第六章 沖激響應不變法

1、第六章學習目標第六章學習目標理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應用掌握沖激響應不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的設計過程了解利用頻帶變換法設計各種類型數(shù)字濾波器的方法本章作業(yè)練習本章作業(yè)練習 P319: 13第六章第六章 IIR數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器：是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。 高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點：*一、數(shù)字濾波器的

2、基本概念 1、數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：現(xiàn)代濾波器：選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應濾波器等按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或單位抽樣響應分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）2、數(shù)字濾波器的設計過程用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結構、字長的選擇等實際技術實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法3、數(shù)字濾波器的技術要求選頻濾波器的頻率響應：()()()jjj

3、jH eH ee 為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后 各頻率成分的衰減情況()jH e 為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器 后在時間上的延時情況()j：通帶截止頻率c：阻帶截止頻率st：通帶容限1：阻帶容限2st2()jH e阻帶：cst過渡帶：c11()1jH e通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶最大衰減：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻帶最小衰減：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：0()1jH e當 時，()2/20.707cjH e稱 為3dB通帶截止頻率13dBc4、表

4、征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH(z)的極點：單位圓內(nèi)的極點相位響應()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*1()()ln2()jjjH eejHe11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm()()arctanRe()jjjH eeH e相位響應：()()jjdee

5、d ( )1Re( )jz edH zzdzH z 群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值()je若濾波器通帶內(nèi) = 常數(shù)，則為線性相位濾波器5、IIR數(shù)字濾波器的設計方法先設計模擬濾波器，再轉換為數(shù)字濾波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：, kkab即為求濾波器的各系數(shù)：計算機輔助設計法 s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器二、最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：1()11111(1)()( )(1)()MMmmN MmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()

6、()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeed頻率響應：模：11()MjjmmNjkkecH eKed各零矢量模的連乘積各極矢量模的連乘積11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMK相角：02 ,2當2位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為位于單位圓外的零/極矢量角度變化為 0Re zIm jz011()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKiommMioppN令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點數(shù)為pi單位圓外的極點數(shù)為po2()arg2 ()22jiiH eNMmpK則：11()argargarg

7、 ()jMNjjmkmkH eecedNMK全部極點在單位圓內(nèi)：po = 0，pi = N因果穩(wěn)定系統(tǒng)2()arg222 ()jiiH empNMK22imM1）全部零點在單位圓內(nèi)：,0iomM marg02）全部零點在單位圓外：0,iommMarg2 M 20om 為最小相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng), 1 zr rn 0時，h(n) = 0最小相位延時系統(tǒng)的性質1）在 相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后()jH e2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在 n = 0 附近， 而總能量相同5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng) 轉變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng)4）在 相同的系統(tǒng)中， 唯一(

8、)jH emin( )hn3）最小相位序列的 最大：min(0)hmin(0)(0)hh22min00( )( )mmnnh nhn1mN1122min00( )( )NNnnh nhn三、全通系統(tǒng)對所有 ，滿足：()1japHe稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)：11( )1apzaHzaaz為實數(shù)01aza極點：1/za零點：零極點以單位圓為鏡像對稱za極點：1*1( )1apzaHzaaz為復數(shù)01a*1/za零點：實系數(shù)二階全通系統(tǒng)1*111( )11*apzazaHzazaz1a 兩個零點（極點）共軛對稱*zaa ，極點：*1/zaa，1/零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱 N 階數(shù)字全

9、通濾波器1*11( )1NkkkzaH za z 1(1)111(1)11.1.NNNNNNNNddzd zzd zdzd z 1()( )NzD zD z 極點： 的根( )D z 1jpzrer零點： 的根1()D z1 1jozerr全通系統(tǒng)的應用min( )( )( )apH zHzHz1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng) Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點*0001/ 1zzz ，1/ ，*1111*00100*110011( )( )11z

10、 zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把H(z)單位圓外的零點： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置：構成Hmin(z)的零點。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度響應不變：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHe2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點：1 1jzerr，1111( )11jjapjjzrezreHzrezre z( )( )( )dapH zHzHz0( )(

11、 )( )( )dapdd 3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性()()()jjjdapH eHeHe()()()()dapjjjdapHeHee22200( )( )( )apde 利用均方誤差最小準則求均衡器Hap(z)的有關參數(shù)四、用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器設計思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)( )( )aHsH zH(z) 的頻率響應要能模仿 Ha(s) 的頻率響應，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1設計方

12、法：- 沖激響應不變法- 階躍響應不變法- 雙線性變換法*五、沖激響應不變法( )( )at nTh nh t數(shù)字濾波器的單位沖激響應 模仿模擬濾波器的單位沖激響應( )h n( )ah t12akHsjkTT1、變換原理( )( )sTaz eH zHsT抽樣周期( )H z( )aHs12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs2、混迭失真12()jakkH eHjTT僅當()02sahjT 1()jaH eHjTT數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為 2 /T,sfTTT T ccTT 2s

13、sfTT混迭 實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小/2s 當濾波器的設計指標以數(shù)字域頻率 給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象c3、模擬濾波器的數(shù)字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 系數(shù)相同：kA1( )NkakkAH

14、sss11 ( )1kNks TkAH zez極點：s 平面 z 平面kssks Tze穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當T 很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：2()jakkH eHjT則：aHjT2211( )4313aHsssss試用沖激響應不變法，設計IIR數(shù)字濾波器例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkT

15、AH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz設T = 1s，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、優(yōu)缺點優(yōu)點：缺點：T 保持線性關系：線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器 頻率響應混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器 h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應時域逼近良好( )ah t*七、雙線性變換法1、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似。沖激響應不變法、階躍響應不變法：

16、時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真:, 1:,T T 12Ttg 1s Tze11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Te為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數(shù) c12Tc tg 1111zsczcszcs2、變換常數(shù)c的選擇12Tc tg 2cT2）某一特定頻率嚴格相對應：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1

17、1）低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置1 12Tc3、逼近情況2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虛軸z平面單位圓cscjzcscj 2）01z01z左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4、優(yōu)缺點優(yōu)點：2c tg 00 避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換00 缺點： 除了零頻率附近， 與 之間嚴重非線性11/T 1112 tgc2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變預畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率 ，則1112c tg 按 設計模擬濾波