兩角和與差的正弦余弦正切公式

1、兩角和與差的正弦余弦正切公式教學目標1能根據(jù)兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦公式，并靈活運用(重點)2能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式(難點)3掌握兩角和與差的正切公式及變形應用(難點、易錯點)基礎初探教材整理 1兩角和與差的余弦公式閱讀教材 P128“思考”以下至“探究”以上內(nèi)容，完成下列問題.名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C()cos()coscossinsin，R兩角和的余弦公式C()cos()coscossinsin，Rcos 75cos 15sin 75sin 15的值等于_【解析】逆用兩角和的余弦公式可得cos 75cos 15sin

2、 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0教材整理 2兩角和與差的正弦公式閱讀教材 P128“探究”以下內(nèi)容，完成下列問題1公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S()sin()sincoscossin、R兩角差的正弦S()sin()sincoscossin、R2.重要結(jié)論輔助角公式y(tǒng)asin xbcos x a2b2sin(x)(a，b 不同時為 0)，其中 cosaa2b2，sinba2b2判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得 sin()sinsin成立()(3)對于任意，R，sin()sinsin

3、都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()解：(1).根據(jù)公式的推導過程可得(2).當45，0時，sin()sinsin.(3).當30，30時， sin()sinsin成立(4).因為 sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正確【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理 3兩角和與差的正切公式閱讀教材 P129“探究”以下至“例 3”以上內(nèi)容，完成下列問題名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切T()tan()tantan1tantan，k2(kZ) 且tant

4、an1兩角差的正切T()tan()tantan1tantan，k2(kZ) 且tan tan1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)存在，R，使 tan()tantan成立()(2)對任意，R，tan()tantan1tantan都成立()(3)tan()tantan1tantan等價于 tantantan()(1tantan)()解：(1).當0，3時，tan()tan03 tan 0tan3，但一般情況下不成立(2).兩角和的正切公式的適用范圍是，k2(kZ)(3).當k2(kZ)，k2(kZ)，k2(kZ)時， 由前一個式子兩邊同乘以 1tantan可得后一個式子【答案】(1)(2)(

5、3)小組合作型靈活應用和、差角公式化簡三角函數(shù)式(1)(2016濟寧高一檢測)sin 47sin 17cos 30cos 17()A32B12C12D32(2)化簡求值：1tan 751tan 75；sin(75)cos(45) 3cos(15)；(2016遵義四中期末)tan 20tan 40 3tan 20tan 40.(1)化簡求值應注意公式的逆用(2)對于非特殊角的三角函數(shù)式化簡應轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值解：(1)sin 47sin 17cos 30cos 17sin（1730）sin 17cos 30cos 17sin 17cos 30cos 17sin 30sin 17cos 30

6、cos 17cos 17sin 30cos 17sin 3012.【答案】C(2)原式tan 45tan 751tan 45tan 75tan(4575)tan 120 3.原式 3.設15，則原式sin(60)cos(30) 3cos12sin32cos32cos12sin 3cos0.原式0.原式tan 60(1tan 20tan 40) 3tan 20tan 40 3.原式 3.1 公式 T()， T()是變形較多的兩個公式， 公式中有 tan tan，tantan(或 tantan)，tan()(或 tan()三者知二可表示出或求出第三個2化簡過程中注意“1”與“tan4” 、“ 3”

7、與“tan3” 、“12”與“cos3”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化再練一題1化簡求值：(1)cos 61cos 16sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17cos 13sin 17；(3)1tan 12tan 72tan 12tan 72.解：(1)原式cos(6116)cos 4522.(2)原式sin(1317)sin 3012.(3)原式1tan 12tan 72tan 12tan 721tan（7212）33.給值求值(2016普寧高一檢測)已知434，04，cos435，sin34513，求 sin()的值. 【導學號：00680069】可先考慮拆角， 344

8、， 然后再利用 sin()sin()求值解：因為434，所以24.所以 sin41cos2445.又因為 04，3434，所以 cos341sin2341213，所以 sin()sin()sin434 sin4cos34cos4sin34451213 35 5136365.1本題屬于給值求值問題，求解時，關(guān)鍵是從已知角間的關(guān)系入手，分析出已知角和待求角的關(guān)系如本題中巧用()這一關(guān)系2常見角的變換為(1)2()，2()；(2)22 2，22 2；(3)442()；(4)442()再練一題2 已知 cos45，32， tan13，2，求 cos()解：因為，32，cos45，所以 sin35.因為

9、2，tan13，所以 cos3 1010，sin1010.所以 cos()coscossinsin453 101035 10103 1010.給值求角已知 sin55，sin1010，且，為銳角，求的值sin，sin求 cos，cos求 cos（）確定的范圍求的值解：sin55，為銳角，cos 1sin2255.又 sin1010，為銳角，cos 1sin231010.cos()coscossinsin2 553 101055101022.又，0，2 ，0，因此4.1 求解該類問題常犯的錯誤是對角的范圍討論程度過大(小)， 導致求出的角不合題意或者漏解2求角的大小，要解決兩點：(1)確定所求角

