[理學(xué)]51-2-3不定積分的概念與性質(zhì)ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)周學(xué)時(shí)：周學(xué)時(shí)： 3 學(xué)期：學(xué)期： 21. 分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ): 函數(shù)函數(shù) , 極限極限, 連續(xù)連續(xù) 2. 微積分學(xué)微積分學(xué): 一元微積分一元微積分3. 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)4. 常微分方程常微分方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容多元微積分多元微積分第一章第一章 函數(shù)函數(shù) 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第四章第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)（一）主要內(nèi)容高等數(shù)學(xué)（一）主要內(nèi)容第五章第五章 不定積分不定積分 第六章第六章 定積分定積分第七章第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)高等數(shù)學(xué)（二）主要內(nèi)容高等數(shù)學(xué)（二）主要內(nèi)容第

2、九章第九章 微分方程與差分方程簡(jiǎn)介微分方程與差分方程簡(jiǎn)介高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（二） 第五章第五章 不定積分不定積分微分法微分法:)?()( xF積分法積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算互逆運(yùn)算常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P125) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxsinx )(tan xx2sec )(cot x2csc x )(secxxxtansec )(cscxcsc cotxx )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x

3、)cot(arcx211x 2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù)為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),uyddxudd且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)微分微分從而從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作導(dǎo)數(shù)也叫作微商微商d( )( )dyfxxfxx 二、二、 基本積分表基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念第一、二、三節(jié)第一

4、、二、三節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 第五五章 定義定義 1 . 若在區(qū)間若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù)上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及及 f (x)滿(mǎn)足滿(mǎn)足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在區(qū)間在區(qū)間 I 上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù) .則稱(chēng)則稱(chēng) F (x) 為為f (x) 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念例例1. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(212x1sin tC C 問(wèn)題問(wèn)題: 1. 在什么條件下在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原

5、函數(shù)存在若原函數(shù)存在, 它如何表示它如何表示 ? 定理定理1. ( ),f xI若若函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)( )f xI則則在在 上上 存在原函數(shù)存在原函數(shù) . .(P206， 下章證明下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),)()(的一個(gè)原函數(shù)是若xfxF定理定理2 . 的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) ) 內(nèi)內(nèi) .證證: 1)的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數(shù)是設(shè))()()2xfx)()(xfx 又知又知)()(xfxF

6、 )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故故0)()(CxFx)(0為某個(gè)常數(shù)C即即0)()(CxFx屬于函數(shù)族屬于函數(shù)族.)(CxF即即P205定義定義5. 2. )(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上的上的原函數(shù)全體原函數(shù)全體稱(chēng)為稱(chēng)為Ixf在)(上的不定積分上的不定積分,d)(xxf其中其中 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;(P205)若若, )()(xfxF則則CxFxxf)(d )( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )C 稱(chēng)稱(chēng)為積分常數(shù)為積分常數(shù)不可丟不可丟 !例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx c

7、os記作記作不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義:)(xf的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為)(xfxxfd)(的圖形的圖形的所有積分曲線組成的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族的平行曲線族.yxo0 x的的積分曲線積分曲線 . 例例2 . 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)( 1 , 2 ) , 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過(guò)點(diǎn)所求曲線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121C因此所求曲線為因此所求曲線為12 xyyxo)2, 1 (二、二、 基本積分表基本

8、積分表 (P208)利用逆向思維利用逆向思維xkd) 1 ( k 為常數(shù)為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時(shí)0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctan或或Cx cotarcxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan21d)5(xxCx arcsin或或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln例例3. 求求.d3xxx解解:

9、 原式原式 =xxd34134Cx313例例4. 求求.dcossin22xxx解解: 原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC三、不定積分的基本性質(zhì)三、不定積分的基本性質(zhì)),()d)(xfxxf,d)(d)(dxxfxxf,)(d)(Cxfxxf.)()(dCxfxf或或或或 不定積分的導(dǎo)數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)不定積分的導(dǎo)數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)（或被積表達(dá)式）；一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）（或被積表達(dá)式）；一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的不定積分與這個(gè)函數(shù)相差一個(gè)任意常數(shù)的不定積分與這個(gè)函數(shù)相差一個(gè)任意常數(shù).P207性質(zhì)性質(zhì)2xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 若

10、若, )()(1xfkxfinii則則xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( kP207-208例例5 523 (21) d . xx 求求解23642 (21) d(81261)dxxxxxx6428d12d6ddxxxxxxx7538122 . 75xxxxC例例6. 求求.d)5(2xexx解解: 原式原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2Caaaxxln)(例例7. 求求.dtan2xx解解: 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例8. 求求.d)1 (122x

11、xxxx解解: 原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln例例9. 求求42d.1xxx 解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313加一項(xiàng)、減一項(xiàng)加一項(xiàng)、減一項(xiàng)例例10d . 1sinxx 求求解解d1sin d 1sin(1sin )(1sin )xxxxxx 21sindcosxxx 221sinddcoscosxxxxxtansec .xxC想想它想想它是誰(shuí)的是誰(shuí)的導(dǎo)數(shù)？導(dǎo)數(shù)？利用平方差公式利用平方差公式怎么做？怎么做？?jī)?nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念

12、不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 基本積分表基本積分表 (見(jiàn)見(jiàn)P 208)2. 直接積分法直接積分法:利用利用恒等變形恒等變形, 及及 基本積分公式基本積分公式進(jìn)行積分進(jìn)行積分 .常用恒等變形方法常用恒等變形方法分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式利用三角公式 , 代數(shù)公式代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若若( ),xef x 是是的的原原函函數(shù)數(shù) 則則 d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 2212. 若若)(xf是是xe的原函數(shù)的原函數(shù) , 則則xxxfd)(

13、ln提示提示: 已知已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln103. 若若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則則)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知已知xxfsin)(求求即即B)()(xfxsin)( ?或由題意或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx4. 求下列積分求下列積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxx