馬克思 第一章

1、1數(shù)值分析主講數(shù)值分析課題組Chenning2數(shù)值分析課程簡介數(shù)值分析課程簡介 數(shù)值分析主要包括數(shù)值分析主要包括計(jì)算方法計(jì)算方法和和數(shù)值方法數(shù)值方法兩兩部分。它是部分。它是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論數(shù)值解及其理論的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它主的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它主要涉及到要涉及到代數(shù)代數(shù)、微積分微積分、微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解等等問題。問題。 數(shù)值分析及計(jì)算的主要任務(wù)，就是數(shù)值分析及計(jì)算的主要任務(wù)，就是研究適合研究適合于在計(jì)算機(jī)上使用的的于在計(jì)算機(jī)上使用的的數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法及與此及與此相相關(guān)的理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤關(guān)的理

2、論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分差分析等。析等。此外，還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，研究計(jì)此外，還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，研究計(jì)算時(shí)間最短、需要計(jì)算機(jī)內(nèi)存最優(yōu)等計(jì)算方法算時(shí)間最短、需要計(jì)算機(jī)內(nèi)存最優(yōu)等計(jì)算方法問題。問題。數(shù)值分析數(shù)值分析3第一章第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差分析數(shù)值計(jì)算中的誤差分析 第二章第二章 線性方程組的直接解法線性方程組的直接解法第六章第六章 曲線擬合曲線擬合 第七章第七章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分第九章第九章 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法目目 錄錄第八章第八章 非線性方程的數(shù)值解法非線性方程的數(shù)值解法第五章第五章 函數(shù)插值函數(shù)插值第三章第三章 線性方程組的迭代解

3、法線性方程組的迭代解法第四章第四章 矩陣特征值特征向量的計(jì)算矩陣特征值特征向量的計(jì)算數(shù)值分析數(shù)值分析4第一章第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差分析數(shù)值計(jì)算中的誤差分析 ：本章的主要內(nèi)容有（一） 誤差的來源；誤差的來源；（二）（二） 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)值絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)值; ;（三）（三） 數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播；數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播；（四）（四） 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題。數(shù)值分析數(shù)值分析5第一節(jié)第一節(jié) 誤差與數(shù)值計(jì)算誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)的誤差估計(jì)第二節(jié)第二節(jié) 選用和設(shè)計(jì)算法選用和設(shè)計(jì)算法 適應(yīng)遵循的原則適應(yīng)遵循的原則數(shù)值分析數(shù)值分析6誤差與數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)誤差與

4、數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)一一 誤差的來源與分類誤差的來源與分類二二 誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字?jǐn)?shù)值分析數(shù)值分析7一一 誤差的來源與分類誤差的來源與分類 按照誤差的來源按照誤差的來源, ,誤差可以分為誤差可以分為: :模型誤差模型誤差、觀測誤差觀測誤差、截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差、舍入誤差舍入誤差四種四種. . 1. 模型誤差模型誤差 用數(shù)值計(jì)算方法解決問題時(shí)用數(shù)值計(jì)算方法解決問題時(shí), ,首先必須首先必須建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型. .由由于實(shí)際問題的復(fù)雜性于實(shí)際問題的復(fù)雜性, ,在對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象與簡化時(shí)在對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象與簡化時(shí), ,往往往為了抓住主要因素而忽略了一些次要因素往為了抓住主要因素而忽略了一些

5、次要因素, ,這樣就會(huì)使得這樣就會(huì)使得建立起來的數(shù)學(xué)模型只是復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似描述建立起來的數(shù)學(xué)模型只是復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似描述, ,它它與實(shí)際問題之間總會(huì)有一些誤差與實(shí)際問題之間總會(huì)有一些誤差. .我們把這種數(shù)學(xué)模型與實(shí)我們把這種數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之間出現(xiàn)的這種誤差稱為際問題之間出現(xiàn)的這種誤差稱為模型誤差模型誤差. .數(shù)值分析數(shù)值分析8 2 2 觀測誤差觀測誤差 在數(shù)學(xué)模型中往往有一些觀測或?qū)嶒?yàn)得來的物理在數(shù)學(xué)模型中往往有一些觀測或?qū)嶒?yàn)得來的物理量量, ,由于測量工具和測量手段的限制由于測量工具和測量手段的限制, ,它們與實(shí)際量大它們與實(shí)際量大小之間必然存在誤差小之間必然存在誤差, ,