10、的范圍，(2)求角的某一三角函數(shù)值， 特別是要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值再練一題3 若把本例題的條件改為“0，2 ，2，0， 且 cos()35，sin210” ，試求角的大小解：0，2 ，2，0，(0，)，由 cos()35，知 sin()45.由 sin210，知 cos7 210.sinsin()sin()coscos()sin457 21035210 22.又0，2 ，4.探究共研型輔助角公式的應用探究1函數(shù)ysin xcos x(xZ)的最大值為2對嗎？為什么？【提示】不對因為 sin xcos x 222sin x22cos x 2sin xcos4cos xsin4

11、 2sinx4 .所以函數(shù)的最大值為 2.探究 2函數(shù) y3sin x4cos x 的最大值等于多少？【提示】因為 y3sin x4cos x535sin x45cos x，令 cos35，sin45，則 y5(sin xcoscos xsin)5sin(x)，所以函數(shù) y 的最大值為 5.探究 3如何推導 asin xbcos x a2b2sin(x)tanba公式【提示】asin xbcos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos x，令 cosaa2b2，sinba2b2，則asin xbcos x a2b2(sin xcoscos xsin) a2b2sin(x)(其中角所在

12、象限由 a、b 的符號確定，角的值由 tanba確定，或由 sinba2b2和 cosaa2b2共同確定)當函數(shù) ysin x 3cos x(0 x2)取得最大值時，x_.可先用公式 S將函數(shù)化為 yAsin(x)形式再求最大值對應的 x 值解：函數(shù)為 ysin x 3cos x212sin x32cos x2sin xcos3cos xsin32sinx3 ，當 0 x2時，3x353，所以當 y 取得最大值時，x32，所以 x56.【答案】561對于形如 sincos， 3sincos的三角函數(shù)式均可利用特殊值與特殊角的關(guān)系，運用和差角正、余弦公式化簡為含有一個三角函數(shù)的形式2在解法上充分

13、體現(xiàn)了角的變換和整體思想，在三角函數(shù)求值化簡的變換過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則再練一題4函數(shù) f(x)sin xcosx6 的值域為()A2，2B 3， 3C1，1D32，32解：f(x)sin xcosx6sin x32cos x12sin x32sin x32cos x 3sinx6 ，所以函數(shù) f(x)的值域為 3， 3故選 B【答案】B構(gòu)建體系1(2016清遠期末)化簡：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A12B12C32D32解：原式sin(2181)sin 6032.故選 D【答案】D2已知是銳角，sin35，則 cos4等于()A210B210C

14、25D25解：因為是銳角，sin35，所以 cos45，所以 cos422452235210.故選 B【答案】B3函數(shù) ysin xcos x 的最小正周期是()A2BC2D4解：ysin xcos x 2sinx4 ，所以 T2.【答案】C4計算3tan 151 3tan 15_解：3tan 151 3tan 15tan 60tan 151tan 60tan 15tan 451.【答案】15已知，均為銳角，sin55，cos1010，求.解：，均為銳角，sin55，cos1010，sin3 1010，cos2 55.sinsin，20，sin()sincoscossin5510102 553

15、 101022，4.學業(yè)分層測評學業(yè)達標一、選擇題1若4，則(1tan)(1tan)等于()A1B1C2D2解：(1tan)(1tan)1(tantan)tantan1tan()(1tantan)tantan1tan4(1tantan)tantan2.【答案】C2cos 3sin化簡的結(jié)果可以是()A12cos6B2cos3C12cos3D2cos6解：cos 3sin212cos32sin2coscos3sinsin3 2cos3 .【答案】B3(2016北京高一檢測)在ABC 中，A4，cos B1010，則sin C 等于()A2 55B2 55C55D55解：因為 cos B1010且

16、 0B，所以 sin B3 1010又 A4，所以 sin Csin(AB)sin4cos Bcos4sin B221010223 10102 55.【答案】A4若 sin35，2，2 ，則 cos54()A210B210C7 210D7 210解：因為 sin35，2，2 ，所以 cos45，故cos54coscos54sinsin544522 3522 210.【答案】A5若 sin35，tan()1，且是第二象限角，則 tan的值為()A43B43C7D17解：由 sin35，且是第二象限角，可得 cos45，則 tan34，所以 tantan()tan（）tan1tan（）tan134

17、1347.【答案】C二、填空題6計算1tan 153tan 60tan 15_.解：原式tan 45tan 153（1tan 45tan 15）13tan(4515)13.【答案】137若 sin()15，sin()35，則tantan_.解：由題意得 sincoscossin15，sincoscossin35，得 sincos25，得 cossin15，得tantan2.【答案】2三、解答題8設方程 12x2x120 的兩根分別為，求 coscos 3sincos 3cossinsinsin的值解：由題意知12，故原式cos() 3sin()2sin6（）2sin122sin462sin4c

18、os6cos4sin62223222126 22.9.如圖 311，在平面直角坐標系 xOy 中，以 Ox 軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于 A、B 兩點，已知 A、B 的橫坐標分別為210、2 55.圖 311(1)求 tan()的值；(2)求2的值解：由條件得 cos210，cos2 55.，為銳角，sin 1cos27 210，sin 1cos255.因此 tan7，tan12.(1)tan()tantan1tantan71217123.(2)tan(2)tan()tan（）tan1tan（）tan3121（3）121，又，為銳角，0232，234.能力提升1 已知 f(x)sin3x3