圓錐曲線知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學橢圓的知識總結(jié)1.橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點P到兩個定點的距離之和等于常數(shù)（），這個動點P的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.注意：若，則動點P的軌跡為線段；若，則動點P的軌跡無圖形.（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在軸上時1（）。2. 橢圓的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）.點與橢圓的位置關系：點在橢圓外；點在橢圓上1；點在橢圓內(nèi)3直線與圓錐曲線的位置關系：（1

2、）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離； 如:直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_；4.焦點三角形（橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）5.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。6.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 ；（2）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x2y=0上

3、，則此橢圓的離心率為_；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱； 特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！ 橢圓知識點的應用1.如何確定橢圓的標準方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2.橢圓標準方程中的三個量的幾何意義橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表

4、示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，且。可借助右圖理解記憶： 恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。5求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再

5、定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關于軸、軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，則曲線關于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關的計算問題？ 思路分析：與焦點三角形PF1F2有關的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算解題。將有

6、關線段，有關角 ()結(jié)合起來，建立、之間的關系. 9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系？長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，用表示為。顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。題型1:橢圓定義的運用例1.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則_.例2.如果方程表示焦點在x軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.例3.已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為 題型2： 求橢圓的標準方程 例1、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程. (1) 經(jīng)過兩點； (2)經(jīng)過點(2，3)且與橢圓具有共同的焦點；(3)一個焦點與短軸兩端點的連線

7、互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4.題型3:求橢圓的離心率例1、中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則橢圓的離心率為 .例2、過橢圓的一個焦點作橢圓長軸的垂線交橢圓于P，若 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 題型4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、對稱性等）例1.已知實數(shù)滿足,則的范圍為 例2.已知點是橢圓（）上兩點,且,則= 題型5：焦點三角形問題例1.已知為橢圓的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知為一個直角三角形的三個頂點，且,求的值.例2.已知為橢圓C:的兩個焦點，在C上滿足的點的個數(shù)為 .例3.已知橢圓的焦點是,且離心率 求橢圓的方程; 設點P在橢圓上,且,求cos.題型6: 三角代

8、換的應用例1.橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為_例2.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為 題型7：直線與橢圓的位置關系的判斷例1.當為何值時，直線與橢圓相交？相切？相離？例2.若直線與橢圓恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍； 題型8：弦長問題例1.求直線被橢圓所截得的弦長. 例2.已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點，求ABF2的面積； 題型9：中點弦問題例1. 求以橢圓內(nèi)的點A（2，-1）為中點的弦所在的直線方程。例2.中心在原點，一個焦點為的橢圓截直線 所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程例3.橢圓與直線 相交于A、B兩點，點C 是AB的中點若 ，

9、OC的斜率為 （O為原點），求橢圓的方程鞏固訓練1. 如圖,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為 2.設為橢圓的兩焦點，P在橢圓上，當面積為1時，的值為 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 4. 若為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,若, 則此橢圓的離心率為 5.在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 雙曲線基本知識點雙曲線標準方程（焦點在軸）標準方程（焦點在軸）定義定義：平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。P

10、P范圍，對稱軸軸 ，軸；實軸長為,虛軸長為對稱中心原點焦點坐標 焦點在實軸上，；焦距：頂點坐標（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率漸近線方程 共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長補充知識點：等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（1）半實軸長=半虛軸長（一般而言是a=b，但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是a,b這兩個字母）；（2）其標準方程為，其中；（3）離心率；（4）漸近線：兩條漸近線 y=±x 互相垂直；例題分析：例1、動點與點與點滿足，則點的軌跡方程為（

11、） 同步練習一:如果雙曲線的漸近線方程為，則離心率為（）或例2、已知雙曲線的離心率為，則的范圍為（）同步練習二:雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為例3、設是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點，若，則的值為同步練習三:若雙曲線的兩個焦點分別為，且經(jīng)過點，則雙曲線的標準方程為。例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（ ）(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1同步練習四:已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點分別為和，點在雙曲線上且，且的面積為1，則雙曲線的方程為（） 例5、與

12、雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點A的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1同步練習五:以為漸近線，一個焦點是F（0，2）的雙曲線方程為_.例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是 (A)同步練習六:雙曲線8kx2-ky2=8的一個焦點是(0，3)，那么k的值是 例7、經(jīng)過雙曲線的右焦點F2作傾斜角為30°的弦AB，（1）求|AB|.（2）F1是雙曲線的左焦點，求F1AB的周長同步練習七過點（0，3）的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的方程。高考真題分析1.【2012高考新課標文10】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在

13、軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 2.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) (B) (C)(D)3.【2012高考全國文10】已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，則（A） （B） （C） （D）4.（2011年高考湖南卷文科6)設雙曲線的漸近線方程為則的值為（ ）A4 B3 C2 D1 5.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 拋物線拋物線xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線

14、的焦點，直線叫做拋物線的準線。=點M到直線的距離范圍對稱性關于軸對稱關于軸對稱焦點(,0)(,0)(0,)(0,)焦點在對稱軸上頂點離心率=1準線方程準線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離焦點到準線的距離焦半徑焦 點弦 長焦點弦的幾條性質(zhì)oxFy以為直徑的圓必與準線相切若的傾斜角為，則若的傾斜角為，則 切線方程1、直線與拋物線的位置關系直線，拋物線，由，消y得：（1）當k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（2）當k0時，0，直線與拋物線相交，兩個不同交點； =0， 直線與拋物線相切，一個切點； 0，直線與拋物線相離，無公共點。（3） 若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）1、 關于直線與拋物線的位置關系問題常用處理方法直線： 拋物線，聯(lián)