量子力學(xué)01一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子

1、1第一章第一章IV. 一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理一維諧振子一維諧振子方勢(shì)壘的反射與透射方勢(shì)壘的反射與透射2O、簡(jiǎn)短回顧簡(jiǎn)短回顧一、一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)二、二、態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理三、三、一維諧振子一維諧振子射射四、四、方勢(shì)壘的反射與透方勢(shì)壘的反射與透五、五、正交、歸一、完備系正交、歸一、完備系3簡(jiǎn)短回顧（1）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)被確定； 小， 就大，反之也然。每個(gè)力學(xué)量 對(duì)應(yīng)一算符 ，平均值為粒子的波函數(shù)，滿足薛定諤方程 ),(),(2),(22trtrVmtrtix*( , )( , )Fr

2、 t Fr t drFxpF4簡(jiǎn)短回顧（2）定態(tài)： 不顯含t，能量 恒定定態(tài)方程 不顯含t時(shí)的形式，是我們后面討論大多數(shù)物理問(wèn)題的情況，為方便，通常將略去 中的下標(biāo)E。)()()(222rErrVmEE( , )( )exp(/ )Er triEtE( )V r( )Er( )V r5簡(jiǎn)短回顧（3）力學(xué)量算符力學(xué)量算符 動(dòng)量算符動(dòng)量算符 動(dòng)能算符動(dòng)能算符 哈密頓算符哈密頓算符 能量算符能量算符 角動(dòng)量算符角動(dòng)量算符22,2Tm lrpi r 2222222zyx22( )2HTVV rm ipEit6作業(yè)：論文 寫(xiě)一篇關(guān)于對(duì)波粒二像性的理解和看法的論文，題目可以自定，必須包含如下關(guān)鍵詞： 1.

3、 波粒二像性，2. 互補(bǔ)原理，3.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。 字?jǐn)?shù)：在3000左右 7一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(1) 1、勢(shì)函數(shù)如果在 ，由能量本征方程， 有其解為 ，其中由邊界條件 和 ，有 和 ，波函數(shù)為., 0,;0, 0)()(axxaxxVrV)(xVxa0ax 00)(2)(222xmExdxd)sin()(kxAx/2mEk 0)0(0)(a00)sin(ka)sin()()(xanAxxnnka , 3 , 2 , 1 n)0(ax 22( ) ( )( )2V rrErm 8一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(2

4、)2、能量量子化由 ， 和得到 ，這說(shuō)明，一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子的能量是量子化量子化的。 稱(chēng)為體系的能量本征值，與 對(duì)應(yīng)的波函數(shù) 稱(chēng)為能量本征函數(shù)。 nka , 3 , 2 , 1 n/2mEk 22222manEEn, 3 , 2 , 1 nnEnEn9一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(3)3、歸一化波函數(shù)、歸一化波函數(shù)將波函數(shù)將波函數(shù) 進(jìn)行歸一化：進(jìn)行歸一化：即令即令 ，得到，得到歸一化波函數(shù)為歸一化波函數(shù)為)sin()(xanAxn)0(ax 1| )(|20dxxnaaA/2| , 3 , 2 , 1., 0, 0;0),sin(2)(naxxax

5、axnaxn10一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(4)在在 內(nèi)，內(nèi)， 有有 個(gè)節(jié)個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn) ，在這些節(jié)點(diǎn)上，在這些節(jié)點(diǎn)上 ，說(shuō)明粒子在這些節(jié)點(diǎn)，說(shuō)明粒子在這些節(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)的概率為零。對(duì)于經(jīng)典粒子來(lái)說(shuō)，上出現(xiàn)的概率為零。對(duì)于經(jīng)典粒子來(lái)說(shuō)，它在它在 內(nèi)任何一點(diǎn)都有可能出現(xiàn)。內(nèi)任何一點(diǎn)都有可能出現(xiàn)。( )sin()nnxAxa1nnx()sin()0nnnnxAxaax 0ax 011一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(4)最低能量最低能量 經(jīng)典粒子，可以有經(jīng)典粒子，可以有 局域化越強(qiáng)，即局域化越強(qiáng)，即 越小，則越小，則 越大。越大。

6、 非均勻分布非均勻分布 正交性和完備性正交性和完備性022221maE0Ea1EnE2212(21)2nnnEEEnma( )nx*0amnmndx 1( )( )nnnxcx12二、態(tài)疊加原理（二、態(tài)疊加原理（1） 量子力學(xué)的基本假設(shè)為量子力學(xué)的基本假設(shè)為1、微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù)、微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫(xiě)。描寫(xiě)。2、波函數(shù)的模方、波函數(shù)的模方 表示表示 t 時(shí)刻粒子出現(xiàn)時(shí)刻粒子出現(xiàn)在空間點(diǎn)在空間點(diǎn)(x,y,z)的概率。的概率。3、力學(xué)量用算符表示。、力學(xué)量用算符表示。4、波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程。、波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程。5、態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理。),(tr2| ),(|tr13

7、二、態(tài)疊加原理（二、態(tài)疊加原理（2）粒子在勢(shì)阱中可能的態(tài)和能量為粒子在勢(shì)阱中可能的態(tài)和能量為但一般情況下，粒子并不只是完全處于其中但一般情況下，粒子并不只是完全處于其中的某一狀態(tài)，而是以某種概率處于其中的某的某一狀態(tài)，而是以某種概率處于其中的某一狀態(tài)。換句話說(shuō)，粒子的狀態(tài)是所有這些一狀態(tài)。換句話說(shuō)，粒子的狀態(tài)是所有這些分立狀態(tài)的疊加，即分立狀態(tài)的疊加，即2sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.nn xxaxnaaxxa22222manEEn)()(xcxnnn14二、態(tài)疊加原理（二、態(tài)疊加原理（3） 粒子的狀態(tài)為，粒子的狀態(tài)為， 其中，其中，更加抽象地說(shuō)，任何一個(gè)量子態(tài)都可按任意更加抽

8、象地說(shuō)，任何一個(gè)量子態(tài)都可按任意一組一組正交、歸一、完備正交、歸一、完備態(tài)分解態(tài)分解 。 , 3 , 2 , 1., 0, 0;0),sin(2)(naxxaxaxnaxn22222manEEn)()(xcxnnn的概率能量具有中發(fā)現(xiàn)粒子處于態(tài)表示在態(tài)nnnExxc),()(|2nnnc15量子力學(xué)的基本假設(shè)量子力學(xué)的基本假設(shè)1、量子態(tài)由波函數(shù)描寫(xiě)。、量子態(tài)由波函數(shù)描寫(xiě)。2、波函數(shù)的模方代表概率，即具有統(tǒng)計(jì)解釋。、波函數(shù)的模方代表概率，即具有統(tǒng)計(jì)解釋。3、力學(xué)量用算符表示。、力學(xué)量用算符表示。4、波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)滿足薛定格方程。、波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)滿足薛定格方程。5、態(tài)疊加原理：量子態(tài)可按任意一組正交、

9、態(tài)疊加原理：量子態(tài)可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)分解歸一、完備態(tài)分解。 16三、三、 一維諧振子一維諧振子(1)1、能量本征方程、能量本征方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：體系在平衡位置附件的微小振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：體系在平衡位置附件的微小振動(dòng)一維諧振子：粒子一維情況下的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，同時(shí)一維諧振子：粒子一維情況下的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，同時(shí)粒子的勢(shì)能可以表示為粒子的勢(shì)能可以表示為例如，雙原子分子中兩原子之間的勢(shì)能例如，雙原子分子中兩原子之間的勢(shì)能 一維諧振子的能量本征方程一維諧振子的能量本征方程 2)(2KxxV2)()(20axKVxVa)(xV0 x0)()21(2)(2222xEKxmxdxd，令mK，mx)/(21E0)(2

10、22dd得到17三、一維諧振子三、一維諧振子(2)2、能量本征方程的解、能量本征方程的解當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有有 其解其解能量本征方程的解可表示為能量本征方程的解可表示為其中，其中， 為待求函數(shù)，代入能量本征方程，有為待求函數(shù)，代入能量本征方程，有當(dāng)當(dāng) 時(shí)，要求時(shí)，要求 ，可以證明，只有，可以證明，只有當(dāng)當(dāng) ，才有可能，此時(shí)，才有可能，此時(shí)(1)式的式的解為厄密多項(xiàng)式：解為厄密多項(xiàng)式： 0)(222dd,222dd2/2e)()(2/2uAe)(u) 1 (0) 1(222uddudud0)(., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,) 1()()(22 neddeHunnn