6、這種誤差稱為這種誤差稱為觀測誤差觀測誤差. . 3 3 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 由實(shí)際問題建立起來的數(shù)學(xué)模型由實(shí)際問題建立起來的數(shù)學(xué)模型, ,在很多情在很多情 況下要得到?jīng)r下要得到準(zhǔn)確解是困難內(nèi)的準(zhǔn)確解是困難內(nèi)的, ,通常要用數(shù)值方法求出它的近似解通常要用數(shù)值方法求出它的近似解. .這這種數(shù)學(xué)模型的精確解與由數(shù)值方法求出的近似解之間的種數(shù)學(xué)模型的精確解與由數(shù)值方法求出的近似解之間的誤差稱為誤差稱為截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差,由于截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算方法固有的由于截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算方法固有的, ,故又稱為故又稱為方法誤差方法誤差. .9 4 4 舍入誤差舍入誤差 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí), ,

7、由于計(jì)算機(jī)的數(shù)位有由于計(jì)算機(jī)的數(shù)位有限限, ,計(jì)算時(shí)只能對(duì)超過位數(shù)的數(shù)字進(jìn)行四舍五入計(jì)算時(shí)只能對(duì)超過位數(shù)的數(shù)字進(jìn)行四舍五入, ,由此由此產(chǎn)生的誤差稱為產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差舍入誤差. .二二 . .誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字 1 1 絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限e=x-x*. 稱為近似值稱為近似值x x* *的的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限。 *xxe簡稱簡稱誤差限誤差限或或精度精度.設(shè)設(shè)x x* *為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值x x的一個(gè)近似值，稱的一個(gè)近似值，稱為近似值為近似值x x* *的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差10有了誤差限和近似值，可得到準(zhǔn)確值范圍有了誤差限和近似值，可得到準(zhǔn)確值范圍*.xxx

8、易知，由四舍五入所得到的數(shù)，其易知，由四舍五入所得到的數(shù)，其誤差限誤差限一定一定不超過被保留數(shù)不超過被保留數(shù)的的最后數(shù)位最后數(shù)位上的上的半個(gè)單位半個(gè)單位213.143.140.001610 .2( 3.14163.140.0016)313.1423.1420.00041102(3.142413.1420.00041)1112314313.14159265.3.142,3.141,22 7.3.141593.1423.1423.14159110.00040,1010 ,22xxxxx 例：問例：問3.142,3.141,22/7分別作為分別作為 的近似值各具有幾位有效數(shù)字？的近似值各具有幾位有效

9、數(shù)字？3.142具有具有4位有效數(shù)字；位有效數(shù)字；13223.141593.1410.00059,111010,22xx3.141具有具有3位有效數(shù)字；位有效數(shù)字；33222 73.141593.142850.00126,111022 710 ,22x22/7具有具有3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。122 2 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和其絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和其誤差誤差限限 設(shè)設(shè)x x* *為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值x x的一個(gè)近似值，稱的一個(gè)近似值，稱絕對(duì)絕對(duì)誤差限誤差限與與準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值之比為近似值之比為近似值x x* *的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差。記記: :*,rreex*rexxexx稱為稱為x x* *的的相對(duì)誤差

10、限相對(duì)誤差限。若存在正數(shù)若存在正數(shù) , ,使得使得133 3 有效數(shù)字有效數(shù)字 有效數(shù)字有效數(shù)字。x,xnxn如果近似值 的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位且該位直到 的第一位非零數(shù)字一共有 位，則稱近似值 有 位1*,nx 自左向右看，第一個(gè)非零數(shù)自左向右看，第一個(gè)非零數(shù)誤差不超過該數(shù)的半個(gè)單位。誤差不超過該數(shù)的半個(gè)單位。14*xx一般地，任何一個(gè)實(shí)數(shù) 經(jīng)過四舍五入后得到的近似值式都可以寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形*12121211(101010 ) 100.10.nmnmnmmnx 為所以，當(dāng)其絕對(duì)誤差限nmxx1021*數(shù)。中的到是，中的數(shù)，到是整數(shù)為位有效數(shù)字，其中具有時(shí)，則稱近似值9091,321*n

