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1、第 37 講 簡(jiǎn)單列舉一、專題簡(jiǎn)析:有些題目,因其所求的答案有多種,用算式不容易表示,需要采用一一列舉的方法解決。這種根據(jù)題目的要求,通過一一列舉各種情況,最終達(dá)到解答整個(gè)問題的方法叫做列舉法。用列舉法解題時(shí)需要掌握以下三點(diǎn):1、列舉時(shí)應(yīng)注意有條理的列舉,不能雜亂無章地羅列;2、根據(jù)題意,按范圍和各種情況分類考慮,做到既不重復(fù)又不遺漏;3、排除不符合條件的情況,不斷縮小列舉的范圍。二、精講精練例 1 有一張 5 元、 4 張 2 元和 8 張 1 元的人民幣,從中取出9 元錢,共有多少種不同的取法?練習(xí)一1、有足夠的2 角和 5 角兩種人民幣,要拿出5 元錢,有多少種不同的拿法?2、有2 張
2、5 元、 4 張 2 元、 8 張 1 元的人民幣,從中拿出12 元,有幾種拿法?15例 2 有1、 2、 3、 4 四張數(shù)字卡片,每次取3 張組成一個(gè)三位數(shù),可以組成多少個(gè)奇數(shù)?練習(xí)二1、用0、 1、 2、 3四個(gè)數(shù)字,能組成多少個(gè)三位數(shù)?2、用3、 4、 5、 6 四張數(shù)字卡片,每次取兩張組成兩位數(shù),可以組成多少個(gè)偶數(shù)?例 3 在一張圓形紙片中畫10 條直線,最多能把它分成多少小塊?練習(xí)三1、在下面的長方形紙中畫出5條直線最多能把它分成多少塊?請(qǐng)你動(dòng)手畫一畫2、請(qǐng)你算一算,在一張圓形紙片中畫 20條直線,最多能把它分成多少塊?例4有一張長方形的周長是200厘米,且長和寬都是整數(shù)。問:當(dāng)長和
3、寬是多少時(shí)它的面積最大?當(dāng)長和寬是多少時(shí),它的面積最???練習(xí)四1、a和b都是自然數(shù),且a+b=81。a和b相乘的積最大可以是多少?2、有一段竹籬笆全長24米,現(xiàn)把它圍成一個(gè)四邊形,所圍面積最大是多少平方米?例 5 從 1 到 400的自然數(shù)中,數(shù)字“2”出現(xiàn)了多少次?練習(xí)五1、從1 到 100 的自然數(shù)中,數(shù)字“1”出現(xiàn)了多少次?2、從1 到 100 的自然數(shù)中,完全不含數(shù)字“1”的數(shù)共有多少個(gè)?三、課后作業(yè)1、用紅、黃、綠三種顏色去涂下面的圓,每個(gè)圓涂一種顏色,共有多少種不同的涂法?2、甲、乙、丙、丁四位同學(xué)和王老師站成一排照相,共有多少種不同的站法?3、在一個(gè)圓形紙片上畫三條橫著的平行線和
4、三條豎著的平行線,把此圓分成了多少塊?4、a、b、c三個(gè)數(shù)都是自然數(shù),且a+b+c=30。那么axbxc的積最大可以是多少?最小可以是多少?5、1X2X3X-X 100,這100個(gè)數(shù)乘積的末尾有幾個(gè)連續(xù)的 0?第 37 周 簡(jiǎn) 單 列 舉專題簡(jiǎn)析:有些題目,因其所求的答案有多種,用算式不容易表示,需要采用一一列舉的方法解決。這種根據(jù)題目的要求,通過一一列舉各種情況,最終達(dá)到解答整個(gè)問題的方法叫做列舉法。用列舉法解題時(shí)需要掌握以下三點(diǎn):1,列舉時(shí)應(yīng)注意有條理的列舉,不能雜亂無章地羅列;2,根據(jù)題意,按范圍和各種情況分類考慮,做到既不重復(fù)又不遺漏;3,排除不符合條件的情況,不斷縮小列舉的范圍。例1
5、有一張5元、4張2元和8張1元的人民幣,從中取出 9元錢,共有多少種不同的取法?分析:如果不按一定的順序去思考,就可能出現(xiàn)遺漏或重復(fù)的取法。因此,我們可以按照從大到小、從少到多的順序,先排 5元的,再排2元的,最后排1元的,把可以組成 9元的情況一一列舉出來。5 元2元1元1O411212OO17O25O33O41從上面的列舉中可以看出:取 9元錢共有7種不同的取法。練習(xí)一1,有足夠的2角和5角兩種人民幣,要拿出 5元錢,有多少種不同的拿法?答案解:2角=0.2元,5角=0.5元,0.2省+0.5 )2=2 (元),所以可以是 5張2角的和2張5角的;0.2 X0=2 (元),所以可以是10張
6、2角的;0.5沖=2 (元),所以可以是 4張5角的和.要保證拿出的總錢數(shù)是 2元即可.故答案為:三種解析本題運(yùn)用排列規(guī)律解決實(shí)際問題, 是明確拿出的總錢數(shù)必須是 5角和2角的幣值組成, 將方法列舉出來.本題考察的知識(shí)點(diǎn)是:運(yùn)用排列規(guī)律解決實(shí)際問題;解決此類問題的關(guān)鍵是:是明確拿出的總錢數(shù)必須是 5角和2角的幣值組成,將方法列舉出來.2,有2張5元、4張2元、8張1元的人民幣,從中拿出 12元,有幾種拿法? 答案九種拿法:8張1元+2張2元=I?元;7張1元+1張5元=I2元;6張1元+3張2元=以元;5 張1元+1張2元+1張5元=宜元;4張1元+4張2元=12元;3張1元+2張2元 +1張
