2022年專轉本數(shù)學知識點

1、精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -名師整理精華學問點第一章極限與連續(xù)代數(shù)公式： ab 2a22abb2 ；ab3a33 a2 b3 a 2b3b；223322ababab ；abab aa b；b三角公式：同角關系：sincsc1 ； cossec1 ； tancot1 ；tansincos；sin2cos21 ； 1tan2sec2； 1cot 2csc2；倍角關系：sin22sincos；cos2cos2sin22cos211 2sin2；tan22tan1tan2；降冪公式：一、函數(shù)的概念：sin21cos22cos21sin 2；21、函數(shù)的定義

2、域： （ 1）分式：分母0 ；（ 2）偶次根式：被開方式0 ；（ 3）對數(shù)式：真數(shù)式0 ； （4） arcsin x 、 arccos x：1x1 ；2、函數(shù)的解析式：yfx3、反函數(shù)：yfxx f1 yy f1 x函數(shù) yfx 與反函數(shù)yf1 x：定義域與值域互換；圖形關于直線yx 對稱4、奇偶性： 對任意 xD ，如 fx如 fxfx ，就 f fx ， 就 fx 為偶函數(shù)，偶函數(shù)圖形關于y 軸對稱；x 為奇函數(shù)，奇函數(shù)圖形關于原點對稱5、整理函數(shù)表達式的技巧：（ 1）有理化：例：f x1x1x11；f x1x2x 11x；x32 x1（ 2）拆分：例：二、極限：1、極限類型：x21 ；

3、x22 x3 ；2 x13x1 ； x1x21 ；x21n（ 1） lnim q0 | q |1 ；a0, nma xna xn 1ab0lim01n0, nm（ 2） xb xmb xm 1b01m代入法：, nmf x0 ；“ c ”型：；0如 f x 是多項式的商，就因式分解，約去零因子；如 f x 的分子或分母含無理式，就有理化約去零因子；（ 3）limf x0 ”型：如f x 含三角式，用第一個重要極限lim sinx1（x0 ）；xx0“ 0x .xlimf xlimf x（亦可用于“ 型）；洛必達法就：xx0g xxx0g x等價代換： x0 時，sinxx ；tanxx ；ar

4、ctan x x ；arcsin xx ；1cosx x22； exx ； ln1xx ； 11xx 0 ；“ 1”型：用其次個重要極限lim1 x x e （ x0 ）；x.（ 4）無窮小性質： 無窮小×有界函數(shù)=無窮?。唬ǔＲ娪薪绾瘮?shù)：sin、cos、arctan、arc cot）（ 5）其它類型： （如夾逼準就等）夾逼準就：如ynxnzn （ nN 時）且 lim ynlim zna ，就 lim xna nnn精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - -

5、 - - - - - - -名師整理精華學問點2、無窮小的比較：設 lim0 ， lim0x.x.（ 1）如lim0 ，就稱是比高階的無窮小，記作o，或稱是比低階的無窮小；x.（ 2）如milx.三、連續(xù)：C0，就稱與是同階無窮?。?當 C1 時，稱與是等價無窮小， 記作1、連續(xù)：limf xf x0 （limf xlimf xf x0 ） 或l i my；0xx0xx0xx0x02、間斷點： 第一類間斷點（可去間斷點、跳動間斷點）；其次類間斷點（無窮間斷點、振蕩間斷點等）；3、零點定理： 設f x 在 a, b 上連續(xù)，且f a f b0 ，就至少有一點a, b，使得f 0 一、導數(shù)基本概念

6、：其次章導數(shù)yf x0xf x0 f xf x0 1、導數(shù)定義：f x0 limlimlimx0xx0xx0xx0特別地：f 0limf xf 0x0x002、導數(shù)的幾何意義：切線斜率kf x0 切線方程：yf x f x xx ；法線方程：yf x 1 xx ；000f x0 3、微分定義：dydf xf x dx4、微分的幾何意義：當y 是曲線的縱坐標的增量時，dy 就是切線的縱坐標對應的增量；無關5、關系： 有定義有極限連續(xù)可導可微二、導數(shù)和運算：1xxxx1、公式：有切線（ 1） c0 ；（2） x x；（ 3） a a lna ；（ 4） e e ；（ 5） log a x1x ln