11、mnx15有三位有效數(shù)字。 表示近似數(shù)0.003400準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第五位,例例1-1：510.003400102x是具有7位有效數(shù)字的近似數(shù)， 其誤差限是*31104 732xxm n *1452.046x 例例1-2：16絕對(duì)誤差（限）絕對(duì)誤差（限）相對(duì)誤差（限）相對(duì)誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字nmxx1021*rexxexx111102na*1210.10(0)mnxa aaan 有 位111102(1)nra *1210.10(0)mnxa aaan 有 位有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系,rree17 4 4 有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系有效數(shù)

12、字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系：的絕此近似值位有效數(shù)字，則有的近似值若某數(shù)*) 1 (xnxx 對(duì)誤差限為nmxx1021*1211*111*(2)0.10 (0)110,21102(1)mnnrnrxxa aaanxaaxn 若 的近似值有 位有效數(shù)字，則為其相對(duì)誤差限。反之 若 的相對(duì)誤差限 滿足則 至少具有 位有效數(shù)字。18解解于是有字是的近似值的首位非零數(shù), 4201 %110421)() 1(* nrx即可滿足要求。故取解之得3,2nnEX:P13.519小結(jié)小結(jié)模型誤差模型誤差 觀測誤差觀測誤差 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 舍入誤差舍入誤差絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限 相對(duì)誤差相對(duì)誤

13、差 相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限有效數(shù)字有效數(shù)字 有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系20第二節(jié)第二節(jié) 選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng)選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng) 遵循的原則遵循的原則一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播傳播 二、盡量簡化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù)二、盡量簡化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù) 三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減四、小結(jié)四、小結(jié)21*1212()(,)(,)nne yyyf xxxf xxxniiinxexxxxf1*2*1*)(),(基本運(yùn)算：基本運(yùn)算：指四則運(yùn)算和常用函數(shù)的計(jì)算。設(shè)數(shù)值指四則運(yùn)算和常

14、用函數(shù)的計(jì)算。設(shè)數(shù)值nxxx,21),(21nxxxfnxxx,21nxxx*2*1*,),(*2*1*nxxxfy近似值分別是近似值分別是相應(yīng)的解為相應(yīng)的解為計(jì)算中求解與參量計(jì)算中求解與參量有關(guān)有關(guān), ,記：記：1、基本運(yùn)算的誤差估計(jì)、基本運(yùn)算的誤差估計(jì)設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微, ,當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)，解的時(shí)，解的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差為為 ),(*2*1*nxxxf22解的解的相對(duì)誤差相對(duì)誤差為為 )(),(),()(ln)()(*1*1*1*irniniinrxexxfxxxxffdyyeye注注:函數(shù)的和、差、函數(shù)的和、差、積、積、商的部分誤差商的部分誤差公式為：公式為：),()

15、()(2121xexexxe)()()(2212121121xexxxxexxxxxerrr)()/()()/(222112121xexxxxxxe)()()/(2121xexexxerrr1 22112()( )( )e xxx e xxe x1 212()( )( )rrre xxe xe x23)()()()()/()()()()()()()()()()(212121212121212121xexexexexxexexexexexxexexexexexxerrrrrrrrrr可得： 即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，積、即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，積、 商的相對(duì)誤差

16、限不超過各數(shù)的相對(duì)誤差限的和。商的相對(duì)誤差限不超過各數(shù)的相對(duì)誤差限的和。 則則 的相對(duì)誤差為的相對(duì)誤差為x x相對(duì)誤差的相對(duì)誤差的n n倍倍。特別有。特別有 相對(duì)誤差為相對(duì)誤差為x x相對(duì)誤差的相對(duì)誤差的0.50.5倍。倍。 nxxnxy 例例1 1、設(shè)、設(shè) , ,求求y y的相對(duì)誤差與的相對(duì)誤差與x x的相對(duì)誤差之的相對(duì)誤差之間的關(guān)系。間的關(guān)系。)()(ln)(ln)(xnexndxdyernr解解：由公式知，：由公式知，2410)5/(dxxxInn(1)( 1 , 1,151)(, 2 , 1,5111BnnkIkIAnInIkknn(2)算法算法1：x=0.182322for n=1:

17、20 n x=-5*x+1/nend算法算法2：x=0.00873016for n=20:-1:1 n-1 x=-(1/5)*x+1/(5*n)endx =0.1823 n =1 x = 0.0884 n =2 x =0.0581 n = 3 x = 0.0431 n = 4 x = 0.0346 n = 5x = 0.0271 n =6 x = 0.0313 n =7 x =-0.0134 n = 8 x =0.1920 n = 9 x = -0.8487 n =1x = 4.3436 n =11 x =-21.6268 n =12 x =108.2176 n =13 x =-541.011