7、5元-"元;2張1元+2張5元-"元;1張1元+3張2元+1張5元'"元;1 張2元+2張5元一元.3,用紅、黃、綠三種顏色去涂下面的圓,每個(gè)圓涂一種顏色,共有多少種不同的涂法?O O 。答案解:第一個(gè)圓涂色,有三種選擇;第二個(gè)圓涂色,有三種選擇;第三個(gè)圓涂色,有三種選擇;所以根據(jù)乘法原理知共有:3X3X3=27 (種)答:共有27種不同的涂法。解析1、分析題意可知有三種顏色,每個(gè)圓涂一種顏色,想想給第一個(gè)圓涂色時(shí),有幾種選擇呢?第二個(gè)圓,第三個(gè)圓呢?2、給第一個(gè)圓涂色時(shí),可在紅、黃、綠中任意選擇一種顏色,那么第一個(gè)圓有三種顏色供選擇;3、第二個(gè)圓、第三個(gè)
8、圓也有三種顏色供選擇,接下來根據(jù)乘法原理即可求出共有多少種不同的涂法。例2 有1、2、3、4四張數(shù)字卡片,每次取 3張組成一個(gè)三位數(shù),可以組成多少個(gè)奇數(shù)?分析 要組成的數(shù)是奇數(shù),它的個(gè)位上應(yīng)該是1或者3。當(dāng)個(gè)位是1時(shí),把能組成的三位數(shù)一一列舉出來:321, 421, 231 , 431, 241 , 341共6個(gè);同樣,個(gè)位是 3的三位數(shù)也是 6個(gè),一共能組成 6X2=12個(gè)。1,用0、 1、 2、 3 四個(gè)數(shù)字,能組成多少個(gè)三位數(shù)?答案解:要組成的數(shù)是三位數(shù),那么0 不能在百位,當(dāng)百位是1 時(shí),把能組成的三位數(shù)一一列舉出來:102、 103、 120、 123、 130、 132;同樣,百位
9、是2時(shí)的三位數(shù)也是6 個(gè),百位是3的三位數(shù)也是6個(gè),一共能組成6>= 18(個(gè)).故答案為:18個(gè)0 不能在百位上.解析要組成的數(shù)是三位數(shù),那么0 不能在百位,當(dāng)百位是1 時(shí),把能組成的三位數(shù)一一列舉出來:102、 103、 120、 123、 130、 132;同樣,百位是2時(shí)的三位數(shù)也是6 個(gè),百位是3的三位數(shù)也是6個(gè),一共能組成6>= 18(個(gè)).2,用3、 4、 5、 6 四張數(shù)字卡片,每次取兩張組成兩位數(shù),可以組成多少個(gè)偶數(shù)?答案按照你的敘述應(yīng)該能組成六組偶數(shù) 分別是:343654564664四選二 應(yīng)該一共能組成12 組兩位數(shù)(階乘的知識(shí)) ,而 3 4 5 6 這四個(gè)
10、數(shù)中奇數(shù)和偶數(shù)各占一半,也就是說他們所組成的12 個(gè)兩位數(shù),奇數(shù)和偶數(shù)各占一半.3,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)和王老師站成一排照相,共有多少種不同的站法?答案解:5X4>MX1=20 那 X2X160Mxi = 120(個(gè))故答案為:120個(gè)依次確定每個(gè)位置的情況.解析從左到右依次排列:第一個(gè)位置有5種選擇,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)位置確定時(shí),第二個(gè)位置有4種選擇;第二個(gè)位置確定時(shí),第三個(gè)位置有3種選擇;第三個(gè)位置確定時(shí),第 4個(gè)位置有2種選擇;第四個(gè)位置確定時(shí),第5個(gè)位置有1種選擇.所以有5>4毛><2乂1 = 120(個(gè)).例3在一張圓形紙片中畫 10條直線,最多能把它分成多少小塊?分
11、析:我們把所畫直線的條數(shù)和分成的塊數(shù)列成表進(jìn)行分析:°直線的條數(shù)012310所分塊數(shù)11+11+1+21+1+31+1+2+3+. ,+1。1+ 1 + 2+3+ + 10=56 (塊)練習(xí)三1,在下面的長方形紙中畫出 5條直線最多能把它分成多少塊?請(qǐng)你動(dòng)手畫一畫。答案解:1+1+2 + 3 + 4+5=16;在一個(gè)長方形上畫上5條直線,最多能把長方形分成16部分.16塊直線間相互交叉,交點(diǎn)越多,則分割的空間越多,每多第幾條直線,就加幾個(gè)部分 .解析兩條直線把正方形分成 4部分,第三條直線與前兩條直線相交多出3部分,共分成7部分;第四條直線與前3條直線相交,又多出4部分,共11部分,
