從雙基到四基從兩能到四能

1、從雙基到四基從兩能到四能第一頁，共19頁。一、傳統(tǒng)與未來一、傳統(tǒng)與未來 數(shù)學(xué)課標(biāo)：雙基 四基、兩能 四能 基礎(chǔ)知識、基本技能 + 基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn) 分析問題、解決問題 + 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題知識為本：單純的雙基（99年大綱）、專門人才育人為本：學(xué)生成長、認(rèn)知規(guī)律 如何教如何學(xué)(有效教學(xué)、有效學(xué)習(xí)）； 有效 + 興趣 減負(fù)第二頁，共19頁。創(chuàng)新：基礎(chǔ)知識 + 創(chuàng)新思維 + 創(chuàng)新經(jīng)驗(yàn)。 思維方法和經(jīng)驗(yàn)：培養(yǎng)學(xué)科直觀。 結(jié)果是看出來的。 思維方法的教育：數(shù)學(xué)思想 + 思維經(jīng)驗(yàn)。第三頁，共19頁。二、基本活動經(jīng)驗(yàn)二、基本活動經(jīng)驗(yàn) 會想問題：不是教出來的、是自己悟出來的； 悟的方法就是自己思考、積

2、累經(jīng)驗(yàn)。物價調(diào)查：物價調(diào)查： 會整體規(guī)劃、 會把問題化簡、 會抽象出問題的本質(zhì)、 會歸納出規(guī)律性的東西、 會邏輯地表達(dá)自己的思考。第四頁，共19頁。三、數(shù)學(xué)的基本思想三、數(shù)學(xué)的基本思想 不是指數(shù)學(xué)思想方法：等量替換、數(shù)形結(jié)合、分類、遞歸、轉(zhuǎn)換；配方法、換元法、加強(qiáng)不等式。 數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的思想 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以后具有的思維能力抽象抽象：把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部；抽象能力強(qiáng)推理推理：促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展；推理能力強(qiáng)模型模型：溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁；應(yīng)用能力強(qiáng)第五頁，共19頁。抽象抽象：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象；圖形與圖形關(guān)系的抽象。得到：得到：研究問題的對象概念對象概念和對象之間的關(guān)系概念關(guān)系

3、概念； 運(yùn)算方法運(yùn)算方法和運(yùn)算之間的運(yùn)算法則運(yùn)算法則。亞里士多德： 數(shù)學(xué)家用抽象的方法對事物進(jìn)行研究，去掉事物中那些感性的東西。對于數(shù)學(xué)而言，線、角、或者其他的量的定義，不是作為存在而是作為關(guān)系。引出抽象的兩個層次兩個層次：直觀描述，符號表達(dá)。第六頁，共19頁。數(shù)量的第一步抽象數(shù)量的第一步抽象 數(shù)量 數(shù)。 2匹馬、2頭牛 2。 數(shù)量的本質(zhì)多與少 數(shù)的本質(zhì)大與小 自然數(shù)：10個符號 + 位數(shù) 加法：加一、萬的產(chǎn)生 加法 四則運(yùn)算； 逆運(yùn)算 數(shù)域擴(kuò)充； 自然數(shù) 整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)。第七頁，共19頁。數(shù)量的第二步數(shù)量的第二步抽象抽象 符號意識：符號可以代表數(shù)、關(guān)系、規(guī)律、邏輯 符號可以進(jìn)行計(jì)算和論證

4、（方程） 通過符號得到的結(jié)論具有一般性（交換律） 具體 一般 凡是具體的都會存在反例（函數(shù)變量說） 凡是一般的都會存在概念（函數(shù)對應(yīng)說）第八頁，共19頁。解釋微積分 定義極限運(yùn)算 定義實(shí)數(shù) 定義無理數(shù) 重新定義有理數(shù) 有理數(shù)：分?jǐn)?shù)形式 小數(shù)形式：有限 + 無限循環(huán) 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù) 實(shí)數(shù) 有理數(shù) + 無理數(shù) 運(yùn)算：23 = 23 ？ 性質(zhì)：連續(xù) ？實(shí)數(shù)的加法：兩個實(shí)數(shù)相加，如果符號相同，取相同的符號，和為兩個實(shí)數(shù)絕對值的和；如果符號不同，取絕對值大的符號，和為大的絕對值減小的絕對值。 第九頁，共19頁。圖形的第一次抽象圖形的第一次抽象 歐幾里得幾何原本描述定義：點(diǎn)、線、面、角 關(guān)系術(shù)語：