7、； （ 6） ln x2a1 ；（ 7） sin xxcos x ； （ 8） cos xsin x ；2（9）tanxsecx ； （10）cotxcsc x； （11）secxsecxtanx； （12）cscxcscxcotx ；（13）arcsinx1；（14）arccosx21x1；（15）arctanx21x11x2；（16）arccotx11x2法就： uvuv ；u vuvuv ；cucuc 為常數(shù) ；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - -

8、- - - - -名師整理精華學問點u u vuv ；v v21v；vv2f xf u xd 2 yd 2 f2、高階導數(shù)：fx ， y ，2 ，2 ，dxdx公式：sinx n sin xn ； 2cos x ncosxn ；23、隱函數(shù)求導：方程兩邊對x 求導，只含x 的項直接求導，只含y 的項對 y 求導后乘y ；4、參數(shù)方程求導：x xt ，y yt dyydxxt t ddyd 2 ydtdx，2dxx t 三、導數(shù)的應用：1、函數(shù)的單調性、極值：（ 1）駐點： 如 f x0 0 ，就x0 叫做函數(shù)f x 的駐點 （又叫 穩(wěn)固點 ）；（ 2）單調性：xa , b ，（ 1）如（ 2）

9、如f xfx0 ，就0 ，就f x 單調增加； f x 單調削減；（ 3）極值： （極值點必是駐點或不行導點）第一充分條件：在點x0 處，f x 左增右減，就f x0 為極大值；f x 左減右增，就f x0 為微小值；其次充分條件：f x0 0 ， fx0 0 ，就f x0 為極大值；2、曲線的凹凸性、拐點：f x0 0 ， fx0 0 ，就f x0 為微小值（ 1）凹凸性 ： xa , b ，（ 1）如 f（ 2）如 fx0 ，就曲線 x0 ，就曲線f x 凹；f x 凸；（ 2）拐點：（拐點必是f x0 或 f x 不存在的點）在 x0 的左右凹凸轉變，就點x0 , f x0 為拐點；3、

10、漸近線： 如 lxim4、最值：ya ，就有水平漸近線ya ；如 lxima y，就有垂直漸近線xa；（ 1）求出 a,b 內全部駐點及不行導點，運算這些點及兩端點處的函數(shù)值，取其最大、最小值；（ 2）設變量并寫出自變量的范疇，列函數(shù)關系，求其導數(shù)并求駐點，如唯獨駐點，就即為所求；5、微分中值定理：（ 1）羅爾定理： 如f x 在 a, b 上連續(xù)；在 a,b 內可導；f af b ，就至少有一點a, b ，使得 f0 （ 2）拉格朗日中值定理：如f x 在 a , b 上連續(xù)；在a,b 內可導，就至少有一點 a, b，使得f fbf a ba6、不等式的證明：常用方法： （構造函數(shù)） ：（

11、1）中值定理： （ 2）單調性；（ 3）最值精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -名師整理精華學問點第三章不定積分一、不定積分的定義與性質：1、原函數(shù)： 如 Fxf x （或dF xf x dx ），就F x 為f x 的一個原函數(shù)；2 、 F xf x （或dF xf xdx ）f xdxF xC；3、f xdxf x 或 df xdxf xdx ；F x dxF xC 或dF xF xC ；二、不定積分的運算：1、基本積分公式：（ 1

12、）0dxC ； （ 2）dxxC ； （ 3）x dx1x11C ； （ 4）1 dxln | x |C ；xxxa x dxa xC a0, a1（ 5）e dxeC ；（ 6）ln a；（ 7）cos xdxsinxC ；（ 8）sinxdxcos xC ；（ 9）sec2xdxtan xC ；（ 10）csc2xdxcotxC ；（ 11）sec x tan xdxsec xC ；（ 12）csc xcotxdxcsc xC ；（ 13）11x2 dxarcsinxC ；（14）11x2 dxarctan xC .2、不定積分的運算法就：f xg xdxf x dxg xdx ；kf x

