定積分的性質(zhì)

1、對定積分的對定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時，時，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.三、三、定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)積分區(qū)間長度為積分區(qū)間長度為0證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且在下面的性質(zhì)中，假定定

2、積分都存在，且不考慮積分上下限的大小不考慮積分上下限的大小定積分的加法定積分的加法 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2定積分的數(shù)乘運(yùn)算（定積分的數(shù)乘運(yùn)算（k=2） bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(證證: 當(dāng)bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(a

3、bc性質(zhì)性質(zhì)3 3abc當(dāng)當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時的相對位置任意時, 例如例如,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx . 0)(lim)(10 iinibaxfdxxf 性質(zhì)性

4、質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）設(shè)設(shè)M

5、及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6定積分的最大最小值不等式定積分的最大最小值不等式解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例2. 試證試證:.2dsin120 xxx證證: 設(shè)設(shè))(xf,

6、sinxx則在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式使使,)

7、(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點(diǎn)點(diǎn) ，即即xyoab )( f使得以區(qū)間使得以區(qū)間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的一個矩形的面積。的一個矩形的面積。積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：說明說明:.都成立或baba 可把可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對積分中值定理對abxxfbad)(因

8、因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn注注 ：一個非連續(xù)函數(shù)未必能取到平均值一個非連續(xù)函數(shù)未必能取到平均值平均值平均值1/2 取不到取不到 badxxf，xfxfbaCf.0)()(,0)(,則則為為零零不不恒恒且且設(shè)設(shè) 證證.0)(,00 xfbax使使由由已已知知條條件件知知存存在在.0)()(lim,00 xfxfbaCfxx由由例例3. 0)(,0 xfdcbadcx，上上使使在在的的區(qū)區(qū)間間存存在在一一個個含含由由保保號號性性知知 bddccabadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()( )( )()0,dcf x dxfdc ,dc 其其中中;,)(

9、,0)(,0)(,)1(上上恒恒為為零零在在則則且且設(shè)設(shè)baxfdxxfxfbaCfba 由例由例3,易得易得 babadxxgdxxf，xgxfxgxfbagf.)()()()(),()(,)2(則則等等于于不不恒恒且且設(shè)設(shè) eedxxxdx121.)(lnln的的大大小小與與比比較較積積分分例例4解解1ln0 , 1 xex時時2)(lnlnxx ,)(lnln2不不恒恒等等與與但但xx.)(lnln121 eedxxxdx例例5解解:設(shè)設(shè), )1ln()(xxxf則則xxf111)( 1 ,0(x,0)(xf 1 ,0(,0)0()(xfxf0d)(10 xxf即xxxxd)1 (lnd

10、1010 1010.)1ln(的的大大小小與與比比較較積積分分dxxxdx解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f . 6 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）典型問題典型問題（）估計積分值；（）估計積分值；（）不計算定積分比較積分大?。ǎ┎挥嬎愣ǚe分比較積分大小小結(jié)小結(jié)思考題思考題 定定積積分分性性質(zhì)質(zhì)中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積，則則)()(xgxf 或或)()

11、(xgxf在在,ba上上也也可可積積。這這一一性性質(zhì)質(zhì)之之逆逆成成立立嗎嗎？為為什什么么？思考題解答思考題解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可積積，不不能能斷斷言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積。 為為無無理理數(shù)數(shù)，為為有有理理數(shù)數(shù)xxxf0, 1)( 為為無無理理數(shù)數(shù)，為為有有理理數(shù)數(shù)xxxg1, 0)(顯顯然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上上可可積積，但但)(),(xgxf在在1 , 0上上都都不不可可積積。例例一一、 填填空空題題：1 1、 如如果果積積分分區(qū)區(qū)間間 ba ,被被點(diǎn)點(diǎn)c分分成成 bcca,與與，則則定定積

12、積分分的的可可加加性性為為 badxxf)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 如如果果 baxf,)(在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值分分別別為為Mm與與，則則 abdxxf)(有有如如下下估估計計式式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 時時當(dāng)當(dāng)ba ，我我們們規(guī)規(guī)定定 badxxf)(與與 abdxxf)(的的關(guān)關(guān)系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 積積分分中中值值公公式式 bad

13、xxf)()(,)(baabf 的的幾幾何何意意義義是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 下列兩積分的大小關(guān)系是：下列兩積分的大小關(guān)系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 證明：證明： babadxxfkdxxkf)()(（是常數(shù)是常數(shù)k）. .三、三、 估計下列積分估計下列積分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、證明不等式：四、證明不等式： 2121dxx . .六、用定積分定義和性質(zhì)求極限六、用定積分定義和性

14、質(zhì)求極限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、設(shè)七、設(shè))(xf及及 baxg,)(在在上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 則 在， 則 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒恒等等于于，則，則 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，則在，則在 )()(,xgxfba 上上 . .一、一、1 1、 bccadxxfd