11、n18三、三、 一維諧振子一維諧振子(3)3、能量本征值、能量本征值因?yàn)橐驗(yàn)?同時(shí)同時(shí)故故討論討論 (1)能級(jí)是均勻分布的；能級(jí)是均勻分布的； (2)相鄰能級(jí)差相同：相鄰能級(jí)差相同： ； (3)基態(tài)能量基態(tài)能量 ，稱(chēng)為零點(diǎn)能；，稱(chēng)為零點(diǎn)能； (4)諧振子吸收諧振子吸收 能量后，有可能從下能量后，有可能從下能級(jí)躍遷到上能級(jí)。相反，放出能級(jí)躍遷到上能級(jí)。相反，放出 能量后，能量后，有可能從上能級(jí)躍遷到下能級(jí)。有可能從上能級(jí)躍遷到下能級(jí)。)/(21E., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,)2/1( nnEEn012302/0E19三、一維諧振子三、一維諧振子(4)4、能量本

12、征態(tài)（、能量本征態(tài)（1）因?yàn)橐驗(yàn)?，其中，其中， 要根據(jù)要根據(jù) 的歸一化條件確定，即的歸一化條件確定，即由于由于得到得到能量本征態(tài)能量本征態(tài)正交歸一化正交歸一化)()(2/2HAe., 2 , 1 , 0,) 1()(22 neddeHnnnnmnnnmndeHH!2)()(2nmnmmn, 0, 1A)(1)(|)()(222*deHAdn21)!2/(naAAnnma 2 2/2( )( )()a xnnnA eHax mnnmdxxx)()(20三、一維諧振子三、一維諧振子(5)4、能量本征態(tài)（、能量本征態(tài)（2）最低三條能級(jí)上的波函數(shù)為最低三條能級(jí)上的波函數(shù)為2/0E2/31E2/52E

13、2/4/1022)(xaeax2/4/11222)(xaaxeax2/224/1222) 12(21)(xaexaax2| )(|xn012n0 x21四四、方勢(shì)壘的反射與透射方勢(shì)壘的反射與透射(1)經(jīng)典粒子經(jīng)典粒子 有三種情況：有三種情況：微觀粒子微觀粒子21( )2mvEV x., 0, 0;0,)(0axxaxVxVEa00V22( ) ( )( )2V rrErm 能量本征方程000(1); (2); (3)E VE VEV22四四、方勢(shì)壘的反射與透射方勢(shì)壘的反射與透射(2)其解為其解為粒子流密度粒子流密度反射系數(shù)反射系數(shù) ，透射系數(shù)，透射系數(shù)0,( )0 xxaV x1）在，有222

14、( )( )02dxkxkmEdx故有，這里.,0,Re)()(axTexexxikxikxikx透反入外ikxTeikxeikxRea00Vmvkpmitrj以及)(2),(*/;jk mv入2|R| ;jv反vTj2| 透2|R|/入反jj2|T|/入透jj)()()(222rErrVm方程23四四、方勢(shì)壘的反射與透射方勢(shì)壘的反射與透射(3)解解00( )xaV xV2）在，20222()0dmEVdx2202 () /m EV這里( )( )i xi xxxAeBe內(nèi)ikxeikxRea00VikxTe)0()0(內(nèi)外( )( )aa內(nèi)外)0()0(內(nèi)外dxddxd( )( )ddaad

15、xdx內(nèi)外1RAB(1)()ikRiABi ai aikaAeBeTe()aaikaiAeBeikTe24四四、方勢(shì)壘的反射與透射方勢(shì)壘的反射與透射(4)解代數(shù)方程，得到解代數(shù)方程，得到對(duì)對(duì) 情形：情形：2222()sin()()sin()2cos()kaRkaika222()sin()2cos()ikak eTikaika0E V200,2 () /m VE2sin()sin()sin (), cos()cos ()ai aihaaha2222()sinh()()sinh()2cosh()kaRkaika222()sinh()2cosh()ikak eTikaika25四四、方勢(shì)壘的反射與透射方勢(shì)壘的反射與透射(5)勢(shì)壘貫穿情形：勢(shì)壘貫穿情形： 幾率守恒幾率守恒1|22 TR0E V2222222224| |() sin ()4kTkak22222222222() sin ()|R|() sin ()4kakak02,2 ()kmEm EV這里26四四、方勢(shì)壘的反射與透射方勢(shì)壘的反射與透射(6)隧穿效應(yīng)：隧穿效應(yīng)： 222222222()sin()|()sin()4khaRkhak22|1RT222222224|()sin()4kTkhakikxTeikxikxe Re0Va0入射波反射波透射波0E V02 ()m VE27四四、方勢(shì)壘的