18、0 n =14 x =2.7051e+003n =15 x = -1.3526e+004 n =16 x =6.7628e+004 n =17 x = -3.3814e+005 n =18 x =1.6907e+006 n =19 x =-8.4535e+006 n =20 x =4.2267e+007x = 0.0087 ans = 19 x = 0.0083 ans = 18 x = 0.0089 ans =17 x = 0.0093 ans = 16 x = 0.0099 ans = 15 x = 0.0105EX25 一個(gè)算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不一個(gè)算法是否穩(wěn)定是非常重要的

19、，如果算法不穩(wěn)定，則數(shù)值的結(jié)果就會(huì)嚴(yán)重背離數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)定，則數(shù)值的結(jié)果就會(huì)嚴(yán)重背離數(shù)學(xué)模型的真實(shí)真實(shí)結(jié)果結(jié)果。在選擇數(shù)值計(jì)算公式來進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)用在。在選擇數(shù)值計(jì)算公式來進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)用在數(shù)值計(jì)算過程中不會(huì)導(dǎo)致誤差迅速增長的計(jì)算公式。數(shù)值計(jì)算過程中不會(huì)導(dǎo)致誤差迅速增長的計(jì)算公式。一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍 入誤差的傳播入誤差的傳播例例 1 計(jì)算定積分計(jì)算定積分101dxexeIxnn(1.2.1)26解解 算法一算法一 利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式: :(1.2.2) 6321. 011101eInIInn由上式可計(jì)

20、算得7280. 0,7200. 0,0400. 01600. 0,1680. 0,2080. 02640. 0,3680. 0,6321. 0876543210IIIIIIIII27由于(1.2.3) 11)(max010101ndxxeeInxxn125. 0817I:.,)2 . 2 . 1 (87原因在于果是錯(cuò)誤的的結(jié)算出的可見按遞推關(guān)系式II則由以上的則由以上的 的不等式可以看出的不等式可以看出 nI28.,87,1021878740的結(jié)果錯(cuò)誤從而使得倍與該誤差放大了時(shí)與傳播到很快此誤差在運(yùn)算中傳播得的舍入誤差本身有不超過IIIII 算法二算法二改寫為將遞推關(guān)系式)2 . 2 . 1

21、()1 (11nnInI29因?yàn)?011011)(minnedxxeeInxxn可得結(jié)合)3 . 2 . 1 (1111nInen有由作初始值取時(shí)當(dāng))4 . 2 . 1 (,1124. 0,77In306320. 0,3680. 02643. 0,2073. 0,1708. 01455. 0,1269. 0,1124. 001234567IIIIIIII.6321. 0,07相差無幾的精確結(jié)果與最后便得到小的的計(jì)算過程中是逐漸減引起的初始誤差在以后由于此時(shí)II 31s0=1-exp(-1);s1=1-s0;for n=2:20 s(n)=1-n*s(n-1);ends(1:20)n11nnII

22、n11nnIIn11nnII01234560.63210.36790.26420.20730.17090.14550.1268789101112130.11240.10090.09160.08390.07740.07180.0669141516171819200.06270.05900.05550.0572-0.02951.5596-30.1924s(30)=1/31;for n=30:-1:2 s(n-1)=(1-s(n)/n;ends(1:20)nnIInn/ )1 (1nnIInn/ )1 (1nnIInn/ )1 (1201918171615140.63210.36790.26420.

23、20730.17090.14550.1268131211109870.11240.10090.09160.08390.07740.07180.066965432100.06270.05900.05570.05280.05010.04770.045532二、盡量簡化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù)二、盡量簡化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù) 同樣一個(gè)問題同樣一個(gè)問題, ,如果能減少運(yùn)算次數(shù)如果能減少運(yùn)算次數(shù), ,不但不但可以節(jié)省計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間可以節(jié)省計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間, ,而且還能減少舍而且還能減少舍入誤差入誤差, ,這是數(shù)值計(jì)算必須遵守的原則這是數(shù)值計(jì)算必須遵守的原則. .例例2256.x計(jì)算的值解解,255,x若將 的值逐個(gè)相乘 那么需要作次乘法 但若寫成 256248163264128xxxxxxxxxx .只 要 作 8次 乘 法 就 可 以 了33三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減 在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)相減會(huì)造