雙曲線的定義及其標準方程

1、雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程 1. 1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點的軌跡的點的軌跡.平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 雙曲線在生活中雙曲線在生活中 . 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；雙曲線定義雙曲線定義

2、思考：思考：（1）若）若2a= |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？（2）若）若2a |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？說明說明（3）若）若2a=0,則軌跡是？則軌跡是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )兩條射線兩條射線( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸所在的直線作為坐標軸.).) 探討建立平面直角坐標系的方案探討建立平面直角坐標系的

3、方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(對稱、對稱、“簡簡潔潔”)1F2FMOxy方案二方案二F2F1MxOy求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系的中點為原點建立直角坐標系2.2.設(shè)點設(shè)點設(shè)設(shè)M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化簡化簡aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(222

4、22222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即為此即為焦點在焦點在x軸上的軸上的雙曲線雙曲線的標準的標準方程方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系時若建系時,焦點在焦點在y軸上呢軸上呢?看看 前的系數(shù)，哪一個為正，前的系數(shù)，哪一個為正，則在哪一個軸上則在哪一個軸上22, yx222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c）F（

5、0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab1. 過雙曲線過雙曲線 的焦點且垂直的焦點且垂直x軸的弦的長度軸的弦的長度 為為 .14322yx3382. y2-2x2=1的焦點為的焦點為 、焦距是、焦距是 .),(260 6練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固:3.方程方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示雙曲線的充要條件表示雙曲線的充要條件 是是 . -2 680|AB|680m, ,所以爆炸點所以爆炸點的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點的雙曲線在靠近為焦點的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例3 3.(

6、.(課本第課本第5454頁例頁例) )已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆地聽到炮彈爆炸聲比在炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點的軌跡方程求炮彈爆炸點的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標系如圖所示，建立直角坐標系xO Oy, ,設(shè)爆炸點設(shè)爆炸點P的坐標為的坐標為( (x, ,y) )，則則340 2680PAPB 即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為因

7、此炮彈爆炸點的軌跡方程為44400bca 2 22 22 2答答: :再增設(shè)一個觀測點再增設(shè)一個觀測點C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置準確位置. .這是雙曲線的一個重要應(yīng)用這是雙曲線的一個重要應(yīng)用. .例例2 2: :如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由

8、例例3【名師點評】【名師點評】雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的主要依據(jù)，在應(yīng)用時，一是注意條件主要依據(jù)，在應(yīng)用時，一是注意條件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識相結(jié)合，經(jīng)的使用，二是注意與三角形知識相結(jié)合，經(jīng)常利用正、余弦定理，同時要注意整體運算思想的應(yīng)用常利用正、余弦定理，同時要注意整體運算思想的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1對雙曲線定義的理解對雙曲線定義的理解雙曲線定義中雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，不要漏了絕對值，不要漏了絕對值符號，當符號，當2a|F1F2|時表示兩條射線時表示兩條射線解

9、題時，也要注意解題時，也要注意“絕對值絕對值”這一個條件，若去掉定義中的這一個條件，若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支2雙曲線方程的求法雙曲線方程的求法求雙曲線的標準方程包括求雙曲線的標準方程包括“定位定位”和和“定量定量”“定位定位”是是指除了中心在原點之外，判斷焦點在哪個坐標軸上，以便使指除了中心在原點之外，判斷焦點在哪個坐標軸上，以便使方程的右邊為方程的右邊為1時，確定方程的左邊哪一項為正，哪一項為負，時，確定方程的左邊哪一項為正，哪一項為負，“定量定量”是指確定是指確定a2，b2的值，即根據(jù)條件列出關(guān)于的值，即根據(jù)條件列出關(guān)于a2和和b2的的方程

10、組，解得方程組，解得a2和和b2的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標準的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標準方程方程精彩推薦典例展示精彩推薦典例展示易錯警示易錯警示 雙曲線定義運用中的誤區(qū)雙曲線定義運用中的誤區(qū)例例4【常見錯誤】【常見錯誤】(1)利用雙曲線定義利用雙曲線定義|PF1|PF2|8求求|PF2|時，時，易忽略絕對值號，而錯選易忽略絕對值號，而錯選A.(2)根據(jù)雙曲線的定義可得到答案根據(jù)雙曲線的定義可得到答案C，但由于雙曲線上的點到，但由于雙曲線上的點到雙曲線焦點的最小距離是雙曲線焦點的最小距離是ca642，而，而|PF2|12，不，不合題意，所以應(yīng)該舍去，造成錯誤的原因是忽略雙曲線的相合題意，所以應(yīng)該舍去，造成錯誤的原因是忽略雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，沒有檢驗關(guān)性質(zhì)，沒有檢驗|PF1|PF2|10|F1F2|造成的造成的【解析】雙曲線的實軸長為【解析】雙曲線的實軸長為8，由雙曲線的定義得，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|8，所以所以|9|PF2|8，所以所以|PF2|1或或17.因為因為|F1F2|12，當，當|PF2|1時，時，|PF1|PF2|10|F1F2|，不符合公理不符合公理“兩點之間線段最短兩點之間線段最短”，應(yīng)舍去，應(yīng)舍去所以