 已知已知 a1 =1，an+1=an + 2n +n 求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式.【解答】【解答】 在差式在差式 an+1 -an= 2n + n 中，對(duì)中，對(duì)n進(jìn)行進(jìn)行“迭代迭代”：依次令：依次令n=1，2，k，得方程組，得方程組【分析】【分析】 這是一個(gè)變差數(shù)列，這是一個(gè)變差數(shù)列，“變差變差” dn = 2n + n是一個(gè)等比數(shù)是一個(gè)等比數(shù)列與等差數(shù)列的和列與等差數(shù)列的和.kaaaaaakkk2 22121223112 兩邊相加，消去兩

12、邊相加，消去a1, a2 , , ak，得，得 a k+1=1+(21 + 22 +2k )+(1+2+k)2) 1()22(11kkk得通項(xiàng)公式得通項(xiàng)公式 12) 1(2nnann16“迭代法迭代法”求變差數(shù)列通項(xiàng)公求變差數(shù)列通項(xiàng)公式式【迭代】【迭代】 在在 an+1 - an= dn 中，依次令中，依次令n=1，2，k，得，得k元元 k 列方程組列方程組【題設(shè)】【題設(shè)】 設(shè)有變差數(shù)列設(shè)有變差數(shù)列 a1=a，an+1 = an+dnkkkdaadaadaa1223112 其中其中 d1+ d2 +dn = D(n)【解【解ak+1】 方程組兩邊相加，消去方程組兩邊相加，消去 a1 ，a2，a

13、k 解得解得ak+1 =a +(d1 + d2 + + dk ) = a + D(k)【求【求an】 由此得由此得 an =a+D ( n-1 )為所求通項(xiàng)公式為所求通項(xiàng)公式.17數(shù)列的遞推式，如等差數(shù)列的遞推式數(shù)列的遞推式，如等差數(shù)列的遞推式是用是用an的函數(shù)式來表示的函數(shù)式來表示an+1其實(shí)，函數(shù)式只為方程式的一種特殊形式，將等差數(shù)列的遞推其實(shí)，函數(shù)式只為方程式的一種特殊形式，將等差數(shù)列的遞推式改寫為式改寫為an+1 = an+d = f ( an )an+1 an d =F ( an+1 , an ) = 0則是一個(gè)關(guān)于則是一個(gè)關(guān)于an 和和 an+1 的方程式的方程式方程式表示遞推關(guān)系

14、，則更有其普遍意義方程式表示遞推關(guān)系，則更有其普遍意義.18【例題】【例題】 數(shù)列數(shù)列 an 中中a1=1，且有，且有2nan+1 + anan+1=2nan ,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式.【解析】【解析】 由方程式由方程式 2n an+1 + an a n+1= 2n an 得得【分析】【分析】 遞推式是關(guān)于遞推式是關(guān)于an 和和an+1 的方程，的方程，“參數(shù)參數(shù)” 2n 還是一個(gè)還是一個(gè)變數(shù)，首先可進(jìn)行求函數(shù)變數(shù)，首先可進(jìn)行求函數(shù) an+1= f (an )的嘗試的嘗試.nnnnnnnnnnnnaaaaaaa2112212211nnnaa21111用迭代法可以解得用迭代法可以解得 nnnna2

15、1221212111121122122111nnnnnnaa19復(fù)合數(shù)列相對(duì)基本數(shù)列而言復(fù)合數(shù)列相對(duì)基本數(shù)列而言. 中學(xué)的基本數(shù)列有中學(xué)的基本數(shù)列有2個(gè)，一是等差個(gè)，一是等差數(shù)列，二是等比數(shù)列，其他數(shù)列可看作是兩種基本（之一）的數(shù)列，二是等比數(shù)列，其他數(shù)列可看作是兩種基本（之一）的復(fù)合數(shù)列復(fù)合數(shù)列.復(fù)合數(shù)列的解法是通過轉(zhuǎn)換復(fù)合數(shù)列的解法是通過轉(zhuǎn)換 換元化為這兩種基本數(shù)列（之換元化為這兩種基本數(shù)列（之一）來解決一）來解決.一次遞推數(shù)列一次遞推數(shù)列 an+1 c = kan + m 可變形為可變形為通過換元通過換元 bn = an c 而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 bn+1 = kbn 而求解

