（精心整理）圓錐曲線題型總結(jié)

1、直線和圓錐曲線?？糹an錐曲線經(jīng)題型運用的知識：1、中點坐標(biāo)公式：，其中是點的中點坐標(biāo)。2、弦長公式：若點在直線上，則，這是同點縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個不同的根，則。常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點的問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值問題題型八：角度問題問題九：四點共線問題問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，

2、存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點，求的取值范圍解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點（0，1），橢圓過動點，如果直線和橢圓始終有交點，則，即。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點：題型二：弦的垂直平分線問題例題2、過點T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點，得即 由韋達(dá)定理，得

3、：。則線段AB的中點為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時。題型三：動弦過定點的問題例題3、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根，則，即點M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為，直線MN的

4、方程為：，令y=0，得，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點為，即故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。題型四：過已知曲線上定點的弦的問題例題4、已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且BC過橢圓的中心O又點C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點，則橢圓方程為：將點C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整

5、理得：是方程的一個根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。題型五：共線向量問題例題5、設(shè)過點D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點，且,求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點 即 由韋達(dá)定理得： 即 由得，代入，整理得 ， 解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時，易知或。總之實數(shù)的取值范圍是。題型六：面積問題例題6、已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線

6、l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。（1）當(dāng)軸時，。（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。當(dāng)時，綜上所述。當(dāng)最大時，面積取最大值。題型七：弦或弦長為定值問題例題7、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點。（）若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。 （）依題意，點N的坐標(biāo)為N（0,

7、-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得又由點到直線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x2,y2）,Q（x4,y4）

8、,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問題例題8、（如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（）求點P的軌跡方程；（）若,求點P的坐標(biāo). 解：()由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=所以橢圓的方程為 ()由得 因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構(gòu)成三角形.在PMN中， 將代入，得 故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上. 由()知，點P的坐標(biāo)又滿足，所以 由方程組 解得 即P點坐標(biāo)為問題九：四點共線問題例題9、設(shè)橢圓過點，且著焦點為（

9、）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點總在定直線上方法二設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點總在定直線上問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）設(shè)、分別是橢圓的

10、左、右焦點。（）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值；（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍。解：（）解法一：易知 所以，設(shè)，則因為，故當(dāng)，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當(dāng)，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又 又，即 故由、得或問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切