13、 dxkfxdx k0 ；3、積分法：（ 1）直接積分法：對被積函數(shù)進行恒等變形；（ 2）湊微分法（第一換元法）：fxxdxfxdx；（ 3）直接換無法（其次換元法）：根式代換：設axbt ；設xf xdx tf t dt f t t dt ；三角代換：含a2含x2x2 ，設a2 ，設xa sin t ；含a2xa sect ；x2 ，設xa tan t ；（ 4）分部積分法：udvuvvdu ；v 的挑選：優(yōu)先eax 、 sin ax 、 cosax ；其次 x；不考慮對數(shù)和反三角；* （ 5）雜例：含肯定值的函數(shù)和分段函數(shù)的不定積分第四章定積分b一、定積分的幾何意義：在 a， b 上 fx

14、0時，a fx dxA （曲邊梯形面積）二、定積分的性質性質 1af xdx0 ；abaf xdxf xdx ；a b性質 2af xdxa0,a2f xdx0如f，如fx是奇函數(shù)；x是偶函數(shù)精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -名師整理精華學問點性質 3假如在區(qū)間 a,b 上，f x0 ，就baf xdx0 ；性質 4假如在區(qū)間 a,b 上，bbf xg x,就b baaf xdxg x dx ；性質 5a f x dxaf x dx

15、；ab性質 6 （估值定理）如在 a, b 上 mf x三、定積分的運算：M ，就mba f xdxM ba ；1、牛頓萊布尼茲公式：bafxdx FxbFbFaaaabbbbb2、法就：kf xdxkf x dx ；a f xg xdxa f xdxa g xdxbcba f xdxa f xdxcf xdx ；3、積分法： 直接積分法、湊微分法、直接換元法（換元必需換限）、分部積分法4、廣義積分：fx dx Fx a；afaxafx dx Fx a；fxdx Fx ；四、變上限定積分：x五、定積分的應用：1、平面圖形的面積：t dtfxb由 yf x ， yg x 及 xa ， xb ab

16、 圍成： Aa | f xbgx | dx ；由 xf y ， xg y 及 ya ， yb ab 圍成： Aa | f yg y | dy ；2、旋轉體體積：由 yfx ， xa ， xb 及 x 軸圍成的曲邊梯形繞x 軸旋轉： Vb f x2 dx ；a由 xf y ， ya ， yb 及 y 軸圍成的曲邊梯形繞y 軸旋轉： Vba f y2 dy ；一、微分方程基本概念第五章微分方程微分方程、微分方程的階、微分方程的解：通解、特解、初始條件二、一階微分方程1、最簡潔的一階微分方程：yf x解法： 兩邊直接積分2、可分別變量的微分方程：dyydyfdxxg y1解法 ：分別變量法：g yd

17、yf x dx .3、齊次方程：dxf x ，解法 ：作變量代換uydyx ， 就 dxux du dx，代入原式化為可分別變量的方程.4、一階線性微分方程：yP x yQ x解法：（ 1）常數(shù)變易法：把相應齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)（ 2）公式法：y三、二階微分方程：Q xeP x dxdxC eP x dx1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程：ypyqy0解法： 特點方程：r 2prq0 ，特點根：r , r（ 1）實根12rr 時，方程的通解為：yC er1xC er2 x ；（ 2）實根12r1r2r 時，方程的通解為：1212yCC xerx ；（ 3）虛根r , ri 時，方程的

18、通解為：ye xC cosxC sinx1212精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -名師整理精華學問點2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：ypyqyfxx解法： 通解相應齊次方程的通解此方程特解y *（ 1）fxPnx e時，特解y*xk Qxe xn（其中 k0或1或2 ，是與特點根r1, r2 的重根數(shù)）（ 2）fxa cosxb sinx 時，特解y*xkA cosxB sinx（其中 k0或1，是i 與特點根r1 ,r2 的重根數(shù)

19、）四、特別類（可降階的高階微分方程）：1、 yn f x：解法： 通過 n 次積分即可2、 yfx, y （不顯含y ）：解法： 令yP x，就 yP ，代入原方程化為一階方程Pf x, P3、 yf y, y （不顯含 x ）：解法： 設 yP ，就 ydPdyP dP ，代入原方程化為一階方程P dPf y, P五、雜類：dydxdydy一、級數(shù)的概念與性質：第六章級數(shù)1、級數(shù)定義 :un 、一般項n 1un 、部分和sn 、部分和數(shù)列 sn 2、級數(shù)的收斂與發(fā)散:如 lim snns ，就u n 收斂 ,s 叫做u n 的和，記作sun.如 limnsn 不存在， 就un 發(fā)散 .n 1