16、而求解.一次遞推數(shù)列再延伸一步，讓常數(shù)一次遞推數(shù)列再延伸一步，讓常數(shù)m變起來變起來ak+1 = kan + mn 當(dāng)當(dāng) mn 具備一定條件時(shí)，也可通過換元法轉(zhuǎn)化為一次遞推數(shù)具備一定條件時(shí)，也可通過換元法轉(zhuǎn)化為一次遞推數(shù)列列an+1=kan + mn20【例題】【例題】 數(shù)列數(shù)列 an 中中a1=2，且有，且有 an+1 =4an+2n+1,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式.【解析】【解析】 由方程式由方程式 2n an+1 + an a n+1= 2n an 得得【分析】【分析】 這就是一次遞推數(shù)列的變這就是一次遞推數(shù)列的變m形式：形式：1222241111nnnnnnnaaaaan+1 = kan +

17、mn 其中其中mn = 2 n+1是等比數(shù)列是等比數(shù)列令令 則原數(shù)列轉(zhuǎn)化為則原數(shù)列轉(zhuǎn)化為nnnab21bn+1 = 2bn + 1 （一次遞推數(shù)列）（一次遞推數(shù)列）bn = 2n 1 an=2n bn+1=24n - - 2 n 【說明】【說明】 這里的一次遞推數(shù)列的變這里的一次遞推數(shù)列的變 m 形式形式an+1 = 4an + 2n+1轉(zhuǎn)到一次遞推數(shù)列轉(zhuǎn)到一次遞推數(shù)列bn+1 = 2an +121數(shù)列求和公式與通項(xiàng)公式有如下關(guān)系數(shù)列求和公式與通項(xiàng)公式有如下關(guān)系這實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于這實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于an 與與Sn 的遞推式的遞推式.nnnSSaSa1111如等差數(shù)列如等差數(shù)列ndaSSaaSan

18、nn11111在含在含 Sn 的遞推式中，作出的遞推式中，作出 Sn+1 Sn = an代換即得關(guān)于代換即得關(guān)于 an ，an+1 的遞推式的遞推式.22【分析】【分析】 這是一個(gè)含有這是一個(gè)含有 Sn 的遞推式，先利用它求的遞推式，先利用它求 a1 .【說明】【說明】 含含Sn 的遞推式，通過的遞推式，通過an+1 = Sn+1 - - Sn 轉(zhuǎn)化為不含轉(zhuǎn)化為不含Sn的式子的式子.【例題】【例題】 數(shù)列數(shù)列 an 前前n 項(xiàng)和設(shè)為項(xiàng)和設(shè)為32231341nnnaS求數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解答】【解答】在在 中中32231341nnnaS令令n = 1，由，由 S1 = a1 得得23

19、23434111aaa又又an+1 = Sn+1 - - Sn)22(31)(34121nnnnaa1124nnnaa（問題轉(zhuǎn)化為前面問題（問題轉(zhuǎn)化為前面問題 下略）下略）23對(duì)等差數(shù)列，對(duì)等差數(shù)列，a1=a, an+1 = an+d 求通項(xiàng)，用了迭代法求通項(xiàng)，用了迭代法遞推式與數(shù)學(xué)歸納法遞推式與數(shù)學(xué)歸納法daadaadaann 12312 求得求得 an+1= a1+nddnaan) 1(1其實(shí)，這種不完全歸納法得出的其實(shí)，這種不完全歸納法得出的an=a1 + (n - 1)d 只是一個(gè)只是一個(gè)“猜想猜想”，只是因其直觀而將證明過程省去了只是因其直觀而將證明過程省去了.為什么可省去呢？因?yàn)樵?/p>

20、用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在由為什么可省去呢？因?yàn)樵谟脭?shù)學(xué)歸納法時(shí)，在由 k 到到 k+1的過的過程正好是用它的遞推式程正好是用它的遞推式.當(dāng)關(guān)系當(dāng)關(guān)系“不直觀時(shí)不直觀時(shí)”，對(duì)，對(duì)“猜想猜想”得到的通項(xiàng)公式還得進(jìn)行嚴(yán)格得到的通項(xiàng)公式還得進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納的證明的數(shù)學(xué)歸納的證明.特別地，直接利用遞推式，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列某性質(zhì)特別地，直接利用遞推式，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列某性質(zhì).24【例題】【例題】 數(shù)列數(shù)列 an 中，中，a1=1，且有，且有 an = a1+2a2 +3a3+(n-1)an-1(n2) ,求數(shù)列通項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng).【探試】【探試】 a2 = a1 = 1 a3 = a1 + 2a2 = 3 a4 = a1 + 2a2 + 3a3 = 12 a5 = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 = 60