ch插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分

1、第五章 插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分5.1 插值型數(shù)值微分公式5.2 插值型數(shù)值積分5.1 插值型數(shù)值微分公式插值型數(shù)值微分公式 ) 15()()!1()()()(11xnxfxLxfnnn由 )()!1(1)(!1)()()(1111xdxdfnxnxfxLxfnnnnn得當(dāng) x 為插值節(jié)點(diǎn) 時(shí)，上式簡(jiǎn)化為 ix)25(, 1 , 0)()!1()()()(11nixnxfxLxfixxnnini故一般限于對(duì)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值采用插值多項(xiàng)式的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行近似計(jì)算，以便估計(jì)誤差。 一般地 , 2 , 1;, 1 , 0)()(knixfxLikikn這類公式稱為插值型數(shù)值微分公式插值型數(shù)值微分公式。

2、 常用的數(shù)值微分公式常用的數(shù)值微分公式 給定兩點(diǎn)上的函數(shù)值 ),(),(10 xfxf)35()()()()35()()()()()()()()(01011010100101101001011bxxxfxfxfaxxxfxfxfxxxfxfxfxxxxxfxxxxxL這稱為兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)公式。 若給定三點(diǎn)上的函數(shù)值 則由 , 2 , 1 , 0,),(0iihxxxfyiii 2120210121012002010212120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL)45(234)()()

3、45(2)()(45243)()(:210222020202121210020chyyyxLxfbxxyyhyyxLxfahyyyxLxf得這稱為三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式，其中（54b）又稱為中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式。 進(jìn)一步由 可得計(jì)算公式 201222)(hyyyxL 2, 1 , 02)(2012 ihyyyxfi 數(shù)值微分公式的誤差分析數(shù)值微分公式的誤差分析 兩點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差為 1202)()(2)()()()(21100101ihfihfxxxxxfxxxfxfxfixxi),(,1021xx這里 (5-6)三點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差為 231603)()(!3)()()(2322212102ihfihf

4、ihfxxxxxxxfxLxfixxii(5-7)20321,xx這里 例例 5.1 為計(jì)算 在 x=2 處的一階導(dǎo)數(shù)值，我們可選用中點(diǎn)公式xxf)(hhhhG222)(當(dāng)計(jì)算保留四位小數(shù)時(shí)，得到計(jì)算結(jié)果如表5-1(書103頁(yè)）。 而精確值為 ，可見(jiàn)當(dāng) h=0.1時(shí)近似結(jié)果最好，步長(zhǎng)太大或太小計(jì)算效果均不好。 353553. 0)2( f為估計(jì)二階導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的誤差，可設(shè) f (x) 四階連續(xù)可微，故得 )(12)(2! 4)(2,)(!4)(!3)(2)()()(! 4)(!3)(2)()()(204412124144121021202112441312111014413121112xx

5、fhxfhyffhxfhyyyxxxxfhxfhxfhxf hxfhxfyfhxfhxfhxf hxfhxfy 相加得這里從而得到誤差估計(jì)式 )85(122)(4220121 fhhyyyxf5.2 插值型數(shù)值積分插值型數(shù)值積分 插值型數(shù)值積分的思想是：若已知 則利用拉格朗日插值多項(xiàng)式建立近似計(jì)算公式 dxxfdxxLbanba)()(這里 稱為插值型求積公式插值型求積公式， 稱為求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)， nxxx,10)95()()()()(00nininiiibainbaIxfAdxxlxfdxxL記為), 1 , 0()(nidxxlAibadefi稱為求積系數(shù)求積系數(shù)，其和 ninibaib

6、aiabdxdxxlA00)(,), 1 , 0()(10bxxxanixfni 牛頓柯特斯公式牛頓柯特斯公式 nnjijinbanjijnnjijjijbaiiidtjtininabhdtjijtdxxxxxdxxlAthaxninabhihax00000)(! )( !) 1()(, 1 , 0;得由 nnjijinnidtjtniniC00)()!( !) 1(記則 ，N-C求積公式表示為 niiCabA)( niininxfCabI0)105()()(CotesCotes系數(shù)系數(shù) 特別地 TbfafabIn記為有時(shí))()(2,11這稱為梯形公式梯形公式； SbfbafafabIn記為有

7、時(shí))(24)(6,22這稱為Simpson公式公式； CfffffabIn記為有時(shí)4321047321232790,4這稱為Cotes公式公式。 對(duì)應(yīng)于 情形的Cotes系數(shù)見(jiàn)表5-2 (書106頁(yè))。 8n 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式 求積公式的穩(wěn)定性分析： 計(jì)算穩(wěn)定這時(shí)），所以均同號(hào)（見(jiàn)表時(shí)，注意到則記誤差為的近似值為設(shè)iniininiinnniniiininiiininiiiiinnniiiniiiiieabeAIIabAACneAxfAxfAIIxfAIxfxfenixfxf110000000max)(max257)()(. )(, )()(, 1 , 0)()(復(fù)合求積的方法復(fù)合求積的

8、方法： nkbankxxkmdefnmxxmxxkmkkkdxxfdxxfIFnkdxxfdxxLIxxhabhnhkhaxbakkkkkk111)()(, 2 , 1)()(,), 1 , 0(,111合并得上作近似小區(qū)間在每一個(gè)作等距分割對(duì)區(qū)間)115()(2)()(2)()(21111)(1nkknkkknnxfbfafnabxfxfhFT當(dāng)取 m=1 時(shí)，稱為復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式，簡(jiǎn)記為Tn )125(4)(2)()(6)(4)(61112112112nknkkknkkkknnxfxfbfafnabxfxfxfhFS當(dāng)取 m=2 時(shí)，稱為復(fù)合復(fù)合Simpson公式公式，簡(jiǎn)記為Sn當(dāng)