20、n 1n 1n 13、級數(shù)的基本性質：性質 1、設兩收斂級數(shù)sun ,vn , 就級數(shù)unvn 收斂 , 其和為 s.n 1n 1n 1收斂發(fā)散 =發(fā)散；發(fā)散發(fā)散 =不確定（可能收斂也可能發(fā)散）.性質 2、假如收斂級數(shù)unn 1s , 就級數(shù)kunn 1亦收斂，其和為ks .n性質 3、級數(shù)收斂的必要條件：級數(shù)收斂lim u0.n二、正項級數(shù)及其審斂法1、比較審斂法：設正項級數(shù)un 和n 1nvn 且 un1vn n1,2, , 如vn 收斂 , 就n 1u n 收斂；反之，n 1如unn 1發(fā)散，就vn 發(fā)散 .n 1精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共

21、10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -名師整理精華學問點2、比較審斂法的極限形式：設u與v 都是正項級數(shù)，假如lim unl , 就nnn 1n 1nvn(1) 當 0l時，二級數(shù)有相同的斂散性；(2) 當 l0 時，如vn 收斂，就n 1un 收斂；n 1(3) 當 l時，如vn 發(fā)散，就n 1un 發(fā)散n 1比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).參考級數(shù)： （ 1）幾何級數(shù)當 qaqnn 0當 q1時,收斂1當p； （ 2） P- 級數(shù)nn 11時,發(fā)散p當p1時,收斂1時,發(fā)散3、比值審斂法 達朗貝爾DAlem

22、bert判別法 ：設un 是正項級數(shù) , 假如n 1limnun 1un為數(shù)或 + ，就1 時級數(shù)收斂；1 時級數(shù)發(fā)散；1 時失效，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.三、交叉級數(shù)及其審斂法萊布尼茨定理： 如交叉級數(shù)1nuu0 滿意條件 : uu； lim u0 , 就級數(shù)收斂 .nnnn 1nnn 1四、肯定收斂與條件收斂定義： 如nun 收斂 ,就0nun 為肯定收斂；如1un 發(fā)散 , 而n 1nun 收斂 ,就1u n 為條件收斂 .n 1五、冪級數(shù)1、 冪級數(shù) :an xx0n 0n 稱為xx0 的冪級數(shù)；a xnnn 0稱為 x的冪級數(shù)； 其中an 為冪級數(shù)系數(shù).2、冪級數(shù)的收斂性:定理 1、

23、如冪級數(shù)na xnn 0的全部系數(shù)an0 , 就收斂半徑Rlimnan.an 1收斂域可能有四種情形：R, R ， R, R ， R, R ， R, R 3、冪級數(shù)的性質（ 1）設a xn 和b xn的收斂半徑為R 和 R ，就c xna xnb xnab xn 的nn12nnnnnn 0n 0n 0n 0n 0n 0收斂半徑為RminR1 , R2；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -名師整理精華學問點（ 2） sxa xnnn 0在

24、收斂區(qū)間內可逐項求導，即 s xna xn n0a xn nn 0 收斂半徑不變 ；（ 3） sxa xn在收斂區(qū)間內可逐項積分，x即s x dxxa xn dxxnna x dx 收 斂n00nn 0n 0n 00半 徑 不 變 . 4、函數(shù)綻開成冪級數(shù)1xn1xn 01xx2x3x1,1nexxx2x3xn1xx,n 0 n.2.3.n.ln1x1n xn 1x1 x21 x3nx1n 1x1,1n 0n123nx3x5x73.5.7.1n x2n 1x2n 1sin xx1nx, n 02n1.2n1.cosx1n x2 n11 x21 x41nx2nx,n 02n.2.4.2n.第七章

