二次型、正交替換法

1、上課 手機(jī)手機(jī) 關(guān)了嗎？關(guān)了嗎？第五章 二次型2引例：方程引例：方程222233221xyzxyxz 表示什么曲面？表示什么曲面？一般地，一般地，二元二元二次方程確定一二次曲線二次方程確定一二次曲線, 三三元元二次二次方程確定一二次曲面。為研究其性質(zhì)方程確定一二次曲面。為研究其性質(zhì), 常通過(guò)可逆常通過(guò)可逆線性變換消去交叉項(xiàng)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程線性變換消去交叉項(xiàng)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程22AxByD 或或222AxByCzD經(jīng)濟(jì)管理中也常需用線性替換將一個(gè)經(jīng)濟(jì)管理中也常需用線性替換將一個(gè)n元二次齊次元二次齊次多項(xiàng)式化為僅含平方項(xiàng)的形式以便討論其性質(zhì)。多項(xiàng)式化為僅含平方項(xiàng)的形式以便討論其性質(zhì)。n元二次齊次多項(xiàng)式元

2、二次齊次多項(xiàng)式二次型二次型僅含平方項(xiàng)代數(shù)和的二次型僅含平方項(xiàng)代數(shù)和的二次型二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形研究工具研究工具矩陣矩陣第五章 二次型3第五章 二次型45.1 二次型與對(duì)稱矩陣二次型與對(duì)稱矩陣一、二次型及其矩陣一、二次型及其矩陣211111212131311222223232221,111,12(,)222222nnnnnnnnnnnnnnnf xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxxa x 定義定義1 n元二次齊次多項(xiàng)式元二次齊次多項(xiàng)式稱為稱為x1, x2, , xn的一個(gè)的一個(gè)(n元元)二次型二次型.為將二次型用矩陣表示，令為將二次型用矩陣表示，令

3、aij=aji ，則有：，則有：211111212112212122222(,)nnnnnf xxa xa x xa x xa x xa xa x x 11nnijijija x x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaax 21122nnnnnnna x xa x xa x 二次型的矩陣形式二次型的矩陣形式X TA X記記f (X )X TA X，稱，稱A為二次型為二次型f (X)的矩陣，的矩陣，r(A)稱為二次型的秩稱為二次型的秩.注注:1.二次型矩陣均為對(duì)稱矩陣二次型矩陣均為對(duì)稱矩陣(AT=A)；2.二次型二次型 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣.一一 一一

4、對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 123xxx 例例1. 將二次型將二次型 f(x1, x2, x3)2x1x2x224x2x33x32 寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式.解：解： f(x1 x2 x3)010112023 解：解：123xxx 例例3. 寫(xiě)出二次型寫(xiě)出二次型 f (x1, x2, x3) 的矩陣的矩陣.231146101 220243031A 例例2. 求對(duì)稱矩陣求對(duì)稱矩陣 所對(duì)應(yīng)的二次型所對(duì)應(yīng)的二次型123255356A 解解:f(x1, x2, x3)x125x226x324x1x26x1x310 x2x2第五章 二次型8定義定義2 形如形如222121122(,)nnnf y yyd yd yd y

5、 的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形12(,)nf y yy112212(,)nnndydyy yydy ,其秩其秩=r(D)=d1,d2,dn中非零元個(gè)數(shù)中非零元個(gè)數(shù)如何化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形如何化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形? 為此為此, 先介紹線性替換、先介紹線性替換、矩陣合同等概念矩陣合同等概念Y TD Yf (Y )Y TDY二、線性替換二、線性替換11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 定義定義 稱稱 為由變量為由變量 x1, x2, , xn到到y(tǒng)1, y2, , yn的的一個(gè)線性替換一個(gè)線性替換其矩陣形式其矩陣形式: X

6、CY. 若線性替換的矩陣若線性替換的矩陣C可逆，可逆，則稱則稱XCY為為可逆線性替換可逆線性替換或或非奇異非奇異(非退化非退化)線性線性替換替換, 其逆變換為其逆變換為YC-1X; 若若C為正交矩陣為正交矩陣, 則稱則稱XCY為為正交替換正交替換(C為正交矩陣為正交矩陣 C-1 CT ).120,0CC XC1U，UC2Y120C C C1、C2為正交陣為正交陣(1)(2)C1C2為正交陣為正交陣 X(C1C2)Yf ( X )X TA X 經(jīng)可逆線性替換經(jīng)可逆線性替換 XC Y 后：后： f ( X )(CY )TA(CY ) Y T(C TAC ) Y Y T B Y稱稱A與與B合同合同三