9、取 m=4 時(shí)，稱為復(fù)合復(fù)合Cotes公式公式，簡(jiǎn)記為Cn(公式見(jiàn)書107頁(yè)） 例例 5.2 試?yán)帽?-3的函數(shù)表，分別用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式和復(fù)合Cotes公式計(jì)算定積分 10dxxeIx解解 264241. 081232219014341122114) 1 ()0(721901264238. 0812442) 1 ()0(4161262940. 082) 1 ()0(812141231414718kkkkkffffffCkfkfffSkfffT計(jì)算量幾乎相同。公式，而這三種公式的公式又優(yōu)于復(fù)合合梯形公式，復(fù)合公式的精確程度優(yōu)于復(fù)?？梢?jiàn)，復(fù)合而精確值SimpsonCotes

10、SimpsoneI26424111. 0211 插值型求積公式的誤差分析與步長(zhǎng)減半算法插值型求積公式的誤差分析與步長(zhǎng)減半算法 記 為采用插值型求積公式進(jìn)行積分近似的截?cái)嗾`差，則由多項(xiàng)式插值公式的誤差估計(jì)式（5-1）得 nnIIfR )145()()!1()()(11dxxnfdxxLdxxfIIfRnnbanbabann因此，當(dāng) f(x) 為次數(shù)不超過(guò) n 次的多項(xiàng)式時(shí)，插值型求積公式精確成立，由此引出“代數(shù)精度”的概念。 定義定義 5.1（代數(shù)精度）（代數(shù)精度） 若近似于定積分的數(shù)值積分公式當(dāng)且僅當(dāng) f(x) 為次數(shù)不高于 n 次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)恒等于定積分 I , 則稱該數(shù)值積分公式的代數(shù)精

11、度代數(shù)精度為 m（次）。 由定義知，插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n 。定理定理 5.1 設(shè) In 為由 N-C 公式（5-10）計(jì)算生成，則當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，In 的代數(shù)精度為 n ；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， In 的代數(shù)精度為n+1，且當(dāng) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)時(shí)，我們有如下誤差估計(jì)式 )(1xfn ),155()()2()!2()()(!11)2(11bandxxbaxnfndxxnffRbannbannn（這里）（為偶數(shù)）為奇數(shù)）特別地， )165()(1935360)()165()(2880)()()2)(! 4)()165()(12)()(! 2)(7)6(45)4(24231cabf

12、fRCIbabfdxbxbaxaxffRSIaabfdxbxaxffRTIbaba )175()(1935360)175()(2880)175(126)6(4)4(2chfabCIbhfabSIahfabTInnn 從而可得 為便于估計(jì)誤差，實(shí)際計(jì)算時(shí)常常采用步長(zhǎng)逐次減半的算法，下面介紹其思想。 由 2222)(1212 hfabTIhfabTInn2221nnTITI得所以 )185()(14122aTTTInnn)185()(141)185()(141232222cCCCIbSSSInnnnnn類似可得因此，可先用 計(jì)算出T1，并把步長(zhǎng)減半算出T2 ，若 則T2 即為所求的近似值，否則再把

13、步長(zhǎng)減半，算出T4， 根據(jù)式 (5-18a) 進(jìn)行事后誤差估計(jì) ， 如此遞推計(jì)算，直到某個(gè)n 滿足 為止 ，取 為所求的近似值，這就是梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法。)()(21bfafabT,(3112為精度要求）TT,3124TT nnTT231nT2 類似地，可對(duì) Simpson 公式和 Cotes 公式分別利用（5-18b）和（5-18c）進(jìn)行事后誤差估計(jì)，建立步長(zhǎng)逐次減半的算法。 為減少計(jì)算量，需建立遞推公式，現(xiàn)對(duì)復(fù)合梯形公式推導(dǎo)之。 nmnnmnmnknnknnabmafnabTnabmafnabmafbfafnabnabkafbfafnabTnabkafbf

14、afnabT1111121211)2) 12(221)2) 12(2)22(2)()(4)2(2)()(4 )(2)()(2得由這里 對(duì)應(yīng)于新的步長(zhǎng)， 對(duì)應(yīng)于新分點(diǎn)。 nab2), 2 , 1(2) 12(nmnabma因此可建立梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半遞推公式： 11021222)195(), 2 , 1()2) 12(221)()(2kkkmkkkabmafabTTbfafabT 例例 5.3 試用梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法計(jì)算定積分 使誤差小于 。 102sindxxex610解解 2640785. 03733770. 0211547799. 021)21(21211547799. 0)3

15、095599. 00(21)1 ()0(201010222fTTffT一般的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5-4 (書112頁(yè))。 2946980. 0sin,10222910dxxeTTx故取由于 龍貝格積分法龍貝格積分法 )205()4(31,31340)(31)185()(1412222222aTTSSTTTTTTTTIaTTTInnnnnnnnnnnnn即有進(jìn)一步考察可知，精度更高。比得由這說(shuō)明收斂較快的 Simpson 步長(zhǎng)減半序列 可由梯形公式的步長(zhǎng)減半序列 構(gòu)造生成。kS2kT2類似地， )205()4(1410)4(141)185()(141222222222bSSCSSIbSSSInnnnnnnn驗(yàn)證知得由 (5-20c)稱為龍貝格（龍貝格（Romberg）積分公式）積分公式。按以上方法可繼續(xù)外推下去，建立如下收斂較快的外推算法龍貝格積龍貝格積分法分法（書114頁(yè)）。)205()4(1410)4(141)185()(141233233232cCCRCCIcCCCInnnnnnnn令得由 例例 5.4 試用龍貝格積分法求解例5.3的定積分 使