高考數(shù)學一輪復習(文)通用版7.4基本不等式名師精編學案

1、名校名師推薦111課前自修區(qū)文科考生基礎相對薄弱，一輪復習更需重視基礎知識的強化和落實、基礎知識批注一一理解深一點在運用基本不等 式及其變形時，一 定要驗證等號是i.基本不等式gabw與?。篒(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0./(2)等號成立的條件一:當且僅當a=b.2 .算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a>0,b>0,則a,b的算術平均數(shù)為三產(chǎn)，幾何平土勻數(shù)為強,基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3 .利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0,則(1)如果xy是定值p,那么當且僅當x=y時，x+y有最小值是2Vp(簡記：積

2、定和最小._).(2)如果x+y是定值q,那么當且僅當x=y時，xy有最大值是。(簡記：和定積最大)和定積最大，積定和最小：兩個正數(shù)的和為定值時，則可求其積的最大值；積為定值時，可求其和的最小值.二、常用結論匯總一一規(guī)律多一點(1)a2+b2>2ab(a,bR),當且僅當a=b時取等號.(2)abwgj(a,bCR,當且僅當a=b時取等號.22a+b自+bbCR，當且僅當a=b時取等號.(4)-+!>2(a,bWR,且a,b同號)，當且僅當a=b時取等號.、，ab三、基礎小題強化一一功底牢一點(一判一判(對的打“，”，錯的打“x”)rtahbr(1)當a>0,b>0時，

3、Vab.()(2)兩個不等式a?+b2>2ab與力也>犧成立的條件是相同的.()(3)x>0且y>0是j+:>2的充要條件.答案：，(2)X(3)X(二)選一選1 .設a>0,貝I9a+：的最小值為()A.4B.5C.6D.7解析：選C因為a>0,所以9a+；>2=q當且僅當9a=：,即a=：時,19a十二取得最小值6.故選C.a2 .若x>0,y>0,且2(x+y)=36,則的最大值為()A.9B.18C.36D.81解析：選A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以等"=9,當且僅當x=y=9時,等號成立.3.女>

4、;0”是“x+；)2”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選C當x>0時，x+l>2、/x3=2(當且僅當x=A時，等號成立，因為x,二xVxxx同號，所以若x+->2,則x>0,->0,所以x>0”是“x+1>2”成立的充要條件，故選C.xxx(三)填一填4,若實數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為.解析：x2+2y2=x2+h/2y)2>2x(ey)=2企，當且僅當x=py且xy=1時等號成立.所以x2+2y2的最小值為2/.答案：225.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則

5、矩形場地的最大面積是m2.解析：設一邊長為xm,則另一邊長可表示為(10x)m,由題知0Vx<10,貝U面積S=x(10x)Wx2=25,當且僅當x=10-x,即x=5時等號成立，故當矩形的長與寬相等，且都為5m時面積取到最大值25m2.答案：25考點不宜整合太大，挖掘過深穩(wěn)取120分就是大勝考點一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的基本方法有拼湊法、常數(shù)代換法等3典例(1)已知a>2,則a十二"2的取小值是()A.6B.2C.2g+2D.43(2)設0Vx<3,則函數(shù)y=4x(32x)的最大值為.(3)已知x>0,y>0,且x+2y=1,則；+y

6、的最小值為.(4)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,貝Ux+2y的最小值為.解析(1)拼湊法因為a>2,所以a-2>0,所以a+(a-2)+2>2A/(a-2)。；+2=2/3a-2a-2a-2.3一.一.一.+2,當且僅當a2=&,即a=2+43時取等號.故選C.(2)拼湊法y=4x(32x)=22x(32x)w22x+2.)>=*當且僅當2x=3-2x,即x=3時,等號成立.，函數(shù)y=4x(32x)0<x<3的最大值為9.(3)常數(shù)代換法x>0,y>0,且x+2y=1,1+l=x±2y+x±2y