7、、矩陣合同三、矩陣合同定義定義 設(shè)設(shè)Ann , Bnn ，若存在可逆陣，若存在可逆陣C，使，使 CTACB，則稱，則稱A與與B合同，記合同，記A B. 性質(zhì)性質(zhì) 與相似關(guān)系類(lèi)似與相似關(guān)系類(lèi)似(證明也類(lèi)似證明也類(lèi)似)，具有，具有(1)反身性；反身性；定理定理 經(jīng)可逆線性替換經(jīng)可逆線性替換, 原二次型矩陣與新二次型矩陣合同原二次型矩陣與新二次型矩陣合同.(因?yàn)橐驗(yàn)镋TAEA) (由由CTACB得得:(由由C1TAC1 B , C2TBC2 C得得:A(C- 1) TB C-1)C2T (C1TAC1) C2 (C1C2 )TA(C1C2 ) ) (2)對(duì)稱性；對(duì)稱性；(3)傳遞性傳遞性.?B對(duì)對(duì)稱

8、？稱？第五章 二次型11定理定理 經(jīng)可逆線性替換，原二次型矩陣與新二次型經(jīng)可逆線性替換，原二次型矩陣與新二次型矩陣合同矩陣合同.證證: 設(shè)設(shè) 經(jīng)可逆線性替換經(jīng)可逆線性替換 XCY 得得: f ( X )(CY )TA(CY ) Y T(C TAC ) Y Y T B Y其中其中BC TAC. BT(CTAC)T 故故B為為對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣. 為為新二次型新二次型,且且B為其矩陣為其矩陣.C TAC B，C可逆可逆AB原二次型原二次型f ( X )X TA X Y T BY注注:1) CT, C可逆可逆即：即：“合同的矩陣有相同的秩合同的矩陣有相同的秩”；或：；或：“可逆線性替換不改變二次型的秩

9、可逆線性替換不改變二次型的秩”.C TAC2)正交替換正交替換X=QY前后的二次型矩陣既合同前后的二次型矩陣既合同,又相似又相似.CTATCCTACB.r(B)r(CTAC)r(AC)r(A)CTACB合同合同相似相似QTAQ=B=Q1AQP1AP5.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型二次型 二次型矩陣二次型矩陣一一 一一對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 給定對(duì)稱矩陣給定對(duì)稱矩陣A，D(對(duì)角陣對(duì)角陣)能否做到？能否做到？一、正交替換法一、正交替換法定理定理1 任一任一實(shí)實(shí)二次型二次型 f ( X )X TA X 均可經(jīng)均可經(jīng)正交正交替換替換 XQY化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 ，其

10、中其中 為為A的全部特征值，的全部特征值，Q的列向量的列向量2221122nnyyy 12,n 為對(duì)應(yīng)于為對(duì)應(yīng)于 的的標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量特征向量.2,n 12,n 1, 定理定理 對(duì)對(duì)實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱矩陣矩陣A，存在，存在正交矩陣正交矩陣Q，使得，使得Q -1AQQTAQ為對(duì)角陣為對(duì)角陣復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)f =X TA XY TDYXCYDC TAC 求可逆矩求可逆矩陣陣C, 使使CTAC(對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣)上次課例上次課例: 求求正交陣正交陣Q, 使使Q-1AQ為對(duì)角形為對(duì)角形.111132631110,326012036TQAQQ AQQ 2.用用正交替換法正交替換法化化實(shí)實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型為

11、標(biāo)準(zhǔn)形1.已知已知實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱矩陣矩陣A, 求求正交陣正交陣Q, 使使QTAQ為對(duì)角陣為對(duì)角陣. 改為本章題型改為本章題型222123121323222fxxxx xx xx x 111111111A 13 1(1,1,1)T 230 23( 1, , )( 1, , )0110TT , ,第五章 二次x xx xx x 例例1 求正交變換求正交變換XQY，將二次型，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形.解解011101110A ， 211111211EA 121 ：12111,001正交化正交化:112121,21 32 ：3111 將將 單位化為單位化為123, ，123

12、, 123111263111,26321063Q 則則Q是正交矩陣是正交矩陣.1112TQ AQQ AQ 經(jīng)過(guò)正交替換經(jīng)過(guò)正交替換XQY，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：2221232fyyy 令令222233221xyzxyxz 將曲面方程將曲面方程 化為標(biāo)準(zhǔn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程方程,并指出所代表的曲面并指出所代表的曲面 (引例引例)解解: 左邊二次型左邊二次型 f 的矩陣為的矩陣為211130103A 1231,3,4 1232011 ,1,1111 單位化后按列排成矩陣得單位化后按列排成矩陣得21063111623111623Q Q是正交矩陣，且是正交矩陣，且1134TQ AQQ AQ 222341xyz由解幾知，曲面是橢球面由解幾知，曲面是橢球面.第五章 二次