12、第五條直線與前 4條直線相交,又多出5部分,由此作答.2,請(qǐng)你算一算,在一張圓形紙片中畫20條直線,最多能把它分成多少塊?答案1 .二條直線最多分成4個(gè)2 .三條直線最多分成7個(gè)3 .四條直線最多分成11個(gè)4 .五條直線最多分成16個(gè)5 .六條直線最多分成22個(gè)6 .n條直線最多分成(n 2 +n+2)/2個(gè)所以 n=20 時(shí),(n 2 +n+2)/2=2113,在一個(gè)圓形紙片上畫三條橫著的平行線和三條豎著的平行線,把此圓分成了多少塊?答案4x4 = 1"塊。如果任意6條直線,最多能分成22塊。例4 有一張長方形的周長是 200厘米,且長和寬都是整數(shù)。問:當(dāng)長和寬是多少時(shí)它的面積最大
13、?當(dāng)長 和寬是多少時(shí),它的面積最小?分析 因?yàn)殚L方形的周長 200厘米,所以,長方形的長+寬 =100厘米。由于長和寬都是整數(shù),我們可以舉例觀察。可以看出:當(dāng)長與寬都是50厘米時(shí),它的面積最大;當(dāng)長與寬的差最大,即長 99厘米,寬1厘米時(shí),面積最小。練習(xí)四1, a和b都是自然數(shù),且 a+ b=81。a和b相乘的積最大可以是多少?答案b 8b解析提示1 :如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系那么較小數(shù)是它們的最大公約數(shù),較大數(shù)是它們的最小公倍數(shù),因?yàn)閍也=8 ,所以a=8xb,也就是a和b的最大公約數(shù)是b;最小公倍數(shù) 是a.由此可以解決.提示2:如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系那么較小數(shù)是它們的最大公約數(shù),較大數(shù)是它們的最
14、小公倍數(shù)解:因?yàn)閍和b是倍數(shù)關(guān)系,所以它們的最大公約數(shù)是較小的那個(gè)數(shù)b,最小公倍數(shù)是較大的那個(gè)數(shù)a,故答案為b; a.答案2,有一段竹籬笆全長 24米,現(xiàn)把它圍成一個(gè)四邊形,所圍面積最大是多少平方米?設(shè)邊長為xm,則S = j( 12 x) = 12工x,所以當(dāng)6時(shí)面積最大S = fix (J = 363, a、b、c三個(gè)數(shù)都是自然數(shù),且 a+b+c=30。那么ax bx c的積最大可以是多少?最小可以是多少? 答案最大是當(dāng) a=b=c=10 時(shí),a >bxc=l000最小a=0 B=0之類的.a >bXc=0自然數(shù)有包括0.額.例5從1到400的自然數(shù)中,數(shù)字“ 2”出現(xiàn)了多少次
15、?分析:在1 400這400個(gè)數(shù)中,“ 2”可能出現(xiàn)在個(gè)位、十位或百位上。(1) “2”在個(gè)位上:2、12、22、92; 102、112、122、192; 202、212、222、292; 302、312、392。共:10X4=40 (次)(2) “2” 在十位上:20、21、29; 120、121、129; 220、221、229; 320、321、329。 共 10X4=40 (次)(3) “2”在百位上:從 200到299共100次。所以,數(shù)字“ 2”出現(xiàn)了 10X4+ 100=180 (次)。練習(xí)五1,從1到100的自然數(shù)中,數(shù)字“ 1”出現(xiàn)了多少次? 答案10中有2個(gè),11 - 20
16、 中有10 個(gè),21 - 30 有 1個(gè),31 - 10 有 1 個(gè),41 一 50I 60有 1 個(gè),61 - 70有 i 個(gè),71 80 有 i 個(gè),81 90 有 i 個(gè),91 一 100中有2個(gè),共21個(gè).解析1_ 10中有2個(gè),11 一 20中有10個(gè),21 - 30有i個(gè),31 - 10有i個(gè),41 一 50有i個(gè),51 -儀)有i個(gè),61-70有1個(gè),71-80 有 i 個(gè),81 90有i個(gè),91 一 100中有2個(gè),ii這個(gè)數(shù)字中就有兩個(gè)1,應(yīng)算兩次,答案為21個(gè).此題也可這樣理解:個(gè)位為1的有10個(gè);十位為1的有10個(gè),減去11算重的,共9個(gè);再加上100中的1個(gè);一共21個(gè).2,從1到100的自然數(shù)中,完全不含數(shù)字“ 1”的數(shù)共有多少個(gè)? 答案解:從1到100的自然數(shù)中,數(shù)字 “1可能出現(xiàn)在個(gè)位、十位或百位上(1) “1'個(gè)位上:1, 11, 21, 31, 41,91;共 10 次.(2)
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