25、矢量與空間解析幾何一、空間直角坐標系1、概念： 原點、坐標軸、坐標面、卦限、點的坐標 x, y, z 2、空間兩點間的距離：| PP |222xxyyzz| OP |x2y2z2二、空間向量1 22121211、概念： 向量的模、單位向量、零向量、基向量；平行向量、相等向量、相反向量向量的坐標：axiyjzk x, y, z ；AB x2x1, y2y1, z2z1 向量的方向角、方向余弦：cosx ,cosy ,cosz ， cos2cos2cos21 2、運算：| a | a | a |（ 1）加減法： 設 a x1 , y1, z1 ， b x2,y2 , z2 ，就 ab x1x2,

26、y1y2 , z1z2 平行四邊形法就、三角形法就；交換律、結合律（ 2）數(shù)乘向量：設 a x, y, z ，就ax,y ,z |a | | | a | ；a / / a ；結合律、安排律；與 a 同向的單位向量a0a2| a | （ 3）向量的數(shù)量積：ab| a | | b| cosa ,b x1x2y1 y2z1 z22交換律，對加法的安排律，與數(shù)乘的結合律； aaa| a | ； cosa,b a b| a | | b | ；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - -

27、 - - - - - - - -名師整理精華學問點（ 4）向量的向量積：| abijk| | a | | b | sin a ,b ；方向：右手法就（與a,b 都垂直）abx1 x2y1z1y2z2 y1z2z1 y2 , z1x2x1z2 , x1 y2y1x2 反交換律 abba ，與數(shù)乘的結合律，對向量加法的安排律3、關系：平行：a / babx1y1x2y2z1z2 ；a / bab0x1y1z1x2y2z2垂直：aba b0x1x2y1 y2z1 z204、投影： 向量 b 在 a 上的投影： 三、平面方程prj a ba b a| a |21、平面的點法式方程：A xx0 B yy

28、0 C zz0 0 2、平面的一般式方程：AxByCzD0 , A, B,C不全為0 ，其法向量為n A, B,C （ 1） D（ 2） A0 時，平面過原點；0 時，平面平行于x 軸；同理，B0 或 C0 時，平面分別平行于y 軸和 z 軸；（ 3） AB0 時，平面平行于xOy 面；同理，可爭論AC0 和 BC0 的情形 .3、平面的截距式方程：4、點到平面的距離公式：xyz1abc（ a, b, c 分別為平面在x 軸、 y 軸、 z 軸上的截距） Ax0By0Cz0D點 M 0 x0 , y0 , z0 到平面四、直線方程AxByCzD0 的距離為dA2B2C 2.xx0yy0zz01

29、、空間直線的點向式方程（或對稱式方程）：mnp.A1 xB1 yC1 zD102、空間直線的一般式方程：A2 xB2 yC2 zD20.3空間直線的參數(shù)式方程： 二幾種常見曲面x x0y y0z z0mtnt，（ t 為參數(shù)） .pt1、球面： xx 2 yy 2zz 2R2 2、柱面：000F x, y 0 （母線平行于 z 軸的柱面）； F y, z 0 （母線平行于 x 軸的柱面） ； F x, z 0（母線平行于 y 軸的柱面） 3、旋轉曲面：yOz 坐標面上的曲線F y, z0 繞 z 軸旋轉所得的旋轉曲面：繞 y 軸旋轉所得的旋轉曲面：Fx2Fy,x2y2 , z0 ；z20 ；x

30、Oy 坐標面上的曲線F x,y0 繞 x 軸旋轉所得的旋轉曲面：繞 y 軸旋轉所得的旋轉曲面：Fx,y 2Fx2z20 ；z2 , y0 ；xOz 坐標面上的曲線F x, z0 繞 x 軸旋轉所得的旋轉曲面：繞 z 軸旋轉而成的旋轉曲面：Fx,y 2Fx2z20；y2 , z0 x2y24、橢球面：a 2b 2z2c21a,b, c0精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁，共 10 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -名師整理精華學問點5、橢圓拋物面：zx2y2x2 p2q ；y2x 2 pz2 2q ；22xzy 2p2qzp q06、雙曲拋物面：z2y 2z2 p2q ；xy22z2 p2q ；yx2z22 p2qp q0x27、單葉雙曲面：a 2x2y2