5、相交、平行、垂直、全等 度量定義：長度、面積、體積、邊角關(guān)系(三角函數(shù)、巴比倫)帶來的問題 點(diǎn)：兩條直線交于一點(diǎn)？ 平行：兩條永遠(yuǎn)不相交的直線？ 全等：兩個圖形重合？修改平行：過直線外一點(diǎn)可以有一條（歐幾里得幾何） 無數(shù)（羅巴契夫幾何） 沒有（黎曼幾何）第十頁，共19頁。Aaab赤道ONN北極出地與緯度之間的關(guān)系 第十一頁，共19頁。圖形的第二次抽象圖形的第二次抽象 希爾伯特幾何基礎(chǔ)：桌子、椅子、啤酒杯 符號定義：A，a，五組公理五組公理：兩點(diǎn)決定一條直線； 三點(diǎn)決定一個平面。本質(zhì)是維數(shù)本質(zhì)是維數(shù)：0維點(diǎn)；1維線；2維面；3維體。 高維看低維：直線、平面。第十二頁，共19頁。推理推理：一種思維

6、過程思維：形象思維、邏輯思維邏輯思維、辯證思維命題：可以進(jìn)行判斷的話語推理：一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程命題 + 判斷的四種形式：是是、是否、非是、非否邏輯推理：命題主詞的內(nèi)涵之間具有傳遞性 有邏輯：凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。 無邏輯：蘋果是酸的，酸是一種味道。所以蘋果是一種味道。第十三頁，共19頁。邏輯推理邏輯推理 = = 演繹推理演繹推理 + + 歸納推理歸納推理演繹推理演繹推理：從大到小，一般到特殊，結(jié)果必然； 已知 A 求證 B：不能發(fā)現(xiàn)新東西。歸納推理歸納推理：從小到大，特殊到一般，結(jié)果或然； 已知 a 推斷 A：歸納（代數(shù)）； 已知 A 推斷 A+B：類

7、比（幾何）。第十四頁，共19頁。歸納教學(xué)的例子：嘗試。為得到公式 a2 b2 = (a-b)(a+b)首先進(jìn)行化簡，令 b=1。變化 a 可以得到： 22 1 = 4 - 1 = 3 32 1 = 9 - 1 = 8 42 1 = 16 - 1 = 15 52 1 = 25 - 1 = 24 62 1 = 36 - 1 = 35因?yàn)?8 = 24，15 = 35，24 = 46 ，35 = 57， 可以想到 a21 = (a-1)(a+1)，然后考慮一般的 b。 從自然數(shù)的前 n 項(xiàng)和公式出發(fā)，得到平方和、立方和公式。第十五頁，共19頁。模型模型：構(gòu)建數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。數(shù)學(xué)的應(yīng)用敘述的是一

8、個用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的實(shí)際故事。方程、不等式、函數(shù)、遞推(時間序列)等是語言工具。比如，方程敘述的是量相等的故事。距離=速度時間 用數(shù)學(xué)語言定義概念。 F=maF=ma 橋梁雙方：數(shù)學(xué) + 現(xiàn)實(shí)。流行病模型，投入產(chǎn)出模型各種場合：參數(shù) + 約束。自由落體模型中的重力加速度第十六頁，共19頁。四四. . 統(tǒng)計(jì)基本思想統(tǒng)計(jì)基本思想 統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)有所不同。 立論基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)：公理、假設(shè)； 統(tǒng)計(jì)：數(shù)據(jù)、模型。 推理方法 數(shù)學(xué)：演繹推理； 統(tǒng)計(jì)：歸納推理。 判斷準(zhǔn)則 數(shù)學(xué)：對與錯； 統(tǒng)計(jì)：好與壞。第十七頁，共19頁。 一個袋子里有5個球，其中有4個白球和1個紅球，讓學(xué)生有放回地摸球。 概率：概率：驗(yàn)證出現(xiàn)白球的可能性4/54/5。不可操作 統(tǒng)計(jì)：統(tǒng)計(jì)：不告訴學(xué)生背景，預(yù)測 1.白球多還是紅球多？ 2.比例大概是多少？ 7/10,9/10，80%需要20次，90%需要60次。 3.如果有5個球，白球有多少？ 估計(jì)的好壞與樣本量有關(guān)，與方法有關(guān)。第十八頁，共19頁。因此，可以認(rèn)為： 統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)與藝術(shù)。統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)與藝術(shù)。 科學(xué)科學(xué)：基礎(chǔ)是假說。驗(yàn)證與時間、地點(diǎn)、個性