7、=i+2+2y+x>3+2、率=3+272.xyxyxyxy當且僅當2y=x且x+2y=1,即x=61,y=1半時，取得等號-1+1的最小值為3+272.xy1(4)拼湊法l'x+2y、22 2),因為x>0,y>0,所以8=x+2y+x2yw(x+2y)+令x+2y=t,則8Wt+:,即t2+4t32>0,4解得t>4或tw8,即x+2y>4或x+2yw8(舍去),當且僅當x=2y,即x=2,y=1時等號成立.答案(1)C(2)9(3)3+2他(4)4解題技法基本不等式求最值的2種常用方法拼湊法拼湊法求解最值，其實質就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積

8、為常數(shù)的兩項，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值時，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗證等號成立的條件常數(shù)代換法常數(shù)代換法解題的關鍵是通過代數(shù)式的變形，構造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.應用此種方法求解最值時，應把“1'的表達式與所求最值的表達式相乘求積或相除求商題組訓練1.（常數(shù)代換法盧 a>0,b>0 且 2a+b=4,則主的最小值為（A. 21B2C. 4Di解析：選B 因為a>0, b>0,故2a+b>2小訕(當且僅當2a = b時取等號).0<ab< 2,B.且x+ 4y= 40,則Ig

9、x+lgy的最大值是()B. 10D. 22a+ b= 4,故和最小值為贏選2.（兩次基本不等式改x>0 , y>0,A. 40解析：選D因為x+4y=40,且x>0,y>0,所以x+4y>2可r=45.(當且僅當x=4y時取"=")所以4V對w40.所以xy<100.所以lgx+lgy=Igxy<Ig100=2.所以Igx+lgy的最大值為2.3.(拼湊法股a>b>0,則a?+上+的最小值是()A.1B.2C.3D.4211211/o解析：選Da+1=(aab)+1募:+7+ab>2/(aab)j短+aba(a-

10、b)(a-ab)ab'，(aab)2/Txab=4,當且僅當a?ab=>且=;=ab,即a=Ji,b=當時取等號，故選D.Vabaabab24.(常數(shù)代換法)5知x>0,y>0,且x+2y=xy,則x+y的最小值為21解析：由x>0,y>0,x+2y=xy,得一+-=1,xy所以x+y=(x+y)g+；)=3+->3+2a/2.xy當且僅當x=gy時取等號.答案：3+2班考點二基本不等式的實際應用典例某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x),當年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)=；x2+10x(萬元).當年產(chǎn)量不小

11、于80千件時,3C(x)=51x+10-0OO-1450(萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的x商品能全部售完.(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(千彳)的函數(shù)解析式.(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？解(1)因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05X1000x萬元,依題意得:當 0Vx<80 時，L(x)= (0.05 X 1 000x)-+ 10x 二 250 = - 1x2+ 40x 250.當x>80時，L(x)=(0.05X1000x)-f51x+10000-1450；-250=1200i

12、x+10：00.所以L(x)=-3x2+40x-250, 0<x<8011 200 x+華),x>80.(2)當0<x<80時，L(x)=-(x-60)+950.3此時，當x=60時，L(x)取得最大值L(60)=950萬元.當 x>80 時，L(x)=1 200 x+1000031200-2a/x10000=1200-200=1000.此時x=10-000x即x=100時，L(x)取得最大值1000萬元.由于950<1000,所以當年產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元.解題技法有關函數(shù)最值的實際問題的解題技巧

13、(1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(3)在應用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調性求解.題組訓練1.(2017江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是解析：由題意,一年購買等次,則總運費與總存儲費用之和為* 6+4X=4(950+x>8900，一,一，一，丁x=240,當且僅當x=30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是IX.30.答案：302 .某游泳館擬

14、建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為1米,池的四周墻壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元（池壁厚忽略不計）.則泳池的長設計為米時，可使總造價最低.解析：設泳池的長為x米，則寬為等米，總造價f（x）=400X（2x+2X200;+100X200+60X200=800X卜+等12000>1600yx225+12000=36000（元），當且僅當x=225（x>0）,即x=15時等號成立.即泳池的長設計為15米時，可使總造價最低.答案：15課時跟檢測1.（2019長春調研）"a>0,b>0&q

15、uot;是"ab<b2的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件解析：選D當a>0, b>0時，皇 "啊,即ab<產(chǎn)），當a=b時,ab<0±b 2不成立，故b>0"不是"ab<的充分條件.當a, b可以異D.既不充分也不必要條件號，故a>0, b>0不一定成立，故b>0” 是 “ab<的既不充分也不必要條件，故選“a>0,b>0"不是&<：芳產(chǎn)的必要條件.故D.3 .已知x>0,y>0,且x+2y=2,則xy（）A.有

16、最大值為1B.有最小值為1,一一1一，一1C.有最大值為2D.有最小值為2解析：選C因為x>0,y>0,x+2y=2,所以x+2y>2yx2y,即2>2j2xy,xy<&,當且僅當x=2y,即x=1,y=2時，等號成立.一,一八一八1所以xy有最大值，且最大值為2.124 .右實數(shù)a,b滿足二十k=，則ab的取小值為（）abA.mB.2C.22D.4解析：選C因為a+b=Vab,所以a>0,b>0,所以ab>2j2（當且僅當b=2a時取等號），所以ab的最小值為242.5 .已知a>0,b>0,a,b的等比中項是1,且m=b+

17、：n=a+：,則m+n的最小值ab是（）A.3B.4C.5D.611解析：選B由題息知ab=1,m=b+a=2b,n=a+、=2a,m+n=2（a+b）>4Vab=4,當且僅當a=b=1時取等號，故m+n的最小值為4.5. （2019長春質量監(jiān)測）已知x>0,y>0,且4x+y=xy,則x+y的最小值為（）A.8B.9C.12D.16解析：選B由4x+y=xy得4+1=1,則x+y=（x+y）孑+1；.=4x+y+1+4>2/4+yxyxyx5=9,當且僅當彳=：，即x=3,y=6時取,故選B.6,若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值為（）45A

18、.B.733c.5D2解析：選D30=4x2+9y2+3xy>2.36x2y2+3xy,即30>15xy,所以xyw2,當且僅當4x2=9y2,即x=小,y=2P時等號成立.3故xy的最大值為2.7.設2x>0,則函數(shù)y=x+罰3一2的最小值為（）A.01B.2C.1解析:30.故選A.當且僅選ay=x+332x+12當x+1=2,即x=1時等號成立.所以函數(shù)的最小值為,12x+2一，一18.已知x>1,y>1,且10g2x,4，l°g2y成等比數(shù)列，則A.最小值啦c.最大值mB.最小值2D.最大值2解析：選Ax>1,y>1,1.，110g2

19、x>0,10g2y>0.又10g2x,4,10g2y成等比數(shù)列，花1=log2xlogzy,由基本不等式，得10g2x+log2y>26og2xHog2y=2，當且僅當10g2x=10g2y1一時取等3，故log2(xy)>-,即xy><2.選A.9.當3vxv12時，函數(shù)y='x藥絲一&勺最大值為xx+15x36x+36)+15-#36+15=3,當且僅當x=能，即x=6時，ymax=3.x答案：310.（2018南昌摸底調研）已知函數(shù)y=x+xm2（x>2）的最小值為6,則正數(shù)m的值為解析：x>2,m>0,y=x-2+_m_+2>2x2-2)x+2=2Vm+2,當x=2+而時取等號，又函數(shù)y=x+xm；（x>2）的最小值為6,2Vm+2=6,解得m=4.答案：411.（2018天津高考）已知a,bCR,且a-3b+6=0,則2a+土的最小值為8解析：a3b+6=0).二a3b=6.2a+$=2a+23bA2y2a23b=2、2a3b=2聲6=2X23=4.a= 3b,當且僅當，a-3b+ 6=0,a= - 3,即，時等號成立.b= 112. (2018聊城一模)已知a>0,b>0,3a+b=2ab,則a+b的最小值為31解析：由a